El documento resume la historia y desarrollo de las series de Taylor. Explica que Brook Taylor descubrió la famosa fórmula de Taylor en 1712 mientras estudiaba el cálculo de diferencias finitas. La fórmula de Taylor permite aproximar funciones mediante polinomios y ha sido una herramienta importante en el análisis matemático.
Este documento resume la vida y contribuciones del matemático Brook Taylor. Resume que Taylor desarrolló la serie de Taylor para aproximar funciones, aunque otros como Gregory y Newton habían trabajado en métodos similares antes. Explica que la importancia de la serie de Taylor no fue reconocida hasta que Lagrange se dio cuenta de su valor en 1772.
Este documento presenta una unidad sobre series. Explica conceptos como series finitas e infinitas, criterios de convergencia como el de D'Alembert y Cauchy, series de potencias, series de Taylor y su uso para representar funciones y calcular integrales. Incluye ejemplos de series como la exponencial y coseno.
El documento presenta conceptos básicos sobre álgebra elemental, incluyendo definiciones de polinomios, valores numéricos, grados de polinomios, y polinomios especiales como ordenados, completos y homogéneos. Explica que los polinomios son expresiones algebraicas compuestas por la suma o diferencia de monomios, y que su grado depende del exponente mayor de sus términos.
Este documento describe la serie de Taylor, que permite aproximar funciones mediante polinomios. La serie de Taylor representa el comportamiento exacto de una función en las cercanías de un punto dado mediante una serie infinita de potencias. Al truncar la serie y considerar solo unos pocos términos, se obtiene un polinomio de aproximación. El error del método depende de cuán bien el polinomio aproxima a la función verdadera. Se proveen ejemplos de cómo expandir funciones conocidas en series de Taylor y calcular valores aproximados.
1) El documento presenta información sobre series numéricas y sucesiones, incluyendo definiciones de sucesiones acotadas, convergentes, finitas, constantes, crecientes, decrecientes y alternadas. También cubre tipos de series como geométricas, armónicas y telescópicas.
2) Explica criterios de convergencia como el criterio de comparación y el criterio de comparación con paso al límite. También presenta propiedades de series de potencias.
3) Finalmente, introduce conceptos de cálculo como el teorema
Los axiomas de Peano son un conjunto de cinco axiomas introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX para definir los números naturales y sus propiedades de forma axiomática. El primer axioma establece que 1 es un número natural, el segundo que el sucesor de un número natural también lo es, el tercero que 1 no tiene sucesor, el cuarto que dos números con el mismo sucesor son iguales, y el quinto captura la idea de inducción matemática. Los axiomas de Peano se han utilizado ampliamente en investigaciones matemáticas
Este documento introduce la geometría algebraica y cómo se relaciona con la teoría de números. Explica conceptos como conjuntos algebraicos, variedades algebraicas, ideales y la correspondencia entre ellos. También presenta las conjeturas de Weil, que establecen propiedades de la función zeta de una variedad sobre un campo finito de manera análoga a la hipótesis de Riemann. Finalmente, resume cómo se demostraron las conjeturas de Weil en los años 1960 y 1970.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
Este documento resume la vida y contribuciones del matemático Brook Taylor. Resume que Taylor desarrolló la serie de Taylor para aproximar funciones, aunque otros como Gregory y Newton habían trabajado en métodos similares antes. Explica que la importancia de la serie de Taylor no fue reconocida hasta que Lagrange se dio cuenta de su valor en 1772.
Este documento presenta una unidad sobre series. Explica conceptos como series finitas e infinitas, criterios de convergencia como el de D'Alembert y Cauchy, series de potencias, series de Taylor y su uso para representar funciones y calcular integrales. Incluye ejemplos de series como la exponencial y coseno.
El documento presenta conceptos básicos sobre álgebra elemental, incluyendo definiciones de polinomios, valores numéricos, grados de polinomios, y polinomios especiales como ordenados, completos y homogéneos. Explica que los polinomios son expresiones algebraicas compuestas por la suma o diferencia de monomios, y que su grado depende del exponente mayor de sus términos.
Este documento describe la serie de Taylor, que permite aproximar funciones mediante polinomios. La serie de Taylor representa el comportamiento exacto de una función en las cercanías de un punto dado mediante una serie infinita de potencias. Al truncar la serie y considerar solo unos pocos términos, se obtiene un polinomio de aproximación. El error del método depende de cuán bien el polinomio aproxima a la función verdadera. Se proveen ejemplos de cómo expandir funciones conocidas en series de Taylor y calcular valores aproximados.
1) El documento presenta información sobre series numéricas y sucesiones, incluyendo definiciones de sucesiones acotadas, convergentes, finitas, constantes, crecientes, decrecientes y alternadas. También cubre tipos de series como geométricas, armónicas y telescópicas.
2) Explica criterios de convergencia como el criterio de comparación y el criterio de comparación con paso al límite. También presenta propiedades de series de potencias.
3) Finalmente, introduce conceptos de cálculo como el teorema
Los axiomas de Peano son un conjunto de cinco axiomas introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX para definir los números naturales y sus propiedades de forma axiomática. El primer axioma establece que 1 es un número natural, el segundo que el sucesor de un número natural también lo es, el tercero que 1 no tiene sucesor, el cuarto que dos números con el mismo sucesor son iguales, y el quinto captura la idea de inducción matemática. Los axiomas de Peano se han utilizado ampliamente en investigaciones matemáticas
Este documento introduce la geometría algebraica y cómo se relaciona con la teoría de números. Explica conceptos como conjuntos algebraicos, variedades algebraicas, ideales y la correspondencia entre ellos. También presenta las conjeturas de Weil, que establecen propiedades de la función zeta de una variedad sobre un campo finito de manera análoga a la hipótesis de Riemann. Finalmente, resume cómo se demostraron las conjeturas de Weil en los años 1960 y 1970.
