Este documento presenta los conceptos y procedimientos para reducir ángulos a su forma equivalente en el primer cuadrante. Define la reducción al primer cuadrante y explica cómo calcular las funciones trigonométricas de ángulos que no son agudos en términos de ángulos equivalentes en el primer cuadrante. Luego, detalla los casos para ángulos entre 0° y 90°, mayores a 360°, de medida negativa, y relacionados entre sí. Finalmente, incluye ejemplos resueltos de problemas que aplican estas técnicas.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
“Reducción al Primer Cuadrante”
Lic. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C.
Definición:
Es el procedimiento mediante el cual se determinan
las razones trigonométricas de un ángulo que no es
agudo, en función de otro que sí lo sea.
R.T.( ) R.T.( )
: no es agudo : sí es agudo
Reducir al primer cuadrante un ángulo significa
encontrar los valores de las RT de cualquier ángulo en
forma directa mediante reglas prácticas.
Casos:
I. Ángulos cuyas medidas están en
<90º ; 360º>:
).(T.RCo
220
90
R
).(T.R
360
180
R
)(RT





















Por ejemplo; calculemos:
*
2
3
º30Cos)30º90(Senº120Sen
)(



II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º:
En este caso, se procede de la siguiente manera:
R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º  
q
Residuo
III. Ángulos de medida negativa: Se
procede de la siguiente manera:
Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx
Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx
Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx
Por ejemplo, calculemos:
* 2
2
º45Sen)º45(Sen 
IV. Ángulos relacionados:
1.









TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx:Si
2.










TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx:Si
Por ejemplo, calculemos:
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
3Cos
7
2Cos
7
CosC 
7
6Cos
7
5Cos
7
4Cos
7
4Cos
7
5Cos
7
6CosC 
Reduciendo, quedaría C = 0
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si 
  
3
Calcule:
   sen cos
P
sec csc
      

    
      
   
15 92
927 1683
2 2
A) 
3
16
B) 
1
16
C) 1
16
D)3/16 E) 5
16
RESOLUCIÓN
     sen 15 sen 15 sen sen             
 cos cos    92
csc sec
 
     
 
1683
2
927
sec csc
2

 
 
  
 
Reemplazando:
Semana Nº 6

2. Lic. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C. Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
  
  
sen cos sen cos
P
1csc sen
sen cos
   
 
 
 

sen cos  2 2
reemplazando:

  
3
P sen cos
    
       
   
2 2
3 3
   
           
2 2
3 1 3
2 2 16
RPTA.: A
2. Reducir:
3 4 6
7 7 7 7
H cos cos cos cos   
   
A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3
RESOLUCIÓN
3 4 6
7 7 7 7
H cos cos cos cos   
   
3 3
H cos cos cos cos
7 7 7 7
      
         
   
H cos
7


3
cos
7


3
cos
7

 cos
7


H = 0 RPTA.: A
PROBLEMA DE CLASE
1. Calcular:
  
osTér
CosCosCosCosR
min29
30
29
...
30
3
30
2
30


a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2
2. Simplificar:
)9(Ctg)7(Csc)5(Cos
2
9Sec
2
7Sen
2
5Tan
K






 





 





 

a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2
3. Cuál es la relación que existe entre x e y.











 





 
2
89
10
2415
10
40 
Cos
yx
Ctg
x
Tg
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k
d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k

4. Sabiendo que:
)sencos(
2
77
ctg
2
37
Ksen 




 





 

Entonces el valor de: M = |sen + csc| en
términos de K es: (k > 0)
A)2K B) 1/K C) 2/K D) 2
)1k( 2

E) k
)1k( 2

5. En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:













2
C
2
B
2
A
sen
2
C
2
B
2
A
cos)CBA(sen 22
Entonces el valor del ángulo D es:
A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º
6. Dado el siguiente intervalo:
2
3
2



Además:
5
sencos


; 5
ctgtg


. Calcular:

A) 2/5 B)/5 C)3/5 D)4/5 E) 
7. Cuál de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
I.
2
6
1217sec 




 
II.
Zn,)1()ncos()n(sen n

III. Si:
octg)csc(csc 
Entonces  pertenece al IIIC:
A) Sólo I B) Sólo II
C) Sólo III D) II y III E) Todas
8. Si  es un arco del primer cuadrante positivo
y menor que una vuelta, hallar el intervalo de
)(sen  . Si: 21  .
A) cos 2  sen( )  1
B) -1  sen()  sen1
C) -1  sen()  cos1
D) cos1< sen()  1
E) sen2 < sen()  1
9. Reduzca:

3. Lic. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C. Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
 E csc 2005 tg 2003
2
   
        
  
x
17 23
csc cot
2 2
      
        
    
a) 2 b)1 c) -1 d)-2 e)0
10. Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)
   
 xsenxctg
xxxtg
R




















40.
2
91
90sec.
2
37
cos.99
a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx
11. Si: cos 10º = a. ¿a que es igual
E = sen100º.cos190º?
a) a b) 2a c) a/2 d) a2
e) -a2
(Segundo examen sumativo 2011 – II)
12. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo
que:
0
4
b2a36
Ctg
8
b3a2
Tg 




 





 
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6
13. El valor de la siguiente expresión:
Es igual a:





 





 






 





 
12
7Cos
12
Sen
12
Cos
12
7Sen
a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) - 2
14. Analice la veracidad de las proposiciones
siendo , Zn
i.  SennSen  )(
ii.


















6
5
6
5
2
3
3
2 
CtgTgTg
iii. )()781(  CosSecCosSec 
iv.













x
Ctg
x
nCtg
11
3 
a) FFFF b) FFVF c) FVVV
d) FVVF e) VFVF
15. Si A y B son ángulos complementarios, al
simplificar:
)B3A4(Tan)BA2(Cos
)B3A2(Tan)B2A(Sen
E



Se obtiene:
a) 3 b) 2 c) 2 d) 1 e) 1
16. Del gráfico, calcule: Tg
A
C
B
M
45º

a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) ¾
PROBLEMA DE REPASO
1. Simplifique:
sec(x 360 ).cos(x 270 )tg(180 x)
E
cos(270 x).sen(x 306 )csc(90 x)
     

     
a)-1 b)-sec x c)cotx d)-cotx e)-tgx
2. Determinar el valor de: Cos1200º
a) 1 b) 0 c) ½ d) -½ e) 2
3
3. Simplificar:
 
 
 
  



















 





 











2
3
.
2
3
.
2
.
2
TgTg
CtgCtg
CtgCtg
TgTg
E
a) -2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 2
4. Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
   
   b11a10Tg.a5b4Cos
a14b13Tg.b7a6Sen
M



a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
5. Si
x y
2

 
entonces al simplificar:
3secx.secy cos(8x 9y)
F
tgx tgy sen(9x 8y)

 
 
Se obtiene:

4. Lic. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C. Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
6. Del gráfico.
x
ab
y
Determinar:
CosbCosa
6
baCos6
SenbSena
3
baSen3
K





 





 

a) 2
1
b) 3
1
c) 4
1
d) 2
1
e) 3
1
7. Si se cumple:
3 3
tg
2 2
 
  
 
Calcular:
 M 13 sen(2 ) cos( )    
IIC
a) 5 b) -3 c) -2 d) -5 e)
1
13

8. Calcule el valor de:
5 1011M tg 5csc 2sec
6 34
   
a) 6 b)5 c)4 d) 2 e) 3
9. Si
3sec x 2
2
    
 
Calcule:
17
cos x
2P
11
3sec x
2
 
 
 
 
 
 
a)-3/10 b)-1/10 c) ½ d)-1/12 e)-1/14
10. Si se cumple que:
cos300° = n.tg225°
2 8
sec m.sec
5 5
    
      
   
Calcule: m + n
a) 2 b)0 c)3/2 d)4 e)-1/2
11. Del gráfico, hallar: Tg
A
C
B
37º
D

a) ¾ b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7
12. De la figura, calcule tg cot  , si
cot 1,4.
y
x
(a-4;a)
a) -74/35 b) -15/24 c) -7/24
d) -12/35 e) -24/35
13. Si
tg 3sen 4cos 4cot 3 3    
Además
IC y
IIC Halle el valor de:
E 10sec(180º ) 5sen( 270º)   
a) 6 b) -4 c) -10 d) 14 e) 13
14. Si a y c son suplementarios, además a y b son
complementarios. Reducir:
)(
)(
)(
)34()32cos(4
cbaSen
cbaSen
cbatg
cbCscca
M






a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
15. Calcular el valor de
ZkkCos
SecSen
Tg
E 

 ;
2
)12(
6
253
3
109
6
143



a)
7
2 b)
7
2
 c)
21
32 d)
21
32

e)
15
32