Este documento describe varias aplicaciones de las derivadas en matemáticas, incluyendo determinar la monotonía y curvatura de funciones, encontrar puntos de inflexión, máximos y mínimos, aplicar la regla de l'Hôpital, calcular tasas de variación, y los teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. También cubre cómo se usan las derivadas en optimización.

1. Aplicaciones de
las Derivadas
NOELY BUENO 2021

2. Índice
Introducción
Monotonía de una función
Curvatura de una función
Puntos de inflexion
Máximos y mínimos
Regla de l’Hôpital
Tasa de variación
Teoremas de las derivadas
Teorema de Rolle
Teorema del Valor Medio (Teorema de
Lagrange)
Teorema de Cauchy
Optimización
Conclusión
Referencias
Agradecimiento

3. En cálculo diferencial y análisis matemático, la
derivada de una función es la razón de cambio
instantánea con la que varía el valor de dicha función
matemática, según se modifique el valor de su
variable independiente. Tienen muchas aplicaciones
en el análisis de funciones. Las derivadas encuentran
un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los
negocios y la economía, etc.
Introducción

4. Para hallar los intervalos de monotonía de una función se realizará el
siguiente procedimiento:
Derivar la función, obteniendo f’(x).
Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que en
ellos la derivada sea f’(x) = 0.
Crear intervalos abiertos con extremos las raíces halladas de f’(x).
Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada
intervalo.
Monotonía de una
función

5. Curvatura de
una función
La derivada permite estudiar la concavidad
o convexidad. La primera derivada nos
permite estudiar la curvatura (concavidad o
convexidad) de una función. La segunda
derivada determina la curvatura.

6. Puntos de inflexión
La derivada permite estudiar existencia de los puntos de
inflexión.Un punto de inflexión de una función es el lugar
de su dominio en donde cambia de curvatura, donde
cambia de concavo a convexo o viceversa.En un punto de
inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si
además la primera derivada es nula, f’(a) = 0, es un punto
de inflexión de tangente horizontal.

7. Puntos de inflexión
Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es condición
necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho punto (f’’(a) = 0).Esta
condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no haber punto de
inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos afirmar que no hay un punto
de inflexión en f(a).Este sería el caso de la función f(x) = 2x4. En ella, la segunda derivada f’’(x) =
24x2. Para x = 0, f’’(0) = 0 y, sin embargo, el punto (0, f(0)), es decir, el punto (0, 0) no es un
punto de inflexión.
Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función, en donde se verifique
que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:Criterio de la segunda derivadaCriterio de la
tercera derivada (o sucesivas)

8. Máximos y
mínimos
Los máximos y mínimos de una función pueden
encontrarse mediante la derivada.Si la función está
definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que
haya un punto extremo local (máximo o mínimo) c del
intervalo), la derivada primera en c debe ser nula, f’(c) =
0.Esta condición es necesaria, pero no suficiente. ¿Cómo
podemos saber si ese punto es un extremo local y si este
extremo es un máximo o un mínimo?:Y es que puede
ocurrir que f’(c) = 0 y que en c haya un punto de inflexión de
tangente horizontal. Los puntos en que se anula la primera
derivada se denominan puntos críticos.

9. Regla de l’Hôpital
La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de
límites que den indeterminación, especialmente los casos
más complejos, exponenciales o términos no racionales. Se
aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo
0/0 o ∞/∞. Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos
de límites indeterminados, realizando transformaciones
para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l’Hôpital
puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la
técnica de la derivación>.

10. Tasa de
variación
La tasa de variación representa el
incremento positivo o negativo
(crecimiento y decrecimiento) del
valor de una función f(x) al pasar la
variable independiente de un valor a
a otro mayor b.

11. Teoremas de las derivadas
El teorema de Rolle consiste en que si
una función f(x) verifica que es
continua en un intervalo cerrado [a, b]
y derivable en el intervalo abierto (a,
b). Si los valores de la función en los
extremos son iguales f(a) = f(b),
entonces hay, al menos, un punto del
intervalo c ∈(a, b) en el que su
derivada primera se anula, f’(a) = 0.
TEOREMA DE ROLLE
El teorema del Valor Medio o teorema de
Lagrange enuncia que si una función f(x)
es continua en un intervalo cerrado [a, b],
existe al menos un punto pertenenciente
al intervalo abierto, que es a su vez
derivable,
El teorema del valor medio es una
generalización del teorema de Rolle,
puesto que no requiere que los extremos
del intervalo sean iguales.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
(TEOREMA DE LAGRANGE) El teorema de Cauchy establece
que dadas dos funciones f(x) y
g(x) continuas en el intervalo [a,
b] y derivables en (a, b). Si g(a) ≠
g(b), existe al menos un punto c
perteneciente a (a, b), siempre
que g’(c) ≠ 0
TEOREMA DE CAUCHY

12. Optimización
La optimización se consigue con
derivadas. Hallando el máximo o
mínimo de una función
determinada que recoja el
objetivo a optimizar, se averigua
el valor o valores de las variables
que hay que ajustar.

13. Conclusión
Item 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5
40
30
20
10
0
La Derivada es un elemento utilizado en la matemática
para calcular respuestas de una función a la que se le están
alterando sus valores iniciales. La derivada de una función
esta representada gráficamente como una línea recta
superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de
esta pendiente respecto al eje sobre el cual esta siendo
estudiada la función recibe el nombre de Derivada.

14. Referencias
Aplicación de la derivada Introducción.
(2020, 4 agosto). [Vídeo]. YouTube.
https://www.youtube.com/watch?
v=izGTzSy5X10
Serra, B. R. (2020, 18 octubre). Aplicaciones
de las derivadas. Universo Formulas.
https://www.universoformulas.com/matemat
icas/analisis/aplicaciones-derivadas/
¿Qué es Derivada? » Su Definición y
Significado [2021]. (2020, 16 junio). Concepto
de - Definición de.
https://conceptodefinicion.de/derivada/

15. Thank you!