1. FORMAS INDETERMINADAS
En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos
de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan
indeterminaciones del tipo . A este tipo de indeterminaciones se les
puede aplicar la siguiente regla:
Regla de L'Hôpital para límites.
La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación
de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a
enunciar así:
Un límite indeterminado de la forma:
valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de
las derivadas de numerador y denominador, es decir:
De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0.
Veamos un ejemplo.
EJEMPLO 1: Hallar el límite:
este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar
la regla de L'Hôpital:
límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se
puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

2. que es en definitiva el valor del límite.
Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no
sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones:
/ , 0× , - .
Por ejemplo, una indeterminación del tipo / , provendrá de un límite
de la forma:
en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este
límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:
y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no
es diferente de la 0/0.
EJEMPLO 2: Hallar el límite:
Este límite en principio toma la forma indeterminada / , y lo
resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:
OBSERVACIÓN: No es necesario pasar el límite a la indeterminación
0/0 ántes de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien (f '/g') es distinto de
(1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en
el punto x=a.
En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0× , aparecen en límites de
productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a
0, y la otra, lag(x), tiende a . En este caso nosotros expresaremos el
límite en la forma:

3. y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se
puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.
EJEMPLO 3: Hallar el límite:
Este límite tiene la forma 0× , por lo tanto, operamos como hemos
dicho:
habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya
derivada es: - 1/(seno)², esto es:
Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de
L'Hôpital es la forma - , que aparece en límites de una resta, es
decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen +
. Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:
y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus
inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar
la regla de L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una
expresión que incluya un cociente, tal como en el ejemplo siguiente:
EJEMPLO 4: Hallar el límite:
Este límite tiene la forma - , y ántes de aplicar la regla de L'Hôpital

4. debemos ponerlo en forma de cociente:
así expresado el cociente tiene la forma 0/0, y se puede aplicar esta regla:
Finalmente, vamos a ver unos ejemplos en los que la regla de L'Hôpital
ha de aplicarse sobre el exponente. Se trata de indeterminaciones del
tipo: 0°, °, , que proceden de límites de una función f(x) elevada a
otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la
siguiente identidad:
teniendo en cuenta esta identidad, la cual suele escribirse por comodidad:
A = exp(log A), podemos poner:
y ahora si estamos hallando un límite en x=a de esa función exponencial,
nosotros calcularemos el límite en el exponente, es decir, dentro del
paréntesis de "exp", en concreto el límite de (g×log f), el cual puede ser,
por ejemplo, de la forma 0× , cuya forma de resolverse es la del
ejemplo 3.
EJEMPLO 5: Hallar el límite:
Este límite tiene la forma indeterminada 0°, y tal como hemos dicho,
puede expresarse:
en el interior del paréntesis (la exponencial) tenemos una
indeterminación 0× , y ahora procederemos así:

5. NOTA: Algunos, este tipo de límites los suelen hacer de otra manera -
equivalente a la que hemos visto aquí- que vamos a pasar a exponer:
Partiendo de la equivalencia:
y ahora resuelven el límite de (g×log f) por la regla de L'Hôpital, tal
como lo hacemos aquí, y si el resultado de este límite es "A", entonces:
log y = A
por tanto, el límite pedido, y, será e elevado a ese número A. En nuestro
ejemplo 5, como el límite de (g×log f), es decir, el límite de (3x
. log x) es 0, el límite pedido es e "elevado a 0", como ya lo hemos visto
ántes.