El documento describe la serie de Taylor, una serie infinita de potencias que representa de manera exacta el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. Al ignorar todos los términos excepto unos cuantos, se obtiene un polinomio que aproxima la función. El error del método depende de la precisión con que el polinomio aproxima a la función verdadera. Se presentan ejemplos de cómo usar la serie de Taylor para aproximar funciones en puntos específicos.
El documento presenta una introducción a las sucesiones aritméticas, definiendo las variables comunes como la diferencia común y el término general de la sucesión. A continuación, resuelve tres ejercicios calculando el valor de un término en una posición dada y la suma de los primeros términos para diferentes sucesiones aritméticas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Explica la notación de sumatoria y provee ejemplos de su uso. También cubre temas como la inducción matemática y el teorema del binomio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones infinitas. Introduce las definiciones de sucesión infinita, término general y representación gráfica. Explica cómo calcular el límite de una sucesión y distinguir entre sucesiones convergentes y divergentes. También cubre temas como sucesiones monótonas, acotadas y el teorema que establece que una sucesión monótona y acotada es convergente. El objetivo es orientar el aprendizaje sobre sucesiones y series de cálculo integral.
Este documento define y explica conceptos matemáticos como sucesiones, sumatorias y progresiones. Introduce las sucesiones finitas e infinitas, y tipos como aritméticas, geométricas y especiales. Explica las propiedades y reglas de las sumatorias. Finalmente, describe progresiones aritméticas y geométricas, incluyendo sus fórmulas para el término general y la suma de términos.
Este documento trata sobre conceptos básicos de polinomios como definiciones, grados, tipos especiales de polinomios (ordenados, completos, homogéneos, idénticos, opuestos, nulos), y ejercicios para practicar el cálculo de grados y la identificación de tipos de polinomios. Incluye definiciones de términos como monomio, polinomio, grado relativo, grado absoluto, y ejemplos ilustrativos de cálculo de grados y tipos de polinomios.
Este documento presenta los axiomas de Peano, un conjunto de axiomas aritméticos introducidos por Giuseppe Peano en 1889 para definir los números naturales. Originalmente había nueve axiomas, pero ahora solo cinco son necesarios. Estos cinco axiomas establecen que 1 es un número natural, que el sucesor de cualquier número natural también lo es, que dos números son iguales si y solo si sus sucesores son iguales, y que 1 no tiene sucesor. El documento también explica varios teoremas derivados de estos axiomas, como la suma y la
Este documento define y explica los conceptos básicos de los polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica racional entera donde las variables solo tienen exponentes enteros positivos. Explica los grados relativos y absolutos de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, explica la forma general de un polinomio en una variable y los polinomios idénticos.
Este documento presenta una introducción al estudio de la cohomología de De Rham p-ádica propuesta por Zoghman Mebkhout y Alberto Arabia. Explica que su objetivo es entender mejor la construcción de esta cohomología para variedades en característica p y cómo es diferente a otras cohomologías p-ádicas existentes. Finalmente, introduce la motivación de estudiar soluciones de ecuaciones sobre campos finitos y las conjeturas de Weil sobre la función Z de una variedad, las cuales la cohomología de De Rham p-
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las ecuaciones integrales y la expansión de funciones a través de funciones propias. Introduce la ecuación de Sturm-Liouville y muestra cómo puede reescribirse como una ecuación integral. Luego, discute los teoremas clave sobre la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valores fronterizos asociados y la densidad de polinomios en espacios métricos de funciones continuas.
Este documento presenta la teoría de sucesiones y series matemáticas. Introduce conceptos clave como sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes, y propiedades como la monotonía y acotación. Explica cómo determinar si una sucesión converge y calcular su límite, así como teoremas importantes como el de acotación y el de Weierstrass sobre sucesiones monótonas y acotadas. También define el número e como el límite de una sucesión específica.
trabajo de investigación. I.U.P Santiago Mariño. SERIES INFINITAS. definición. tipos de series. series convergentes. series geomètricas. ejemplos. análisis, comentarios y más...
El documento trata sobre sucesiones de números reales. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales y define la notación común para los términos de una sucesión. También clasifica las sucesiones en aritméticas, geométricas y especiales, y explica los conceptos de límite, convergencia y divergencia de una sucesión. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales sobre sucesiones.
Este documento explica las progresiones aritméticas, que son sucesiones de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior. Define conceptos como diferencia, término general y da ejemplos de cómo calcular la suma de los primeros términos y de interpolar términos intermedios.
Este documento explica los conceptos de grado relativo y absoluto de monomios y polinomios. El grado de un polinomio es el exponente más alto de la variable principal. El grado relativo de una variable en un monomio o polinomio es su exponente más alto. El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes, y de un polinomio es el grado del término de mayor grado. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular los grados.
Una serie matemática es la suma de los términos de una sucesión. Las series pueden converger o diverger, dependiendo de si la suma tiende a un valor finito o infinito. Existen varios criterios para determinar si una serie convergerá, como el criterio del cociente, el criterio de Raabe y el criterio de comparación, los cuales analizan el comportamiento de los términos de la serie. Algunos ejemplos comunes de series son las series geométricas, armónicas y alternadas.
El documento describe dos sucesiones. La primera sucesión divide cada tramo recorrido por 2, generando los términos 1/2, 1/4, 1/8, etc. Estos términos pueden expresarse como potencias de 1/2. La segunda sucesión multiplica cada número natural por 2, generando los términos 2, 4, 6, etc. Ambas sucesiones pueden representarse por un término general que permite calcular cualquier término.
