Este documento presenta un taller sobre geometría y trigonometría con 10 ejercicios. El taller incluye conceptos como razones trigonométricas de ángulos, funciones trigonométricas de números reales y transformaciones de funciones trigonométricas, así como la resolución de problemas que involucran el uso de la trigonometría.
Este documento presenta información sobre ángulos verticales y situaciones combinadas en trigonometría. Incluye 27 problemas de ejercicios sobre ángulos de elevación, depresión y distancias entre objetos observados desde diferentes puntos. Explica conceptos como ángulos de elevación, depresión y cómo calcular distancias y alturas usando trigonometría cuando se observan objetos desde posiciones diferentes.
Este documento presenta información sobre ángulos verticales y situaciones combinadas de ángulos de elevación y depresión. Incluye ejemplos de problemas relacionados con ángulos verticales y sus aplicaciones, así como su resolución. El documento concluye con un conjunto de 29 problemas propuestos sobre ángulos verticales y su resolución.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría. Calcula valores trigonométricos para diferentes ángulos dados y resuelve problemas geométricos utilizando funciones trigonométricas. También incluye una sección de preguntas de selección múltiple relacionadas con conceptos trigonométricos.
Examen ángulos horizontales y verticales 2013César Ríos
Este documento presenta 6 problemas de geometría que involucran ángulos verticales y horizontales. Los problemas incluyen calcular distancias y ángulos dados información sobre la altura de torres u observaciones hechas desde diferentes puntos.
Este documento presenta un taller de nivelación de trigonometría para estudiantes. Contiene 20 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de trigonometría como ángulos, conversiones entre grados y radianes, triángulos rectángulos y funciones trigonométricas. También incluye 10 ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen estos conceptos y realicen conversiones, cálculos y representaciones gráficas.
Este documento presenta varios problemas métricos y ejercicios resueltos relacionados con el cálculo de áreas, perímetros, volúmenes, triángulos rectángulos y los teoremas del seno y coseno. Se calculan las medidas de figuras geométricas como trapecios, conos, cilindros y triángulos usando estas herramientas métricas. También se resuelven problemas prácticos que involucran distancias y ángulos observados.
Este documento presenta un repaso de conceptos trigonométricos como ángulos verticales, horizontales, elevación, depresión, dirección, rumbo y la rosa náutica. Incluye ejemplos sobre cómo calcular la altura de ovnis usando ángulos de elevación y la distancia entre ellos, y calcular la ubicación de un insecto basado en las distancias y direcciones recorridas. También presenta el método gráfico para calcular razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo.
Este documento presenta 6 problemas de geometría descriptiva. Los problemas involucran encontrar las proyecciones de figuras geométricas como rectas, sólidos y triángulos dados sus orientaciones, pendientes y otras características.
Este documento presenta información sobre ángulos verticales y situaciones combinadas en trigonometría. Incluye 27 problemas de ejercicios sobre ángulos de elevación, depresión y distancias entre objetos observados desde diferentes puntos. Explica conceptos como ángulos de elevación, depresión y cómo calcular distancias y alturas usando trigonometría cuando se observan objetos desde posiciones diferentes.
Este documento presenta información sobre ángulos verticales y situaciones combinadas de ángulos de elevación y depresión. Incluye ejemplos de problemas relacionados con ángulos verticales y sus aplicaciones, así como su resolución. El documento concluye con un conjunto de 29 problemas propuestos sobre ángulos verticales y su resolución.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con la trigonometría. Calcula valores trigonométricos para diferentes ángulos dados y resuelve problemas geométricos utilizando funciones trigonométricas. También incluye una sección de preguntas de selección múltiple relacionadas con conceptos trigonométricos.
Examen ángulos horizontales y verticales 2013César Ríos
Este documento presenta 6 problemas de geometría que involucran ángulos verticales y horizontales. Los problemas incluyen calcular distancias y ángulos dados información sobre la altura de torres u observaciones hechas desde diferentes puntos.
Este documento presenta un taller de nivelación de trigonometría para estudiantes. Contiene 20 preguntas de opción múltiple sobre conceptos básicos de trigonometría como ángulos, conversiones entre grados y radianes, triángulos rectángulos y funciones trigonométricas. También incluye 10 ejercicios prácticos para que los estudiantes apliquen estos conceptos y realicen conversiones, cálculos y representaciones gráficas.
Este documento presenta varios problemas métricos y ejercicios resueltos relacionados con el cálculo de áreas, perímetros, volúmenes, triángulos rectángulos y los teoremas del seno y coseno. Se calculan las medidas de figuras geométricas como trapecios, conos, cilindros y triángulos usando estas herramientas métricas. También se resuelven problemas prácticos que involucran distancias y ángulos observados.
Este documento presenta un repaso de conceptos trigonométricos como ángulos verticales, horizontales, elevación, depresión, dirección, rumbo y la rosa náutica. Incluye ejemplos sobre cómo calcular la altura de ovnis usando ángulos de elevación y la distancia entre ellos, y calcular la ubicación de un insecto basado en las distancias y direcciones recorridas. También presenta el método gráfico para calcular razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo.
Este documento presenta 6 problemas de geometría descriptiva. Los problemas involucran encontrar las proyecciones de figuras geométricas como rectas, sólidos y triángulos dados sus orientaciones, pendientes y otras características.
Este documento presenta información sobre el sistema de medida angular. Explica los diferentes sistemas de medida como grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Luego, proporciona 10 problemas de evaluación sobre conversiones entre estos sistemas de medida y cálculos angulares.
