1. El documento analiza los momentos en los ejes X, Y y Z de un cable de grúa con respecto a un punto, utilizando ecuaciones de equilibrio y el software Matlab para graficar los resultados. 2. Los resultados muestran que el momento en el eje X nunca es negativo, ya que este eje soporta continuamente la carga de la grúa. El momento máximo en X ocurre cuando este eje está en la posición 0 ft. 3. Los momentos en los ejes Y y Z tienen un comportamiento similar entre sí, pero diferente al momento en X

1. 1
E-mail:xavier.gonzalezc@ucuenca.ec
Análisis de momentos por oscilación del cable de un aguilón de grúa.1
Oscar X. González, Willam A. Salinas, Juan J. Hidalgo, Christian X. Mora2
Estática I, Universidad de Cuenca, Ec.3
4
Resumen5
En el presente trabajo se va a tratar sobre la obtención de momentos con respecto a un eje coordenado.6
Para esto primero debemos conocer previamente las ecuaciones requeridas para la realización del7
ejercicio, principalmente la ecuación de momento:8
𝑴 𝑂 = 𝐹𝑑9
A partir de esta ecuación se despeja en relación al eje requerido, se reemplaza los valores y10
posteriormente se obtiene las ecuaciones de momento en cada uno de los ejes. Luego a estas ecuaciones11
se las ingresa en el software de programación Matlab, que permite graficar de una forma muy precisa12
los datos ingresados, arrojando resultados muy confiables. Mediante esta herramienta y teniendo un13
conocimiento previo moderado del programa podemos obtener los resultados deseados, optimizando14
tiempo y recursos en la búsqueda de las interrogantes requeridas.15
El momento en el eje X nunca va a tener valores negativos, debido a que este eje es el que soporta de16
forma continua el aguilón de la grúa, teniendo como momento mayor cuando este eje se encuentra a 017
ft debido a que los momentos en los demás ejes se anulan y el eje x soporta toda la carga.18
Despejando las ecuaciones en función de cada eje, obtenemos ecuaciones que nos permiten graficar y19
observar el comportamiento de dicho sistema mediante software de programación. Podemos observar20
que el momento en los ejes Y y Z tienen un comportamiento parecido, cambiando proporcionalmente21
el uno del otro. Comportamiento que difiere mucho al del momento en el eje X.22
23
Palabras clave: tensión, fuerza, equilibrio, vector, momento.24
25
Abstract26
In the present work we will deal with the obtaining of moments with respect to a coordinate axis. For27
this first we must first know the equations required for the realization of the exercise, mainly the28
moment equation:29
𝑴 𝑂 = 𝐹𝑑30

2. 2
From this equation, it is cleared in relation to the required axis, the values are replaced and then the31
moment equations are obtained in each of the axes. Then these equations are entered into the Matlab32
programming software,which allows us to graph the data entered in a very precise way, yielding very33
reliable results. Through this tool and having a moderate prior knowledge of the program we can obtain34
the desired results, optimizing time and resources in the search of the required questions.35
The moment in the X axis is never going to have negative values, because this axis is the one that36
supports the boom of the crane continuously, having as a major moment whenthis axis is at 0 ft because37
the moments in the other axes are canceled and the x axis supports the entire load.38
Clearing the equations according to each axis, we obtain equations that allow us to graph and observe39
the behavior of said system through programming software. We can observe that the moment in the40
axesY and Z have a similar behavior, changing proportionally the one of the other. Behavior that differs41
greatly from the moment in the X axis.42
43
Keywords: tension, force, balance, vector, moment.44
45
1. Introducción46
En el siguiente ejercicio se estudiará los momentos respectoa cada eje coordenado de la fuerza respecto47
a un punto como una función de x. Para ello es necesario conocer y hacer y uso de los siguientes48
conceptos.49
El momento de un fuerza indica la tendencia de un cuerpo a girar con respecto a un punto específico50
O. (Russel C. Hibbeler, 2004)51
La estática es el estudio de los cuerpos que están en reposo o se mueven con velocidad constante.52
Se establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos53
de las componentes de la fuerza con respecto a punto.54
En la resolución del problema puede haceruso de la regla de la mano derecha,la cualpermite determinar55
el sentido de giro del momento. Esta regla consiste en que el sentido de rotación quede indicado por56
los dedos y el pulgar es dirigido a lo largo del eje de momento, o línea de acción del momento. La57
magnitud del momento se determina mediante la siguiente formula:58
𝑴 𝑂 = 𝐹𝑑 Eq. 159
Para determinar el momento en tres dimensiones se hace uso del producto cruz:60
𝑴 𝑂 = 𝒓 𝑥 𝑭 Eq. 261
(Russel C. Hibbeler, 2004).62

