Este documento presenta una guía de trigonometría con 29 problemas que cubren temas como funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, ángulos y triángulos, gráficas de funciones seno y coseno, y oscilaciones armónicas. Los problemas incluyen determinar valores de funciones trigonométricas, resolver ecuaciones trigonométricas, calcular áreas de triángulos, y graficar funciones seno y coseno.

1. Universidad Andr´es Bello
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de Matem´aticas
´Algebra (FMM013)
Gu´ıa 3
Trigonometr´ıa:
1. Determinar los valores de las funciones trigonom´etricas del ´angulo α definido por el
punto P, el origen de coordenadas y el eje de las x positivo.
a) P = (0, 1).
b) P = (6, −7).
c) P = (−3, −2).
2. En cada caso, determinar los valores de las restantes funciones trigonom´etricas sabiendo
que:
a) sen α = −1
2
, con α en el tercer cuadrante.
b) cos α = 3
4
, con α en el cuarto cuadrante.
c) tan α = 3, con α en el primer cuadrante.
3. Determine, sin usar calculadora, el valor num´erico de las siguientes expresiones:
a) cos 225o
b) tan 150o
c) sen(−π
6
)
d) sec 4π
3
e) cot 7π
4
f ) csc 300o
g) sen 315o
h) cos(−150o
)
i) tan 135o
4. Determine el ´angulo θ ∈ [0, 2π) en cada caso.
a) sen θ = 4
5
, cos θ < 0.
b) tan θ = 2
3
, cos θ < 0.
c) sec θ = 3, cos θ > 0.
d) sec θ = −13
12
, csc θ < 0.
e) sen θ =
√
2
2
, θ en el segundo cuadrante.
f ) cos θ = − 7
25
, θ en el tercer cuadrante.
g) cot θ = −3
4
, θ en el cuarto cuadrante.

2. h) sec θ = 13
5
, θ en el cuarto cuadrante.
i) tan θ = −
√
3
3
, θ en el segundo cuadrante.
j) cosec θ = −25
24
, θ en el tercer cuadrante.
5. a) Si α y β son ´angulos interiores de un tri´angulo rect´angulo, y cos α = 3
5
, calcular
sen 2α − 3 cos 2β
tan β + cot α
b) Si 3 cot α = 2, calcule
10 sen α − 6 cos α
4 sen α + 3 cos α
c) Si cot α = a
2
, calcule sen α.
d) Si sen x tan x = 2, calcule cos x.
e) Si α = 11π
4
, determine el valor de sen2
α − cos2
α + 2 tan α.
6. Demostrar las siguientes identidades:
a)
cos(α + β)
cos(α − β)
=
1 − tan α tan β
1 + tan α tan β
b) tan(x +
π
3
) =
4 tan x +
√
3 sec2
x
sec2 x − 4 tan2
x
c)
sen x cos x
cos 2x
−
tan x
1 − tan2
x
= 0
d)
sen α + sen 2α
1 + cos α + cos 2α
= tan α
e) cos 2α =
csc2
α − 2
csc2 α
f )
cos 2α
1 − sen 2α
=
1 + tan α
1 − tan α
7. Resuelva para x en el intervalo indicado:
a) 1 + cos x = 0, x ∈ [0, 2π).
b) 1 − sen x = 0, x ∈ [0, 2π).
c) 1 +
√
2 sen x = 0, x ∈ [0, 2π).
d) 1 −
√
2 cos x = 0, x ∈ [0, 2π).
e) 4 cos2
x − 3 = 0, x ∈ [0, 2π).
f ) 2 sen2
x − 1 = 0, x ∈ [0, 2π).
g) 2 cos 2x = 1, x ∈ [0, 2π).
h) 2 sen 2x =
√
3.
i) sen x = cos x, x ∈ (−∞, ∞).
j)
√
3 sen x − cos x = 0, x ∈ (−∞, ∞).
k) 4 cos2
2x−4 cos 2x+1 = 0, x ∈ [0, π].
l) 2 sen2 x
2
− 3 sen x
2
+ 1 = 0, x ∈ [0, 2π).
m) sen 2x = sen x, x ∈ (−∞, ∞).
n) sen 2x + cos x = 0, x ∈ (−∞, ∞).
˜n) sen2
x + 2 cos x = −2, x ∈ [0, 2π).
o) 2 cos2
x + 3 sen x = 0, x ∈ [0, 2π).

