Optimización en Varias Variables

Optimización de Funciones en Varias Variables.
M. C. Juliho Castillo
Escuela de Ciencias Empresariales y Económicas, Universidad Panamericana
7 de mayo de 2016
M.C. J. Castillo (ECEE-UP) Optimización de Funciones en Varias Variables. 7 de mayo de 2016 1 / 55

1 Funciones de varias variables
Curvas de nivel
2 Derivadas Parciales
Cálculo de derivadas parciales
3 Clasificación de Puntos Cr´ıticos
4 Optimización Restringida
5 Diferencial de una función
Diferenciación implicita con derivadas parciales
6 Referencias

Funciones de varias variables
Objetivos del aprendizaje
1 Definir y examinar funciones de dos o más variables.
2 Explorar gráficas y curvas de nivel de funciones de dos variables.
3 Estudiar la función de producción de Cobb-Douglas, isocuantas y
curvas de indiferencia.

Definición
Una función f de dos variables x y y es una regla que asigna a cada
par ordenado (x, y) un número real denotado por f (x, y).

La producción Q en una fabrica usualmente se considera como
función de una cantidad K de inversión de capital y el tamaño L de la
fuerza laboral.

La producción Q en una fabrica usualmente se considera como
función de una cantidad K de inversión de capital y el tamaño L de la
fuerza laboral. Las funciones de producción de la forma
Q(K, L) = AKa
Lb
con A, a, b > 0 y a + b = 1 son conocidad como funciones de
producción Cobb-Douglas.

Ejemplo
Supongamos que en cierta fabrica, la producción está dada por la
función de producción Cobb-Douglas
Q(K, L) = 60K1/3
L2/3
, (1)
donde K es la inversión de capital medida en unidades de $1, 000 y L
es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.

Ejemplo
Supongamos que en cierta fabrica, la producción está dada por la
función de producción Cobb-Douglas
Q(K, L) = 60K1/3
L2/3
, (1)
donde K es la inversión de capital medida en unidades de $1, 000 y L
es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.
1 Calcule la producción si la inversión del capital es $512, 000 y
1, 000 horas-trabajador son usadas.
2 Muestre que la producción en el inciso (1) se duplicará si tanto
la inversión de capital y tamaño de la fuerza laboral se duplican.

1 Sustituimos K = 512, L = 1000 en (1)
Q(512, 1000) = 60(512)1/3
(1000)2/3
= 48, 000.
2 Sustituimos K = 2 ∗ 512, L = 2 ∗ 1000 en (1)
Q(2 ∗ 512, 2 ∗ 1000) = 60(2 ∗ 512)1/3
(2 ∗ 1000)2/3
= 96, 000.
La comprobaci´on la puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=sqrmru.

Observaci´on
En general, para funciones Cobb-Douglas como la anterior, se puede
demostrar que
Q(nK, nL) = nQ(K, L).

Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos (x, y) que satisface f (x, y) = C se llama curva
de nivel de f en C. Cuando C var´ıa sobre algún conjunto de números,
se genera toda una familia de curvas de nivel llamada mapa
topográfico.

Ejemplo
Encuentre el mapa topogr´aﬁco de f (x, y) = x2
+ y2
.

Ejemplo
Encuentre el mapa topográfico de f (x, y) = x2
+ y2
.
La ecuación de un c´ırculo con centro en el origen y radio r es
x2
+ y2
= r2
.
Por lo que las curvas de nivel de f (x, y) = r2
forman una familia de
c´ırculos.

Figura 1: Mapa topográfico de f (x, y) = x2 + y2.
El código para generar este mapa topográfico se puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=vvfcyz.

Isocuantas
Las curvas de nivel aparecen en diferentes aplicaciones. En econom´ıa,
si la producci´on Q(x, y) est´a determinada por los insumos x, y, la
curva de nivel Q(x, y) = C se llama isocuanta.

Ejemplo
Figura 2: Isocuantas de Q(K, L) = 60K1/3L2/3
El código para generar este mapa topográfico lo puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=yhvatv.

