Este documento presenta varias identidades trigonométricas y sus demostraciones, incluyendo transformaciones de suma a producto, producto a suma, y propiedades de triángulos. También cubre series trigonométricas y problemas de clase para practicar estas transformaciones y propiedades.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“Transformaciones Trigonométricas”
A) TRANSFORMACIONES DE SUMA O
DIFERENCIA A PRODUCTO.
Demostración:
Conocemos:
Si sumamos (1) + (2) obtenemos:
Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ....... (*)
Hacemos un cambio de variable :
Sea: obtenemos:
Luego en (*):
Las restantes identidades pueden verificarse en
forma análoga.
OBSERVACIÓN: debemos percatarnos de que
solamente se aplican las formulas dadas en caso
de tener suma o diferencia de senos o de
cosenos.
B) TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A
SUMA O DIFERENCIA.
Siendo: x > y
PROPIEDADES IMPORTANTES
Si A, B, y C son los ángulos de un triangulo se
obtiene:
2
cos.
2
cos.
2
cos4)1
CBA
senCsenBsenA 
2
cos.
2
.
2
4)2
CB
sen
A
sensenCsenBsenA 
1
2
.
2
.
2
4coscoscos)3 
C
sen
B
sen
A
senCBA
1
2
.
2
cos.
2
cos4coscoscos)4 
C
sen
BA
CBA
SERIES TRIGONOMÉTRICAS:
Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos
están en progresión aritmética.
  )
2
(.
)
2
(
)
2
(
)1(...)2()(
UP
sen
r
sen
nr
sen
rnAsenrAsenrAsensenA


  )
2
cos(.
)
2
(
)
2
(
)1cos(...)2cos()cos(cos
UP
r
sen
nr
sen
rnArArAA







 





 





 





 





 





 





 





 

2
BAenS
2
BASen2CosACosB
2
BACos
2
BACos2CosBCosA
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
2
BA
Cos
2
BA
Sen2SenBSenA










(4)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(3)..................SenxSenyCosxCosy)yx(Cos
(2)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen
(1)..................CosxSenySenxCosy)yx(Sen





Byx
Ayx
2
BAy
2
BAx 





 





 
2
BACos
2
BASen2SenBSenA
2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x y)
2 Seny Cosx = Sen(x + y) Sen(x y) 
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x y)
2 Senx Seny = Cos(x y) Cos(x + y) 







 













n
1K







 














n
1K 2
UP
Cos
2
rSen
2
nrSen
)r)1K((Cos
2
UPSen
2
rSen
2
nrSen
)r)1K((Sen
Donde :
n : # de términos
r : razón de la P.A.
P : primer ángulo
U : último ángulo
Semana Nº 11

