Taller 5 geotrigo

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
PRIMER SEMESTRE DE 2012
TALLER No. 5
Elaborado por:
Msc.Yoana Acevedo Rico
Msc. Meredy Siza Moreno
OBJETIVO: Plantear y resolver situaciones problémicas que permitan la aplicación y la interconexión
de la Trigonometría en la vida diaria y las ingenierías.
EJES TEMÁTICOS:
 Razones trigonométricas de ángulos.
 Funciones trigonométricas de números reales.
 Transformaciones de funciones trigonométricas
 Aplicaciones
BIBLIOGRAFÍA*:
 DALEY, J. Y SARELL, G. Trigonometría, Editorial Mc Graw Hill, 2004.
 IBAÑEZ, P Y GARCÍA, G. Geometría y Trigonometría, Editorial Thomson, 2006.
 SWOKOWSKY, E. Y COLE, J. Algebra y trigonometría con geometría analítica, Editorial
Thomson, undécima edición, 2005.
(*) Sirven como textos guía y han sido tomados algunos ejercicios en el diseño del taller.
I. CONCEPTUALIZACIÓN
1. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique.
a. (____) 푡푎푛 315° = −1, si la posición del lado terminal del ángulo es (2, −2).
b. (____) Si la posición del lado terminal del ángulo 휃 es (4,3), entonces 푠푒푛휃 =
3
5
y 푐표푠휃 = −
4
5
.
c. (____) 푠푒푐 210° = −2, si la posición del lado terminal del ángulo es (−√3, −1).
d. (____) Si 푡푎푛휃 = −1 entonces la posición del lado terminal del ángulo 휃 es (−1,1) o (1, −1).
e. (____) Si 0 ≤ 휃 ≤ 90° entonces 푠푒푛휃 푦 푐표푠휃 son positivos, pero no lo es 푡푎푛휃.
2. Coloque en la columna de la derecha dónde deben estar localizados el lado terminal del
ángulo 휃 para que se cumpla lo enunciado en la columna izquierda.
a. 푐푠푐휃 푠푒푎 푝표푠푖푡푖푣푎 표 푡푎푛휃 푠푒푎 푛푒푔푎푡푖푣푎.
b. 푡푎푛휃 푦 푐표푠휃 푠푒푎푛 푝표푠푖푡푖푣표푠.
c. 푠푒푐휃 푠푒푎 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푠푒푛휃 푠푒푎 푝표푠푖푡푖푣표.
d. 푐표푡휃 푠푒푎 푝표푠푖푡푖푣푎 푦 푠푒푛휃 푠푒푎 푛푒푔푎푡푖푣표.
e. 푐표푠휃 표 푐푠푐휃 푠푒푎푛 푛푒푔푎푡푖푣표푠.
(___) II, III y IV cuadrante.
(___) III cuadrante.
(___) II cuadrante.
(___) I, II y III cuadrante.
(___) I cuadrante.
3. Complete las siguientes afirmaciones
a. 푠푒푛휃 푒푠 푝표푠푖푡푖푣표 푦 tan 휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.

