1) El documento introduce los conceptos de vectores y momentos de fuerzas para representar y analizar sistemas de fuerzas en tres dimensiones.
2) Explica cómo utilizar vectores para representar fuerzas y sus momentos, y define operaciones básicas con vectores como suma, producto por escalar, y producto vectorial.
3) Establece que el momento de una fuerza respecto a un punto puede representarse como el producto vectorial entre el vector fuerza y un vector de posición desde el punto al eje de acción de la fuerza.
Este documento presenta diferentes métodos para sumar fuerzas concurrentes, incluyendo métodos gráficos como el paralelogramo, triángulo y polígono, y métodos analíticos como el trigonométrico y de componentes. Explica conceptos clave como sistema de fuerzas concurrentes, suma y resta de vectores, y equilibrio de partículas. Además, describe la metodología para aplicar cada método gráfico.
DESCARGAR LIBRO DE ESTÁTICA - EL MEJOR Y MUY DIDACTICO.
PROBLEMAS RESUELTOS ______________________________________________
Ph.D. Genner Villarreal Castro
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El documento explica los conceptos de equilibrio estático y dinámico, así como las condiciones para que ocurra el equilibrio estático. Define el centro de gravedad y el centro de masa, y explica que coinciden cuando el campo gravitatorio es uniforme. También introduce el concepto de momento de inercia y cómo se relaciona con la resistencia a la flexión de los elementos estructurales. Finalmente, presenta fórmulas para calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos como varillas, discos y cilindros.
Este documento contiene 10 secciones sobre problemas resueltos de estática. Cada sección cubre un tema como fuerzas y momentos, equilibrio de puntos y sólidos, sistemas de fuerzas, cables y vigas. Incluye ejemplos numéricos resueltos de determinar fuerzas desconocidas, tensiones en cables y equilibrio de sistemas.
Este documento presenta fórmulas para calcular momentos de inercia de diferentes áreas geométricas como rectángulos, círculos, triángulos y elipses con respecto a ejes normales y oblicuos. También explica cómo rotar coordenadas y momentos de inercia para cambiar de sistema de ejes, y cómo encontrar los ejes principales de inercia que maximizan o minimizan el momento de inercia de una sección.
Fuerza cortante y momento flector en vigasRoberto Núñez
Este capítulo explica cómo se producen la fuerza cortante y el momento flexionante internos en una viga debido a fuerzas externas aplicadas. Se describe el proceso de dividir la viga en secciones y analizar las fuerzas que equilibran cada sección. Esto permite derivar ecuaciones para la fuerza cortante y el momento en función de la distancia a lo largo de la viga. Luego, se muestran ejemplos de vigas sometidas a diferentes cargas y se grafican los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
Este documento trata sobre la elasticidad de los materiales sólidos. Explica conceptos como esfuerzo, deformación, ley de Hooke, módulos elásticos, coeficiente de Poisson y las relaciones entre esfuerzo y deformación para tensiones, compresiones y cortes. También incluye ejemplos numéricos para calcular esfuerzos, deformaciones y recuperaciones elásticas en diferentes materiales sometidos a cargas.
Este documento trata sobre centros de gravedad, centroides y fuerzas distribuidas. Explica que el centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se puede considerar que actúa toda su masa, y cómo calcular el centroide de áreas bidimensionales y líneas. También cubre primeros momentos de áreas y líneas, y cómo determinar centroides de figuras compuestas y mediante integración. Finalmente, presenta los teoremas de Pappus-Guldinus y cómo analizar cargas distribuidas en vigas.
Este documento presenta diferentes métodos para sumar fuerzas concurrentes, incluyendo métodos gráficos como el paralelogramo, triángulo y polígono, y métodos analíticos como el trigonométrico y de componentes. Explica conceptos clave como sistema de fuerzas concurrentes, suma y resta de vectores, y equilibrio de partículas. Además, describe la metodología para aplicar cada método gráfico.
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Ph.D. Genner Villarreal Castro
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El documento explica los conceptos de equilibrio estático y dinámico, así como las condiciones para que ocurra el equilibrio estático. Define el centro de gravedad y el centro de masa, y explica que coinciden cuando el campo gravitatorio es uniforme. También introduce el concepto de momento de inercia y cómo se relaciona con la resistencia a la flexión de los elementos estructurales. Finalmente, presenta fórmulas para calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos como varillas, discos y cilindros.
Este documento contiene 10 secciones sobre problemas resueltos de estática. Cada sección cubre un tema como fuerzas y momentos, equilibrio de puntos y sólidos, sistemas de fuerzas, cables y vigas. Incluye ejemplos numéricos resueltos de determinar fuerzas desconocidas, tensiones en cables y equilibrio de sistemas.
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Fuerza cortante y momento flector en vigasRoberto Núñez
Este capítulo explica cómo se producen la fuerza cortante y el momento flexionante internos en una viga debido a fuerzas externas aplicadas. Se describe el proceso de dividir la viga en secciones y analizar las fuerzas que equilibran cada sección. Esto permite derivar ecuaciones para la fuerza cortante y el momento en función de la distancia a lo largo de la viga. Luego, se muestran ejemplos de vigas sometidas a diferentes cargas y se grafican los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
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Este documento describe los pasos para configurar una nueva red WiFi en una oficina. Explica cómo elegir un nombre y contraseña para la red, establecer la seguridad y compartir la configuración con los empleados para que puedan conectarse.
Problema con vigas distribuidas triangulares y rectangularesjosiascbc
Este documento describe cómo calcular los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga sujeta a cargas distribuidas triangulares y rectangulares. Explica cómo determinar las reacciones en los apoyos, calcular las fuerzas equivalentes de las cargas distribuidas y trazar los diagramas de corte y momento para dos secciones de la viga. Finalmente, proporciona las ecuaciones para la fuerza cortante y el momento flector a lo largo de toda la viga.
El documento promociona el sitio web www.elsolucionario.net, el cual ofrece solucionarios gratuitos de libros universitarios. Los solucionarios contienen todas las respuestas y explicaciones de los ejercicios de los libros de forma clara. Se invita a los lectores a visitar el sitio para descargar los solucionarios gratuitamente.
Este documento presenta información sobre el equilibrio de partículas y cuerpos rígidos en la estática. Explica las condiciones de equilibrio, cómo trazar diagramas de cuerpo libre, y cómo aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar fuerzas y momentos desconocidos. También incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un libro sobre problemas resueltos de estática. El libro contiene 125 problemas resueltos de forma rigurosa sobre diversos temas de estática como fuerzas y momentos, equilibrio de estructuras, centroides, análisis de armaduras y cálculo de fuerzas internas. El libro está dirigido a estudiantes e ingenieros civiles y busca facilitar el aprendizaje de estática a través de la resolución de problemas.
Este capítulo introduce el concepto de centroide de un área y centro de gravedad de un cuerpo bidimensional. Explica que el centroide es el punto donde debe aplicarse una fuerza equivalente que represente el efecto de fuerzas distribuidas sobre una superficie. También define los primeros momentos de un área con respecto a los ejes de coordenadas y cómo estos se relacionan con la ubicación del centroide.
Este documento trata sobre la dinámica de rotación de cuerpos rígidos. Explica que la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido depende de su momento de inercia y su velocidad angular. También establece que el torque aplicado a un cuerpo es proporcional a su aceleración angular, análogo a la segunda ley de Newton para la traslación. Por último, analiza ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta una serie de problemas resueltos sobre cinética de partículas y cuerpos rígidos. Se dividen en secciones sobre fuerza y aceleración, trabajo y energía, impulso y momento lineal, y sistemas de partículas. Los problemas cubren temas en coordenadas rectangulares y cilíndricas, traslación, movimiento plano general, principios de trabajo y energía, y conservación de la energía. Las soluciones incluyen diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de movimiento y su resolución
Este documento describe un experimento sobre fuerzas concurrentes realizado en la Universidad Industrial de Santander. El experimento utilizó una mesa de fuerza, poleas, pesas y otros instrumentos para obtener una fuerza equilibrante para diferentes pesos y ángulos. Los resultados se analizaron utilizando conceptos como fuerzas concurrentes, vectores y equilibrio. El documento también incluye un marco teórico sobre estos conceptos y una descripción de la metodología experimental y los cálculos, resultados y análisis obtenidos.
3. ed capítulo iii equilibrio de un cuerpo rígido (2)julio sanchez
Este documento presenta el concepto de equilibrio para cuerpos rígidos. Explica que para lograr equilibrio, un cuerpo rígido debe satisfacer las ecuaciones de equilibrio y estar adecuadamente restringido por sus soportes. Describe diferentes tipos de soportes y cómo generan reacciones. También cubre cómo dibujar diagramas de cuerpo libre, aplicar las ecuaciones de equilibrio y asegurar restricciones apropiadas. Finalmente, incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas. El problema 5.8 determina que el momento flector máximo de una viga simétrica con cargas puntuales es PL/2. El problema 5.10 encuentra que para que la fuerza cortante sea cero en el punto medio de una viga con carga trapezoidal, la relación a/L debe ser 0,25. El problema 5.11 plantea las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para una viga con cargas puntual
Este documento define y explica los diferentes tipos de esfuerzos a los que pueden estar sometidos los materiales, incluyendo esfuerzo de tracción, compresión, flexión, corte y torsión. Explica en detalle el esfuerzo cortante, cómo se produce en vigas, suelos y otros elementos estructurales, y cómo se calcula. También cubre el momento flexor y cómo este contribuye al esfuerzo cortante.
