Este documento describe varias aplicaciones de la derivada, incluyendo determinar la monotonía, curvatura y puntos de inflexión de una función, encontrar máximos y mínimos, aplicar criterios de derivadas para clasificar extremos, usar la regla de l'Hôpital para resolver límites indeterminados, calcular tasas de variación, probar teoremas como los de Rolle, Lagrange y Cauchy, optimizar funciones, y representar gráficamente funciones.

1. Aplicación de
la derivadaRealizado por Gabriela Espinoza

2. ÍNDICE
Introducción………………………………1
Las Derivadas…………………………….2
Monotonía de una función…………….3
Curvatura de una función……………..4
Puntos de inflexión……………………..5
Máximos y Mínimos…………………….6
Criterio de la derivada primera………7
Criterio de la segunda derivada……..7
Regla de l’hôpital………………………..8
Tasa de variación……………………………..9
Teoremas de las derivadas…………………..10
Teorema de rolle……………………………….10
Teorema del valor medio (teorema de
lagrange)…………………………………………11
Teorema de cauchy…………………………12
Optimización………………………………….13
Otras aplicaciones………………………….14
Conclusión…………………………………….15
Bibliografía……………………………………16

3. El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en
el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,
constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron
Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son
difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A
ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que
usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de
aparecer.
INTRODUCCIÓN
1

4. LAS DERIVADAS
Las derivadas tienen muchas aplicaciones en el análisis
de funciones.
En primer lugar, ofrece la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de una función en un punto.
Pero tienen muchas más utilidades.
A continuación sus aplicaciones más importantes2

5. Monotonía de una función
Para hallar los intervalos de monotonía de una función se
realizará el siguiente procedimiento:
1.Derivar la función, obteniendo f’(x).
2.Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores
de x tales que en ellos la derivada sea f’(x) = 0.
3.Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas
de f’(x).
4.Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de
cada intervalo.
Estudiar la monotonía, es decir el crecimiento o el decrecimiento de una
función en un intervalo.
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6. Curvatura de una función
La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad.
La primera derivada nos permite estudiar la curvatura (concavidad o
convexidad) de una función. La segunda derivada determina la
curvatura.
En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una
montaña, mientras que una función convexa a un valle.
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7. Puntos de inflexión
La derivada permite estudiar existencia de los puntos
de inflexión.
Un punto de inflexión de una función es el lugar de
su dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia
de cóncavo a convexo o viceversa.
En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la
gráfica de la función. Si además la primera derivada es
nula, f’(a) = 0, es un punto de inflexión de tangente
horizontal.
Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es
condición necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho
punto (f’’(a) = 0).
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no
haber punto de inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos
afirmar que no hay un punto de inflexión en f(a).
Este sería el caso de la función f(x) = 2x4. En ella, la segunda
derivada f’’(x) = 24x2. Para x = 0, f’’ (0) = 0 y, sin embargo, el punto
(0, f(0)), es decir, el punto (0, 0) no es un punto de inflexión, tal y
como se ve en la siguiente imagen:
Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función,
en donde se verifique que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:
Criterio de la segunda derivada
Criterio de la tercera derivada (o sucesivas)
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8. Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse
mediante la derivada.
Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en
él, para que haya un punto extremo local (máximo o mínimo) c del
intervalo), la derivada primera en c debe ser nula, f’(c) = 0.
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo podemos
saber si ese punto es un extremo local y si este extremo es un
máximo o un mínimo?:
Y es que puede ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de
inflexión de tangente horizontal. Los puntos en que se anula la
primera derivada se denominan puntos críticos.
Máximos
y Mínimos
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9. Criterio de la derivada
primera
Criterio de la segunda
derivada
El punto (c, f(c)) es un máximo local de f(x) si se cumple
que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa
de signo positivo a negativo.
El punto (c, f(c)) es un mínimo local de f(x) si se cumple
que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la primera derivada pasa
de signo negativo a positivo.
El punto (c, f(c)) es un punto de inflexión de tangente horizontal
de f(x) si se cumple que f’(c) = 0 y en el entorno inmediato de c la
primera derivada no cambia de signo.
El criterio de la derivada primera lo vemos resumido en este
cuadro:
El punto (c, f(c) es un máximo local de f(x) si se cumple que la
primera derivada en él es nula y su segunda derivada es negativa.
El punto (c, f(c) es un mínimo local de f(x) si se cumple que la
primera derivada en él es nula y su segunda derivada es positiva.
El criterio de la derivada segunda lo vemos resumido en este
cuadro:
7