3. 3
En un sistema de equilibrio, cuando actúa una fuerza externa, cambia el comportamiento de las63
tensiones que soportan el mismo. Este comportamiento es estudiado mediante las gráficas que las64
ecuaciones de equilibrio nos proporcionan.65
Para la resolución de los siguientes problemas es necesario saber que un vector se define como una66
expresión matemática que posee magnitud, dirección y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la67
ley del paralelogramo. (Beer, Johnston & Eisenberg, 2007).68
El vector posición r se define como un vector fijo, que localiza un punto del espacio con relación a otro69
punto.70
71
r = xi + yj + zk Eq. 372
Russel C. Hibbeler define a la fuerza como un “empujón” o un “jalón” ejercido por un cuerpo sobre73
otro. Esta interacción puede ocurrir cuando hay un contacto directo entre los cuerpos,como cuando una74
persona empuja una pared, o bien puede ocurrir a través de una distancia cuando los cuerpos están75
separados físicamente. Entre los ejemplos del último tipo están las fuerzas gravitacionales, eléctricas y76
magnéticas. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por completo por su magnitud, dirección y77
punto de aplicación. (Russel C. Hibbeler, 2004).78
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹𝑛 Eq. 479
Para elanálisis del comportamiento de las tensiones se utiliza el concepto de equilibrio de una partícula,80
que nos dice que, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula81
se encuentra en equilibrio (Beer, Johnston & Eisenberg, 2007).82
𝑹 = ∑ 𝑭 = 0 Eq. 583
Donde 𝑭 se puede descomponer en:84
∑ 𝐹𝑥 = 0 Eq. 685
∑ 𝐹𝑦 = 0 Eq. 386
∑ 𝐹𝑧 = 0 Eq. 487
88
2. Materiales y métodos89
El método que se utiliza para la obtención del comportamiento de las tensiones es el método analítico-90
deductivo, para el cual se procede obteniendo los vectores de las tenciones (fuerzas) presentes en el91
sistema, contando estas con las variables en análisis. (Fig. 1).92

4. 4
Al resolver el triángulo rectángulo ACB se obtiene la siguiente ecuación la cual nos da el ángulo θ:93
𝑡𝑔𝜃 =
𝑥
40𝑓𝑡
Eq. 594
𝜃 = (
𝑥
40𝑓𝑡
)
−1
Eq. 695
Descomponemos la tensión TAB. (Fig. 2)96
𝑇𝐴𝐵𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 ((
𝑥
40𝑓𝑡
)
−1
) ∗ 𝑇𝐴𝐵 Eq. 797
𝑇𝐴𝐵𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 ((
𝑥
40𝑓𝑡
)
−1
) ∗ 𝑇𝐴𝐵 Eq. 898
Calculamos los momentos con respecto a cada uno de los ejes.99
𝑀𝑥 = 35000 𝑙𝑏. 𝑓𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠((
𝑥
40𝑓𝑡
)
−1
) Eq. 9100
𝑀𝑦 = 26250 𝑙𝑏. 𝑓𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛 ((
𝑥
40𝑓𝑡
)
−1
) Eq. 10101
𝑀𝑧 = 35000 𝑙𝑏. 𝑓𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛 ((
𝑥
40𝑓𝑡
)
−1
) Eq. 11102
El software que se utilizó para el análisis de las gráficas es Matlab debido a su precisión al momento de103
presentar las gráficas. De la misma forma su programación nos permite analizar los rangos de valores104
requeridos, en este caso las tenciones en función del ángulo 𝜃, al comparar con otros softwares que105
realizan la misma función y se observó que Matlab obtuvo mejor rendimiento.106
Matlab es uno de los softwares de mayor uso en el ámbito de análisis para investigaciones científicas,107
por este aspecto es de gran aporte en el desarrollo de la presente investigación.108
109
3. Resultados110
Para la obtención de resultados, primero se ingresa los códigos de programación a Matlab, para esto se111
calculó previamente cada una de las ecuaciones dando datos conforme con lo requerido en el ejercicio,112
los datos ingresados son los siguientes:113
114
clear all115
clc116
x=-15:0.01:15;117
Mx=35000*(cos(atan(x/40)));118
My=26250*(sin(atan(x/40)));119
Mz=35000*(sin(atan(x/40)));120
plot(x,Mx,'r');grid on121