Este documento trata sobre los conceptos fundamentales de momento de inercia e incluye su definición, fórmulas para calcularlo y teoremas relacionados. Explica cómo el momento de inercia depende de la geometría del cuerpo y su posición con respecto al eje de giro, pero no de las fuerzas involucradas. También cubre temas como momentos de inercia de áreas compuestas, productos de inercia, ejes principales y momentos principales de inercia.
La fórmula de Euler describe el pandeo de una columna articulada en sus extremos. Se presenta la ecuación diferencial que rige el momento flector de la columna y se resuelve para tres casos posibles. La carga crítica se obtiene al igualar la solución a una función seno con las condiciones de frontera. Esto lleva a que la relación entre la carga crítica y las propiedades geométricas y mecánicas de la columna es proporcional a (EI/L2).
Este documento define y explica conceptos fundamentales como el momento de inercia, momento polar de inercia y centro de gravedad. Explica que el momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo en rotación, mientras que el momento polar de inercia se refiere al área en relación a un eje perpendicular. También establece que el centro de gravedad es el punto donde se concentra el peso de un cuerpo.
Este documento presenta conceptos sobre esfuerzos normales y cortantes. Explica que los esfuerzos son las fuerzas internas resultantes de fuerzas externas aplicadas a un cuerpo. Define esfuerzo normal como la fuerza distribuida uniformemente sobre un área, y esfuerzo cortante como la fuerza tangencial sobre un área. Incluye ejemplos para calcular esfuerzos normales y cortantes en barras y pernos sometidos a diferentes cargas.
El documento define la fuerza y su unidad de medida, el newton. Explica que la fuerza mide el cambio en el momento lineal entre partículas y que en física clásica se refiere a cualquier agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o forma de los materiales. Además, describe las dos condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes coplanares, que la suma de las fuerzas y de los momentos debe ser cero.
1) Las fuerzas ejercidas sobre la pila A por los cables AB y AC son de 200KN y 80KN respectivamente. La fuerza resultante es de 220KN con una dirección de 30° con respecto a la horizontal.
2) Se debe determinar el centroide para una figura compuesta que incluye un círculo hueco.
3) Se pide determinar el centroide y el momento de inercia para una viga en forma de T, dados sus dimensiones.
4) Se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre para una grúa que sostiene
Este documento presenta 7 problemas de resistencia de materiales que cubren diferentes temas como carga axial, torsión, flexión y corte. Los problemas involucran el cálculo de esfuerzos, deformaciones, reacciones, diagramas de esfuerzos y deflexiones en varias estructuras sometidas a cargas mecánicas. El documento proporciona información detallada sobre las dimensiones, materiales, condiciones de contorno y cargas aplicadas a cada problema para que puedan resolverse los cálculos requeridos.
1) El documento introduce los conceptos de vectores y momentos de fuerzas para representar y analizar sistemas de fuerzas en tres dimensiones.
2) Explica cómo utilizar el producto vectorial para calcular el momento de una fuerza con respecto a un punto como un vector perpendicular al plano formado por la línea de acción de la fuerza y el punto.
3) Define el par de fuerzas como un vector perpendicular al plano del par, cuya magnitud es igual al par y dirección sigue la regla de la mano derecha.
Este documento presenta un libro sobre problemas resueltos de estática escrito por el Dr. Genner Villarreal Castro. El libro contiene 125 problemas resueltos de forma rigurosa para facilitar el aprendizaje individual de la estática. Está dirigido a estudiantes e ingenieros civiles e incluye cinco capítulos sobre fuerzas y momentos, equilibrio de estructuras, centroides, métodos de nudos y secciones, y fuerzas internas en vigas y estructuras.
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Problema con vigas distribuidas triangulares y rectangularesjosiascbc
Este documento describe cómo calcular los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga sujeta a cargas distribuidas triangulares y rectangulares. Explica cómo determinar las reacciones en los apoyos, calcular las fuerzas equivalentes de las cargas distribuidas y trazar los diagramas de corte y momento para dos secciones de la viga. Finalmente, proporciona las ecuaciones para la fuerza cortante y el momento flector a lo largo de toda la viga.
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Este documento presenta información sobre el equilibrio de partículas y cuerpos rígidos en la estática. Explica las condiciones de equilibrio, cómo trazar diagramas de cuerpo libre, y cómo aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar fuerzas y momentos desconocidos. También incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
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Este capítulo introduce el concepto de centroide de un área y centro de gravedad de un cuerpo bidimensional. Explica que el centroide es el punto donde debe aplicarse una fuerza equivalente que represente el efecto de fuerzas distribuidas sobre una superficie. También define los primeros momentos de un área con respecto a los ejes de coordenadas y cómo estos se relacionan con la ubicación del centroide.
Este documento trata sobre la dinámica de rotación de cuerpos rígidos. Explica que la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido depende de su momento de inercia y su velocidad angular. También establece que el torque aplicado a un cuerpo es proporcional a su aceleración angular, análogo a la segunda ley de Newton para la traslación. Por último, analiza ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta una serie de problemas resueltos sobre cinética de partículas y cuerpos rígidos. Se dividen en secciones sobre fuerza y aceleración, trabajo y energía, impulso y momento lineal, y sistemas de partículas. Los problemas cubren temas en coordenadas rectangulares y cilíndricas, traslación, movimiento plano general, principios de trabajo y energía, y conservación de la energía. Las soluciones incluyen diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de movimiento y su resolución
Este documento describe un experimento sobre fuerzas concurrentes realizado en la Universidad Industrial de Santander. El experimento utilizó una mesa de fuerza, poleas, pesas y otros instrumentos para obtener una fuerza equilibrante para diferentes pesos y ángulos. Los resultados se analizaron utilizando conceptos como fuerzas concurrentes, vectores y equilibrio. El documento también incluye un marco teórico sobre estos conceptos y una descripción de la metodología experimental y los cálculos, resultados y análisis obtenidos.
3. ed capítulo iii equilibrio de un cuerpo rígido (2)julio sanchez
Este documento presenta el concepto de equilibrio para cuerpos rígidos. Explica que para lograr equilibrio, un cuerpo rígido debe satisfacer las ecuaciones de equilibrio y estar adecuadamente restringido por sus soportes. Describe diferentes tipos de soportes y cómo generan reacciones. También cubre cómo dibujar diagramas de cuerpo libre, aplicar las ecuaciones de equilibrio y asegurar restricciones apropiadas. Finalmente, incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con diagramas de fuerza cortante y momento flector en vigas. El problema 5.8 determina que el momento flector máximo de una viga simétrica con cargas puntuales es PL/2. El problema 5.10 encuentra que para que la fuerza cortante sea cero en el punto medio de una viga con carga trapezoidal, la relación a/L debe ser 0,25. El problema 5.11 plantea las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para una viga con cargas puntual
Este documento define y explica los diferentes tipos de esfuerzos a los que pueden estar sometidos los materiales, incluyendo esfuerzo de tracción, compresión, flexión, corte y torsión. Explica en detalle el esfuerzo cortante, cómo se produce en vigas, suelos y otros elementos estructurales, y cómo se calcula. También cubre el momento flexor y cómo este contribuye al esfuerzo cortante.
Este documento trata sobre los conceptos fundamentales de momento de inercia e incluye su definición, fórmulas para calcularlo y teoremas relacionados. Explica cómo el momento de inercia depende de la geometría del cuerpo y su posición con respecto al eje de giro, pero no de las fuerzas involucradas. También cubre temas como momentos de inercia de áreas compuestas, productos de inercia, ejes principales y momentos principales de inercia.
La fórmula de Euler describe el pandeo de una columna articulada en sus extremos. Se presenta la ecuación diferencial que rige el momento flector de la columna y se resuelve para tres casos posibles. La carga crítica se obtiene al igualar la solución a una función seno con las condiciones de frontera. Esto lleva a que la relación entre la carga crítica y las propiedades geométricas y mecánicas de la columna es proporcional a (EI/L2).
Este documento define y explica conceptos fundamentales como el momento de inercia, momento polar de inercia y centro de gravedad. Explica que el momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo en rotación, mientras que el momento polar de inercia se refiere al área en relación a un eje perpendicular. También establece que el centro de gravedad es el punto donde se concentra el peso de un cuerpo.
