Este documento presenta varios problemas de trigonometría que involucran el cálculo de ángulos y lados de triángulos rectángulos y no rectángulos, así como el cálculo de áreas de figuras geométricas planas utilizando funciones trigonométricas. El documento también incluye la verificación de identidades trigonométricas y la resolución de ecuaciones trigonométricas.

1. TRIGONOMETRÍA Matemáticas 4º E.S.O. – Opc B J.S. ELCANO 2010/2011
1. Con el dato siguiente y α ángulo agudo, calcula las demás razones trigonométricas: Aproximándose 25,8 m hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º.
a) cos(α) = 1/3 b) Si sen (α) = 0,8 c) tg(α)=2 c) cosec (α) = 5/3 Calcular la altura del árbol.
2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Halla la hipotenusa. Halla los 18. Desde un cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de
ángulos del triángulo y el área. 30º ¿Bajo qué ángulo se verá colocándose a distancia doble? ¿Bajo qué ángulo a
distancia triple?
3. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 24 cm y uno de los ángulos 30o . Halla los
19. Calcula los lados y ángulos que faltan en la figura. Calcula su área total.
catetos, el otro ángulo agudo y el área del triángulo.
4. En un triángulo rectángulo un cateto mide 43 cm y su ángulo opuesto 37º. Calcula los
otros lados, el otro ángulo y el área del triángulo.
5. En un triángulo ABC rectángulo en A sabemos que c=12 y tg C=0,75. Calcula los otros
lados y la tangente del ángulo B. (Sin calcular los ángulos del triángulo)
6. Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base
dista 2 m de la pared?
7. Calcula la altura de una torre, si situándonos a 25 m. de su pie observamos la parte mas 20. Hallar el área de cada uno de los triángulos:
alta bajo un ángulo de 42º 37’.
8. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del Sol con
el horizonte?
9. Resolver un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide 20 cm. y su ángulo
opuesto 30º. Calcular su área.
10. Halla el área de un pentágono regular de lado 10 m y la del hexágono regular de lado 4 m.
11. Una cometa está unida al suelo por una cuerda de 100 m. que forma un ángulo de 60º con 21. Dos amigos han creído ver un OVNI desde dos puntos situados a 800 metros, con
la horizontal. Suponiendo que la cuerda está tirante, halla la altura de la cometa. ángulos de elevación 30º y 75º respectivamente. Hallar la altura a la que se encuentra el
12. Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60o y la rama tiene 12 cm de ovni y su distancia a cada uno de los amigos.
longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.
--------------------------------------- SOLUCIONES ---------------------------------------
13. Un coche sube una pendiente de un 10% a 45 km/h, tardando un minuto. Halla la longitud
y el desnivel de la pendiente. 1. a) senα= 8 /3, tgα= 8 . b) cosα =0,6 tgα =4/3 c)senα=2/ 5 cosα=1/ 5
14. Hallar los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 10 y 24 cm. Hallar el lado. d) senα=3/5, cosα=4/5 tgα=3/4.
2. a=13 cm B=22º37’, C=67º23’ S=30 cm2 3. b=20,78 c=12cm C=60º S=124,7 cm2
2
15. Calcula la altura de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un 4. a=71,45 cm c=57,06 cm C=53º S=1226,79 cm 5. b=16, a=20, tg B=4/3. 6. 60º
barco se toman las siguientes medidas: 1º el ángulo que forma la visual con la luz y con el 7. 23 m. 8. 63º 27’ 9. Lados iguales = 38,64 cm, angulos iguales =75º, Área=373,20 cm2
horizonte es 60o. 2o retrocedemos 40 m y el ángulo que forma ahora dicha visual es 30o. 10. 172,04m2 y 6 3 m2 11. 86,6 m. 12. 12 m 13. α=5º 43’ pend=750m, desniv=74,63 m.
16. Una escalera de bomberos de 10m. de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si 14. lado=13cm, 2 ang de 45º 14’ y 2 ang de 134º 46’ 15. 34,64 m.
se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º, y si se apoya 16. Anchura= 15,73 m. Altura fachadas: 7,07 m y 5 m. 17. altura árbol= 16,06 m
sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Hallar la anchura de la calle. ¿Qué altura 18. 16º 6’ y 10º 54’ 19. a=2 3 , b=2, c=2 6 , d=4 2 , e=4, f=2 2 . Área tot=2+6 3 u2
se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas? 20. 187,93 m2 y 68,93 m2. 21. Altura ovni=400m. Distancias: 800m y 414,91 m.
17. Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del
extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º.

2. TRIGONOMETRÍA Matemáticas 4º E.S.O. – Opc B J.S. ELCANO 2010/2011
1. Expresa en radianes los sgtes ángulos: 00, 300, 450, 600, 900, 1200, 1800, 2250, 2700, 3300, Sol: a) cosα. b) 1+senα c) tg2α d) 1 e) sec2α f) cosα. g) tg2α
3π 5π 3π 9π 4π
2. Expresa en grados los sgtes ángulos dados en radianes: , , , , . 14. Comprueba las siguientes identidades trigométricas:
4 3 2 10 3
3. En una circunferencia de 16 m de radio, un arco mide 2 m. Halla su ángulo central 1 + tg(α )
a) = sen(α) + cos(α) b) tg2(α) - sen2(α) = tg2(α)⋅sen2(α)
correspondiente en grados sexagesimales y radianes. sec(α )
c) tgx + cot gx = sec x ⋅ cos ecx d) sen(α)⋅cos(α)⋅tg(α)⋅cot(α)⋅sec(α)⋅cosec(α) = 1
4. Un reloj señala las 12 en punto. Después de 30 minutos ¿qué ángulo, medido en radianes,
forman las agujas del reloj?. Sol: Todas son ciertas.
