El documento explica cómo se pueden usar derivadas para optimizar sistemas expresados como funciones. Aplica los conceptos de derivada primera y segunda para encontrar máximos y mínimos en una función de ganancia G(x) que representa los ingresos menos costos de una empresa que produce un artículo. Usando derivadas, la empresa determina que debe producir 115 unidades del artículo a un precio de $135 para maximizar sus ganancias en $13220.

2.  Son innumerables las aéreas donde la derivada
puede aplicarse, como por ejemplo en el
campo de la química, física, en la economía,
en la mecánica, en la biología etc. Las
derivadas nos permiten hacer un estudio
exhaustivo de una función determinada, con el
uso por ejemplo, del criterio de la primera
derivada, para el crecimiento de la función, el
estudio de la concavidad y criterio de la
segunda derivada, encontrar máximos y
mínimos.

3.  Un ejemplo, si queremos comprar verduras Por
kilo, ahí está presente la derivada pues ese valor
de bolívares por unidad de peso, o sea por kilo,
te dice que por cada kilo que varíe el peso del
producto verduras el precio variará en tantos
bolívares, numéricamente podría ser 20 Bsf /kg,
por cada kilo de peso que varíe, el precio variará
proporcionalmente. Las derivadas se usan para
poder optimizar sistemas que puedan expresarse
mediante funciones.

5.  * CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA
DERIVADA:
 - si f’’(x) >0, la función es cóncava hacia arriba
en [a,b].
 - Si f’’(x) <0, la función es cóncava hacia abajo
o convexa en [a,b].

6.  - Al hallar las raíces de f’(x)=0 y sustituir dichas
raíces en f’’(x):
- si f’’(x) >0, Hay un mínimo en valor de esa raíz.
- si f’’(x) <0, Hay un máximo en valor de esa raíz.

7.  Ilustremos lo que venimos mencionando con un
ejemplo sencillo:
Supongamos que la empresa A, desea saber el
precio que debe colocarle a cierto artículo y la
cantidad del mismo que debe producir, para
obtener la máxima ganancia, sabiendo que se
tiene un costo fijo por día de 5$ y 20 dólares por
unidad que se produzca.

8. Tenemos:
 Sea x la cantidad de artículos a producir.
 Supongamos que la función precio es P(x)= 250-X
($), la empresa no desea que el producto supére
los 250 $.
 La función costo será: C(x)= 5 + 20X
 La función ingreso: I(x)= X.P(x)
 La función Ganancia G(x)= I(x)-C(x)= X.P(x)-C(x)=
X(250-X)-(5+20X)= 250X-X2 -5 -20X
 G(x)= -X2 +230X-5

9.  Si derivamos G(x) e igualamos a cero,
G’(x)= -2X+230X=0, obtenemos los posibles valores
críticos, esto se logra despejando la x,
quedando X= (230/2) = 115 artículos. Donde
puede haber un máximo o un mínimo. Para
resolver este asunto, buscamos la segunda
derivada de de G(x), G’’(x)= -2, evaluamos la
raíz de G’(x)=0, en G’’(x), quedando
G’’(115)=-2<0, como es negativo podemos
concluir que en X= 115, hay un máximo.

10. Estos datos serían por día de jornada:
 Cantidad de artículos por día X= 115
 Precio del artículo P=250-115= 135 $
 Costo C(115)= 5 +20(115)= 2305 $
 Ingreso I(x)= 115(135)= 15525 $
 La Ganancia Máxima será:
Gmáx=I-C= 15525-2305= 13220 $.