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
PROBLEMA DE CLASE
1) Calcule el valor de la siguiente expresión.
(𝑠𝑒𝑛
3𝜋
8
+ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
8
) 𝑠𝑒𝑐
𝜋
8
A) 1 B)√2 C)
√2
2
D) 2 E)
1
2
2) Simplifique la expresión.
𝑐𝑜𝑠(150º + 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(150º − 𝑥)
𝑠𝑒𝑛(150º + 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(150º − 𝑥)
A) cotx B) tanx C)√3𝑐𝑜𝑡 𝑥
D)
√3
3
𝑐𝑜𝑡 𝑥 E)√3𝑡𝑎𝑛 𝑥
3) Calcule el valor de la expresión
2(𝑐𝑜𝑠2
44º−𝑐𝑜𝑠2
16º)
𝑠𝑒𝑛28º
A)
1
2
B)√3 C) −√3 D) cot28º E)−
1
2
4) De la siguiente identidad
1 + 2𝑐𝑜𝑠50º = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝐵)º𝑐𝑜𝑠(𝐶)º, 𝐵 > 𝐶 > 0
Calcule
𝐵+𝐶
𝐴
A) 13 B) 15 C) 12 D) 17 E) 10
5) Simplifique la siguiente expresión.
𝑆𝑒𝑛12𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥
𝑐𝑜𝑠12𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥
–
𝑐𝑜𝑠11𝑥 − 𝑐𝑜𝑠5𝑥
𝑠𝑒𝑛11𝑥 − 𝑠𝑒𝑛5𝑥
A) 2tan4x B) 2tan6x C) 2tan5x
D) 2tan8x E) 2tan10x
6) En un triángulo ABC, se cumple que
𝑠𝑒𝑛𝐴 – 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴 – 𝑠𝑒𝑛𝐵
Calcule la medida del ángulo C.
A) 60º B) 45º C) 53º D) 30º E) 90º
7) Reduzca la expresión.
2𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑠𝑒𝑛4𝑥
2cos5x
A) sen10x B) sen5x C) cos5x
D) cos10x E) sen4x
8) Si se define el siguiente operador:
𝑎 ⊕ 𝑏 = 2𝑎𝑏,
calcule
2(𝑠𝑒𝑛40º ⊕ 𝑠𝑒𝑛20º)𝑐𝑜𝑠10º
A) 1 B)
√2
2
C)√3 D)
√3
2
E)
1
2
9) Del gráfico, calcule el valor de x.
A) 1 B)√2 C)√3D)
√2
2
E)
√3
2
10) Si
𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑡𝑎𝑛(𝑥 − 𝑦) =
1
2
Calcule
𝐶𝑜𝑠2𝑦
𝐶𝑜𝑠2𝑥
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)
1
2
11) Reduzca la expresión.
√3𝑐𝑜𝑠50º − 𝑠𝑒𝑛10º
A) cos20º B) sen40º C) cos40º
D) sen20º E)√3𝑐𝑜𝑠20º
12) Calcule el valor de la expresión.
1 − 4𝑠𝑒𝑛40º𝑐𝑜𝑠10º
𝑠𝑒𝑛25º𝑐𝑜𝑠25º
A) –1 B) – 2 C) – 3 D) – 4 E) – 5
13) Calcule:
 
 
sen2 cos 3
H
cos2 sen 3
    

    
, si  +  = 30º.
A) ctg3 B) tg3C) ctg2
D) tg2 E) tg3
14) Transformar a producto:
S = exsecx – versx
A) 2sen2 x
2
secx B) 4sen4 x
2
secx
C) 2cos2 x
2
cscx D) 4cos4 x
2
senx
E) 2cos2x cos x
2
15) La expresión trigonométrica
sen sen
E
sen sen
  

  
es idéntico a

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
A) tg .tg
2 2
       
   
   
B) tg .ctg
2 2
       
   
   
C) ctg .ctg
2 2
       
   
   
D) ctg .tg
2 2
       
   
   
E) tg.ctg
16) Calcule:
1 4cos
9F
2 4 4
csc csc ctg
9 9 9



  
 
A) 3
3
B) 3
2
C) 3
D) 2 3 E) 3 3
17) Simplifique la siguiente expresión:
2 2
cos8xtg3x cos2xtg3x
E
sen 4x sen x



A) 2ctg5x B) ctg5x C) 2tg5x
D) tg3x E) ctg3x
18) ¿Para qué valor de “m” es factorizable la
expresión: F = m + sen2A + sen2B + sen2C,
en un ABC?
A) – 2 B) – 1 C) 1
D) 2 E) 4
19) Halle el valor de x  0, 360º, que vuelve
máximo la expresión
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 30º) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥 – 40º)
A) 65º B) 75º C) 85º
D) 95º E) 105º
20) Si cos47º cos73º k
sen43º sen17º 3