Este documento presenta conceptos sobre esfuerzos normales y cortantes. Explica que los esfuerzos son las fuerzas internas resultantes de fuerzas externas aplicadas a un cuerpo. Define esfuerzo normal como la fuerza distribuida uniformemente sobre un área, y esfuerzo cortante como la fuerza tangencial sobre un área. Incluye ejemplos para calcular esfuerzos normales y cortantes en barras y pernos sometidos a diferentes cargas.
El documento define la fuerza y su unidad de medida, el newton. Explica que la fuerza mide el cambio en el momento lineal entre partículas y que en física clásica se refiere a cualquier agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o forma de los materiales. Además, describe las dos condiciones de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes coplanares, que la suma de las fuerzas y de los momentos debe ser cero.
1) Las fuerzas ejercidas sobre la pila A por los cables AB y AC son de 200KN y 80KN respectivamente. La fuerza resultante es de 220KN con una dirección de 30° con respecto a la horizontal.
2) Se debe determinar el centroide para una figura compuesta que incluye un círculo hueco.
3) Se pide determinar el centroide y el momento de inercia para una viga en forma de T, dados sus dimensiones.
4) Se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre para una grúa que sostiene
Este documento presenta 7 problemas de resistencia de materiales que cubren diferentes temas como carga axial, torsión, flexión y corte. Los problemas involucran el cálculo de esfuerzos, deformaciones, reacciones, diagramas de esfuerzos y deflexiones en varias estructuras sometidas a cargas mecánicas. El documento proporciona información detallada sobre las dimensiones, materiales, condiciones de contorno y cargas aplicadas a cada problema para que puedan resolverse los cálculos requeridos.
1) El documento introduce los conceptos de vectores y momentos de fuerzas para representar y analizar sistemas de fuerzas en tres dimensiones.
2) Explica cómo utilizar el producto vectorial para calcular el momento de una fuerza con respecto a un punto como un vector perpendicular al plano formado por la línea de acción de la fuerza y el punto.
3) Define el par de fuerzas como un vector perpendicular al plano del par, cuya magnitud es igual al par y dirección sigue la regla de la mano derecha.
Este documento presenta un libro sobre problemas resueltos de estática escrito por el Dr. Genner Villarreal Castro. El libro contiene 125 problemas resueltos de forma rigurosa para facilitar el aprendizaje individual de la estática. Está dirigido a estudiantes e ingenieros civiles e incluye cinco capítulos sobre fuerzas y momentos, equilibrio de estructuras, centroides, métodos de nudos y secciones, y fuerzas internas en vigas y estructuras.
El documento describe los métodos para descomponer una fuerza en el espacio en componentes rectangulares y determinar su dirección. Se explica cómo descomponer una fuerza en tres componentes ortogonales Fx, Fy y Fz usando ángulos. También se presentan fórmulas para calcular la magnitud de una fuerza a partir de sus componentes y para sumar fuerzas en el espacio.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con la suma de vectores utilizando el método analítico. En el primer problema se aplica la ley del seno para encontrar el ángulo entre dos vectores dados sus magnitudes y la magnitud de su resultado. En el segundo problema también se usa la ley del coseno. El tercer problema involucra descomponer vectores en componentes rectangulares y realizar operaciones. Los últimos tres problemas usan descomposición vectorial para encontrar magnitudes y ángulos desconocidos.
El documento describe los componentes rectangulares de una fuerza en el espacio tridimensional. Una fuerza F se puede descomponer en tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes x, y, z (Fx, Fy, Fz) mediante el uso de ángulos θx, θy, θz. Se proporcionan ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular las componentes de una fuerza dada sus valores a lo largo de los ejes o sus ángulos con respecto a los ejes.
El documento presenta conceptos básicos de estática de partículas, incluyendo fuerzas, vectores, resultantes, equilibrio y aplicaciones en una y tres dimensiones. Explica cómo determinar la resultante de fuerzas concurrentes, descomponer fuerzas en componentes, y resolver problemas de equilibrio para una partícula utilizando ecuaciones vectoriales. También incluye ejemplos numéricos y su solución.
El documento presenta 9 ejemplos de problemas de equilibrio de partículas y sistemas de fuerzas en 3 dimensiones. Los ejemplos resuelven problemas determinando las fuerzas desconocidas aplicadas a objetos mediante el uso de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio vectorial.
Este documento presenta información sobre fuerzas y equilibrio de partículas. Explica conceptos como fuerzas externas e internas, sistemas de fuerzas, equilibrio en dos y tres dimensiones, y cómo resolver problemas de equilibrio mediante el uso de diagramas de cuerpo libre y la aplicación de las leyes de Newton. También incluye ejemplos resueltos que ilustran estos conceptos.
Este documento contiene la solución a 16 problemas de estática relacionados con fuerzas, momentos, equilibrio de puntos y sistemas de sólidos. Los problemas cubren temas como la determinación de la resultante de varias fuerzas, la descomposición de fuerzas en componentes, y el cálculo de tensiones en cables que mantienen objetos en equilibrio.
Se analiza la importancia del concepto de fuerza en el enunciado de las leyes de Newton. Se explica el diagrama de cuerpo libre y se aplica la primera y tercera leyes de Newton en casos sencillos.
El documento describe el uso del presente simple en inglés. Se utiliza para acciones habituales, verdades universales, gustos y preferencias. El verbo auxiliar "do/does" se usa en oraciones negativas e interrogativas. La tercera persona singular generalmente agrega una "s" al verbo en afirmaciones.
I. El documento presenta conceptos básicos sobre ángulos como su definición, notación y clasificación. Explica qué es una bisectriz y provee ejemplos numéricos. II. Incluye ejercicios prácticos sobre identificar tipos de ángulos, medir ángulos y calcular ángulos complementarios y suplementarios. III. Proporciona una tarea sobre cálculos angulares para practicar en casa.
Este documento contiene 10 ejercicios de geometría sobre triángulos, triángulos notables y congruencia para el grado 3o de secundaria. Los ejercicios consisten en calcular ángulos desconocidos, lados desconocidos y valores expresados en función de los elementos del triángulo.
El documento presenta tres bloques de diferentes masas unidos por cuerdas. Se calculan las tensiones de las cuerdas y la aceleración del sistema mediante la aplicación de las leyes de Newton. Se obtienen tres ecuaciones de equilibrio que relacionan las fuerzas actuantes sobre cada bloque y se resuelven para hallar la aceleración y las tensiones de las cuerdas.
Este documento presenta conceptos fundamentales de estática, incluyendo: (1) la definición de fuerza, vector y resultante; (2) métodos para sumar vectores y descomponer fuerzas en componentes; y (3) el equilibrio de una partícula bajo la acción de varias fuerzas. Explica conceptos clave como fuerzas concurrentes, componentes rectangulares de una fuerza y suma de fuerzas mediante sus componentes x e y.
Este documento describe los principios del equilibrio de fuerzas en un plano. Explica que para que exista equilibrio, la suma de todas las fuerzas debe ser cero y la suma de todos los torques también debe ser cero. Define el torque como el efecto de fuerzas separadas por una distancia, y proporciona una fórmula para calcularlo. Además, presenta ejemplos para ilustrar cómo resolver problemas de equilibrio de fuerzas usando métodos gráficos y algebraicos.
1) Para que una partícula esté en equilibrio, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella debe ser cero (primera ley de Newton).
2) Es necesario trazar un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas y sus magnitudes y direcciones.
3) Para equilibrio en un sistema tridimensional, cada fuerza debe resolverse en componentes y la suma de las componentes a lo largo de cada eje debe ser cero.
1) Los vectores son usados en física para representar magnitudes como fuerza, velocidad y posición que requieren especificar dirección y sentido. 2) Existen magnitudes escalares que solo necesitan especificar un valor como la temperatura. 3) Para determinar un vector como una fuerza se necesita especificar su magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación.
Vectores y estatica de solidos --- Chara H.chara314
Este documento trata sobre vectores y estatica de solidos. Explica las definiciones básicas de vectores como segmentos orientados que representan magnitudes físicas. Describe las diferentes clasificaciones de vectores como libres, deslizantes o ligados. También introduce el concepto de coordenadas cartesianas para representar puntos y vectores en un, dos o tres dimensiones a través de pares o tercetas de números. Finalmente, cubre temas como las componentes coordenadas de un vector y las operaciones básicas de álgebra vectorial como la suma de vect
Este documento describe el uso de un sistema de poleas para levantar cargas y reducir el esfuerzo físico en la construcción civil. Explica los objetivos de mejorar la velocidad y evitar la segregación al transportar mezclas, y describe los conceptos teóricos de vectores, fuerzas y poleas necesarios para analizar el problema propuesto de encontrar las aceleraciones y fuerzas de tensión en el sistema.
La mecánica estudia las fuerzas y los movimientos de los cuerpos. Se divide en estática, que analiza los cuerpos en reposo, y dinámica, que estudia los cuerpos en movimiento. Las fuerzas son magnitudes vectoriales que se representan mediante vectores y tienen magnitud, dirección y sentido. Existen métodos como el paralelogramo y el triángulo para calcular la resultante de varias fuerzas concurrentes aplicadas a un cuerpo.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial. Explica que las magnitudes vectoriales, como la velocidad y la fuerza, se definen por su magnitud, dirección y sentido, mientras que las escalares solo por su valor numérico. Describe las diferentes clasificaciones de vectores y las operaciones básicas como suma, resta, producto escalar y vectorial. Finalmente, introduce conceptos como campo vectorial y derivación vectorial.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial. Explica que las magnitudes vectoriales, como la velocidad y la fuerza, se definen por su magnitud, dirección y sentido, mientras que las escalares solo por su valor numérico. También define los diferentes tipos de vectores y las operaciones básicas como la suma, resta, producto escalar y vectorial. Finalmente, introduce conceptos como el campo vectorial y el teorema de Green.
Este documento presenta los fundamentos del análisis vectorial. Introduce conceptos clave como escalares, vectores, campos escalares y vectoriales. Explica cómo representar vectores usando sistemas de coordenadas cartesianas, incluyendo descomponer un vector en sus componentes a lo largo de los ejes x, y y z. También cubre sumas y multiplicaciones básicas de vectores.
Este documento describe conceptos fundamentales de la mecánica como espacio, tiempo, masa y fuerza. Explica que la mecánica describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se detalla que la mecánica se aplica a cuerpos rígidos, deformables como fluidos, y abarca la estática (cuerpos en reposo) y dinámica (cuerpos en movimiento). También presenta conceptos como sistemas de fuerzas equivalentes, momento de una fuerza, par y equ
Este documento describe un experimento sobre fuerzas concurrentes realizado en la Universidad Industrial de Santander. El experimento utilizó una mesa de fuerza, poleas, pesas y otros instrumentos para obtener una fuerza equilibrante para diferentes pesos y ángulos. Se analizaron conceptos como fuerzas concurrentes, fuerzas coplanares, vectores y equilibrio. Los resultados obtenidos a través de métodos experimentales, gráficos y analíticos mostraron un error relativo pequeño, validando el experimento.
Resultante de sistemas de fuerzas concurrentes, coplanares, y descomposición...EmanuelMuoz11
Este documento trata sobre sistemas de fuerzas concurrentes, coplanares y la descomposición de la resultante en sus componentes rectangulares. Explica conceptos como fuerza resultante, fuerzas concurrentes y coplanares, y métodos para hallar la resultante como el triángulo, paralelogramo y polígono. También cubre la descomposición de la resultante en componentes rectangulares usando fórmulas trigonométricas.
1) El documento describe conceptos básicos sobre fuerzas y vectores como magnitudes vectoriales, incluyendo su representación gráfica y parámetros como módulo, dirección y sentido. 2) Explica cómo representar y sumar dos o más fuerzas concurrentes usando las reglas del paralelogramo, triángulo y polígono. 3) También cubre sustracción de fuerzas y el producto de un escalar por un vector.
Este documento trata sobre cálculo vectorial. Introduce conceptos básicos como magnitudes escalares y vectoriales, y clasifica vectores de acuerdo a su punto de aplicación en vectores libres, deslizantes y fijos. Explica cómo sumar, restar y descomponer vectores, y define vectores iguales, equipolentes y opuestos.
Este documento analiza los vectores de fuerza que actúan en las columnas y vigas de la piscina de la Facultad de Ingeniería Civil. Describe los conceptos básicos de vectores y fuerzas, y aplica el análisis estático para determinar las fuerzas resultantes que actúan en una columna específica que será estudiada, con el objetivo de concluir las fuerzas que pueden afectarla.
Clase N° 1 - TP N° 1 - Sistemas de Fuerzas Concentradas - Parte A.pptxgabrielpujol59
Este documento presenta conceptos básicos de estática como fuerzas, cuplas y sus efectos. Explica las cuatro operaciones fundamentales de la estática, incluyendo la traslación y sustitución de fuerzas. También describe el procedimiento de Ritter para descomponer una fuerza en componentes no concurrentes a lo largo de rectas dadas. Finalmente, muestra cómo resolver problemas aplicando estos conceptos, como descomponer una fuerza o momento en componentes según ejes especificados.
Este documento describe cómo realizar linealizaciones de gráficos mediante cambios de variables y obtener relaciones matemáticas entre cantidades físicas a partir de tablas de valores. Explica la importancia de los gráficos en física para ilustrar relaciones entre variables, calcular constantes y obtener ecuaciones matemáticas. También resume los pasos para construir gráficos y la información que se puede obtener de una recta, incluyendo el método de mínimos cuadrados.
Este documento introduce el concepto de derivada de una función y explica cómo calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Primero define rectas secantes y tangentes, y explica cómo la pendiente de la tangente se puede calcular como el límite de la pendiente de las secantes cuando el segundo punto se acerca al punto de tangencia. Luego proporciona ejemplos detallados de cómo calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales a diferentes curvas.
Este documento resume cuatro teoremas importantes de cálculo:
1) El teorema de Lagrange establece que si una función es continua en un intervalo cerrado e derivable en el interior, existe un punto donde su derivada es igual a la pendiente de la recta que une los puntos extremos.
2) El teorema de Rolle establece que si una función es continua en un intervalo cerrado, derivable en el interior, y toma el mismo valor en los extremos, existe un punto donde su derivada es cero.
3) El teorema de Cauchy relaciona
Este documento presenta el concepto de continuidad de funciones reales de variable real. Explica que una función es continua en un punto si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz y si pequeñas variaciones en la variable x producen pequeñas variaciones en f(x). Además, formaliza la definición de continuidad mediante límites y analiza ejemplos de funciones continuas e discontinuas en diferentes puntos. Por último, enumera propiedades de las funciones continuas.
Este documento introduce el polinomio de Taylor como la mejor aproximación polinómica de una función en un punto dado. Explica cómo construir polinomios de Taylor de orden n que coinciden con una función y sus derivadas hasta el orden n en un punto. Finalmente, presenta algunas propiedades y ejemplos de cálculo de polinomios de Taylor para funciones comunes.
El método simplex se utiliza para resolver problemas de programación lineal estándar mediante la maximización o minimización de una función objetivo sujeta a restricciones. El método convierte las desigualdades en igualdades mediante la introducción de variables holgura y genera soluciones factibles iterativamente hasta alcanzar la solución óptima. Comienza con una tabla inicial simplex y selecciona la variable de entrada y salida en cada iteración para mejorar progresivamente el valor de la función objetivo.
El documento describe operaciones elementales en matrices y su relación con sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo mediante operaciones elementales se pueden obtener las formas escalonada y canónica de una matriz, y cómo esto se relaciona con el rango y la inversibilidad de la matriz. También presenta un algoritmo para calcular la inversa de una matriz cuadrada.
Este documento introduce los conceptos fundamentales de la lógica proposicional. Explica que la lógica proposicional busca expresar problemas mediante un lenguaje simbólico preciso que permita deducir información basada únicamente en la forma de los enunciados, independientemente de su significado. Define conceptos como variables proposicionales, enunciados, conectivos lógicos y tablas de verdad, y explica cómo estos elementos permiten construir formas enunciativas compuestas cuya verdad depende de la ver
El documento describe diferentes tipos de cuádricas y superficies geométricas tridimensionales. Detalla las ecuaciones y propiedades de esferas, elipsoides, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloides elípticos e hiperbólicos, cilindros y conos. También cubre superficies de revolución, traslación y regladas generadas por el movimiento de curvas.
1) El documento describe varios métodos para identificar el tipo de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuando no se especifica. 2) Sugiere analizar si la ecuación es homogénea, exacta, lineal o de variables separables antes de intentar otros métodos. 3) Proporciona ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar estos análisis para identificar el tipo de ecuación diferencial y encontrar su solución.
El documento trata sobre resolución de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Explica métodos como separación de variables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de primer y segundo orden, así como ecuaciones de orden superior. También cubre resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando serie de Taylor.
El documento describe las fórmulas de tres cónicas: la elipse tiene dos semiejes y dos focos, la hipérbola tiene dos semiejes y dos focos reales y dos vértices imaginarios, y la parábola tiene un vértice y un foco con una ecuación que relaciona y al cuadrado y x.
Este documento habla sobre la importancia de resumir textos de forma concisa para destacar la información principal. Explica que un buen resumen debe identificar la idea central y los detalles más relevantes del documento original en una o dos oraciones como máximo.
Este documento presenta los métodos y recomendaciones para resolver problemas de óptica geométrica. Explica que para los problemas de lentes se trazan rayos paralelos y perpendiculares al eje óptico y que para espejos se trazan rayos paralelos y que pasan por el centro de curvatura. También recomienda hacer listas de datos, incógnitas y ecuaciones, así como dibujar un croquis y analizar el resultado.
Este documento presenta 5 problemas resueltos relacionados con el principio de Pascal y prensas hidráulicas. Se explica la fórmula del principio de Pascal y cómo se puede usar para calcular fuerzas y masas en platos de diferentes tamaños. También se aclara que la presión dentro de una prensa hidráulica se distribuye de forma uniforme en todas las paredes.