Curvas de indiferencia
Un consumidor que considera la compra de varias unidades de cada
uno de dos art´ıculos se asocia con una funci´on de utilidad U(x, y),
que mide la satisfacci´on total (o utilidad) que el consumidor obtiene
por tener x unidades del primer art´ıculo, as´ı como y unidades del
segundo.

Una curva de nivel U(x, y) = C de la funci´on de utilidad se llama
curva de indiferencia y da todas las combinaciones (x, y) que
conducen al mismo nivel de satisfacci´on del consumidor.

Ejemplo
Encuentre las curvas de indiferencia de la funci´on de utilidad
U(x, y) = x3/2
y.
Figura 3: Curvas de indiferencia de U(x, y) = x3/2y.

Derivadas Parciales
Objetivos del aprendizaje
1 Calcular e interpretar derivadas parciales.
2 Aplicar derivadas parciales para estudiar problemas de an´alisis
marginal en econom´ıa.
3 Calcular derivadas parciales de segundo orden.
4 Usar la regla de la cadena de derivadas parciales para encontrar
tasas de cambio y hacer aproximaciones incrementales.

Derivadas Parciales
Derivadas parciales de primer orden
La derivada parcial de f (x, y) respecto de x se denota por
∂x f (x, y) ´o fx (x, y)
y es la funci´on obtenida al derivar f respecto de x tratando a y como
una constante.

Derivadas Parciales
Derivadas parciales de primer orden
De manera similar, la derivada parcial de f (x, y) respecto de y se
denota por
∂y f (x, y) ´o fy (x, y)
y es la funci´on obtenida al derivar f respecto de y tratando a x como
una constante.

Derivadas Parciales
Algunas propiedades y fórmulas
Proposición
Sean u(x, y), v(x, y) funciones de dos variables y h(y) una función
que no depende de x.
1 ∂x h(y) = 0;
2 ∂x (h(y)u) = h(y)∂x u;
3 ∂x (u + v) = ∂x u + ∂x v;
4 ∂x (uv) = u∂x v + v∂x u;
5 ∂x un
= nun−1
∂x u;
6 ∂x eu
= eu
∂x u;
7 ∂x ln(u) = ∂x u
u
.

Derivadas Parciales
Observaci´on
Las reglas siguen valiendo si: cambiamos ∂x por ∂y y h no depende
de y.

Derivadas Parciales Cálculo de derivadas parciales
Ejemplo
Encuentre las derivadas parciales de f (x, y) = x2
+ 2xy2
+ 2y
3x
El desarrollo completo del ejercicio lo puede encontrar en mi Canal de
YouTube. La comprobación de la solución la puede encontrar en
SageMathCell.

Ejemplo
Encuentre las derivadas parciales de
f (x, y) = (x2
+ x ∗ y + y)5
.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en mi Canal
de YouTube. La comprobaci´on se puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=vrfhpv

Ejemplo
Encuentre las derivadas parciales de
f (x, y) = xe−2xy
.
El desarrollo completo del ejercicio lo puedes encontrar en mi Canal
de YouTube. La comprobaci´on se puede encontrar en
http://sagecell.sagemath.org/?q=onrgkx

Evaluaci´on Continua
Evalue las derivadas parciales ∂x f (x, y) y ∂y f (x, y) en el punto
(x0, y0) dado:
1 f (x, y) = x3
y − 2(x + y), x0 = 1, y0 = 0;
2 f (x, y) = x +
x
y − 3x
, x0 = 1, y0 = 1;
3 f (x, y) = (x − 2y)2
+ (y − 3x)2
+ 5, x0 = 0, y0 = −1;
4 f (x, y) = xy ln
y
x
+ ln (2x − 3y)2
, x0 = 1, y0 = 1;
Puede veriﬁcar sus resultados con este este script.

Clasificación de Puntos Cr´ıticos
Definición (Extremos relativos)
Diremos la función f(x,y) tiene un máximo relativo en (x0, y0) si
f (x0, y0) ≥ f (x, y)
para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0).

Definición (Extremos relativos)
Diremos la función f(x,y) tiene un máximo relativo en (x0, y0) si
f (x0, y0) ≥ f (x, y)
para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0). De manera
similar, diremos la función f(x,y) tiene un m´ınimo relativo en (x0, y0)
si
f (x0, y0) ≤ f (x, y)
para todo (x, y) suficientemente cercano a (x0, y0).