Este documento presenta una introducción a la lógica formal. Explica que la lógica formal proporciona sistemas formales para deducir conclusiones válidas a partir de axiomas. Resume brevemente la historia de la lógica, desde Aristóteles hasta desarrollos modernos como lógicas especializadas. Introduce conceptos clave como fórmulas proposicionales, tablas de verdad, interpretaciones, tautologías, consecuencias lógicas y satisfacibilidad.
El documento habla sobre las series de Taylor. Explica que una serie de Taylor es una representación o aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un punto. También define las series de Maclaurin como casos particulares de las series de Taylor evaluadas en cero y analiza la convergencia de estas series para funciones elementales como seno y coseno.
Este documento explica el método de inducción matemática, el cual consiste en dos pasos: 1) Demostrar que una propiedad es cierta para el número 1. 2) Suponer que la propiedad es cierta para un número n y demostrar que también es cierta para n+1. Esto demuestra que la propiedad es cierta para todos los números naturales. El documento también discute el historial de la inducción matemática y cómo se usa para probar teoremas en matemáticas.
Brook Taylor nació en Inglaterra en 1685. Continuó la obra de Newton en el campo del análisis matemático y publicó su método de incrementos directos e inversos en 1715, donde describió su fórmula de desarrollo en serie de Taylor. Sus estudios no se hicieron famosos hasta 1772, cuando Lagrange subrayó su importancia para el cálculo diferencial. Taylor murió en Londres en 1731.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la transformada de Fourier. En menos de 3 oraciones: Introduce la transformada de Fourier como una herramienta para transformar funciones entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Explica que la transformada de Fourier y su inversa permiten calcular la expresión de una señal en un dominio a partir de su expresión en el otro dominio. Finalmente, resume algunas propiedades básicas como la linealidad y cómo la transformada maneja la derivación y traslación de señales.
El documento presenta una introducción a las sucesiones aritméticas, definiendo las variables comunes como la diferencia común y el término general de la sucesión. A continuación, resuelve tres ejercicios calculando el valor de un término en una posición dada y la suma de los primeros términos para diferentes sucesiones aritméticas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Explica la notación de sumatoria y provee ejemplos de su uso. También cubre temas como la inducción matemática y el teorema del binomio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones infinitas. Introduce las definiciones de sucesión infinita, término general y representación gráfica. Explica cómo calcular el límite de una sucesión y distinguir entre sucesiones convergentes y divergentes. También cubre temas como sucesiones monótonas, acotadas y el teorema que establece que una sucesión monótona y acotada es convergente. El objetivo es orientar el aprendizaje sobre sucesiones y series de cálculo integral.
Este documento define y explica conceptos matemáticos como sucesiones, sumatorias y progresiones. Introduce las sucesiones finitas e infinitas, y tipos como aritméticas, geométricas y especiales. Explica las propiedades y reglas de las sumatorias. Finalmente, describe progresiones aritméticas y geométricas, incluyendo sus fórmulas para el término general y la suma de términos.
Este documento trata sobre conceptos básicos de polinomios como definiciones, grados, tipos especiales de polinomios (ordenados, completos, homogéneos, idénticos, opuestos, nulos), y ejercicios para practicar el cálculo de grados y la identificación de tipos de polinomios. Incluye definiciones de términos como monomio, polinomio, grado relativo, grado absoluto, y ejemplos ilustrativos de cálculo de grados y tipos de polinomios.
Este documento presenta los axiomas de Peano, un conjunto de axiomas aritméticos introducidos por Giuseppe Peano en 1889 para definir los números naturales. Originalmente había nueve axiomas, pero ahora solo cinco son necesarios. Estos cinco axiomas establecen que 1 es un número natural, que el sucesor de cualquier número natural también lo es, que dos números son iguales si y solo si sus sucesores son iguales, y que 1 no tiene sucesor. El documento también explica varios teoremas derivados de estos axiomas, como la suma y la
Este documento define y explica los conceptos básicos de los polinomios. Define un polinomio como una expresión algebraica racional entera donde las variables solo tienen exponentes enteros positivos. Explica los grados relativos y absolutos de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como ordenados, completos, homogéneos e idénticamente nulos. Finalmente, explica la forma general de un polinomio en una variable y los polinomios idénticos.
Este documento presenta una introducción al estudio de la cohomología de De Rham p-ádica propuesta por Zoghman Mebkhout y Alberto Arabia. Explica que su objetivo es entender mejor la construcción de esta cohomología para variedades en característica p y cómo es diferente a otras cohomologías p-ádicas existentes. Finalmente, introduce la motivación de estudiar soluciones de ecuaciones sobre campos finitos y las conjeturas de Weil sobre la función Z de una variedad, las cuales la cohomología de De Rham p-
Este documento presenta los conceptos fundamentales de las ecuaciones integrales y la expansión de funciones a través de funciones propias. Introduce la ecuación de Sturm-Liouville y muestra cómo puede reescribirse como una ecuación integral. Luego, discute los teoremas clave sobre la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valores fronterizos asociados y la densidad de polinomios en espacios métricos de funciones continuas.
Este documento presenta la teoría de sucesiones y series matemáticas. Introduce conceptos clave como sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes, y propiedades como la monotonía y acotación. Explica cómo determinar si una sucesión converge y calcular su límite, así como teoremas importantes como el de acotación y el de Weierstrass sobre sucesiones monótonas y acotadas. También define el número e como el límite de una sucesión específica.
trabajo de investigación. I.U.P Santiago Mariño. SERIES INFINITAS. definición. tipos de series. series convergentes. series geomètricas. ejemplos. análisis, comentarios y más...
El documento trata sobre sucesiones de números reales. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales y define la notación común para los términos de una sucesión. También clasifica las sucesiones en aritméticas, geométricas y especiales, y explica los conceptos de límite, convergencia y divergencia de una sucesión. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales sobre sucesiones.
Este documento explica las progresiones aritméticas, que son sucesiones de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior. Define conceptos como diferencia, término general y da ejemplos de cómo calcular la suma de los primeros términos y de interpolar términos intermedios.
