1) El documento presenta definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas para ángulos en posición normal y ángulos especiales como cuadrantales y coterminales. Incluye tablas con los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes y valores para ángulos cuadrantales. 2) Se explican conceptos como razones trigonométricas de ángulos negativos y coterminales, y se plantean ejercicios resueltos como problemas tipo para que el estudiante aplique los conocimientos.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
yo

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2017-III
TRIGONOMETRÍA
“F.T. de Ángulos Especiales”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definición de las Razones Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
posición normal, tomaremos un punto perteneciente
a su lado final.
Signos de las R.T. en los cuiadrantes
Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un
ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser
positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro
adjunto
Propiedad:
Si  es un ángulo en posición normal positivo y
m enor que unavuelta entonces se cumple:
Si   I  0 <  < 90º
Si   II  90º<  <180º
Si   III  180º <  < 270º
Si   IV  270º <  < 360º
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son
ángulosfrontera.
Forma General
< Cuadrantal = 90º.k ; Zk 
También
<Cuadrantal =
2
k ; Zk 
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó .
2
rad
 según
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



x
y
y
o

'
Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



Semana Nº 04

2. Lic. Rodolfo Carrillo/Martin Depaz Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo


corresponda; si el resultado de la división esun
numero entero, significaque dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
Nota:N.D. nodefinido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
Se tiene que:
* α y  : son coterminales
* Ф y β: son coterminales(están en P. N.)
Propiedades:
Si α y  son coterminalesse cumple que:
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulosson coterminales:
Restamos dichosangulos, dividimosentre 360º o
y si el resultado es un numero entero ,
entonceslos angulosson coterminales.
R.T. de Ángulos Negativos:
Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos  
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
¡Muy importante!
PROBLEMA DE CLASE
1) Si  es la medida de un ángulo en posición
normal, además:
0
3
2
cos;0;0   tgtgsensen
Calcular:  SecctgF  .5
A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1
2) El producto de cinco razonestrigonométricas
de un ángulo que pertenece al segundo
cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
coseno.
a)
5
53 b)
5
5
 c)
2
31 d)
2
13  e)
5
53

3) Q es un punto perteneciente a la
circunferencia mostrada, cuya ordenada
es máxima, halle R = √26Senα +
10Tanθ. Siendo αun ángulo en posición
normal, cuyo lado final pasa por el punto
Q. Además AB=3BC.
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
COS 1 0 -1 0 1
TAN 0 ND 0 ND 0
COT ND 0 ND 0 ND
SEC 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ; )x x
o o
x
y
Lado
inicial
ii)
P( ; )x x
o o
x
y
I. II.
 - = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
I. II.
 - = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
Y
X
Q(–b;a)
P(a;b)
R(–a; b)–
M(b;–a)


3. Lic. Rodolfo Carrillo/Martin Depaz Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
θ
A
B
C
(x+5)2+(y+2)2=169
a)16 b) 19 c) 14 d) √3 e) -15
4) Del gráfico adjunto calcular:
, si las abscisas de A y B son
y respectivamente.
A) -1 B) -2 C) 2 D) 4 E)
5) Si: 30° < 𝜃 < 53°. ¿A que es igual?
E = √Sen2θ − 4Senθ + 4
+ √Sen2 θ − Senθ +
1
4
a) 2Senθ + 5/2 b) 2Senθ − 5/2
c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2
6) Si: , donde: a < b < 0
Calcular: tan
A) B)
C) D) E) -b/a
7) Si:Senθ = −
1
3
−
1
15
−
1
35
− ⋯⏟
´´n´´términos
y Cosθ < 0. Hallar el valor de:
E =
√n + 1
√3n + 1
(Tanθ − Secθ)
a) 0 b) 1 c) -1 d) -1 e) -2
8) Si α ∈ 〈0;π〉 y β ∈ 〈π;2π〉,
Determine el signo de P, Q y R
P = Csc(β/2) − Cot(1,57 + α/2)
Q = Cos (
β+α
2
) + PCscβ
R = Pcscβ + QCscα
a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+)
c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+)
e)(+),(-),(-)
9) Indicar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. −
π
2
< 𝜃 < 0 → |Sen|θ|| = −Senθ
II. −π < 𝜃 < −
π
2
→ |Cos|θ|| = Cosθ
III. −
3π
2
< 𝜃 < −𝜋 → |Tan|θ|| = −Tanθ
a) VVV b) VFF c) FVV
d) FFF e) N.A
10)Si θ es un ángulo agudo , hallar todos lo
valores de ‘‘θ’’ para que la expresión:
√2Senθ − 1 + √3 − 5Senθ
Resulte un número real
a) [30°; 53°] b)[30°; 90°〉 c) [53°; 60°]
d) [37°; 90°] e)[30°; 37°〉
11)Determine E = sen + cos PM = MN
A) B) C) D) E)
W=Tanθ 10Cosθ
π
Cot
8
 
 
 
π
Tan
8
 
 
 
(0;4)
(-2;0)
A
B
y
X
2 2
b
Sen
a

IIC
a
a b2 2
b
a b2 2
a
a b2 2


b
a b2 2


1
41
 11
41
6
41
 6
41
5
41


4. Lic. Rodolfo Carrillo/Martin Depaz Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
12) Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los
vérticesde un triángulo ABC y K un punto
perteneciente al lado final de una ángulo en
posiciónnormal  Si K Escircuncentro del
triángulo ABC .calcula 11Tg 
A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6
13)De la figura mostrada calcular:


tg
tg
E
9

A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49
14) La figura adjunta, calcule el valor de:
Si: a > 0, b > 0
A) ½ B) -1 C) 2 D) 1 E) -2
15) Dos ángulos coterminalesestán en la relación
de 2 a 5, si la suma de dichosángulosestán
comprendidos entre 1400° y 1700°. Calcular la
medida del menor ángulo.
A) 340° B) 380° C) 420°
D) 460° E) 480°
16)Si el triángulo ABC esequilátero calcule
A) B) C)
D) E)
17)Si ABCD es un cuadrado, calcular las
coordenadasdel vértice "C".
A) (-12 ; 13) B) (-17 ; 15)
C) (-15 ; 5) D) (-13 ; 12) E) (-17 ; 12)
18)Del gráfico, ABCD esun rombo. Calcular:
.
A) B) C)
D) E)
a cos b sen
M
a b
  


y
x
P(- a ; - b)
cot .
y
x

A B
C
3 2
2 3
3
3
2
2
2
tan cot  
x
y
DA
B
30º

M
12
5
3

3
5
 28 3
15

25 3
3
 18 3
15


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Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo