Operaciones algebraicas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DEL ESTADO LARA ANDRÉS ELOY
BLANCO
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN INFORMÁTICA
BARQUISIMETO- EDO.LARA
Informe de matemáticas
Estudiantes:
Morillo José
Carrasquero Lorena
Pérez José
Peña Steven
Yepez Carlos
Mendoza Briangel
Sección: IN0103
Unidad Curricular: Matemáticas

a. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las
operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por
coeficientes, exponentes y bases.
b. SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La suma es una operación que consiste en reunir dos o más términos algebraicos en uno solo.
La única característica que deben de cumplir los términos es que sean semejantes, esto quiere
decir que tengan las mismas literales y el mismo radical. Una vez que se identifican los
términos semejantes se puede realizar la suma aritmética de los coeficientes y la parte literal
se mantiene idéntica, sin cambiar las potencias o exponentes. Al realizar esta operación se
pueden ordenar los polinomios de forma creciente o decreciente y las operaciones se pueden
efectuar de forma vertical u horizontal.
1. Suma entre monomios
Sumar el siguiente conjunto de monomios:
(2a) +(3a) = (+4−3) a3a
(10x3y2) +(4x3y2) +(2x3y2) = (−4−2) xy2=4x3y2
Si sumamos los siguientes monomios:
(8x) +(x) +(3y) +(5y) +(z) +z)
Eliminamos los paréntesis, el signo operacional suma + no afecta a los signos de los
monomios encerrados, la expresión quedaría simplemente así:
8x+4x–3y–5y+2z+z= (+4) x(−3−5) y(2+1) z12x−8y+3z
(23a4x6) +(b2z3) +(13a4x6) +(12b2z3)
Eliminando paréntesis, tenemos:
23a4x6+3b2z3–13a4x6–12b2z3
Reuniendo términos semejantes:23a4x6–13a4x6+3b2z3–12b2z3
Reduciendo términos semejantes:
(23–13) ax6+(3+12) bz3=a4x6+72b2z3
Por tanto, de estos cálculos, podemos decir que la suma de múltiples monomios nos da
como resultado tanto monomio como también polinomios.

RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
De la misma manera con la suma algebraica, con la resta o diferencia algebraica, debemos
tener en cuenta que restar dos términos semejantes resulta un único término semejante, para
dos términos no semejantes, el resultado se deja tal cual es.
Si bien, la suma algebraica no afecta a los signos operacionales de los términos entre
paréntesis, la resta si afecta a cada término, quiere decir, que cambia los signos operacionales
de cada término luego de eliminar los paréntesis.
ii. Ejemplos con monomios
● Comencemos con la resta entre monomios:
(4a)–(−2a)–(−3b)–(−5b)–(2c)–(c).
Eliminando los paréntesis, resulta:
4a+2a+3b+5b–2c–c
6a+8b–3c
iii. Ejemplos con polinomios
● Y ahora veamos la resta con polinomios:
(8m+6n)–(2m–5n)–(−p).
Eliminando paréntesis se cambian los signos de 2m−5na −2m+5ny−pap:
8m+6n−2m+5n+p
6m+11n+p
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que
se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
Cuando en una expresión algebraica sustituimos las letras por los valores que nos dan y luego
resolvemos las operaciones, el resultado que se obtiene se llama valor numérico de una
expresión algebraica. De esta forma, las variables podrán tomar una infinidad de valores y aun
así podremos determinar cuánto vale la expresión.
Por ejemplo: 5 a-2 donde a=3 Sustituimos el valor de a en la expresión y decimos 5*3-2, es
decir 15-2 = 13 Entonces decimos que 13 es el valor numérico de esa expresión algebraica
cuando a = 3 Ahora bien, si a valiera -5, tendríamos que cambiar la a por el valor dado, es decir
5(-5)-2. En esta ocasión colocamos el valor entre paréntesis, dado que es negativo y así
evitamos confusiones. Finalmente, esta operación sería igual a -27
Las variables también pueden tomar valores en forma de fracción como a= 1/2 Veamos,