Este documento presenta conceptos clave sobre ondas y fenómenos ondulatorios. Introduce el movimiento vibratorio y características de las ondas como longitud de onda, amplitud y velocidad de propagación. Explica tipos de ondas como longitudinales, transversales y electromagnéticas. Describe fenómenos como reflexión, refracción y difracción de ondas. Finalmente, señala que el sonido es una onda longitudinal y la luz una onda transversal.
Este documento presenta 30 ejercicios de movimiento circular uniforme. Los ejercicios cubren conceptos como velocidad angular, velocidad lineal, período, frecuencia, aceleración centrípeta y ángulo recorrido. Se proporcionan datos como el radio de la circunferencia, la velocidad o el número de vueltas, y se piden calcular otras magnitudes relacionadas con el movimiento circular uniforme.
Este documento describe las máquinas simples, incluyendo la palanca, el plano inclinado, el torno y la polea. Explica cómo funcionan cada una y proporciona ejemplos. También incluye ejercicios prácticos sobre cómo calcular fuerzas y distancias requeridas para mover objetos usando estas máquinas simples.
El documento presenta 5 ejercicios resueltos relacionados con el principio de Arquímedes sobre flotación y empuje en fluidos. Se calcula el empuje, fuerza resultante, peso aparente, volumen y densidad de objetos sumergidos en agua o líquidos de diferentes densidades.
Este documento presenta 19 ejercicios de cinemática que abarcan diferentes tipos de movimiento, incluyendo movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, caída libre y movimiento circular uniforme. Los ejercicios piden calcular distancias, velocidades, tiempos y construir gráficas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo para analizar diferentes escenarios de movimiento.
Ejercicios movimiento circular con solucionLeandro ___
Este documento presenta varios ejercicios de movimiento circular uniforme y movimiento circular uniformemente acelerado. Los ejercicios incluyen calcular velocidades angulares, velocidades lineales, aceleraciones angulares y tangenciales, y ángulos recorridos para objetos que giran a velocidades constantes o que aceleran o desaceleran su giro, como ruedas, discos, la Tierra y otros planetas.
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1. VI. FUERZAS EN EL ESPACIO
Hasta ahora hemos venido estudiando sistemas de fuerzas cuyas
líneas de acción están contenidas en un plano. Ahora comenzaremos el
estudio de los sistemas en tres dimensiones. Prácticamente no habrá nin-
guna nueva teoría que añadir, pues simplemente tendremos que trabajar
con una componente más de todas las fuerzas. Sin embargo, eso compli-
cará las representaciones gráficas, la determinación de las direcciones de
las fuerzas y, sobre todo, lo relativo a los momentos de las fuerzas: ahora
tendremos que retomar el hecho de que los momentos de las fuerzas son
tendencias a hacer girar los cuerpos respecto a ejes, no a puntos.
Nos resultará muy útil ahora utilizar vectores para representar tan-
to las fuerzas como sus momentos.
Vectores
Un vector es un segmento dirigido de recta.
Sus características son 1) magnitud, tama-
ño, módulo o norma, y 2) dirección.
Para utilizarlos como elementos matemáticos definiremos varias
operaciones y estableceremos un álgebra completa. Las propiedades de
los vectores, de sus operaciones y de su álgebra, tendrán que ser confor-
mes a las propiedades del las fuerzas, de su composición y resolución, de
la obtención de momentos, etc. Una limitante de los vectores es que ne-
cesitan otro que defina su posición (1
).
ϴ
F
2. Fuerzas en el espacio
132
Suma de vectores
La suma de dos vectores que par-
ten de un punto es otro vector que se en-
cuentra en la diagonal del paralelogramo
formado con esos dos vectores, y parte
también de ese punto.
Como se ve, sumar vectores,
equivale a obtener la resultante de un sis-
tema de fuerzas concurrentes.
Componente de un vector es
otro vector que al sumarse con uno o
varios más, tienen por suma el vector .
Son componentes cartesianos de un vec-
tor aquellos que tienen la dirección de
los ejes cartesianos. Es decir:
Producto de un escalar por un vector
Un escalar es una cantidad que queda completamente definida por
una sola característica. En Física son escalares la temperatura, la longitud,
el tiempo, la masa, etc. En cambio, son vectores las cantidades que tienen
magnitud y dirección, como la fuerza, la velocidad, la aceleración, y otras
muchas.
En nuestra álgebra un escalar es un número real.
Al multiplicar un escalar por un número real obtenemos un nuevo
vector en la misma dirección que el original. Pero con una magnitud dife-
rente o sentido distinto.
A F1
RF2
x
Fy
Fz
Fx
y
z
F
3. Fuerzas en el espacio
133
Vectores unitarios
Si tenemos un vector unitario e en cierta dirección, los vectores
2e, 5e. –3e son paralelos al primero.
Los vectores i, j y k son vectores unitarios en las direcciones de
los ejes equis, ye y zeta, respectivamente. De modo que
; ;
Y, por fin, un vector queda unívocamente expresado de la siguien-
te manera
que se llama forma polinómica (dada su semejanza con un polinomio al-
gebraico) o normal (puesto que sus tres componentes son normales
perpendiculares entre sí).
Cosenos directores
Conocida la forma polinómica de un vector, se puede conocer el
ángulo que forma con cada uno de los ejes coordenados. Como Fx y F
son, respectivamente el cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo
entonces
que son los cosenos directores del vector, y α, y γ los ángulos que forma
con cada uno de los ejes cartesianos.
Un vector unitario cualquiera en forma polinómica sería
x
Fy
Fz
Fx
y
z
F
α
4. Fuerzas en el espacio
134
por tanto, dado que la magnitud de un vector es
entonces
que viene a ser una ley de dependencia de los tres ángulos que una recta
forma con los ejes coordenados.
Vector apoyado en dos puntos
Supongamos que la línea de acción de una fuerza de magnitud F
pasa por los puntos A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2).
Para hallar un vector que represente tal fuerza tendríamos que
multiplicar la magnitud de la fuerza por un vector unitario en la dirección
AB. Es decir
Pero
y su magnitud es
o sea que
5. Fuerzas en el espacio
135
O bien: como
Ejemplo. La tensión en el cable
AB es de 390 kg. Diga qué vector
representa la tensión que el cable ejerce
sobre el punto A del poste de la figura.
x
3 m
12 m
A
y
z
B
4 m
O 5 m
12 m
A
x
y
B
Ejemplo. La tensión en el cable
AB es de 390 kg. Diga qué vector repre-
senta la tensión que el cable ejerce sobre
el punto A del poste de la figura. El cable
y el poste están contenidos en el mismo
plano.
12
5
13
5
12
390
6. Fuerzas en el espacio
136
Observe que el procedimiento seguido en los dos ejemplos
anteriores es equivalente. Pero en el caso de los problemas en el plano, el
lenguaje vectorial resulta generalmente innecesario.
Resultantes de los sistemas de fuerzas en el
espacio
Obtener el sistema resultante de un sistema de fuerzas en el espa-
cio quiere decir hallar otro sistema equivalente que produzca los mis-
mos efectos externos más simple. En general, tal sistema está formado
por una fuerza y un par de fuerzas. Es frecuente que la simplicidad del
sistema que se busca, más que en el número de fuerzas que los cons-
tituyen, se refiera a la facilidad de manejarlo o entenderlo. Por ejemplo: a
veces se quiere sustituir dos fuerzas de direcciones o posiciones incómo-
das, por una aplicada en algún determinado punto y un par que la acom-
pañe.
Resultantes de sistemas de fuerzas concurrentes en
el espacio
Si las líneas de acción de mil fuerzas concurren en un punto, la
iteración del principio de Stevin nos llevaría a determinar las caracte-
x
390
y
z
A (0, 0, 12)
B (4, 3, 12)
7. Fuerzas en el espacio
137
rísticas de una sola fuerza equivalente. Dicha fuerza sería la resultante del
sistema y la iteración del principio de Stevin, tal como estudiamos para el
caso de fuerzas coplanares, se obtendría mediante la suma vectorial de las
mil fuerzas. Simbólicamente
Escribimos los vectores que representan a cada una de las fuerzas
que se dirigen desde A hacia B, C y D
Resultantes de sistemas de fuerzas paralelas en el
espacio
Dos fuerzas paralelas están necesariamente contenidas en un pla-
no, sus línea de acción definen el plano. Y su resultante es una fuerza pa-
ralela a ellas, también contenida en ese plano, cuya magnitud es igual a la
B (12’,-8’,0) x
A (0,0,24’)
y
z
O
D (0,18’,0)
C (-6’,-8’,0)
Ejemplo. Las tensiones en los ca-
bles AB, AC y CD de la figura son, res-
pectivamente, 140, 260 y 240 lb. Deter-
mine la resultante de las tres tensiones
que se ejercen sobre el extremo A de la
pluma.