Este documento explica los conceptos de grado relativo y absoluto de monomios y polinomios. El grado de un polinomio es el exponente más alto de la variable principal. El grado relativo de una variable en un monomio o polinomio es su exponente más alto. El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes, y de un polinomio es el grado del término de mayor grado. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo calcular los grados.
Una serie matemática es la suma de los términos de una sucesión. Las series pueden converger o diverger, dependiendo de si la suma tiende a un valor finito o infinito. Existen varios criterios para determinar si una serie convergerá, como el criterio del cociente, el criterio de Raabe y el criterio de comparación, los cuales analizan el comportamiento de los términos de la serie. Algunos ejemplos comunes de series son las series geométricas, armónicas y alternadas.
El documento describe dos sucesiones. La primera sucesión divide cada tramo recorrido por 2, generando los términos 1/2, 1/4, 1/8, etc. Estos términos pueden expresarse como potencias de 1/2. La segunda sucesión multiplica cada número natural por 2, generando los términos 2, 4, 6, etc. Ambas sucesiones pueden representarse por un término general que permite calcular cualquier término.
Este documento presenta una introducción a la lógica formal. Explica que la lógica formal proporciona sistemas formales para deducir conclusiones válidas a partir de axiomas. Resume brevemente la historia de la lógica, desde Aristóteles hasta desarrollos modernos como lógicas especializadas. Introduce conceptos clave como fórmulas proposicionales, tablas de verdad, interpretaciones, tautologías, consecuencias lógicas y satisfacibilidad.
El documento habla sobre las series de Taylor. Explica que una serie de Taylor es una representación o aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un punto. También define las series de Maclaurin como casos particulares de las series de Taylor evaluadas en cero y analiza la convergencia de estas series para funciones elementales como seno y coseno.
Este documento explica el método de inducción matemática, el cual consiste en dos pasos: 1) Demostrar que una propiedad es cierta para el número 1. 2) Suponer que la propiedad es cierta para un número n y demostrar que también es cierta para n+1. Esto demuestra que la propiedad es cierta para todos los números naturales. El documento también discute el historial de la inducción matemática y cómo se usa para probar teoremas en matemáticas.
Brook Taylor nació en Inglaterra en 1685. Continuó la obra de Newton en el campo del análisis matemático y publicó su método de incrementos directos e inversos en 1715, donde describió su fórmula de desarrollo en serie de Taylor. Sus estudios no se hicieron famosos hasta 1772, cuando Lagrange subrayó su importancia para el cálculo diferencial. Taylor murió en Londres en 1731.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la transformada de Fourier. En menos de 3 oraciones: Introduce la transformada de Fourier como una herramienta para transformar funciones entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Explica que la transformada de Fourier y su inversa permiten calcular la expresión de una señal en un dominio a partir de su expresión en el otro dominio. Finalmente, resume algunas propiedades básicas como la linealidad y cómo la transformada maneja la derivación y traslación de señales.
El documento define el concepto de función matemática y describe su evolución a través de los siglos. Explica que una función es una relación entre un conjunto dominio y otro codominio, donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio. Además, describe los conceptos de dominio, imagen y rango de una función.
1) El documento estudia las series de Fourier y la transformada de Fourier, y sus aplicaciones en matemáticas y física. 2) Explica que cualquier función periódica puede expresarse como una suma trigonométrica, y presenta la historia del desarrollo de esta idea. 3) Resume los fundamentos teóricos de las series y transformadas de Fourier, incluyendo definiciones matemáticas clave como espacios de Hilbert.
1) El documento estudia las series de Fourier y la transformada de Fourier, y sus aplicaciones en matemáticas y física. 2) Explica que cualquier función periódica puede expresarse como una suma trigonométrica, y que Fourier demostró que cualquier función diferenciable puede expandirse en una serie trigonométrica. 3) Describe las propiedades de los espacios de Hilbert y cómo las funciones en el círculo unitario forman un espacio de Hilbert con una base ortonormal dada por funciones exponenciales, permitiendo expandir cualquier función en una serie de Fourier.
Este documento introduce los conceptos de aproximación mediante series de Taylor y polinomios de Taylor, así como la interpolación polinómica. Explica cómo construir polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en un punto, y proporciona ejemplos. También resume la fórmula de Lagrange para la interpolación polinómica y diferentes métodos de interpolación como la lineal y cuadrática.
1) El documento presenta resúmenes biográficos de Brook Taylor y Joseph Fourier, reconocidos matemáticos del siglos XVII-XVIII que estudiaron las series de Taylor y Fourier.
2) Luego define conceptos como funciones periódicas, expansión periódica, coeficientes y series de Fourier, y presenta teoremas relacionados.
3) Finalmente, introduce conceptos como transformadas de Fourier, propiedades de las series de Fourier y su aplicación en ingeniería eléctrica.
Este documento resume los orígenes de las series de Fourier y cómo Fourier calculó por primera vez los coeficientes de dichas series. Explica que Fourier se inspiró en el trabajo previo de Daniel Bernoulli sobre la descomposición de ondas para resolver problemas de ecuaciones de ondas y del calor. Fourier propuso representar las soluciones como una superposición de ondas sencillas y dedujo la fórmula para calcular los coeficientes de dicha descomposición, lo que marcó una diferencia significativa con respecto al trabajo anterior de Bernoulli.
1) El documento describe las contribuciones de importantes matemáticos al desarrollo del cálculo diferencial e integral, incluyendo a Leibesgue, Kovalevski, Gibbs, Riemann, Weierstrass, Cauchy, Gauss, Lagrange, Agnesi, Hopital, Leibniz, Newton, Pascal, Descartes, Kepler y Bernoulli.