Trabajo de habilitacion matematica grado 10Carmelo Perez
Este documento presenta un cuestionario de 10 preguntas sobre geometría y trigonometría para un examen de habilitación de matemáticas. Las preguntas incluyen construir y resolver triángulos utilizando funciones trigonométricas, teoremas como el teorema del seno y coseno, y la fórmula de Pitágoras. Se instruye al estudiante a graficar y mostrar los pasos de trabajo para cada problema y presentar el examen de forma original un día antes de la fecha límite.
El documento presenta una clase sobre razones trigonométricas. Se define las razones trigonométricas directas y recíprocas en triángulos rectángulos, incluyendo seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Se explican ejemplos de cómo resolver problemas usando estas razones.
El documento presenta una clase sobre razones trigonométricas. Se define las razones trigonométricas directas y recíprocas en triángulos rectángulos, incluyendo seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Se explican ejemplos de cómo calcular ángulos y lados desconocidos usando estas razones. Finalmente, se proponen ejercicios para resolver problemas de triángulos rectángulos aplicando las funciones trigonométricas.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre ángulos de elevación y ángulos de depresión. Explica cómo calcular distancias, alturas y longitudes usando razones trigonométricas como seno, coseno y tangente cuando se conocen los ángulos y una dimensión. Resuelve seis ejercicios prácticos aplicando estas técnicas para encontrar valores aproximados.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la trigonometría. Introduce la medida de ángulos y las diferentes unidades como radianes y grados. Explica las razones trigonométricas como seno, coseno y tangente en términos de triángulos rectángulos. También cubre las razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60° que son comúnmente usados. Finalmente, incluye ejemplos numéricos para calcular razones trigonométricas usando una calculadora.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para reducir ángulos a su forma equivalente en el primer cuadrante. Define la reducción al primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos en términos de ángulos equivalentes en el primer cuadrante. Luego, detalla los casos para ángulos entre 0° y 90°, mayores a 360°, de medida negativa, y relacionados entre sí. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas técnicas.
1) Se define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. 2) Existen dos sentidos de rotación: antihorario y horario, los cuales definen si la medida del ángulo es positiva o negativa, respectivamente. 3) Se describen los diferentes sistemas de medida de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
Este documento presenta el plan de aula para el grado 10 de matemáticas para el año 2020. Incluye los estándares de competencia, niveles de desempeño, competencias específicas, preguntas orientadoras, conocimientos/contenidos, derechos básicos de aprendizaje, aprendizaje por mejorar, descripción de actividades, estructuración y práctica. El tema central es la medición y clasificación de ángulos, conversiones entre sistemas de medición, y operaciones con ángulos.
Geometría i unidad6_tema2_actividadaprendizaje2_rebecaa.hdez.dguez.Kye Mushroom
Este documento presenta dos problemas de geometría que involucran determinar la intersección entre diferentes sólidos. El primer problema determina la intersección entre un cubo y un prisma hexagonal a través de analizar las vistas y proyectar los puntos de intersección. El segundo problema determina la intersección entre un prisma rectangular y una pirámide triangular mediante el análisis de hasta qué punto se ven las caras de cada sólido al penetrarse y la proyección de los puntos de intersección encontrados. Ambos problemas concluyen con el dibujo de la
C:\documents and settings\user1\escritorio\plantrigdiplomadoING. JORGE L. TAMAYO
Este documento presenta información sobre trigonometría en triángulos rectángulos. Explica las seis razones trigonométricas y cómo se calculan a partir de las medidas de los lados del triángulo. Luego, resuelve cinco problemas de aplicación usando las razones trigonométricas para calcular distancias y ángulos desconocidos. Finalmente, ofrece instrucciones para construir un astrolabio primitivo y usarlo para medir alturas.
30148598 5-trigo-sistemas-de-medidas-angularesGrupo ST
Este documento presenta ejercicios sobre conversiones entre los sistemas de medidas angulares: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Los 15 ejercicios piden determinar medidas angulares en diferentes sistemas o realizar cálculos cuando se proporcionan algunos datos angulares.
Este documento presenta 20 problemas de trigonometría que involucran cálculos de ángulos, conversiones entre sistemas de medida de ángulos, y hallar funciones trigonométricas. Los problemas cubren temas como triángulos rectos y oblicuos, conversiones entre grados, radianes y grados sexagesimales, y el uso de funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente.
Este documento presenta 25 problemas de matemáticas y razonamiento matemático para una olimpiada de 5o grado de secundaria. Los problemas incluyen determinar conjuntos de soluciones, calcular valores numéricos, áreas, funciones trigonométricas, simplificar expresiones, resolver problemas de velocidad, tiempo y geometría.
El documento presenta los resultados de una investigación sobre la historia y aplicaciones de la trigonometría. Explica los orígenes de la trigonometría en las culturas babilonia, egipcia y griega antigua, y su desarrollo posterior en figuras como Eratóstenes, Hiparco y Ptolomeo. También describe las contribuciones de las culturas hindú, árabe, renacentista y griega. Además, explica conceptos básicos de trigonometría plana como las funciones trigonométricas y su conservación, e incl
Este documento presenta 12 preguntas de física de diferentes niveles de dificultad. Las preguntas cubren temas como cinemática, dinámica, trabajo y energía mecánica, movimiento armónico simple, ondas mecánicas e hidrostática. Las preguntas incluyen cálculos y determinación de conceptos fundamentales de cada tema.