cuando a= 1/2 sustituimos el valor de a en la expresión, diciendo (5(½))-2 y efectuamos las
operaciones indicadas. Tal como sabemos, las operaciones se resuelven según la jerarquía de
las operaciones. Es por eso que en este caso primero resolveremos la multiplicación y luego
la sustracción, dando como resultado (5(½))-2=½ Ahora, si a valiera ¹9, tendríamos 5 * ¹9-2.
Primero, obtenemos ¹9 que es 3, luego multiplicamos el resultado de la raíz por 5 y le restamos
2, dando como resultado 13.
Cuando queremos evaluar una expresión algebraica,
tenemos que:
● 1. Sustituir las variables de nuestra expresión algebraica por los
valores dados.
● 2. Realizar las operaciones indicadas, teniendo en cuenta la
jerarquía de las operaciones.
Y así encontramos en valor numérico de las expresiones algebraicas.
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por
un número cualquiera. Ejemplo:
Q(x) = x4 − 2x3 + x2 + x − 1; x =1
Q (1) = 14 − 2 · 13 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación de expresiones algebraicas es una operación matemática que consiste en
multiplicar dos o más expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas pueden ser
monomios, polinomios, o incluso funciones. Para realizar estas operaciones hay que tener en
cuenta la ley de los exponentes y la ley de los signos.
Multiplicación de monomio
La multiplicación entre monomios es muy sencilla:
● Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
● Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los
exponentes.
Aplicamos la ley distributiva
Por último, aplicamos finalmente la ley de los signos. (+.+ = +, +.- = -, -.+ = -, -.- = +)
Por ejemplo: a.) (2x^2)(3x) = 6x^3 b.) (-2xyˆ3). (-xˆ4) = 2xˆ5yˆ3

Multiplicación de monomio por un polinomio
Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio, aplicaremos la ley distributiva,
esto es, que se multiplica el monomio a cada término del polinomio, luego, se realiza el proceso
de multiplicación entre monomios.
Este tipo de multiplicación tiene la siguiente forma a (b + c) = ab + ac, donde a, b, y c son
monomios.
Por ejemplo:
a.) (-4a^2b).(a-2ab^3+1/2a^2b)=
= -4a^3b + 8a^3b^4 - 2a^4 b^2
b.) (5x-3x^2) . 1/2x^3=
=5/2x^4 - 3/2x^5
Multiplicación entre polinomios
Para saber cómo resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo debemos tener en cuenta
la propiedad distributiva, la ley de signos y las leyes de la potenciación. La forma más básica
o reducida de la multiplicación entre dos polinomios es de la forma (a+b) (c+d)= ac+bc + ad+bd,
esto es, la multiplicación entre dos binomios, su prueba es muy sencilla, es tan solo aplicando
la propiedad distributiva. Veamos, la propiedad nos dice que x (y+z)= xy+xz, si suponemos que
x= a+b; y=c; z=d, reemplazando en la propiedad, tenemos:
(a+b) (c+d)= (a+b)+c + (a+b)+d = ac+bc ad+bd
Por lo general, llamamos multiplicando el factor de la izquierda a+b y multiplicador al factor de
la derecha, esto es:
(a+b)multiplicando (c+d)multiplicador
Por ejemplo:
La multiplicación de polinomios puede realizarse de dos maneras:

Método vertical: Este método es el más común y consiste en multiplicar cada término del
primer polinomio por cada término del segundo polinomio, escribiendo el resultado debajo del
término correspondiente. Luego, se suman los monomios de igual grado.
Método horizontal: Este método es menos común, pero puede ser útil para polinomios de
mayor grado. Consiste en multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del
segundo polinomio, escribiendo el resultado debajo del término correspondiente. Luego, se
suman los monomios de igual grado, comenzando por los monomios de mayor grado.
En ambos métodos, el grado del polinomio resultante es la suma de los grados de los
polinomios que se multiplican.
Existen algunas reglas generales que se pueden aplicar a la multiplicación de expresiones
algebraicas:
● La multiplicación de un monomio por un polinomio es equivalente a sumar los
productos de cada término del monomio por cada término del polinomio.
● La multiplicación de dos polinomios de igual grado se puede realizar expandiendo el
producto.
● La multiplicación de dos polinomios de distinto grado se puede realizar expandiendo el
producto y luego factorizando el resultado.
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión llamada cociente por medio de un algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el
mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente
de algún término del divisor.
Clases de división
División exacta.
Esta división se define cuando el residuo R es cero, entonces:
División inexacta.
Esta división se define cuando el residuo R es diferente de cero. De la identidad, dividiendo
entre el divisor dd, tenemos:
Significa que la división es inexacta ya que existe un término adicional

División de dos monomios
En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en cuanto a los demás elementos
se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si esto es posible, en cuanto a
las literales si hay alguna que esté tanto en el numerador como en el denominador, si el
exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al exponente se le
resta el exponente de la literal del denominador, en caso contrario se pone la literal en el
denominador y a su exponente se le resta el del numerador.
Regla de los signos
+/+ =+ ; - / - = +; - /+ = - ; +/ - = -
Ejemplo:
Dividir 9x3y2 entre 3x2w
9x3y2 / 3x2w
9x3y2 / 3x2w = 3xy2 / w
División de un polinomio entre un monomio
En esta operación se distribuye el polinomio sobre el monomio, como si fueran una fracción.
Por ejemplo:
32x2+20x-12x3 entre 4x
Se coloca el monomio como denominador de el polinomio
32x2+20x-12x3 / 4x
Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por
el monomio
(32x2 / 4x) + (20x / 4x) - (12x3 / 4x)
Se realizan las divisiones correspondientes entre monomios
8x+5-3x2
División entre polinomios
Es muy parecida a la división algebraica, y se deben de seguir los siguientes pasos:
● Se deben de ordenar los polinomios ya sea descendente o ascendente por medio de
una misma letra, en caso de que el polinomio no esté completo se dejan los espacios
correspondientes.
● El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo
entre el primer miembro del divisor.

● Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
● El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo
parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
● Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
● Se continúa de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Por ejemplo:
Dividir x4+3+x-9x2 entre x+3
x^4 + 0x^3 - 9x^2 + x + 3
-(x^4 + 3x^3)
-3x^3- 9x^2+ x + 3
-(-3x^3 - 9x^2)
+x + 3
-(+x + 3)
+0 +0
Respuesta: x^3 - 3x^2 +1, no hay residuo
PRODUCTOS NOTABLES
Los productos notables de polinomios son expresiones algebraicas que representan patrones
comunes de multiplicación en polinomios. Algunos ejemplos de productos notables incluyen:
1. Cuadrado de un binomio: (a+b)^2= a^2+2ab+b^2.
2. Diferencia de cuadrados: (a+b) (a-b) = a^2-b^2
3. Cuadrado de un trinomio: (a+b+c)^2= a^2 + b^2 + c^2 +2ab+ 2ac+ 2bc
4. Cubo de un binomio: (a+b)^3= a^3 + 3a^2b+ 3ab^2+ b^3
Estos productos notables son útiles para simplificar expresiones polinómicas y resolver
ecuaciones algebraicas de manera más eficiente.
1. Cuadrado de un binomio: El cuadrado de un binomio (a + b) ^2 se calcula utilizando la
fórmula:
(a + b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2
Esto se conoce comúnmente como el "cuadrado del primer término más el doble del
producto de los términos más el cuadrado del segundo término."
2. Diferencia de cuadrados: La diferencia de cuadrados (a + b) (a - b) se simplifica a:
(a + b) (a - b) = a^2 - b^2
Esta fórmula es útil para factorizar expresiones cuadráticas.
3. Cuadrado de un trinomio: El cuadrado de un trinomio (a + b + c) ^2 se calcula expandiendo
la expresión al cuadrado y simplificando términos semejantes.