8. Fuerzas en el espacio
138
suma algebraica de las dos fuerzas y su posición tal que produzca, res-
pecto a cualquier eje, un momento igual a la suma de los momentos de las
dos fuerzas del sistema.
Si se desea encontrar la resultante de un sistema de mil fuerzas
paralelas, que no estén contenidas en un plano, basta reiterar el proce-
dimiento anterior de dos en dos fuerzas. Al final, la resultante será una
fuerza paralela a todas ellas, cuyos momentos respecto a dos ejes perpen-
diculares entre sí y a las líneas de acción de las fuerzas, es igual a la suma
de los momentos de las fuerzas del sistema respecto a dichos ejes. Ilustra-
remos el procedimiento con el siguiente ejemplo.
Comenzaremos sumando algebraicamente las fuerzas para obtener
la magnitud y el sentido de la resultante
Su sentido es hacia arriba pues el signo de la suma resultó
positivo.
Ahora calcularemos los momentos de las fuerzas respecto a los
ejes x y y; respecto al eje z no produce momentos
80 #
z
x
y
60 #
20 #
1´
1´
Ejemplo. Sobre una losa horizon-
tal actúan las fuerzas verticales que se
muestran en la figura. Determine la mag-
nitud y la dirección de su resultante, y
diga en qué punto su línea de acción cor-
te al plano xy.
9. Fuerzas en el espacio
139
Suponiendo que x sea positivo, como R se dirige hacia arriba, pro-
duce un momento negativo respecto al eje y.
Por tano, la línea de acción de R para por el punto
Como puede apreciarse, para la determinación de la resultante de
un sistema de fuerzas paralelas en el espacio se requieren las siguientes
ecuaciones escalares
En el caso del ejemplo el cálculo de los momentos con respecto a
los ejes cartesianos se realizó multiplicando las magnitudes de las fuerzas
por las distancias de sus líneas de acción a los ejes correspondientes.
Cuando una fuerza no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, se
podrá obtener sus momentos respecto a los ejes descomponiendo la fuerza
en sus componentes cartesianas y multiplicando sus magnitudes por las
distancias de sus líneas de acción a los ejes. Como el proceso puede
resultar muy laborioso, sistematizaremos el cálculo de los momentos de
una fuerza cualquiera mediante una nueva operación vectorial: el produc-
to vectorial (o cruz) de dos vectores.
Vector momento de una fuerza
Con el fin de simplificar el cálculo de los momentos de las fuerzas
en el espacio, vamos a asociar el momento de una fuerza respecto a un
punto con un vector. Convendremos en que dicho vector tendrá la
magnitud del momento y será perpendicular al plano definido por la línea
10. Fuerzas en el espacio
140
de acción de la fuerza y el punto; y convendremos también que su sentido
seguirá la regla de la mano derecha (o del tornillo de rosca derecha).
Tomemos como ejemplo la palanca
de la figura, contenida en el plano xy, sujeta
a la acción de las dos fuerzas mostradas, tam-
bién contenidas en ese plano. El momento de
F1 respecto a O es MoF1 = 40 (2) = 80 en
sentido contrario de las manecillas del reloj.
El vector con que vamos a asociar o repre-
sentar ese momento es un vector perpen-
dicular al plano xy, de magnitud 80, y cuyo
sentido es hacia el lado positivo del eje de las
zetas (que no se ve); por tanto, podemos
escribir
En cambio, el momento de F2, cuyo sentido es contrario al del
momento anterior, quedará representado con el vector
Momento de una fuerza en el espacio
Consideremos primera el caso del momento de una fuerza en el
plano cartesiano. Se la fuerza de magnitud F, cuya línea de acción pasa
por el punto P de coordenadas P(x, y) y cuyas componentes son Fx y Fy.
Conforme al teorema de Varignon (el momento de una fuerza
respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de sus compo-
nentes respecto al mismo punto):
que se puede escribir así
o
F1=40 kg
F2=10 kg
2 m 1 m
y
x
11. Fuerzas en el espacio
141
y el vector asociado a este momento, según vimos en el apartado
anterior, es
Téngase presente que al decir que es el momento de la fuerza con
respecto al punto O, nos estamos refiriendo en realidad al momento de la
fuerza con respecto al eje de las zetas.
El lector podrá comprobar fácilmente que si repetimos el proce-
dimiento con fuerzas contenidas en los otros planos cartesianos o en pla-
nos paralelos a ellos, se obtendría
Diremos que el momento de la fuerza respecto al origen O será la
suma vectorial de los momentos de la fuerza con respecto a los ejes coor-
denados:
es decir
que vamos a concentrar, dándole la forma de un determinante:
Nótese que el segundo renglón contiene las coordenadas de un
punto de la línea de acción de la fuerza. Y se pueden considerar las com-
ponentes de un vector que une el centro de momentos (en este caso el ori-
12. Fuerzas en el espacio
142
gen) con un punto cualquiera de la línea de acción de la fuerza y que lla-
maremos vector de posición:
Esta operación con vectores se denomina producto vectorial y se
simboliza así:
También se llama producto cruz, dado el símbolo que se utiliza.
Evidentemente, la magnitud del vector
momento tiene que resultar igual al producto de
la magnitud de la fuerza por la distancia de su
línea de acción al punto. Gráficamente, corres-
ponde al área del rectángulo cuyos lados son la
fuerza y la distancia. Pero como el vector de posi-
ción r va del centro de momentos a cualquier pun-
to de la línea de acción de la fuerza, y d es igual a
r sen , se tiene que la magnitud del producto
cruz es igual al producto de las magnitudes de los
factores por el seno del ángulo que forman entre
sí. Simbólicamente
y es igual al área del paralelogramo formado con esos dos vectores.
Ejemplo. Diga qué vector repres-
enta el momento de la fuerza F, de 24
kg, respecto al origen del sistema de re-
ferencia. Y diga también cuáles son los
momentos de esa fuerza con respecto a
cada uno de los ejes cartesianos.
0.4 m
x
y
A
0.2 m
0.4 m
0.4 m
F
B
o
z
o
d
F
o
ϴ F
r
13. Fuerzas en el espacio
143
El vector fuerza es
Y podemos elegir como vector de posición al
Y podemos elegir como vector de posición al
Ejemplo. ¿Cuál es el momento de
la fuerza Q respecto al punto A?
4´
z
x
y
A
3´ Q = 28#
2
3
6
o
14. Fuerzas en el espacio
144
Pares de fuerzas
Así como el momento de una fuerza respecto a un punto lo repre-
sentamos mediante un vector perpendicular al plano que contiene al punto
y a la línea de acción de la fuerza, un par de fuerzas lo asociaremos a un
vector perpendicular al plano del par, cuya magnitud se la del par, y cuyo
sentido siga la regla de la mano derecha.
Podemos hallar el vector par de varias maneras. Como la
magnitud del par es de 12(3) = 36, y el vector debe tener la dirección del
eje de las equis, entonces
Otra manera de hallarlo, que será a más común en los problemas
del espacio, es utilizar un vector de posición que parata de un punto
cualquiera de una de las fuerzas, y llegue a otro punto cualquiera de la
otra. De modo que
Para nuestro ejemplo el vector de posición puede ser
Y realizando el producto cruz, obtenemos el vector buscado:
Ejemplo. Diga con qué vector se
puede representar el par mostrado en la
figura. Las dos fuerzas están contenidas
en el plano yz.
12 kg 12 kg
z
y
x 3 m
12 12
z
y
x
r
15. Fuerzas en el espacio
145
Podríamos haber elegido otro vector de posición:
Y el producto vectorial quedaría como sigue:
Pero el resultado es el mismo.
Par de transporte
Como en el caso del plano, si se desea transportar una fuerza sin
que se alteren los efectos externos, se añade un par de transporte, cuyas
características deberán ser las del momento que la fuerza produce, en su
posición original respecto a la final.
Hallamos el momento de la fuerza respecto a A:
Ejemplo. Transporte la fuerza
aplicada en B, al empotramiento A, sin
que se alteren los efectos externos que
produce sobre la barra.
z
y
x
60 #
B
A
2´
5´ 4
4 2
12 12
z
y
x
r
16. Fuerzas en el espacio
146
Por tanto, colocamos la fuerza en A acompañada del par
Es importante observar que el par de transporte es perpendicular a la
fuerza. Lo cual significa que el procedimiento in-verso, sustituir una
fuerza y un par por una sola fuerza, es posible solamente cuando el vec-
tor par y el vector fuerza son perpendiculares entre sí.
Resultantes de sistemas generales de fuerzas en el
espacio
Hemos dicho que resultante de un sistema de fuerzas es el sistema
equivalente más simple. Es claro que para un sistema de fuerzas coplana-
res el sistema equivalente más simple es o una fuerza o un par de fuerzas.