Este informe describe el uso del software Data Studio para realizar cuatro actividades: 1) representar gráficamente ecuaciones, 2) introducir datos experimentales, 3) crear un experimento con un sensor de movimiento, y 4) abrir y analizar datos guardados previamente. El objetivo es manipular adecuadamente Data Studio para recopilar y analizar datos de procesos físicos.
Este documento contiene 39 ejercicios sobre semejanzas y trigonometría. Los ejercicios involucran cálculos geométricos usando propiedades de figuras semejantes como triángulos, rectángulos y otras formas. También incluye conversiones entre grados y radianes. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de problemas matemáticos relacionados con las semejanzas y la trigonometría.
Este documento explica los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión en la trigonometría y proporciona ejemplos de cómo aplicarlos para resolver problemas cotidianos. Se define un ángulo de elevación como el formado por la línea visual y la línea horizontal, y un ángulo de depresión de manera similar. A continuación, se resuelven dos problemas como ejemplos: calcular la distancia a una torre desde la que se mide un ángulo de elevación de 58°, y calcular la altura de un edificio a partir de á
Este documento trata sobre trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo y las funciones trigonométricas de ángulos. Además, describe los tres sistemas para medir ángulos - sexagesimal, centesimal y radial - y cómo convertir entre ellos. Finalmente, ofrece recomendaciones para resolver problemas de trigonometría.
Este documento presenta un taller sobre geometría y trigonometría que incluye ejercicios para aplicar las leyes de senos y cosenos en la resolución de problemas relacionados con triángulos. El taller abarca conceptos básicos, ejercitación de procedimientos, resolución de problemas y profundización de temas como topografía, ingeniería y aviación.
1) Los estudiantes de una escuela preparan un festival de danza donde una sección forma una torre humana. Pedro mide 1.50 m y está a 640 cm de la torre observando a un compañero en la cima con un ángulo de 37°.
2) Se explican las razones trigonométricas y sus definiciones para triángulos rectángulos.
3) Se presentan varios problemas para aplicar las razones trigonométricas en situaciones como torres, sombras, embarcaciones, etc.
Este documento presenta información sobre el sistema de medida angular. Explica los diferentes sistemas de medida como grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Luego, proporciona 10 problemas de evaluación sobre conversiones entre estos sistemas de medida y cálculos angulares.
Trabajo de habilitacion matematica grado 10Carmelo Perez
Este documento presenta un cuestionario de 10 preguntas sobre geometría y trigonometría para un examen de habilitación de matemáticas. Las preguntas incluyen construir y resolver triángulos utilizando funciones trigonométricas, teoremas como el teorema del seno y coseno, y la fórmula de Pitágoras. Se instruye al estudiante a graficar y mostrar los pasos de trabajo para cada problema y presentar el examen de forma original un día antes de la fecha límite.
El documento presenta una clase sobre razones trigonométricas. Se define las razones trigonométricas directas y recíprocas en triángulos rectángulos, incluyendo seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Se explican ejemplos de cómo resolver problemas usando estas razones.
El documento presenta una clase sobre razones trigonométricas. Se define las razones trigonométricas directas y recíprocas en triángulos rectángulos, incluyendo seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Se explican ejemplos de cómo calcular ángulos y lados desconocidos usando estas razones. Finalmente, se proponen ejercicios para resolver problemas de triángulos rectángulos aplicando las funciones trigonométricas.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre ángulos de elevación y ángulos de depresión. Explica cómo calcular distancias, alturas y longitudes usando razones trigonométricas como seno, coseno y tangente cuando se conocen los ángulos y una dimensión. Resuelve seis ejercicios prácticos aplicando estas técnicas para encontrar valores aproximados.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la trigonometría. Introduce la medida de ángulos y las diferentes unidades como radianes y grados. Explica las razones trigonométricas como seno, coseno y tangente en términos de triángulos rectángulos. También cubre las razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60° que son comúnmente usados. Finalmente, incluye ejemplos numéricos para calcular razones trigonométricas usando una calculadora.
Este documento presenta los conceptos y procedimientos para reducir ángulos a su forma equivalente en el primer cuadrante. Define la reducción al primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos en términos de ángulos equivalentes en el primer cuadrante. Luego, detalla los casos para ángulos entre 0° y 90°, mayores a 360°, de medida negativa, y relacionados entre sí. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas técnicas.
1) Se define el ángulo trigonométrico como el ángulo generado por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen. 2) Existen dos sentidos de rotación: antihorario y horario, los cuales definen si la medida del ángulo es positiva o negativa, respectivamente. 3) Se describen los diferentes sistemas de medida de ángulos: sexagesimal, centesimal y radial.
Este documento presenta el plan de aula para el grado 10 de matemáticas para el año 2020. Incluye los estándares de competencia, niveles de desempeño, competencias específicas, preguntas orientadoras, conocimientos/contenidos, derechos básicos de aprendizaje, aprendizaje por mejorar, descripción de actividades, estructuración y práctica. El tema central es la medición y clasificación de ángulos, conversiones entre sistemas de medición, y operaciones con ángulos.
Geometría i unidad6_tema2_actividadaprendizaje2_rebecaa.hdez.dguez.Kye Mushroom
Este documento presenta dos problemas de geometría que involucran determinar la intersección entre diferentes sólidos. El primer problema determina la intersección entre un cubo y un prisma hexagonal a través de analizar las vistas y proyectar los puntos de intersección. El segundo problema determina la intersección entre un prisma rectangular y una pirámide triangular mediante el análisis de hasta qué punto se ven las caras de cada sólido al penetrarse y la proyección de los puntos de intersección encontrados. Ambos problemas concluyen con el dibujo de la
C:\documents and settings\user1\escritorio\plantrigdiplomadoING. JORGE L. TAMAYO
Este documento presenta información sobre trigonometría en triángulos rectángulos. Explica las seis razones trigonométricas y cómo se calculan a partir de las medidas de los lados del triángulo. Luego, resuelve cinco problemas de aplicación usando las razones trigonométricas para calcular distancias y ángulos desconocidos. Finalmente, ofrece instrucciones para construir un astrolabio primitivo y usarlo para medir alturas.