5. 5
hold on122
plot(x,My,'b');123
hold on124
plot(x,Mz,'g');125
legend ('Momento con respecto a x', 'Momento con respecto a y',126
'Momento con respecto a z');127
ylabel 'lb.ft';128
xlabel 'ft';129
a=input('nn INTRODUZCA EL VALOR DE x (entre -15ft y 15ft):')130
x=a;131
Mx=35000*(cos(atan(x/40)))132
My=26250*(sin(atan(x/40)))133
Mz=35000*(sin(atan(x/40)))134
135
Se puede notar que el momento con respecto aleje X no cuenta con valores negativos (Tabla 1), ya que136
este eje soporta constantemente el aguilón de la grúa. El valor máximo de Mx es cuando se tiene el137
valor de x=0 ft, ya que los momentos en los tres ejes se anulan y el eje X soporta toda la carga de la138
grúa. (Fig. 3).139
140
3.1 Análisis141
En la gráfica de los momentos con respecto a cada eje se puede apreciar que la gráfica con respecto al142
eje X es la que nunca tiene un valor de cero, como se indica anteriormente, la grafica se comporto143
distinto en cada eje, dependiendo de la altura a la que se este produciendo el momento. Se tiene en el144
análisis principalmente al eje X, debido a que es el eje donde primordial y de influencia directa en la145
variación de los momentos en los otros ejes.146
147
4. Discusión148
El uso de software ayuda un gran parte a la interpretación de los ejercicios de forma rápida y precisa.149
Ya que estos datos no aparecen al mismo tiempo en la resolución del ejercicio por lo que debemos150
ingresar los datos de la función por separado para poder obtener los datos completos del ejercicio, para151
así poder determinar y en muchos casos comprobar los resultados obtenidos en la resolución del152
ejercicio.153
Matlab no cuenta con una versión en español que facilite el ingreso y comprensión de los comandos154
requeridos para la utilización de este software. Se requiere de un conocimiento previo del inglés para el155
ingreso de los códigos de programación.156
Los comandos varían de acuerdo al tipo de datos, como por ejemplo en el uso de operaciones con157
funciones trigonométricas, los códigos ingresados para trabajar con grados son diferentes aquellos158
utilizados para trabajar con radianes.159

6. 6
El problema de este ejercicio nos da pautas claras para su resolución como un dato preponderante que160
es la altura a la que están tensionados los cables de la grúa que es de 40 ft. Con esto podemos obtener161
las ecuaciones en función del ángulo 𝜃 requerido, se calcula los momentos de cada eje y se puede162
observar el comportamiento del sistema teniendo como resultado el momento de cada uno de los ejes163
con su respectiva tendencia de giro y el comportamiento de cada uno de los momentos en cada eje164
coordenado como son el X, Y y Z.165
El momento resultante en el eje X es coherente con la aplicación a la realidad, ya que si este momento166
llegara a sernegativo elcable de la grúa iría hacia elsentido contrario, de modo que haría un movimiento167
que no va de acuerdo al requerido en el análisis del ejercicio.168
169
5. Conclusiones170
- El momento cuando la altura en el eje X es 0 ft es mayor debido a que cuando esto sucede, las171
fuerzas en los otros ejes se anulan, dejando toda la carga sobre el eje X.172
- Los valores del momento Mx nunca son negativos por que soporta siempre al aguilón de la173
grúa, sino fuera el caso este el cable del aguilón tendería a ir hacia el sentido contrario.174
- Los valores del momento en el eje X son proporcionales en sus coordenadas tanto positivas175
como negativas, teniendo como punto máximo cuando x=0 ft.176
177
Agradecimiento178
Este trabajo se pudo finalizar gracias a la guía y tutorías brindadas por el Ing. Santiago Vélez179
Guayasamín, docente de la Universidad de Cuenca.También se agradece a nuestros padrespor elapoyo180
brindado en el transcurso de la realización de este trabajo y finalmente a nuestros apreciados181
compañeros quienes con sus puntos de vista colaboraron para una mejor presentación en la entrega final182
del mismo.183
184
Referencias185
[1] BEER, JOHNSTON & EISENBERG, Mecánica Vectorial para Ingenieros (8 ed.), 2007, 5.186
[2] RUSSEL C. HIBBELER, Ingeniería mecánica estática (12 ed.), 2004, 12.187
[3] MARION,JERRY B., Dinámica clásicade laspartículasy sistemas.Barcelona:Ed. Reverté. 1996.188
Disponible en. https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza189
190

7. 7
Tablas191
x Mx My Mz
-15 ft 32772 lb.ft -9217 lb.ft -12289 lb.ft
-10 ft 33955 lb.ft -6366.6 lb.ft -8488.7 lb.ft
-5 ft 34730 lb.ft -3255.9 lb.ft -4341.2 lb.ft
0 ft 35000 lb.ft 0 lb.ft 0 lb.ft
5 ft 34730 lb.ft 3255.9 lb.ft 4341.2 lb.ft
10 ft 33955 lb.ft 6366.6 lb.ft 8488.7 lb.ft
15 ft 32772 lb.ft 9217 lb.ft 12289 lb.ft
192
Gráficas193
194
Figura 1 Grafica del ejercicio planteado, constan las medidas y las tensiones distribuidas en los195
respectivos ejes.196
197
Figura 2 Grafica del diagrama de cuerpo libre, se observa las tensiones, medidas y tensiones de198
giro presentes en el sistema.199

8. 8
200
Figura 3 Grafica del comportamiento de los momentos de cada eje (x, y, z)201