Sin embargo, el término resultante, para el caso de la fuerzas en tres di-
mensiones, puede resultar bastante ambiguo, por lo siguiente. Si sobre un
cuerpo actúan mil fuerzas no coplanares, ni concurrentes, ni paralelas, en
general se puede hallar un sistema equivalente formado por una fuerza
cuya línea de acción pase por un punto previamente elegido y un par de
fuerzas, es decir, por tres fuerzas; claramente se ve que este sistema de
tres fuerzas es más simple que el de mil, pero quizá pueda existir otro sis-
tema equivalente aún más simple. Si sobre un cuerpo actúan tres, o inclu-
so dos fuerzas, si se elige un punto arbitrario, generalmente llamado ori-
gen, y se procede a encontrar un sistema equivalente, llegaremos a un sis-
tema formado por una fuerza y un par, sistema que de ninguna manera es
más simple que el original. Sin embargo, puede tener interés conocer este
nuevo sistema, porque se ha determinado en función de un cierto origen
que presente alguna ventaja para el tratamiento de las fuerzas. Además,
un sistema fuerza-par es equivalente a infinidad de sistemas fuerza-par.
60 #
MT
17. Fuerzas en el espacio
147
Se pueden dar los casos en que el sistema se pueda reducir a una sola
fuerza o a un solo par: en estos casos se trata de verdaderos sistemas re-
sultantes, que no admiten ambigüedad alguna.
De cualquier forma, siempre podremos proceder de la siguiente
manera: elegimos un sistema de referencia, incluido su origen. Cada una
de la fuerzas se transporta al origen y se acompaña de un par de
transporte, de modo que no se alteren los efectos externos. Todas las
fuerzas, mediante su suma vectorial, se reducen a una, , y todos los
pares, a uno, , también mediante su suma vectorial. Es decir las ecua-
ciones vectoriales que nos permiten determinar el sistema fuerza-par equi-
valente son
que se convierten en las seis ecuaciones escalares siguientes:
Desde luego, si se elige un sistema de referencia distinto, los re-
sultados serán distintos, aunque se tratará de otro sistema equivalente.
Los vectores fuerza son
Ejemplo. Sustituya las cuatro
fuerzas que actúan sobre la torre de la fi-
gura por una fuerza aplicada en el origen
del sistema de referencia y un par.
8 m
z
x
y
A
8 m
6 m
T1=13 ton
B
8 m
8 m
P=4 ton
T2=10 ton
D=3 ton
o
18. Fuerzas en el espacio
148
El problema se puede resolver de dos maneras: como si se tratara de uno
nuevo, o utilizando el resultado que se obtuvo en el ejemplo anterior. Uti-
lizaremos el segundo método como comprobación.
Primer método
La fuerza será la misma del ejemplo anterior, pero aplicada en
A. En cambio, para hallar el par, debemos calcular los momentos de la
fuerza con respecto al punto A.
Ejemplo. Determine el sistema
fuerza-par equivalente al sistema de
fuerzas que actúa sobre la torre del pro-
blema anterior, en que la fuerza esté apli-
cada en el punto A.
8 m
z
x
y
A
8 m
6 m
T1=13 ton
B
8 m
8 m
P=4 ton
T2=10 ton
D=3 ton
o
19. Fuerzas en el espacio
149
Segundo método
Transportamos la fuerza obtenida en el ejemplo anterior al punto
A
por tanto
Ejemplo. Sobre el motor eléctrico
de la figura se aplica un sistema formado
por las tres fuerzas y el par mostrados.
Sustituya dicho sistema de fuerzas por un
sistema fuerza-par en el punto O.
M = 50 lbin
z
x
y4´
´
F1=90 #
F3=80 #
5´
´
10´
´
F2=40 #
6´
´
2
2
1
o
20. Fuerzas en el espacio
150
Fuerza y par perpendiculares
Cuando el vector fuerza y el vector par de un sistema fuerza-par
son perpendiculares, significa que las tres fuerzas están contenidas en el
mismo plano (puesto que el vector par es perpendicular al plano formado
por las líneas de acción de las fuerzas del par). Y, por tanto, esa fuerza es
resultante del sistema, una vez que se coloque en su debida posición, es
decir, en el punto en que se pueda suprimir la acción del par, tal como se
hizo en los problemas de fuerzas en el plano. Simbólicamente se puede
expresar así:
La pregunta obligada es ¿cómo saber s dos vectores son perpendi-
culares? A lo que se responde que cuando su producto escalar es nulo.
Definiremos, por tanto ahora, el producto escalar.
Producto escalar (o punto) de dos vectores
El producto escalar de dos vectores es el número real que resulta
de la suma de los productos de sus componentes respectivas. O sea
Este producto se llama también producto punto por el símbolo que
se utiliza. De la definición se deduce que el producto escalar de un vector
por sí mismo es igual al cuadrado de su magnitud:
De esta propiedad podemos deducir otra, apoyándonos en un trián-
gulo cualquiera, como el de la figura.
ϴ
F1
F2
F
21. Fuerzas en el espacio
151
… (1)
Por otro lado, de la ley de cosenos obtenemos
… (2)
Igualando los primeros miembros de (1) y (2)
Puesto que el producto escalar de dos vectores es igual al producto de
sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman entre sí, si dicho pro-
ducto es cero, significa que los dos vectores son perpendiculares, ya que
el coseno de un ángulo recto es cero.
Los vectores rectores involucrados son:
z
x
y
C
3 m
4 m
BF1=50
kg
o
A
F2=75 kg
F3=59.4 kg
3 m
Ejemplo. Sobre un cuerpo actúan
las tres fuerzas que se muestran en la fi-
gura. Encuentre un sistema fuerza-par en
el origen del sistema de referencia, e in-
vestigue si es reductible a una sola fuer-
za. Si lo es, diga cuál es la fuerza resul-
tante y dé un punto de su línea de acción.
22. Fuerzas en el espacio
152
;
;
Investigaremos si la fuerza y el par son perpendiculares
entre sí
Sí son perpendiculares, puesto que su producto escalar es nulo.
Para que no se alteren los efectos extremos al suprimir el par, los
efectos de éste los deberá producir la fuerza en una posición tal que
Elegiremos un vector de posición , que irá del origen al
punto P de la línea de acción de la fuerza que corta al plano xy
o sea
de donde se obtienen las siguientes ecuaciones
La tercera nos sirve de comprobación
23. Fuerzas en el espacio
153
Conviene saber que cualquier sistema fuerza-par es equivalente a
otro en el que los vectores fuerza y par son paralelos. Estos sistemas
reciben el nombre de llaves de torsión o de motores en algunos textos.
Equilibrio de los sistemas de fuerzas en el
espacio
Como sabemos, un sistema de fuerzas está en equilibrio si su
resultante es nula. Los sistemas de fuerzas en el espacio deben cumplir,
por tanto con dos ecuaciones vectoriales, la suma de las fuerzas debe ser
igual a cero, así como la suma de los momentos con respecto a un punto
cualquiera. Simbólicamente
Estas dos ecuaciones vectoriales equivalen a seis ecuaciones esca-
lares:
O sea que en un problema isostático se podrá tener hasta seis incóg-
nitas. Pero si las fuerzas son concurrentes, sólo tres, lo mismo que si son
paralelas.
Los problemas de equilibrio en el espacio se resuelven comenzando,
como con los problemas en el plano, por un diagrama de cuerpo libre,
aunque en este caso tales diagramas serán sumamente esquemáticos.
Ilustraremos la resolución de problemas con tres ejemplos.
24. Fuerzas en el espacio
154
Se trata de un problema de equilibrio de fuerzas concurrentes con
tres incógnitas. Los vectores implicados en este problema son:
Las ecuaciones de equilibrio y sus soluciones son
B (6’,-4’,0) x
A (0,0,12’)
y
z
O
D (0,9’,0)
C (-3’,-4’,0)
Ejemplo. La pluma de la figura
está en equilibrio por la acción de los tres
cables, de su peso y del apoyo de cuenca
y bola que lo sujeta al suelo. Sabiendo
que el peso de la pluma es de 300 kg y la
tensión en el cable AB, de 210, calcule
las tensiones en los otros dos cables y la
reacción del apoyo.
P=300
TB=210 TC TD
RO
25. Fuerzas en el espacio
155
Cada uno de los ejes elegidos intersecta la
línea de acción de dos incógnitas, lo que
facilitará la resolución de las ecuaciones de
equilibrio.
El eje de las zetas, que no aparece en el
diagrama, es perpendicular al de las equis y
al de las yes.
Ejemplo. La mesa de la figura pe-
sa 80 lb y 20 la esfera que está colocada
sobre ella. Se observa que la pata D no
toca el piso. Suponiendo que éste es liso,
calcule las reacciones de las patas A, B y
C.
60´´A B
CD
48´´
90´´
36´´
80
RC
20
RBRA x
y
26. Fuerzas en el espacio
156
Se trata de un sistema general de fuerzas con
seis incógnitas. Los vectores que se requieren
son:
Y las ecuaciones de equilibrio son:
Ejemplo. El estante de la figura
es una tabla homogénea de 24 kg de
peso. Está sostenida por una bisagra en
A, un soporte en B y una cuerda. Calcule
la tensión de la cuerda y las componen-
tes cartesianas de las reacciones A y B.