30148598 5-trigo-sistemas-de-medidas-angularesGrupo ST
Este documento presenta ejercicios sobre conversiones entre los sistemas de medidas angulares: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes. Los 15 ejercicios piden determinar medidas angulares en diferentes sistemas o realizar cálculos cuando se proporcionan algunos datos angulares.
Este documento presenta 20 problemas de trigonometría que involucran cálculos de ángulos, conversiones entre sistemas de medida de ángulos, y hallar funciones trigonométricas. Los problemas cubren temas como triángulos rectos y oblicuos, conversiones entre grados, radianes y grados sexagesimales, y el uso de funciones trigonométricas como seno, coseno y tangente.
Este documento presenta 25 problemas de matemáticas y razonamiento matemático para una olimpiada de 5o grado de secundaria. Los problemas incluyen determinar conjuntos de soluciones, calcular valores numéricos, áreas, funciones trigonométricas, simplificar expresiones, resolver problemas de velocidad, tiempo y geometría.
El documento presenta los resultados de una investigación sobre la historia y aplicaciones de la trigonometría. Explica los orígenes de la trigonometría en las culturas babilonia, egipcia y griega antigua, y su desarrollo posterior en figuras como Eratóstenes, Hiparco y Ptolomeo. También describe las contribuciones de las culturas hindú, árabe, renacentista y griega. Además, explica conceptos básicos de trigonometría plana como las funciones trigonométricas y su conservación, e incl
Este documento presenta 12 preguntas de física de diferentes niveles de dificultad. Las preguntas cubren temas como cinemática, dinámica, trabajo y energía mecánica, movimiento armónico simple, ondas mecánicas e hidrostática. Las preguntas incluyen cálculos y determinación de conceptos fundamentales de cada tema.
Este informe describe el uso del software Data Studio para realizar cuatro actividades: 1) representar gráficamente ecuaciones, 2) introducir datos experimentales, 3) crear un experimento con un sensor de movimiento, y 4) abrir y analizar datos guardados previamente. El objetivo es manipular adecuadamente Data Studio para recopilar y analizar datos de procesos físicos.
Este documento contiene 39 ejercicios sobre semejanzas y trigonometría. Los ejercicios involucran cálculos geométricos usando propiedades de figuras semejantes como triángulos, rectángulos y otras formas. También incluye conversiones entre grados y radianes. El objetivo es que los estudiantes practiquen la resolución de problemas matemáticos relacionados con las semejanzas y la trigonometría.
Este documento explica los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión en la trigonometría y proporciona ejemplos de cómo aplicarlos para resolver problemas cotidianos. Se define un ángulo de elevación como el formado por la línea visual y la línea horizontal, y un ángulo de depresión de manera similar. A continuación, se resuelven dos problemas como ejemplos: calcular la distancia a una torre desde la que se mide un ángulo de elevación de 58°, y calcular la altura de un edificio a partir de á
Este documento trata sobre trigonometría. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo y las funciones trigonométricas de ángulos. Además, describe los tres sistemas para medir ángulos - sexagesimal, centesimal y radial - y cómo convertir entre ellos. Finalmente, ofrece recomendaciones para resolver problemas de trigonometría.
Este documento presenta un taller sobre geometría y trigonometría que incluye ejercicios para aplicar las leyes de senos y cosenos en la resolución de problemas relacionados con triángulos. El taller abarca conceptos básicos, ejercitación de procedimientos, resolución de problemas y profundización de temas como topografía, ingeniería y aviación.
1) Los estudiantes de una escuela preparan un festival de danza donde una sección forma una torre humana. Pedro mide 1.50 m y está a 640 cm de la torre observando a un compañero en la cima con un ángulo de 37°.
2) Se explican las razones trigonométricas y sus definiciones para triángulos rectángulos.
3) Se presentan varios problemas para aplicar las razones trigonométricas en situaciones como torres, sombras, embarcaciones, etc.
1) Los estudiantes de una escuela preparan un festival de danza donde una sección forma una torre humana. Pedro mide 1.50 m y está a 640 cm de la torre observando a un compañero en la cima con un ángulo de 37°.
2) Se explican las razones trigonométricas y sus definiciones para triángulos rectángulos.
3) Se presentan varios problemas para aplicar las razones trigonométricas en situaciones como torres, sombras, ángulos de elevación, y distancias.
Este documento contiene una relación de 43 ejercicios de trigonometría con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y ángulos para triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros, así como también para figuras como trapecios, rombos y mapas a escala. Los problemas abarcan temas como hallar lados, ángulos, alturas y distancias usando las funciones trigonométricas y propiedades de los triángulos.
Este documento contiene una relación de 43 ejercicios de trigonometría con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y ángulos para triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros, así como también para figuras como trapecios, rombos y mapas a escala. Los problemas abarcan temas como hallar lados, ángulos, alturas y distancias usando las funciones trigonométricas y propiedades de los triángulos.