4. Cubo de un binomio: El cubo de un binomio (a + b) ^3 es más complejo y se calcula
expandiendo la expresión al cubo y simplificando términos semejantes. La fórmula completa
es:
(a + b) ^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Ejemplos:
1. Cuadrado de un binomio:
Calcule el cuadrado del binomio (2x + 3y): (2x + 3y) ^2
R: (2x + 3y) ^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2
2. Diferencia de cuadrados:
Factorice la siguiente expresión:
x^2 – 25
R: x^2 - 25 = (x + 5) (x - 5)
3. Cuadrado de un trinomio:
Calcule el cuadrado del trinomio (a + 2b - c): (a + 2b - c) ^2 =?
R: (a + 2b - c) ^2 = a^2 + 4ab - 2ac + 4b^2 - 4bc + c^2
4. *Cubo de un binomio*:
Calcule el cubo del binomio (3x - 2y): (3x - 2y) ^3
R: (3x - 2y) ^3 = 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3
5. Aplicación de productos notables:
Dada la expresión (x + 4) (x - 4)
R: (x + 4) (x - 4) = x^2 - 16
LA FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
La factorización por productos notables es un tema de álgebra que se refiere a la forma de
calcular el valor de ciertas expresiones que se pueden simplificar mediante reglas generales.
Los productos notables son operaciones algebraicas donde se expresan multiplicaciones de
polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas
reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas. Algunos ejemplos de productos
notables son:

Binomio al cuadrado: es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de
potencia, donde los términos son sumados o restados. Por ejemplo:
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Producto de binomios conjugados: son dos binomios que tienen los segundos términos de
signos diferentes. Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Por ejemplo:
(x + 3) (x - 3) = x² - 9.
Diferencia de cuadrados: es una expresión que se puede escribir como la resta de dos
cuadrados. Se factoriza como el producto de dos binomios conjugados. Por ejemplo:
x² - 16 = (x + 4) (x - 4).
x2+2x–15=(x+5)(x–3)
y2–2y–15=(y–5)(y+3)
Suma y diferencia de cubos: son expresiones que se pueden escribir como la suma o la resta
de dos cubos. Se factorizan como el producto de un binomio y un trinomio. Por ejemplo:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4).
La facturación por productos notables tiene varias aplicaciones en el álgebra, como la
factorización, la simplificación, la resolución de ecuaciones y la representación gráfica de
funciones. Además, permite desarrollar el pensamiento lógico y el razonamiento matemático.

EJERCICIOS RESUELTOS
2. Adición de expresiones algebraicas (polinómicas)
a) Consideremos los siguientes polinomios efectuemos su suma
2. Multiplicación de expresiones algebraicas (polinómicas)

4. Factorización de productos notables

BIBLIOGRAFÍA
Libro de matemáticas de 8º grado de Benigno Breijo y Pablo Domínguez
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/multiplicacion-
algebraica/
https://www.matematicas18.com/es/tutoriales/algebra/multiplicacion-de-monomios-y-
polinomios/
. lifeder.com
. matematicatuya.com
cursoparaelexamencomipems.com
. wikimat.es
. diccionarioactual.com
https://ministeriodeeducacion.gob.do/docs/espacio-virtual-de-soporte-para-educacion-no-
presencial/kXFa-valor-numerico-de-las-expresiones-algebraicaspdf.pdf
https://ministeriodeeducacion.gob.do/docs/espacio-virtual-de-soporte-para-educacion-no-
presencial/kXFa-valor-numerico-de-las-expresiones-algebraicaspdf.pdf
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/suma-
algebraica/#google_vignette

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