2) Algunas de sus contribuciones clave fueron la definición de derivada por parte de Weierstrass, la integral de Lebesgue, el principio de mínima acción de Euler, el teorema del bin
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones matemáticas. Introduce la definición de función y diferentes formas de representarlas, incluyendo tablas de valores, expresiones algebraicas y gráficas. También describe propiedades clave de funciones como ser inyectivas, continuas, crecientes/decrecientes y periódicas. El documento provee una introducción general a este importante tema matemático.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre funciones matemáticas. Introduce la noción de función y sus diferentes representaciones. Explica las propiedades de funciones reales como funciones inyectivas, pares e impares. Finalmente, describe cómo graficar funciones mediante la representación de puntos clave.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones matemáticas. Introduce la definición de función y diferentes formas de representarlas, incluyendo tablas de valores, expresiones algebraicas y gráficas. También describe propiedades clave de funciones como ser inyectivas, continuas, crecientes/decrecientes y periódicas. El objetivo es revisar los tipos de funciones más usadas en modelización matemática de fenómenos científicos y de la vida diaria.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones matemáticas. Introduce la definición de función y diferentes formas de representarlas, incluyendo tablas de valores, expresiones algebraicas y gráficas. También describe propiedades clave de funciones como ser inyectivas, continuas, crecientes/decrecientes y periódicas. El documento provee una introducción general a este importante tema matemático.
1) El documento presenta conceptos básicos sobre funciones, incluyendo su definición, representaciones y propiedades. 2) Se describen diferentes tipos de funciones como funciones reales, funciones periódicas, funciones crecientes/decrecientes. 3) Finalmente, se explican técnicas para graficar funciones basadas en puntos clave y tablas de valores.
1) El documento introduce el concepto de función matemática y describe su evolución histórica. 2) Explica que las funciones permiten modelizar fenómenos del mundo real como variaciones de temperatura o movimiento planetario. 3) Describe las funciones más comúnmente usadas en modelización como polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.
El documento trata sobre el concepto matemático de la derivada. Explica que la derivada surgió para resolver problemas de cálculo infinitesimal y hallar ecuaciones de tangentes a curvas. Define formalmente la derivada como el límite de la pendiente entre un punto de una función y un punto próximo cuando este último se acerca al primero. Presenta un ejemplo para ilustrar cómo calcular la derivada de una función. Finalmente, propone algunas preguntas para analizar y aplicar los conceptos explicados.
Este documento presenta una introducción a la fórmula de Taylor y las series de Taylor y McLaurin. Explica que las funciones reales continuas y derivables pueden aproximarse mediante polinomios y que la serie de Taylor expresa una función como suma de términos polinómicos. Luego describe cómo construir las aproximaciones de Taylor de diferentes órdenes y cómo el error de la aproximación disminuye a medida que se incluyen más términos. Finalmente, presenta ejemplos del cálculo de series de Taylor y McLaurin para diferentes funciones
El documento describe a Alexander Grothendieck, un matemático del siglo XX considerado por muchos como el más grande. Grothendieck transformó totalmente el campo de la geometría algebraica y sus conexiones con la teoría algebraica de números a través de su trabajo duro y su habilidad para eliminar hipótesis innecesarias y adentrarse profundamente en un área. También inventó la teoría de esquemas, que generaliza las variedades y proporciona una teoría geométrica general para estudiar problemas diofantinos sobre diferentes
Este documento describe la función raíz cuadrada, incluyendo su definición, dominio y aplicaciones en física y química. Explica que la función raíz cuadrada extrae la raíz cuadrada de números no negativos y se usa en ecuaciones como el tiempo de caída libre o el periodo de un péndulo. También se aplica en química para calcular las condiciones de equilibrio de un ácido débil.
El documento explica la serie de Taylor, que permite aproximar funciones mediante polinomios. La serie de Taylor representa el comportamiento exacto de una función en las cercanías de un punto, mediante una serie infinita de potencias de la distancia a ese punto. Al truncar la serie se obtiene un polinomio de aproximación, cuya precisión depende de cuán cercano esté al valor real de la función.
1. Introduccion a las excavaciones subterraneas (1).pdfraulnilton2018
Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
1. 1
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENERIA
ESCUELA DE INGENERIA EN MANTENIMIENTO MECANICO
SERIE DE TAYLOR
INTEGRANTE:
FRANCISCO LUCENA
ANALISIS NUMERICO
PROF: DOMINGO MENDEZ
3. 3
SERIES DE TAYLOR
Consideraciones históricas sobre Taylor y su fórmula .
Brook Taylor (1685, Edmonton - 1731, Londres), matemático bri-
tánico, entró en la Universisdad de St. John de Cambridge como
estudiante en 1701. Se graduó en 1709, pero para entonces ya había
escrito su primer trabajo importante en matemáticas (en 1708) que,
sin embargo, no se publicaría hasta seis años después en la revista
Transacciones Filosó cas de la Royal Society. También, en 1712, fue
nombrado miembro de esa prestigiosa sociedad, y formó parte de la
comisión que debía juzgar si la autoría del calculo diferencial corres-
pondía a Newton (1642-1727) o a Leibniz (1646-1716). El año 1714
marca el año en que Taylor fue elegido secretario de la Royal Society.
El periodo 1714-1718, año en que dejó la secretaría por motivos de
salud, es el más importante por sus aportaciones en Matemáticas.
Dos libros que aparecieron en 1715, Methodus incrementorum direc-
ta et inversa y Linear Perspective, son extremadamente importantes
en la historia de las matemáticas ([19]).
Taylor añadió a las matemáticas una nueva rama que ahora se
llama "cálculo de diferencias nitas y descubrió la célebre fórmu-
la conocida, hoy en día, como fórmula de Taylor. Estas ideas son
recogidas en su libro Methodus incrementorum directa et inversa
antes mencionado. No se debe pensar que Taylor fue el único ma-
temático que trabajaba en este tema: Newton, Leibniz, Bernouilli
(1667-1748) y Moivre (1667-1754) también descubrieron variantes
al teorema de Taylor. La importancia de este teorema permaneció
desconocida hasta 1772, cuando Lagrange (1736-1813) expuso los
principios básicos del cálculo diferencial.
Fue durante el siglo anterior, el Siglo XVII, comúnmente llamado
Siglo del Genio dentro de la terminología matemática, cuando se
gestaron algunas de las ideas más importantes de la matemática.
Cabe mencionar los trabajos de Fermat (1608-1665), sobre teoría de
números, los orígenes de la teoría de probabilidades, debidos a Fer-
4. 4
mat y Pascal (1632-1662), la invención por Descartes (1596-1650)
y Harriort (1560-1621) de la geometría analítica, el desarrollo de la
geometría pura por Pascal, la invención de los logaritmos por Na-
pier (1550-1617) y la creación y posterior desarrollo del Cálculo de
la mano de Newton y Leibniz. ¾Por qué se produjo este desarrollo
tan espectacular de las matemáticas en el siglo XVII?
Sin ninguna duda, son las circunstancias políticas, económicas,
sociales, etc, las que determinan el desarrollo cientí co, una parte
del cual es el desarrollo matemático. Así, durante el siglo XVI y
principios del XVII diversas circunstancias contribuyeron a que la
humanidad tuviese una visión principalmente cuantitativa del Uni-
verso y del mundo que le rodeaba. En primer lugar, un cambio en la
naturaleza del pensamiento humano que despertó un escepticismo
generalizado, haciendo dudar a los cientí cos de la infabilidad de los
trabajos de Euclides y sus Elementos, el trabajo de Ptolomeo sobre
astronomía, Apolonio sobre las cónicas, entre otros.
El siglo XVII se caracterizó, también, por un activo intercam-
bio de ideas entre los intelectuales de la época originando un en-
riquecimiento mutuo y una gran bene cio para el desarrollo de las
Ciencias. Todo esto, unido a la preocupación de los cientí cos por
resolver ciertos problemas no resueltos hasta entonces, como podían
ser encontar la ecuación de la tangente a una curva dada en un pun-
to, determinar los valores máximos y mínimos de una función dada,
etc, hicieron posible grandes creaciones matemáticas. Destaquemos
el Cálculo Diferencial e Integral por su estrecha relación con Taylor
([6]).
Volviendo a nuestro tema, Taylor, discípulo de Newton, estuvo,
entre otras cosas, interesado en el problema del desarrollo de fun-
ciones usando otras más sencillas. Era entonces conocido que una
función polinómica f (x) de grado n,
f(x) = a0 + a1x + ... + anxn
se puede escribir como
f(a + h) = c0 + c1h + ... + cnhn
5. 5
k!
| |
| |
para todo par de números a y h, y los coe cientes ck, 0 ≤ k ≤ n
obedecen a la relación ck = 1 f (k)(a) con 1 ≤ k ≤ n, c0 = f (a).
Newton, entre otros, había también observado que muchas fun-
ciones conocidas, no necesariamente polinómicas, podíanexpresarse
como polinomios in nitos con coe cientes veri cando determina-
das reglas similares a lo anterior.
Por ejemplo,
1
= 1 + x + x2 + ... + xn
+ ... si x < 1
1=x
1
= 1=x2 + x4 + ... + (=1)n
x2n
+ ... si x < 1
1 + x2
Taylor usando algunas ideas del cálculo de diferencias nitas y,
persiguiendo una generalización de lo anterior, descubrió la célebre
fórmula de Taylor :
f (x + h) = f (x) + hf J
(x) + h2
f JJ
(x)
+ ...
2!
válida bajo ciertas condiciones sobre la función f que especi ca-
remos más tarde.
Discusión heurística sobreel razonamiento de Taylor
(diferencias nitas y paso al límite).
Es interesante mostrar, de manera heurística,cómo se cree que llegó
Taylor a tal fórmula, que ya fue anunciada por él mismo en 1712
(véase [6]).
Sea f : R → R una función y r un número positivo jo. Se de ne
6. 6
∆f (x) = f(x + r)=f (x), ∀x ∈ R
∆2f (x) = ∆(∆f (x)), ∀x ∈ R
y así sucesivamente. Si la variable x pasa del valor x al valor
x +nr, para n ∈ N, entonces f (x) pasa a valer f (x+nr) y se tiene:
n n(n=1) n(n=1) · · · 1
f (x+nr) = f (x)+ ∆f(x)+ ∆2f (x)+...+ ∆n
f (x)
1 1 · 2 1 · 2 · · · n
(1)
Los coe cientes de f(x), ∆f(x), ∆2f (x) se forman de la misma
manera que los coe cientes del desarrollo del binomio (a +b)n
. Di-
chos coe cientes son 1, n
, n(n= 1)
, n(n= 1)(n= 2)
,...
1 1·2 1·2·3
A (1) se le conoce como Fórmula de Interpolación de Newton.
Ahora, si h es un número dado positivo, tomando n y r tales
que nr = h, entonces r tiende a cero cuando n tiende a in nito y,
recíprocamente. Escribimos (1) de la forma:
nr ∆f(x) n(n=1)r2 O2
f (x) n(n=1) · · · 1· rn
On
f (x)
f(x+nr) = f(x)+
1
+
r 1· 2 r2 +...+ 1· 2· · · n rn
Ahora, según Taylor, si r tiende a cero, n tiende a in nito y se
tiene
f (x + h) = f (x) + hf J
(x) + h2
f JJ
(x)
+ ....
2!
Podemos decir, de manera informal, que la fórmula se obtuvo a
partir de la fórmula de interpolación de Newton, para un número
7. 7
∈
in nitamente grande de pasos y trabajando con números in nita-
mente grandes e in nitamente pequeños .