1 + tg 2α tgα
e) = f) sen 4 x + cos 2 x + sen 2 x ⋅ cos 2 x = 1
5. Expresa los siguientes ángulos como suma de un número de vueltas y un ángulo cot gα cos α
menor de 3600 : 7200, 9000, -30000, 72000, 10π rad., 60π rad., 13π/4rad. g) sen2(α) – cos2(β) = sen2(β) – cos2(α)
6. Dada la siguiente razón trigonométrica, calcular las demás. (Utiliza el dato que hay 15. Simplificar las siguientes expresiones:
entre paréntesis para obtener el cuadrante)
sec α − cos α 2 cos 2 α + sen 2α − 1 1
a) sen α = 7/25 (cos α <0) b) tg α = 5 (π/2 < α < 3π/2 ) a) b) d) − cos α − tg 2α ⋅ cos α
c) cos α = -5/13 (tg α < 0) d) cotg α = -2/3 (π < α < 2π) tg (π + α ) cos α cos α
sec α
e) cos3(α) + cos2(α)⋅sen(α) + cos(α)⋅sen2(α) + sen3(α) f)
7. Averigua, sin utilizar tablas ni calculadora, el seno, coseno y tangente de los siguientes tgα + cot gα
ángulos: 120o, 330o, 855o, -225o, –1860o .
sec (α ) + cos (α )
2 2
1 1
g) h) +
8. Calcular las razones trigonométricas de 11π/3, 5π/4 , 65π/6, –2250º, –41π/2 y 2010º. sec (α ) - cos (α )
2 2
1 + senα 1 − senα
16. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
9. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos: a) tg(x) = -1 b)2sen(x) = tg(x) c) sen(x) = sen(50)
a) α∈I cuadrante: sen(α)=1/5 b)α∈II cuadrante: cos(α)=-12/13 d) cos(x) - 2sen(x)cos(x) = 0 e) cos(x) = sen(38) f) tg(x) = tg(32)
c) α∈III cuadrante: tg(α)=1/2 d)α∈IV cuadrante: cotg(α)=-4
e) α∈IV cuadrante: sec(α)=4 f) α∈I cuadrante: sen(π-α)=1/4 17. Resuelve las siguientes ecuaciones:
g) α∈II cuadrante: tg(π-α)=1/2 h) α∈II cuadrante: tg(π/2-α)=-3/4 2
i) α∈IV cuadrante: cos(π-α)=-2/3 a) senx = − b) senx + 3 cos x = 0 c) 2(1 + senx) = 3 cos 2 x
2
−2tgx
10. Sabiendo que sen 74º = 24/25 calcula: d) cos x = e) tgx ⋅ sec x = 2 f) 2 − sen 2 x = 2 cos x g) tgx = 2senx
a) cos (-16º) b) tg 106º c) sen 254º d) cosec (-196º) e) sec 1424º. 1 + tg 2 x
1
h) cos x − tgx = i) tg 2 x = 2 + tgx j) cos x ⋅ (cos x + 2 ) = 2 + sen 2 x
11. Sabiendo que tg α = 2 y α está en el primer cuadrante, calcula: 4 cos x
a) sen (π-α) b) cos (3π/2-α) c) tg (-α) d) sec (810º+α ) e) cosec(300π+α ) 18. Hallar los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 10 y 24 cm. Hallar el lado.
19. Resolver un triángulo rectángulo sabiendo que el ángulo B es 60º y que la diferencia
12. Dibuja en papel cuadriculado y solo con una regla los siguientes ángulos: entre la hipotenusa y el cateto b es 20 cm.
a) α∈ I cuadrante: sen(α)=1/3 b) α ∈ II cuadrante: tg(α) = –2
20. Las bases de un trapecio isósceles miden 7 y 4 metros; su altura mide 5 metros. Halla
c) α ∈ III cuadrante: sec(α)=–3 d) α ∈ IV cuadrante: cos(α) = 4/5 los lados y ángulos del trapecio.
13. Simplifica las siguientes expresiones: 21. Un avión vuela horizontalmente justamente encima de un observador a la velocidad de
300 Km/h. Pasado un minuto, la visual que el observador dirige al avión forma un
cos (α ) sen 2α − cos 2 α
2
1 1
a) sen(α)⋅ b) c) −1 d) ángulo de 48º con la horizontal. Halla la altura a la que vuela el avión.
tg(α ) 1 - sen(α ) cos 2 α sen 4α − cos 4 α
1 + tg 2α 1. Los tres cables que sujetan una torre de una emisora de radio tienen sus anclajes en una
e) sen2(α) + cos2(α) + ⋅tg2(α) f) cos 3 α + cos α ⋅ sen 2α g) circunferncia de 100m. de radio y forman un triángulo equilátero. Cada cable forma con la
1 + cot g 2α
horizontal un ángulo de 45o. Halla la altura de la torre.