Este documento presenta 12 problemas de trigonometría que involucran el cálculo de ángulos y lados de triángulos rectángulos y no rectángulos, así como operaciones con funciones trigonométricas. También incluye instrucciones para determinar el signo y cuadrante de ángulos usando el círculo trigonométrico.
El documento habla sobre las figuras geométricas encontradas en las paredes del complejo arquitectónico de Velarde en Chan Chan. Cuatro de las figuras fueron retiradas para mantenimiento y se anotó su posición original como "de derecha a izquierda: traslación-rotación-traslación-rotación". El texto también explica brevemente las transformaciones geométricas de traslación, rotación y reflexión.
Este taller de geometría y trigonometría presenta conceptos básicos como ángulos, rectas y planos. Incluye ejercicios conceptuales y de procedimiento sobre estos temas para aplicarlos en ingeniería, administración y la vida diaria. El taller concluye con problemas que profundizan el uso de ángulos y coordenadas en sistemas de posicionamiento global.
Este documento presenta la unidad 5 de trigonometría de un curso de matemáticas. Introduce los conceptos básicos de ángulos y razones trigonométricas, y explica cómo calcular los lados de triángulos rectángulos usando las funciones trigonométricas. Incluye ejercicios para practicar la conversión entre grados sexagesimales, centesimales y radianes, y la solución de problemas geométricos usando razones trigonométricas.
Este documento contiene preguntas sobre conceptos básicos de física como modelos, cambios de estado de la materia, temperatura y calor. También incluye ejercicios matemáticos sobre áreas de figuras geométricas, ángulos y límites.
Este documento presenta información sobre teoremas y conceptos relacionados con triángulos rectángulos y oblicuángulos. Explica las leyes de senos, cosenos y tangentes para resolver triángulos oblicuángulos y presenta ejemplos de su aplicación. También cubre ángulos de elevación, depresión y proporcionalidad, e incluye ejercicios resueltos sobre triángulos rectángulos.
Este documento presenta varios problemas de trigonometría que involucran conversiones entre grados y radianes, cálculos de ángulos y arcos en círculos, resolución de triángulos, y aplicaciones como determinar alturas, distancias y ángulos utilizando medidas de ángulos de elevación y depresión. Los problemas cubren temas como funciones trigonométricas, triángulos rectángulos, triángulos cualesquiera, círculos y aplicaciones trigonométricas a situaciones geométricas y de la vida real.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas de trigonometría, incluyendo comprobar identidades trigonométricas, simplificar fracciones, calcular razones trigonométricas, resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas, calcular ángulos y lados de triángulos, radios de círculos circunscritos y circunferencias, y aplicaciones como calcular ángulos de elevación, distancias y alturas usando trigonometría. El documento contiene más de 25 ejercicios y problemas de
Este documento presenta 20 ejercicios de geometría y trigonometría para estudiantes de décimo grado. Los ejercicios involucran el cálculo de razones trigonométricas, la resolución de triángulos rectángulos, y la solución de problemas que implican ángulos de elevación y depresión. Los estudiantes deben graficar cada situación problema y resolverlos usando razones trigonométricas cuando sea posible.
Este documento presenta un plan de recuperación de matemáticas para grado décimo que incluye 34 actividades como ubicar ángulos en posición estándar y normal, calcular funciones trigonométricas, resolver problemas usando triángulos rectángulos, aplicar leyes del seno y coseno, encontrar ecuaciones de rectas y circunferencias, y verificar identidades trigonométricas.
Este documento presenta una guía de trabajo práctico sobre trigonometría para estudiantes de ingeniería. Incluye ejercicios para calcular valores trigonométricos usando una calculadora o fórmulas matemáticas. También contiene problemas y actividades de investigación relacionados con ángulos y triángulos. La guía es coordinada por la Ingeniera Diana Analia Dure.
El documento trata sobre conceptos básicos de geometría como regiones poligonales, unidades de área, fórmulas para calcular el área de figuras planas como rectángulos, triángulos, cuadrados y más. Explica teoremas como el de adición de áreas, el área del rectángulo es base por altura, el área del triángulo es semisuma de base por altura, y resuelve ejercicios prácticos aplicando dichas fórmulas y conceptos.
Este documento presenta una colección de problemas propuestos relacionados con el análisis vectorial y la teoría de campos electromagnéticos. Está dividido en capítulos que cubren temas como fuerza eléctrica, campo eléctrico y potencial eléctrico. El documento contiene 28 problemas de muestra sobre operaciones con vectores, transformación de coordenadas y aplicaciones a problemas físicos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y profundicen su comprensión de estos importantes conceptos.
El documento trata sobre trigonometría y contiene ejercicios para calcular valores trigonométricos de ángulos dados utilizando relaciones trigonométricas básicas, así como problemas para determinar longitudes desconocidas mediante el uso de funciones trigonométricas.
Este documento contiene información sobre geometría, trigonometría y geometría analítica. Se divide en secciones sobre geometría, trigonometría del triángulo rectángulo, ley de senos y cosenos, identidades y ecuaciones trigonométricas, y fórmulas trigonométricas. Incluye ejercicios de práctica con sus soluciones para cada tema.
Este documento presenta un método generalizado para calcular potencias de integrales mediante la regla de la potencia. Explica cómo construir el método y proporciona un ejemplo para ilustrar su aplicación.
El documento resume diferentes métodos para calcular el área bajo una curva, el área entre curvas, y el volumen generado al girar curvas alrededor de los ejes X e Y utilizando discos o aros. Explica cómo calcular estas cantidades utilizando las funciones superior, inferior, derecha e izquierda, y la diferencia entre ellas. También cubre el cálculo del volumen utilizando arandelas.