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Elaborado por:
b. 푐표푡휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푠푒푛휃 푒푠 푝표푠푖푡푖푣표 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
c. 푐푠푐휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푐표푡휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
d. 푠푒푐휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푐푠푐휃 푒푠 푝표푠푖푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
e. 푡푎푛휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 푦 푐푠푐휃 푒푠 푛푒푔푎푡푖푣푎 para ____ ≤ 휃 ≤ ____.
4. Seleccione de la caja los valores de las razones trigonométricas. Debe realizar los
procedimientos sin calculadora. Cada valor puede ser tomado hasta dos veces.
a. 푠푒푛 120° = _____
b. cot
3휋
2
= _____
c. cos 210° = _____
d. 푠푒푛 −
5휋
4
= _____
e. tan −180° = _____
f. cot
7휋
6
= _____
g. sec −300° = _____
h. cos
7휋
4
= _____
i. csc 225° = _____
j. tan
11휋
4
= _____
−1 √2
2
√3 √3
II. EJERCITACIÓN DE PROCEDIMIENTOS
1. Calcule los valores de las funciones trigonométricas faltantes de 휃.
a. 푐표푠휃 =
3
5
y 푡푎푛휃 = −
4
3
b. 푐푠푐휃 = −
25
7
y 푡푎푛휃 = −
7
24
c. 푡푎푛휃 = −
5
12
, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼푉
d. 푠푒푛휃 = − √8
3
, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼퐼퐼
e. 푐푠푐휃 = 5, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼퐼
f. 푠푒푐휃 = −3, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼퐼
g. cos 휃 =
1
2
, 휃 푒푛 푒푙 푐푢푎푑푟푎푛푡푒 퐼푉
h. 푠푒푛휃 = −
5
13
푦 푐표푡휃 = −
12
5
2. Dados los siguientes valores en el triángulo rectángulo, encuentre los lados y los ángulos
faltantes y calcule los valores para las seis razones trigonométricas del ángulo más pequeño.
a. ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 = 10; 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푐푒푛푡푒 = 7
b. 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 = 8; á푛푔푢푙표 = 28°
2
− √3
2
0 2 −√2 푖푛푐표푛푠푖푡푒푛푡푒

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Elaborado por:
c. ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 = 13; á푛푔푢푙표 = 65°
d. 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 = 7; 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푐푒푛푡푒 = 6
e. 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 = 9; ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 = 4
3. Realice la grafica de cada una de las seis funciones trigonométricas y determine
a. Dominio
b. Recorrido
c. Cortes con el eje x
d. Corte con el eje y
e. Periodo
f. Amplitud
g. Asíntotas verticales (si las hay)
h. Simetría con respecto al eje Y o al origen
4. Dibuje un periodo de cada una de las siguientes funciones trigonométricas y determine
dominio, recorrido, periodo, cortes con el eje x, asíntotas verticales (si las hay).
a. 푦 = tan (2푥 +
1
3
휋)
b. 푦 =
1
2
푠푒푛 (3푥 −
1
2
휋)
c. 푦 = 2cos (푥 −
1
3
휋)
1
2
d. 푦 = 2sec (
푥 −
1
12
휋)
e. 푦 = −
1
2
cos (2푥 −
1
4
휋)
III. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. Si los dos brazos de un compás forman un ángulo de 50° y cada brazo tiene 12 푐푚 de
longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.
2. Si se traza una circunferencia de 8 푐푚 de radio cuando los brazos de un compás forman un
ángulo de 60º ¿Cabrá este compás en una caja rectangular de 8 푐푚 de diagonal?
3. Un hombre conduce 300 푚 por una carretera con una pendiente de 14°. ¿A qué altura se
encuentra respecto del punto de partida?
4. Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio. De la base de la escalera al
edificio hay 12 푚. La escalera forma con el suelo un ángulo de 70°. ¿Cuál es la longitud de
la escalera y la altura del suelo a la parte superior de la escalera?
5. Un árbol proyecta una sombra de 18 푚 sobre el plano horizontal en que está situado cuando
los rayos del sol inciden con un ángulo de 20°. ¿Cuál es la altura del árbol?
6. ¿Cuál es el área de un octágono regular de lado 10 푐푚?