80 cm
40 cm
40 cm
20 cm
A
B
C
y
z
x
Az
P=24
Ay
By
x
y
Bz
Ax
T
27. Fuerzas en el espacio
157
NOTAS DEL CAPÍTULO VI
(1
) La noción más general, que resulta de una extrapolación del con-
cepto prístino, consiste en un conjunto ordenado de número reales. Y en
Álgebra lineal, vector es una entidad aún más abstracta, que cumple con
cierto número de axiomas. Pero tales concepciones no resultan útiles para
el estudio de la Mecánica clásica.
28. Fuerzas en el espacio
158
Serie de ejercicios de Estática
FUERZAS EN EL ESPACIO
1. En un sistema de referencia carte-
siano, en el que los ejes de las equis y de las
yes son horizontales, y el de las zetas verti-
cal y dirigido hacia arriba, ¿qué vector re-
presenta el peso de un cuerpo de 16 ton, cu-
yo centro de gravedad es G(3, 4, 2) m?
(Sol. = – 16 k ton )
2. Escriba la representación vecto-
rial de una fuerza de 580 N que forma un
ángulo de 90º con el eje de las equis, de 30º
con el de las yes y de 60º con el de las
zetas.
(Sol. = 502 j + 290 k N )
3. Una fuerza de 150 lb que forma
un ángulo de 50º con el eje de las abscisas,
tiene una componente, en dirección del deje
de las ordenadas, de 90 lb. Determine las
magnitudes de las otras dos componentes y
escriba el vector que representa dicha fuer-
za, sabiendo que los tres ángulos directores
son agudos.
(Sol. Fx = 96.4 lb; Fz = 71.4 lb
= 96.4 i + 90 j + 71.4 k lb )
4. El cuerpo de la figura pesa 400
kg. ¿Qué vector T representa la tensión que
la cuerda ejerce sobre O?
(Sol. = 332 i + 207 j + 83 k kg )
z
x
y
Q (8,5,2)
P
29. Fuerzas en el espacio
159
5. La línea de acción de una fuerza
de 99 N está dirigida de A (2, 4, 4) m hacia
B (1, 0, –4) m. ¿Cuáles son sus componen-
tes cartesianas?
(Sol. Fx = – 11 N; Fy = – 44 N; Fz = – 88 N)
6. Escriba, en forma polinómica (o
normal), el vector que representa una fuerza
de 175 kg cuya dirección es la de la diago-
nal CD del paralelepípedo de la figura, si su
sentido es de C hacia D.
(Sol. = 75 i – 50 j + 150 k kg )
7. ¿Qué vector unitario tiene la di-
rección de la fuerza = 14 i – 3 j + 18 k
N ?
(Sol. e = 0.609 i – 0.1304 j + 0.783 k N )
8. ¿Cuál es la magnitud de la pro-
yección de la fuerza = 14 i – 13 j + 10 k
lb sobre la línea AB si las coordenadas de
dichos puntos son A (–2, 3, 6) in y B (1, 7, -
6) in?
(Sol. 10 lb)
9. Diga qué ángulo forman entre sí
las fuerzas = 120 i + 200 j + 450 k lb y
Q = 340 i – 150 j + 210 k lb .
(Sol. 60.9º)
10. Tres fuerzas parten del origen y
pasan por los puntos A (2, 1, –2) cm, B (–1,
4, 8) cm y C (6, –6, 3) cm. Las magnitudes
de esas fuerzas son, respectivamente, 30, 45
y 54 N. Determine su resultante.
(Sol. = 51 i – 6 j + 38 k N )
z
x
y
D
C
6 m
2 m
3 m
30. Fuerzas en el espacio
160
2´´
12´´ 3´´
O
180 #
x
y
z
2´
5´
4´
4´
7´
x
y
z
A
O
B C
6´
6´
3´
270 #B
A
C
x
y
z
(0,0,4) [m]
(0,4,0) [m]
(8,0,0) [m]
x
y
z
3m 12 kg
12 kg
11. La tensión de la cuerda AB que
soporta el estante de la figura es de 18 lb,
mientras que la de la cuerda BC es de 15.1
lb. ¿Cuál es la resultante de las dos tensio-
nes ejercidas sobre el punto B?
(Sol. = – 4 i + 20 j – 20 k lb )
12. Un pedal de bicicleta se prueba
sometiéndolo a la acción de una fuerza ver-
tical de 180 lb, como se muestra en la figu-
ra. ¿Cuál es el momento de esa fuerza res-
pecto al punto O?
(Sol. = – 2160 i + 900 j lb·in )
13. Diga qué momentos produce la
tensión que la cuerda AB ejerce sobre B, del
problema 11, respecto a los puntos O y C.
(Sol. = – 48 i + 84 j + 60 k lb·ft
= 84 j + 84 k lb·ft )
14. Determine la magnitud del
momento que la fuerza de la figura de 270
lb produce respecto al origen del sistema de
referencia y respecto a cada uno de los ejes
coordenados.
(Sol. = 1207 lb·ft; = 0;
= 540 lb·ft; = 1080 lb·ft)
15. Un par formado por dos fuerzas
de 12 kg y cuyas líneas de acción distan en-
tre sí 3 m, actúa en el plano cuyas trazas se
muestran en la figura. ¿Qué vector repre-
senta a dicho par?
(Sol. = 12 i + 24 j + 24 k kg·m )
31. Fuerzas en el espacio
161
(3,2)
(2,4)
(4,7)
x
y
z
20 # 10 #
30#
x
y
z
5 ton 4 ton
45°
3 ton
20 ton∙m
F
E
G
D
C
B
A
(4,2,0)
(2,2,0)
(4,5,2)
(0,3,2)
(2,0,2)
(4,0,2)
40#
20#
30#
x
y
z
16. La fuerza = 12 i – 18 j + 10 k
lb actúa en el punto A (6, 8, 5) ft. Diga
qué par se requiere para transportarla al
punto B ( 1, 4, 2) ft.
(Sol. = 94 i – 14 j – 138 k lb·ft )
17. Calcule el área del paralelogra-
mo formado por los vectores = – 75 i +
60 j + 25 k mm y = 50 i + 30 j – 45 k
mm .
(Sol. 66.3 cm2
)
18. En el diagrama se muestran tres
fuerzas de 20, 10 y 30 lb que son paralelas
al eje de las zetas. Sus líneas de acción cor-
tan al plano xy en los puntos cuyas coorde-
nadas, en ft, son (3, 2), (2, 4) y (4,7) respec-
tivamente. Determine la magnitud, el sentí-
do y la posición de su resultante.
(Sol. R = 40 lb ; x = 4 ft; y = 5.25 ft)
19. Determine la resultante del
sistema general de fuerzas que se muestra
en la figura. Las coordenadas se dan en ft.
(Sol. = – 34.7 i + 9.45 j + 32.8 k lb
= 29.6 i – 159.8 j + 35.5 k lb·ft )
20. Sustituya el sistema de fuerzas
que actúa sobre el cuerpo de la figura por
una fuerza aplicada en A y un par. La línea
de acción de la fuerza de 4 ton es paralela al
plano ABCDE; el par de 20 ton·m actúa en
un plano horizontal que contiene a A. El
tramo AB mide 3 m; los tramos BC, CD,
DE, EF y EG son todos de 1 m de largo.
(Sol. = 2.83 i – 3 j – 7.83 k ton
32. Fuerzas en el espacio
162
z
702 #
x
y
A (0,0,-8) [ft]
B (0,-6,0) [ft]
C (15,0,0) [ft]
D (-4,8,0) [ft]
O
2.5 m
1.2 m
0.3 m
x
y
z
B
C
A
x
y
z
126 #
3´
3´
3´
2´6´
2´
Q
A
B
C
2´
= 11.17 i +21.3 j + 14.17 k ton·m )
21. El cuerpo de 702 lb, tal como se
muestra en la figura, está suspendido por
tres cuerdas. Determine la tensión de cada
una de ellas.
(Sol. TAB = 450 lb; TAC = 153 lb;
TAD = 405 lb)
22. La figura representa, esquemáti-
camente, un piano de cola de 600 kg. Las
coordenadas de su centro de gravedad, en el
sistema mostrado, son G (2, 0.5, 0.7) m.
Diga cuáles son las reacciones del piso so-
bre cada una de la patas.
(Sol. RA = 120 kg; RB = 184 kg;
RC = 296 kg)
23. Despreciando el peso propio del
mecanismo y toda fricción, calcule la mag-
nitud de la fuerza Q capaz de mantener el
equilibrio en la conformación mostrada, así
como la magnitud de cada una de la compo-
nentes cartesianas de las reacciones en las
chumaceras A y B, sabiendo que sólo aqué-
lla resiste el movimiento de la manivela en
la dirección del eje de las equis.
(Sol. Q = 98 lb; AX = – 28 lb; AY = 28 lb;
AZ = 63 lb; BY = – 112 lb; BZ = 105 lb)