Desde su descubrimiento, la fórmula de Taylor ha proporcionado
un método potente para solucionar distintos problemas del análisis
matemático como pueden ser el cálculo de límites indeterminados,
discusión general del problema de máximos y mínimos, desarrollo
en serie de funciones trascendentes y procedimientos numéricos de
aproximación de tales funciones.
En general, la teoría de polinomios de Taylor in nitos se puede
considerar como parte de la teoría de funciones analíticas, muy im-
portante dentro del análisis matemático desde el siglo XIX.
A continuación describimos, rigurosamente, algunos resultados
teóricos importantes de la fórmula de Taylor. La demostración de
estos resultados se puede ver, por ejemplo en los apuntes ([18]) o en
el libro ([3]).
Polinomios de Taylor. Convergencia y algunas aplica-
ciones.
En este apartado mostramos algunos hechos relativos a la apro-
ximación de una función por su polinomio de Taylor de orden n.
También destacamos el papel del polinomio de Taylor en el estudio
de máximos y mínimos relativos (véanse [3], [4], [12], [18] ).
Sea f una función derivable en un intervalo I. Si la función deriva-
da f J
también es derivable en I decimos que f es dos veces derivable
en I y la función f JJ
:= (f J
)J
se llama derivada segunda de f en I .
En general, si n N, decimos que f es n + 1 veces derivable en
I si f es n veces derivable en I y la función derivada de orden n
de f en I, que representaremos por f (n), es derivable en I. En este
caso, la función f (n+1) = (f (n))J
se llama derivada de orden n + 1
de f en I. Se dice que f es una función de clase Cn
en I si f es n
veces derivable en I y la función f (n) es continua en I. Se dice que
8. 8
Σ
f es una función de clase C∞ en I si f tiene derivadas de todos los
órdenes en I. Por convenio se de ne f (0) = f.
De nición. Sea f una función n veces derivable en un punto a.
La función polinómica Tn(f, a) de nida para todo x ∈ R por
n (k)
T (f, a)(x) = f (a) +
f (a)
(x=a)k
n
k!
k=1
se llama el polinomio de Taylor de orden n de f en a.
El siguiente teorema se puede ver, por ejemplo, en los apuntes
del Prof. F. J. Pérez González ([18]).
Teorema (Teorema Taylor -Young). Sea f una función n ve-
ces derivable en un punto a y sea Tn(f,a) el polinomio de Taylor de
orden n de f en a. Entonces se veri ca que:
lim
f (x)=Tn(f, a)(x)
= 0.
x→a (x=a)n
Demostración. Usaremos un argumento de inducción y la regla
de L'Hôpital. Para n = 1 el enunciado es cierto simplemente por
la de nición de derivada de una función en un punto. Supongamos
cierto el enunciado para toda función n veces derivable en a. Sea f
una función n + 1 veces derivable en a. Entonces la función g = f J
es n veces derivable en a, luego:
lim
g(x)=Tn(g, a)(x)
= 0
x→a (x=a)n
Es inmediato comprobar que Tn
J
+1(f, a)(x) = Tn(g, a)(x) y se ob-
tiene que
9. 9
(n+1)!
∈
d
g(x)=Tn(g, a)(x) =
dx
(f (x)=Tn+1(f, a)(x))
Por la regla de L'Hôpital resulta:
lim
f (x)=Tn+1(f, a)(x)
= lim
g(x)=Tn(g, a)(x)
= 0
x→a (x=a)n+1 x→a (n + 1)(x=a)n
lo que naliza la demostración.
El teorema a rma que,bajo hipótesis apropiadas, Tn(f, a)(x)=f (x)
tiende a cero, cuando x tiende al punto a, más rápidamente que
(x=a)n
.
En el teorema anterior se ha probado que
lim
f (x)=Tn(f, a)(x)
= 0
x→a (x=a)n
Esto es óptimo en el sentido siguiente: si en el denominador se
considera (x=a)n+1 en lugar de (x=a)n
entonces, en general, el lí-
mite del cociente no es cero, sino que vale 1
f (n+1)(a) (veáse el
corolario siguiente).
El siguiente corolario se obtiene aplicando de forma reiterada la
regla de L'Hôpital.
Corolario ([18]). Sea f una función de nida en un intervalo I
que es n + 1 veces derivable en un punto a I, y sea Tn(f, a) el
polinomio de Taylor de orden n de f en a. Entonces se veri ca que:
lim
f (x)=Tn(f, a)(x)
=
1
f(n+1)
(a).
x→a (x=a)n+1 (n + 1)!
10. 10
→ ≥
∈ { }
∈ { }
Teorema. Condiciones su cientes de extremo relativo ([18]).
Sean I un intervalo, a un punto de I que no es extremo de I y
f : I R una función n 2 veces derivable en a. Supongamos que
todas las derivadas de f hasta la de orden n 1 inclusive se anulan
en a, es decir, f (k)(a) = 0 para k = 1, 2, ..., n=1, y que f(n)(a) = 0.
Entonces:
i) Si n es par y f (n)(a) > 0 , f tiene un mínimo relativo en a.
ii) Si n es par y f (n)(a) < 0, f tiene un máximo relativo en a.
iii) Si n es impar entonces f no tiene extremo relativo en a.
Demostración. De las hipótesis hechas y el anterior corolario
se deduce que:
lim
f (x)=f (a)
=
1
f (n)
(a) 0.
x→a (x=a)n n!
Por la de nición de límite (o por el teorema de conservación local
del signo), existe un número r > 0 tal que ]a r, a + r[⊂ I y para
x ∈]a r,a + r[, x ƒ= a se tiene que:
f (x)=f (a)
f (n)
(a) > 0.