, entonces al
calcular w = ctg58º se obtiene:
A) 3 k
3 k


B) 3 k
3 k


C) 2 k
3 k


D) 3 k
3 k


E) 3 k
3 k


21) Si  +  +  =
2

, calcule
E = sen2 + sen2 + sen2 +2sen sen sen
A) 1
2
B) 1
3
C) 2
3
D) 1 E) 3
2
22) Calcule:
D = sen85º – sen40º sen25º sec20º
A) – 2 B) – 2
2
C) 2
2
D) 1
2
E) 3
2
23) Si  +  +  = rad; verificar cual de las
siguientes proposiciones son verdaderas (V)
o falsas (F)
I. sen + sen – sen = 4sen
2
 sen
2
 cos
2

II. cos + cos + cos = 4sen
2
 sen
2
 sen
2
 +1.
III. cos2 + cos2 + cos2 = – 4coscoscos – 1.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
24) Calcule:
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
K
2 4
cos cos cos
7 7 7
       
      
     
     
   
   
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
25) Si en un triángulo ABC, se cumple que: sen2A
+ sen2B + sen2C = 2. ¿Qué tipo de triángulo
es?
A) isósceles B) equilátero
C) rectángulo D) obtusángulo
E) acutángulo
26) Si  +  +  = 180º, factorizar
E = sen2 + sen2 + sen2
A) 4𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛
B) 2𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛
C) 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛
D) 4𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
E) 4𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑛

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-11 Ingreso Directo
27) Eliminar x de: senx sen3x sen5x
a b c
 
A) 𝑎(𝑎 + 𝑐) = 𝑏 (𝑏 + 𝑎)
B) 𝑎(𝑎 – 𝑐) = 𝑏 (𝑏 – 𝑎)
C) 𝑎(𝑎 + 𝑐) = 𝑏 (𝑏 – 𝑎)
D) 𝑎(𝑎 – 𝑐) = 𝑏 (𝑏 + 𝑎)
E) 𝑎(𝑎 + 𝑏) = 𝑐 (𝑏 + 𝑐)
28) A partir de la figura mostrada, calcule el valor
de x.
A) 3 3 B) 6 3 C) 7 3
D) 9 3 E) 12 3
29) Si: sena cosa
senb cosb

, calcule
w = sena + sen(a – 2b)
A) –1 B) – 1
2
C) 0 D) 1
2
E) 2
30) En la siguiente identidad trigonométrica:
64𝑐𝑜𝑠7𝑥 – 112𝑐𝑜𝑠5𝑥 +
60𝑐𝑜𝑠3𝑥 – 10𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑥),
halle a + b + c.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
31) Determine el valor máximo de la expresión:
senx cosx sen3x cos3x
E
1 cosx
  


A)1/2 B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 4
32) Simplifique:
sen12 sen6 csc9
E
cos6 1 sec3
    
     
A) 1
4
B) 1
2
C) 1 D) 2 E) 4
33) Reducir
sen2x sen8x sen14x sen20x sen26x
A
cos2x cos8x cos14x cos20x cos26x
   

   
A) tg11xB) ctg11x C) tg14x
D) ctg14x E) ctg26x
34) Reducir:
𝐴 = 𝑠𝑒𝑛5º + 𝑠𝑒𝑛10º + 𝑠𝑒𝑛15º + … …
+ 𝑠𝑒𝑛345º + 𝑠𝑒𝑛350º
+ 𝑠𝑒𝑛355º
A) 0 B) 1
C) sen5ºsen10º D) sen5º csc355º
E) sen5º
35) Siendo
2
2
tgx 1 cos x
tg 1 sen x


 
evalué y = sen(3x + ).csc(x – )
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
36) Calcule:
𝐿 = 32 𝑠𝑒𝑛36º. 𝑠𝑒𝑛72º. 𝑠𝑒𝑛108º. 𝑠𝑒𝑛144º
A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12
37) Simplifique:
cos5 3cos3 4cos
E
sen5 3sen3 4sen
    

    
A) – ctg3 B) tg3C) – tg3
D) tg3 E) ctg3