El teorema de pi establece que una relación física que depende de n magnitudes físicas puede expresarse en términos de n-k números adimensionales π construidos a partir de las k magnitudes dimensionales independientes. El procedimiento implica seleccionar k magnitudes como base, formar productos de estas elevadas a exponentes para crear los números π, y determinar los exponentes usando análisis dimensional para que π sea adimensional.

1. Teorema de pi
Este teorema necesario para análisis dimensional. Este dice que dada una relación física que se puede
expresar en cuanto a una ecuación en la que contenga n magnitudes físicas y si estas magnitudes o
variables se dan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la
primera ecuación puede escribirse con una serie de n-k numero a dimensional hecho con magnitudes
originales.
Procedimiento:
1. Se escriben las n magnitudes físicas q, que intervienen en un problema particular, anotando sus
dimensiones y el número k de dimensiones fundamentales. Existirán (n – k) números π.
2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las
mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las
magnitudes seleccionadas.
3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una
a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida
(normalmente se toma igual a uno).
4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las restantes
variables para establecer el nuevo número π. Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos
números π.
5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis
dimensional.
Ejemplo
Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinámica o fuerza
aerodinámica Fa sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geométrica, en función
de su tamaño o dimensión característica d, la densidad del fluido ρ, la viscosidad η del mismo y la
velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberían explicar
por sí mismas la resistencia aerodinámica se tiene relación matemática del tipo:
Puesto que tenemos 5 variables relevantes . Estas cinco variables no son dimensionalmente
independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en términos de masa, tiempo y
longitud que:

2. en este caso se tiene por tanto ya que todas las magnitudes son reducibles a sólo 3 magnitudes
dimensionales independientes. Esto implica que existen combinaciones a dimensionales tales
que la relación se puede reducir a la forma:
Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como "básicas" y se
forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos a dimensionales. En este caso se
toman como básicas por ejemplo ρ, v y d (aunque podría haberse hecho otra elección). Ahora buscamos
exponentes enteros tales que los siguientes productos sean a dimensionales:
La condición de adimensionalidad para lleva a que por ejemplo:
Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:
Análogamente para el parámetro , se llega a que: y por tanto la relación
buscada es:
Si se asumen ciertas condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la función anterior, podrá
usarse el teorema de la función implícita para escribir las relaciones:

3. Esta última ecuación dice es consistente con la expresión común para la resistencia aerodinámica:
http://www.cns.gatech.edu/~luzvela/epigrafe/teoremapi.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_%CF%80_de_Vaschy-Buckingham#Ejemplo
http://www.cns.gatech.edu/~luzvela/epigrafe/teoremapi.pdf