10. Regla de l’Hôpital
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o
términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos
de límites indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente.
Requiere conocer bien la técnica de la derivación>.
Si dos funciones f(x) y g(x) continúas en un
intervalo que contiene el punto a toman los
valores f(a) = g(a) = 0, se verifica que:
Aplicación de la regla de L’Hôpital
Las funciones deben derivarse por separado en el numerador y
en el denominador.
Es una indeterminación del tipo 0/0.
Entonces se verifica que:
Siempre que exista el límite en a de f’/g’ y que g’(x) ≠ 0 en cualquier punto
del intervalo diferente de a. (El que no exista el límite f’/g’ no excluye que
pudiera existir el límite de f/g).
El valor del límite en a puede ser cualquiera en el intervalo derivable de
ambas funciones, incluyendo +∞ y -∞.
La regla de L’Hôpital se puede aplicar también directamente a límites
laterales y a límites indeterminados del tipo ∞ / ∞ ya que del caso del
enunciado inicial se puede hacer la transformación:
En los límites que den indeterminaciones exponenciales del
tipo 1∞, 00; o ∞0, mediante transformaciones basadas en las propiedades
de los límites y de los logaritmos, llegar a
una indeterminación cociente 0/0 o ∞/∞ a la que sí que se le podría aplicar
la regla de L’Hôpital.
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11. Tasa de variación
La tasa de variación media se corresponde con la pendiente
de la recta que une los puntos de la función de
abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α.
La tasa de variación instantánea de f(x) en un punto de
abscisa a es el límite del valor de la tasa de variación
media cuando el incremento de x tiende a cero. La T.V.I es
la derivada de la función en ese punto:
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12. Teoremas de
las derivadas
El teorema de Rolle consiste en que si una función f(x) verifica
que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el
intervalo abierto (a, b). Si los valores de la función en los
extremos son iguales f(a) = f(b), entonces hay, al menos, un
punto del intervalo c ∈ (a, b) en el que su derivada primera se
anula, f’(a) = 0
.
Los Teoremas de Rolle, Teorema del Valor
Medio y Teorema de Cauchy
El teorema de Rolle se utiliza para demostrar el teorema
de Lagrange. De hecho, el teorema de Rolle es un caso
particular del teorema de Lagrange cuando se cumpla
que f(a) = f(b).
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13. Teorema del Valor Medio (Teorema de Lagrange)
El teorema del Valor Medio o teorema de Lagrange enuncia
que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b],
existe al menos un punto perteneciente al intervalo abierto, que
es a su vez derivable, c &fisin; (a, b), en él se cumple que:
El teorema del valor medio es una generalización
del teorema de Rolle, puesto que no requiere que los extremos
del intervalo sean iguales.
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14. El teorema de Cauchy establece que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en el
intervalo [a, b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠ g(b), existe al menos un
punto c perteneciente a (a, b), siempre que g’(c) ≠ 0 tal que se cumple:
Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy se denomina también teorema Generalizado
del Valor Medio.
El primer término de la igualdad es una constante, a la que
llamaremos k.
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15. La optimización se consigue
con derivadas. Hallando
el máximo o mínimo de una
función determinada que
recoja el objetivo a optimizar,
se averigua el valor o valores
de las variables que hay que
ajustar.
Optimización
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16. ● Y otras aplicaciones, como facilitar
la representación gráfica de funciones o hallar
aproximadamente los valores de
una función mediante la diferencial.
● La diferencial de una función en un punto a es el
incremento que hubiera tenido esa función al
incrementar la variable independiente x a otro
punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de
la función, se hubiera seguido por la tangente a
dicha curva en a.
Otras aplicaciones
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17. Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias que
se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente
eléctrica, magnetismo, etc. Aplicable también en la economía para hallar
valores mínimos y máximos los cuales son importantes para proyectar en
economía. Sirven para explicar el comportamiento de la curva de una función
trigonométrica. Es decir tiene un numero sin fin de aplicaciones en las cuales
toma un papel importante
CONCLUSIÓN
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18. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/
aplicaciones-derivadas/
https://es2.slideshare.net/AlexisBruceBarriosEchalar/aplica
ciones-de-las-derivadas-74751005
BIBLIOGRAFÍA
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