3. p) 2 sen x cos x = cos x, x ∈ [0, 2π).
q) 2 sen2
x + 3 cos x = 3, x ∈ (−∞, ∞).
r) sen x + cos x = 1, x ∈ [0, 2π).
s) sec x + tan x = 1, x ∈ [0, 2π).
t) sen 3x + sen x = 0, x ∈ [0, 2π).
u) cos 5x + cos 3x = 0, x ∈ [0, π].
v) sen 5x − sen 3x = sen x, x ∈ [0, π
2
].
w) cos 3x − cos x = sen x, x ∈ [0, π].
8. Verificar la identidad
cot2
β − 1
cos β + sen β
=
cos β − sen β
sen2 β
9. Determinar el menor valor de α − β tal que
{
cos α + cos β = 1
sen α + sen β =
√
3
10. Resuelva los siguientes problemas:
a) Desde un faro, el ´angulo de depresi´on con que se observa un bote, en direcci´on
sur, es de 55◦
y el ´angulo de depresi´on con que se observa otro bote, en direcci´on
poniente es de 28◦
. Calcular la altura del faro si la distancia entre los botes es de
150 metros.
b) Desde un faro de 25 metros de altura se observa un bote situado en un punto A.
Cuando el bote se aleja 20 metros, el ´angulo de elevaci´on desde ´este hacia el faro
es de 30◦
. Determinar la distancia final entre el bote y el extremo inferior del faro.
c) El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h del piso,
formando un ´angulo de 30◦
con la pared. Resbala y su extremo superior desciende
un metro y queda formando un ´angulo de 60◦
con la pared. ¿Cu´al es la altura de
la escalera?
d) Desde lo alto de un edificio de h metros de altura se observa una persona con
un ´angulo de depresi´on de 15◦
. La persona camina 10 metros hacia el edificio y
observa el tope de ´este con un ´angulo de elevaci´on de 30◦
. Calcular la altura del
edificio.
e) ¿Qu´e altura tiene un ´arbol si arroja una sombra de 8,5 metros de largo en el
momento que el ´angulo de elevaci´on del sol es de 45◦
?
f ) Desde el extremo superior de un monumento, el ´angulo de elevaci´on hasta el
remate de un edificio es de 60◦
y el ´angulo de depresi´on de la base es de 45◦
. Si la
altura del edificio es de 40 metros, calcular la altura del monumento.
g) Desde el pie de un poste, el ´angulo de elevaci´on de la punta de un campanario es
de 60◦
, desde la parte superior del poste, que tiene 9 metros de altura, al ´angulo
de elevaci´on es de 30◦
. Hallar la altura del campanario y la distancia de ´este al
poste.
11. Resuelva el tri´angulo de la figura con los datos que se muestran en cada caso:

4. a) α = 80o
, β = 20o
, b = 7.
b) β = 37o
, γ = 51o
, a = 5.
c) γ = 15o
, a = 8, c = 5.
d) α = 140o
, γ = 20o
, c = 12.
e) α = 43o
, β = 62o
, c = 7.
f ) β = 45o
, c = 5. Encuentre todos los valores de b para los cuales el tri´angulo es
rect´angulo.
g) a = 12, b = 5,32, c = 10.
12. La distancia entre la meta y un hoyo particular de golf es de 370 yardas. Una golfista le
pega a la pelota y la coloca a una distancia de 210 yardas. Desde el punto donde est´a la
pelota, ella mide un ´angulo de 160◦
entre la meta y el hoyo (ver figura). Encuentre el
´angulo de su lanzamiento. Encuentre tambi´en la distancia entre la bola y el hoyo.
13. El ´angulo de elevaci´on de un aeroplano medido desde la cima de un edificio de 20 metros
de alto es de 38◦
, y el ´angulo medido desde la base del edificio es de 40◦
. Encuentre la
altitud del aeroplano.
14. La f´ormula de Her´on para calcular el ´area de un tri´angulo de lados de longitud a, b y
c es
A =
√
s(s − a)(s − b)(s − c) donde s =
a + b + c
2
Calcule el ´area del tri´angulo correspondiente a cada caso:
a) a = 5, b = 8, c = 4.
b) a = 12, b = 5, c = 13.
c) γ = 25o
, a = 7, b = 10.
15. Un hombre a 100 metros de la base de un risco suspendido, mide un ´angulo de elevaci´on
de 28◦
desde ese punto hasta la punta del risco (ver figura). Si el risco forma un ´angulo
de 65◦
con el suelo, determine su altura aproximada.

5. 16. Determine los ´angulos en un tri´angulo con v´ertices en los puntos A = (0, 0), B = (5, 0),
C = (4, 3).
17. Encuentre el ´area del terreno que se muestra en la figura.
18. Se necesita conocer la altura de un ´arbol ubicado en la ladera de un cerro. Para esto
se ubican dos puntos A y B sobre la ladera (A m´as abajo que B) a una distancia
d y colineales con la base del ´arbol. Los ´angulos de elevaci´on desde A y B hasta la
c´uspide del ´arbol son α y β respectivamente y el ´angulo de inclinaci´on de la ladera es
γ. Calcular la altura del ´arbol en funci´on de α, β, γ y d.
19. Dos muchachas que llevan radios est´an en la intersecci´on de dos caminos rurales que se
cruzan en un ´angulo de 105◦
. Una comienza a caminar por uno de los caminos a una
velocidad de 5 millas por hora; al mismo tiempo la otra camina por el otro camino al
doble de velocidad. Cada radio tiene un alcance de 10 millas. ¿Durante cu´anto tiempo
se mantendr´an en comunicaci´on las muchachas?