Este documento presenta información sobre un taller de cálculo integral impartido por Yolvi Adriana Córdoba Buitrago en el Departamento de Ciencias Básicas de las Unidades Tecnológicas de Santander.
Este documento trata sobre conceptos básicos de cálculo como el concepto de integral, notación de antiderivadas, teoremas para encontrar y determinar antiderivadas y ejercicios de práctica.
Este documento presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la regla de Cramer para sistemas de tamaño nxn, y proporciona ejercicios de práctica de un libro de texto junto con instrucciones para que se resuelvan a mano y se verifiquen usando tecnología.
Este documento describe los conceptos fundamentales de los determinantes de matrices, incluyendo su definición, propiedades clave y cómo calcularlos. Explica que los determinantes proporcionan información sobre la singularidad de una matriz y su relación con la solución de sistemas de ecuaciones lineales. También cubre los conceptos de menores, cofactores y desarrollo de determinantes por filas o columnas.
El documento presenta información sobre un taller de cálculo integral dictado por la profesora Yolvi Adriana Córdoba Buitrago en el Departamento de Ciencias Básicas de las Unidades Tecnológicas de Santander. El taller cubrirá el teorema fundamental del cálculo.
Este documento trata sobre el cálculo integral. Explica la definición de la integral definida como la suma de Riemann, y sus propiedades como la linealidad y comparación. También cubre la interpretación geométrica de la integral como la diferencia de áreas bajo la curva, y casos especiales como funciones simétricas donde la integral puede ser 0.
1. El documento presenta fórmulas para calcular derivadas de funciones definidas de manera simple y compuesta.
2. Se proporcionan ejemplos de cálculo de derivadas de funciones compuestas por sumas, restas, potencias, productos, cocientes, funciones trigonométricas y logarítmicas.
3. Los ejercicios guían al lector en aplicar los teoremas de derivación a diversos tipos de funciones.
Este documento trata sobre la derivada de una función y sus aplicaciones. Presenta la definición de derivada como el límite de la pendiente de una curva y explica cómo se puede usar la derivada para determinar puntos críticos, extremos y puntos de inflexión de una función. También incluye reglas para derivar funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas.
El documento describe cómo aproximar el área mediante sumas infinitas de rectángulos. Explica que cuanto más pequeños sean los rectángulos, más aproximado estará el cálculo del área total. También menciona generalizar el proceso y realizar una actividad para entregar.
Este documento presenta información sobre álgebra lineal impartida por la profesora Yolvi Adriana Cordoba Buitrago. Incluye ejercicios de álgebra matricial como encontrar submatrices, multiplicar matrices, operaciones matriciales y resolver ecuaciones matriciales, además de ejemplos y aplicaciones de las matrices.
Este documento presenta una guía de estudio sobre matrices para una asignatura de álgebra superior. Incluye tres actividades de aprendizaje con ejercicios para practicar operaciones matriciales, sistemas de ecuaciones y problemas aplicados a situaciones reales. El objetivo es que los estudiantes adquieran competencias en el modelado de problemas mediante el uso de matrices.
Cultivar el deseo interno de aprender y descubrir fomenta una motivación intrínseca que conduce a un aprendizaje más motivante y divertido. La motivación intrínseca proviene del interés y disfrute de la actividad en sí misma en lugar de recompensas externas.
Este documento proporciona instrucciones para un proyecto final sobre el uso de tecnología para optimizar los procedimientos del álgebra lineal. Los estudiantes deben crear un tutorial o sitio web interactivo explicando cómo usar software matemático u otras herramientas tecnológicas para trabajar cuatro temas del álgebra lineal. El proyecto debe entregarse antes del 10 de noviembre y será calificado según siete criterios como la explicación teórica y práctica del uso de la tecnología para optimizar los procedimientos
La razón de cambio promedio mide el cambio en la posición durante un intervalo de tiempo, mientras que la razón de cambio instantánea mide el cambio en la posición en un instante de tiempo. La derivada representa la razón de cambio instantánea y puede usarse para calcular la velocidad instantánea.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre álgebra lineal que abordan conceptos como espacios vectoriales, subespacios, combinaciones lineales, generadores e independencia lineal. Los ejercicios piden determinar si ciertos conjuntos son espacios vectoriales o subespacios, identificar si vectores pertenecen a generadores dados, y determinar si conjuntos de vectores son linealmente dependientes o independientes.
1) El documento presenta 8 ejercicios para hallar la ecuación de planos que cumplen ciertas condiciones como contener puntos específicos o ser paralelos/perpendiculares a otros planos u objetos geométricos. 2) También presenta 6 ejercicios para hallar las ecuaciones de rectas que cumplen condiciones como contener puntos, ser paralelas o perpendiculares a otros planos u objetos. 3) El objetivo es practicar el concepto de planos y rectas en geometría analítica.
1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
PRIMER SEMESTRE DE 2012
TALLER No. 5
Elaborado por:
Msc.Yoana Acevedo Rico
Msc. Meredy Siza Moreno
OBJETIVO: Plantear y resolver situaciones problémicas que permitan la aplicación y la interconexión
de la Trigonometría en la vida diaria y las ingenierías.
EJES TEMÁTICOS:
Razones trigonométricas de ángulos.
Funciones trigonométricas de números reales.
Transformaciones de funciones trigonométricas
Aplicaciones
BIBLIOGRAFÍA*:
DALEY, J. Y SARELL, G. Trigonometría, Editorial Mc Graw Hill, 2004.