(x=a)n
Si n es par (x=a)n
> 0, así que si f (n)(a) > 0 será f (x)=f (a) > 0
para todo x ]a r, a + r[ a , esto es, f tiene un mínimo relati-
vo (estricto) en el punto a; si, por el contrario, f (n)(a) < 0 será
f (x)=f (a) < 0 para todo x ]a r, a + r[ a , esto es, f tiene un
máximo relativo (estricto) en el punto a.
Si n es impar (x=a)n
< 0 para a r < x < a y (x=a)n
> 0 para
a < x < a + r. Para a r < x < a, f(x) f(a) tiene signo opuesto al
11. 11
k!
que tiene para a < x < a +r. Deducimos que f no tiene un extremo
relativo en a.
Nota.
El teorema anterior proporciona un criterio general de determi-
nación de máximos y mínimos locales o relativos. Hagamos énfasis
en que los máximos y mínimos globales, si existen, son otra cosa:
necesitaríamos, en general, conocer los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función f , o tener propiedades adicionales como
la convexidad.
El siguiente teorema (llamado Teorema de Taylor) es una gene-
ralización del Teorema del Valor Medio.
Teorema de Taylor.
Teorema (Teorema de Taylor) ([18]). Sea f una función n+1
veces derivable en un intervalo I. Dados dos puntos cualesquiera x, a
en I con x = a, se veri ca que existe algún punto c en el intervalo
abierto de extremos a y x tal que:
f (x)=Tn(f, a)(x) =
f(n+1)(c)(x=a)
(n + 1)!
n+1
.
Demostración. Fijamos los puntos x y a. De nimos una función
g : I → R
n (k)
g(t) = f(x)=
Σ f (t)
(x=t)k
, ∀t ∈ I
k=0
Es fácilmente comprobable que
gJ
(t) = =
f (n+1)(t)
n!
(x=t)n
12. 12
| |
Aplicamos el teorema del valor medio generalizado a las funciones
g y h(t) = (x=t)n+1 en el intervalo de extremos x y a, obteniendo
que hay un punto c comprendido entre x y a tal que
(h(x)=h(a))gJ
(c) = (g(x)=g(a))hJ
(c)
Como g(x) = h(x) = 0, se tiene que:
(x=a)
n+1 f (n+1)(c)
n!
(x=c)n
= g(a)(n + 1)(x=c)n
y, teniendo en cuenta que g(a) = f (x)=Tn(f, a)(x), se obtiene la
igualdad.
Se llama resto de Lagrange al número
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(x=a)n+1
.
Si es posible probar una desigualdad de la forma
f(n+1)(c)
(n + 1)!
|(x=a)|
n+1
podemos a rmar que el error cometido al aproximar f (x) por
Tn(f, a)(x) es menor que ε.
Finalmente,
≤ ε
13. 13
n!
n!
x2
∈ ∀ ∈
∈
n!
Dada f ∈ C∞(I), I abierto y a ∈ I. Sea
Σf(n)
(a)
(x=a)n
la serie
de Taylor de f
igualdad
n≥0
en x = a. Entonces cabe preguntarse si se da la
∞ (n)
f(x) =
Σ f (a)
(x=a)n
∀x ∈ I
n=0
En general, esto es falso.
Ejemplo. Sea f : R → R de nida de la forma
f(x) =
.
e=
1
x 0
0 x = 0
Se cumple f C∞ y f (n)(0) = 0 n N. Por tanto, su desarro-
llo de Taylor en a = 0 es 0 que, evidentemente, no coincide con la
función, salvo en el origen.
No obstante, tenemos el siguiente resultado:
Teorema ([1]). Sea I un intervalo y f C∞(I). Supongamos
que existe una constante M > 0 tal que
| f(n)(x) |≤ M ∀x ∈ I ∀n ∈N (2)
Entonces,
∞ (n)
f(x) =
Σ f (a)
(x=a)n
∀a, x ∈ I.
n=0
La demostración de este hecho es sencilla teniendo en cuenta la
fórmula de resto de Lagrange, pues
| f(x)=Tn(f, a)(x) |≤
M | x=a |n+1
(n + 1)!
14. 14
y, el segundo miembro de la desigualdad tiende a 0 cuando n
tiende a in nito. Por tanto, lim
n→+∞
Tn(f, a)(x) = f(x).
Es decir, si las derivadas de una función están uniformemente
acotadas entonces la serie de Taylor coincide con la función. Si la
función y sus derivadas no están uniformemente acotadas es posible
que la función no coincida con su desarrollo de Taylor como hemos
visto con el ejemplo anterior.
El teorema anterior permite a rmar que, por ejemplo
x x x2 xn
e = 1 +
1!
+
2!
+ ... +
n!
+ ..., ∀x ∈ R
x3 x5 x7
sen(x) = x=
3!
+
5!
=
7!
+ ..., ∀x ∈ R
y fórmulas análogas para otras muchas funciones elementales .
15. 15
IMPORTANCIA SERIE DE TAYLOR.
La serie Taylor es de mucha importancia para el cálculo efectivo de las funciones continuas y donde se
destaca el atender aspectos propios de convergencia, es por ello que la Serie de Taylor es un teorema de
continuidad, teorema de dos valores medios y los criterios de convergencia de series numéricas.
Considerada como una cierta matemática avanzada cuyo objetivo es profundizar en los procesos de
convergencia de las series infinitas, acompañado de sus métodos algebraicos.
APLICACIONES DE LA SERIE DE TAYLOR.
La serie de Taylor tiene diversas aplicaciones entre ellas se tienen:
Aplicación en el teorema de L´Hopital
Uso de las series de Fourier en el procesamiento digital de señales
Uso de las series de Taylor y Maclaurin en la aproximación del valor de una función en un punto
en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Estimación de integrales
Determinación de convergencia y divergencia de series.