6. 20. Un avi´on despega de una base A en la costa y vuela en l´ınea recta en direcci´on NαE.
Cuando lleva recorrido 400 kil´ometros sufre una aver´ıa mec´anica que lo obliga a dirigirse
a una aeropuerto B de alternativa siguiendo la trayectoria indicada en la figura, ubicado
a 250Km al norte de donde despeg´o. El avi´on vuela a 320Km/hr. ¿Alcanzar´a a llegar
al aeropuerto B si tiene combustible para 1 hora de vuelo?
21. Un bote a motor navega durante 3 horas a raz´on de 20 millas por hora en direcci´on
N 40◦
E. ¿Qu´e distancia hacia el norte y que distancia hacia el este habr´a recorrido?
22. Una rampa est´a inclinada un ´angulo de 41, 3◦
con respecto al suelo. Un extremo de
una tabla de 20, 6 pies de longitud se localiza en el suelo en un punto que est´a a 12, 2
pies de la base de la rampa, y el otro extremo reposa sobre la rampa en un punto P.
Determine la distancia desde la base de la rampa hasta el punto de apoyo de la tabla.
23. En la figura determine el valor h, en t´erminos de α y β, sabiendo que |AB| = 150.
24. Determine el valor de x en la figura.

7. 25. Considere la funci´on sinusoidal y = −2 sen(2x − π). Obtenga su gr´afica, indicando
amplitud, per´ıodo y desface.
26. Determinar gr´afica, amplitud y desface del la funci´on sinusoidal y = 3 sen(2x + π/2).
27. El n´umero de horas de luz natural para un ´area particular se puede modelar con la
f´ormula:
D =
5
2
sen
(
1
2
t −
π
6
)
.
Donde D es el n´umero de horas de luz natural y t es el d´ıa del a˜no, considerando t = 1
correspondiente al primero de enero. Trace la gr´afica de esta funci´on e indique per´ıodo,
amplitud y desface.
28. Exprese la amplitud A y el per´ıodo P de cada funci´on en los problemas siguientes y
grafique la funci´on sobre el intervalo indicado.
a) y = 3 sen x, −2π ≤ x ≤ 2π.
b) y = 3 cos 2x, −π ≤ x ≤ π.
c) y = 2 sen 4x, −π ≤ x ≤ π.
d) y = 3 + 3(cos πx/2), −4π ≤ x ≤ 4π.
e) y = 4 − 2 cos(x/2), −4π ≤ x ≤ 4π.
29. Un peso de 6 libras cuelga del final de un resorte que se estira 1/3 de pie debajo de
la posici´on del equilibrio y entonces se libera. Si la resistencia del aire y la fricci´on
se desprecian, la distancia x, que el peso se desplaza con respecto de su posici´on de
equilibrio en un tiempo t, medido en segundos, est´a dada por x = (1/3) cos(8t). Exprese
el per´ıodo P y la amplitud A de esta funci´on, y grafique para 0 ≤ t ≤ π.
30. Un generador de corriente alterna genera una corriente dada por I = 30 sen 120t, donde
t es el tiempo en segundos. ¿Cu´al es la amplitud A y el per´ıodo P de esta funci´on? ¿Cu´al
es la frecuencia de la corriente?; es decir, ¿Cu´antos ciclos (periodos) se completar´an en
un segundo?
31. Si el voltaje E en un circuito el´ectrico tiene una amplitud de 110 voltios y un per´ıodo
de 1/60 segundos, y si E = 110 volts cuando t = 0 segundos, encuentre una ecuaci´on
de la forma E = A cos(Bt) que entregue el voltaje para cualquier valor de t ≥ 0.
32. La cantidad de bi´oxido de azufre, obtenido de la combusti´on de hidrocarburos, liberado
hacia la atm´osfera en una ciudad, var´ıa durante el a˜no. Suponga que el n´umero de
toneladas de bi´oxido de azufre liberado hacia la atm´osfera, en una ciudad, durante la
semana n del a˜no est´a dado por:
A(n) =
3
2
+ cos
(nπ
26
)
0 ≤ n ≤ 104.
Grafique la funci´on en el intervalo indicado y describa lo que muestra la gr´afica.

8. 33. Un adulto normal sentado aspira y exhala cerca de 0, 82 litros de aire cada 4 segundos.
El volumen de aire en los pulmones t segundos despu´es de exhalar es aproximadamente:
V (t) = 0,45 − 0,37 cos
(
πt
2
)
0 ≤ t ≤ 8.
Grafique la funci´on en el intervalo indicado y describa lo que muestra la gr´afica.
34. En los problemas siguientes, encuentre la ecuaci´on de la forma y = A sen(Bx), que
produzca la gr´afica mostrada.
a)
b)
c)

9. d)
35. En los problemas siguientes, encuentre la ecuaci´on de la forma y = A cos(Bx), que
produzca la gr´afica mostrada.
a)

10. b)
c)
d)