IBAÑEZ, P Y GARCÍA, G. Geometría y Trigonometría, Editorial Thomson, 2006.
SWOKOWSKY, E. Y COLE, J. Algebra y trigonometría con geometría analítica, Editorial
Thomson, undécima edición, 2005.
(*) Sirven como textos guía y han sido tomados algunos ejercicios en el diseño del taller.
I. CONCEPTUALIZACIÓN
1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique.
a. (____) 푡푎푛 315° = −1, si la posición del lado terminal del ángulo es (2, −2).
b. (____) Si la posición del lado terminal del ángulo 휃 es (4,3), entonces 푠푒푛휃 =
3
5
y 푐표푠휃 = −
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5
.
c. (____) 푠푒푐 210° = −2, si la posición del lado terminal del ángulo es (−√3, −1).
d. (____) Si 푡푎푛휃 = −1 entonces la posición del lado terminal del ángulo 휃 es (−1,1) o (1, −1).
e. (____) Si 0 ≤ 휃 ≤ 90° entonces 푠푒푛휃 푦 푐표푠휃 son positivos, pero no lo es 푡푎푛휃.
2. Coloque en la columna de la derecha dónde deben estar localizados el lado terminal del
ángulo 휃 para que se cumpla lo enunciado en la columna izquierda.
a. 푐푠푐휃 푠푒푎 푝표푠푖푡푖푣푎 표 푡푎푛휃 푠푒푎 푛푒푔푎푡푖푣푎.
b. 푡푎푛휃 푦 푐표푠휃 푠푒푎푛 푝표푠푖푡푖푣표푠.
c. 푠푒푐휃 푠푒푎 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푠푒푛휃 푠푒푎 푝표푠푖푡푖푣표.
d. 푐표푡휃 푠푒푎 푝표푠푖푡푖푣푎 푦 푠푒푛휃 푠푒푎 푛푒푔푎푡푖푣표.
e. 푐표푠휃 표 푐푠푐휃 푠푒푎푛 푛푒푔푎푡푖푣표푠.
(___) II, III y IV cuadrante.
(___) III cuadrante.
(___) II cuadrante.
(___) I, II y III cuadrante.
(___) I cuadrante.
3. Complete las siguientes afirmaciones
a. 푠푒푛휃 푒푠 푝표푠푖푡푖푣표 푦 tan 휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
PRIMER SEMESTRE DE 2012
TALLER No. 5
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Msc. Meredy Siza Moreno
b. 푐표푡휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푠푒푛휃 푒푠 푝표푠푖푡푖푣표 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
c. 푐푠푐휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푐표푡휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
d. 푠푒푐휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푐푠푐휃 푒푠 푝표푠푖푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
e. 푡푎푛휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푐푠푐휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
4. Seleccione de la caja los valores de las razones trigonométricas. Debe realizar los
procedimientos sin calculadora. Cada valor puede ser tomado hasta dos veces.
a. 푠푒푛 120° = _____
b. cot
3휋
2
= _____
c. cos 210° = _____
d. 푠푒푛 −
5휋
4
= _____
e. tan −180° = _____
f. cot
7휋
6
= _____
g. sec −300° = _____
h. cos
7휋
4
= _____
i. csc 225° = _____
j. tan
11휋
4
= _____
−1 √2
2
√3 √3
II. EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS
1. Calcule los valores de las funciones trigonométricas faltantes de 휃.
a. 푐표푠휃 =
3
5
y 푡푎푛휃 = −
4
3
b. 푐푠푐휃 = −
25
7
y 푡푎푛휃 = −
7
24
c. 푡푎푛휃 = −
5
12
, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼푉
d. 푠푒푛휃 = − √8
3
, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼퐼퐼
e. 푐푠푐휃 = 5, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼퐼
f. 푠푒푐휃 = −3, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼퐼
g. cos 휃 =
1
2
, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼푉
h. 푠푒푛휃 = −
5
13
푦 푐표푡휃 = −
12
5
2. Dados los siguientes valores en el triángulo rectángulo, encuentre los lados y los ángulos
faltantes y calcule los valores para las seis razones trigonométricas del ángulo más pequeño.
a. ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 = 10; 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푐푒푛푡푒 = 7
b. 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 = 8; á푛푔푢푙표 = 28°
2
− √3
2
0 2 −√2 푖푛푐표푛푠푖푡푒푛푡푒
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c. ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 = 13; á푛푔푢푙표 = 65°
d. 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 = 7; 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푐푒푛푡푒 = 6
e. 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 = 9; ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 = 4
3. Realice la grafica de cada una de las seis funciones trigonométricas y determine
a. Dominio
b. Recorrido
c. Cortes con el eje x
d. Corte con el eje y
e. Periodo
f. Amplitud
g. Asíntotas verticales (si las hay)
h. Simetría con respecto al eje Y o al origen
4. Dibuje un periodo de cada una de las siguientes funciones trigonométricas y determine
dominio, recorrido, periodo, cortes con el eje x, asíntotas verticales (si las hay).
a. 푦 = tan (2푥 +
1
3
휋)
b. 푦 =
1
2
푠푒푛 (3푥 −
1
2
휋)
c. 푦 = 2cos (푥 −
1
3
휋)
1
2
d. 푦 = 2sec (
푥 −
1
12
휋)
e. 푦 = −
1
2
cos (2푥 −
1
4
휋)
III. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. Si los dos brazos de un compás forman un ángulo de 50° y cada brazo tiene 12 푐푚 de
longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.