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7. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 푚, con un ángulo de elevación de 55°.
Suponiendo que el hilo está tirante, a qué altura está la cometa?
8. En una circunferencia de 6 푚 de radio se unen dos de sus puntos con una cuerda de 4 푚.
¿Cuál es el ángulo central de la cuerda?
9. Para calcular la altura de un poste de luz situado sobre un plano horizontal, una persona
toma una primera medición alejado a cierta distancia del poste, posteriormente se acerca al
poste 2m y toma otra medición. Los ángulos arrojados son respectivamente 23° y 35°.
¿Cuál es la altura del poste calculada?
10. En la cima de un edificio se encuentra una antena telefónica que mide 8m, para calcular la
altura del edificio se toman dos ángulos de elevación desde el suelo, uno hasta la parte más
alta de la antena y otro hasta la base de la antena, arrojando respectivamente 45° y 40°.
¿Cuál es la altura del edificio?
11. Un pozo de 2 푚 de ancho tiene un ángulo de depresión al borde opuesto del fondo de 30º.
¿Cuál es la profundidad del pozo?
12. Una mujer se encuentra en un acantilado situado a 32 푚 sobre el nivel del mar, divisa una
embarcación con un ángulo de depresión de 30° ¿A qué distancia se encuentra la mujer de
la embarcación?
13. Dos edificios se encuentran separados por una distancia de 20푚. se registran desde la
parte superior del edificio de menor altura un ángulo de elevación a la parte superior del otro
edificio y un ángulo de depresión a la base del mismo de 20° y 45° respectivamente. ¿Cuál
es la altura de los dos edificios?
14. Si observamos la tierra desde un corte transversal y sabemos que el radio terrestre es
6370푘푚. ¿Cuál es la longitud del paralelo donde se encuentra la ciudad de México y a qué
distancia se encuentra del paralelo del Ecuador? (nota: el paralelo donde se encuentra es
19°30´norte del Ecuador)
15. Un topógrafo, apostado en lo alto de un risco de 1650 푝푖푒푠, observó dos corrientes de agua.
Mientras miraba directamente hacia el 퐸푠푡푒, midió los ángulos de depresión
correspondientes. El ángulo de la corriente más cercana fue de 35.6° y el de la corriente
más distante fue 26.7°. ¿A qué distancia se encuentran las corrientes una de la otra?
16. Desde un globo que vuela 3000 푝푖푒푠 de altura sobre el océano se miden los ángulos de
depresión de las visuales a cada extremo de una isla que se encuentra directamente en
frente del globo. Los ángulos son 75.8° y 15.6°. ¿Cuál es la longitud de la isla?
IV. PROFUNDIZACIÓN
1. Acústica
El sonido se produce por la vibración de un objeto que a su vez provoca el movimiento de
vibración de las moléculas de aire. Este movimiento se transmite en el aire a 20°퐶 y 1 푎푡푚
de presión con una velocidad de 343
푚
푠푒푔
. El sonido puede ser descrito mediante la
ecuación 푦 = 푎푠푒푛(2휋 푓 푡), donde 푓 es la frecuencia en 퐻푧, 푡 es el tiempo en 푠푒푔 y 푎 es la
amplitud. En el caso de la nota musical sol, ésta tiene una frecuencia de 393 퐻푧. Si este

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sonido se produce con un diapasón que tiene una amplitud de 0.005 푐푚, ¿cuál es la
ecuación que describe a esta nota? Dibuje su gráfica para dos periodos.
2. Topografía
En los planos de un terreno se utilizan curvas de nivel, las cuales marcan alturas sobre el
nivel del mar o respecto a una altura establecida de los diferentes puntos de una superficie.
Lo anterior se ilustra en la figura que además incluye un corte lateral que muestra a los
diferentes niveles de una montaña. Calcule la altura y la distancia desde la base al centro de
la montaña y las distancias inclinadas en cada caso de dicha montaña.
100 300
0 200 400
3. Física
Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador
armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella
describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha
posición estable.

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El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición
de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio
(distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se
suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A
medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la
energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando
la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en
movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la
masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del
resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección
opuesta completando una oscilación.
Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación
seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la
energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte
no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos
lentamente con el paso del tiempo. Tal es el caso de los amortiguadores de cierto automóvil,
determinados por la función 푦 =
2
푡
푠푒푛 휋푡, en la oscilación amortiguada la amplitud de la
oscilación disminuye con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye.
Estas pérdidas de energía son debidas al trabajo de la fuerza de rozamiento viscoso
opuesta a la velocidad. La energía perdida por la partícula que experimenta una oscilación
amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Para el ejemplo, considérese 푡 es el
tiempo medido en un intervalo entre 0 y 6 푠푒푔 y 휋 medido en 푐푚. Dibuje la grafica que
representa la función.

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