2. Si se traza una circunferencia de 8 푐푚 de radio cuando los brazos de un compás forman un
ángulo de 60º ¿Cabrá este compás en una caja rectangular de 8 푐푚 de diagonal?
3. Un hombre conduce 300 푚 por una carretera con una pendiente de 14°. ¿A qué altura se
encuentra respecto del punto de partida?
4. Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio. De la base de la escalera al
edificio hay 12 푚. La escalera forma con el suelo un ángulo de 70°. ¿Cuál es la longitud de
la escalera y la altura del suelo a la parte superior de la escalera?
5. Un árbol proyecta una sombra de 18 푚 sobre el plano horizontal en que está situado cuando
los rayos del sol inciden con un ángulo de 20°. ¿Cuál es la altura del árbol?
6. ¿Cuál es el área de un octágono regular de lado 10 푐푚?
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7. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 푚, con un ángulo de elevación de 55°.
Suponiendo que el hilo está tirante, a qué altura está la cometa?
8. En una circunferencia de 6 푚 de radio se unen dos de sus puntos con una cuerda de 4 푚.
¿Cuál es el ángulo central de la cuerda?
9. Para calcular la altura de un poste de luz situado sobre un plano horizontal, una persona
toma una primera medición alejado a cierta distancia del poste, posteriormente se acerca al
poste 2m y toma otra medición. Los ángulos arrojados son respectivamente 23° y 35°.
¿Cuál es la altura del poste calculada?
10. En la cima de un edificio se encuentra una antena telefónica que mide 8m, para calcular la
altura del edificio se toman dos ángulos de elevación desde el suelo, uno hasta la parte más
alta de la antena y otro hasta la base de la antena, arrojando respectivamente 45° y 40°.
¿Cuál es la altura del edificio?
11. Un pozo de 2 푚 de ancho tiene un ángulo de depresión al borde opuesto del fondo de 30º.
¿Cuál es la profundidad del pozo?
12. Una mujer se encuentra en un acantilado situado a 32 푚 sobre el nivel del mar, divisa una
embarcación con un ángulo de depresión de 30° ¿A qué distancia se encuentra la mujer de
la embarcación?
13. Dos edificios se encuentran separados por una distancia de 20푚. se registran desde la
parte superior del edificio de menor altura un ángulo de elevación a la parte superior del otro
edificio y un ángulo de depresión a la base del mismo de 20° y 45° respectivamente. ¿Cuál
es la altura de los dos edificios?
14. Si observamos la tierra desde un corte transversal y sabemos que el radio terrestre es
6370푘푚. ¿Cuál es la longitud del paralelo donde se encuentra la ciudad de México y a qué
distancia se encuentra del paralelo del Ecuador? (nota: el paralelo donde se encuentra es
19°30´norte del Ecuador)
15. Un topógrafo, apostado en lo alto de un risco de 1650 푝푖푒푠, observó dos corrientes de agua.
Mientras miraba directamente hacia el 퐸푠푡푒, midió los ángulos de depresión
correspondientes. El ángulo de la corriente más cercana fue de 35.6° y el de la corriente
más distante fue 26.7°. ¿A qué distancia se encuentran las corrientes una de la otra?
16. Desde un globo que vuela 3000 푝푖푒푠 de altura sobre el océano se miden los ángulos de
depresión de las visuales a cada extremo de una isla que se encuentra directamente en
frente del globo. Los ángulos son 75.8° y 15.6°. ¿Cuál es la longitud de la isla?
IV. PROFUNDIZACIÓN
1. Acústica
El sonido se produce por la vibración de un objeto que a su vez provoca el movimiento de
vibración de las moléculas de aire. Este movimiento se transmite en el aire a 20°퐶 y 1 푎푡푚
de presión con una velocidad de 343
푚
푠푒푔
. El sonido puede ser descrito mediante la
ecuación 푦 = 푎푠푒푛(2휋 푓 푡), donde 푓 es la frecuencia en 퐻푧, 푡 es el tiempo en 푠푒푔 y 푎 es la
amplitud. En el caso de la nota musical sol, ésta tiene una frecuencia de 393 퐻푧. Si este
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sonido se produce con un diapasón que tiene una amplitud de 0.005 푐푚, ¿cuál es la
ecuación que describe a esta nota? Dibuje su gráfica para dos periodos.
2. Topografía
En los planos de un terreno se utilizan curvas de nivel, las cuales marcan alturas sobre el
nivel del mar o respecto a una altura establecida de los diferentes puntos de una superficie.
Lo anterior se ilustra en la figura que además incluye un corte lateral que muestra a los
diferentes niveles de una montaña. Calcule la altura y la distancia desde la base al centro de
la montaña y las distancias inclinadas en cada caso de dicha montaña.
100 300
0 200 400
3. Física
Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador
armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella
describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha
posición estable.
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El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición
de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio
(distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se
suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A
medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la
energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando
la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en
movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la
masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del
resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección
opuesta completando una oscilación.
Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación
seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la
energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte
no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos
lentamente con el paso del tiempo. Tal es el caso de los amortiguadores de cierto automóvil,
determinados por la función 푦 =
2
푡
푠푒푛 휋푡, en la oscilación amortiguada la amplitud de la
oscilación disminuye con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye.
Estas pérdidas de energía son debidas al trabajo de la fuerza de rozamiento viscoso
opuesta a la velocidad. La energía perdida por la partícula que experimenta una oscilación
amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Para el ejemplo, considérese 푡 es el
tiempo medido en un intervalo entre 0 y 6 푠푒푔 y 휋 medido en 푐푚. Dibuje la grafica que
representa la función.