Los extremos relativos no siempre son extremos absolutos...
Figura 4: M´aximo Relativo
Est imagen la puede genera con el siguiente c´odigo:
http://sagecell.sagemath.org/?q=wdxppk

Sin embargo, para puntos suﬁcientemente cercano, un extremo
relativo s´ı lo es.
Esta imagen la puede generar con el siguiente c´odigo:
http://sagecell.sagemath.org/?q=butszu

De hecho, el mapa topográfico de la región, nos indica que existen
punto a una mayor altura que el máximo relativo.
Figura 5: Mapa topográfico con alturas
Puede generar este mapa topográfico con el siguiente código
http://sagecell.sagemath.org/?q=zyutmy

Deﬁnici´on (Puntos cr´ıticos)
Un punto (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y) si
∂x f (x0, y0) = 0, ∂y f (x0, y0) = 0.

Deﬁnici´on (Puntos cr´ıticos)
Un punto (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y) si
∂x f (x0, y0) = 0, ∂y f (x0, y0) = 0.
Todos los extremos relativos son puntos cr´ıticos...

Pero no todos los puntos cr´ıticos son extremos relativos.
Figura 6: Punto de silla
http://sagecell.sagemath.org/?q=kmfhcx

Diremos que un punto cr´ıtico que no es extremo local es un punto de
silla.

Figura 7: Mapa topograﬁco de f (x, y) = x2 − y2
http://sagecell.sagemath.org/?q=mjknwh
Observaci´on
(0, 0) es punto de silla de f (x, y) = x2
− y2
.

Hessiano de una función
Definición (Segundas derivadas)
Las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) son
∂xx f (x, y) = ∂x (∂x f (x, y)) = fxx (x, y)
∂xy f (x, y) = ∂x (∂y f (x, y)) = fyx (x, y)
∂yx f (x, y) = ∂y (∂x f (x, y)) = fxy (x, y)
∂yy f (x, y) = ∂y (∂y f (x, y)) = fyy (x, y)

Hessiano de una función
Definición (Segundas derivadas)
Las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) son
∂xx f (x, y) = ∂x (∂x f (x, y)) = fxx (x, y)
∂xy f (x, y) = ∂x (∂y f (x, y)) = fyx (x, y)
∂yx f (x, y) = ∂y (∂x f (x, y)) = fxy (x, y)
∂yy f (x, y) = ∂y (∂y f (x, y)) = fyy (x, y)
Hess f (x, y) =
∂xx f (x, y) ∂yx f (x, y)
∂xy f (x, y) ∂yy f (x, y)
(2)

El determinante Hessiano de f (x, y) se deﬁne como
D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − ∂xy f (x, y)∂yx f (x, y).

El determinante Hessiano de f (x, y) se deﬁne como
D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − ∂xy f (x, y)∂yx f (x, y).
Observaci´on
Si las derivadas parciales mixtas ∂xy f (x, y), ∂yx f (x, y) existen y son
continuas, entonces
∂xy f (x, y) = ∂yx f (x, y),
de manera que
D(x, y) = ∂xx f (x, y)∂yy f (x, y) − (∂xy f (x, y))2
.

Teorema (Clasificación de puntos cr´ıticos)
Supongamos que todas las derivas de primer y segundo orden de
f (x, y) existe y que (x0, y0) es un punto cr´ıtico de f (x, y). Entonces
Si D(x0, y0) < 0, entonces (x0, y0) es un punto de silla.
Si D(x0, y0) > 0 y ∂xx f (x0, y0) > 0, entonces (x0, y0) es un
m´ınimo relativo.
Si D(x0, y0) > 0 y ∂xx f (x0, y0) < 0, entonces (x0, y0) es un
máximo relativo.
Observación
Si D(x0, y0) = 0, la información no es concluyente.

Ejemplo
Clasiﬁque los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x2
+ y2
.
Puede ver el desarrollo completo del ejercicio en
https://youtu.be/9Vz-qouiRPw.
Para encontrar los puntos cr´ıticos, puede este script.
Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede utilizar este script.

Ejemplo
Clasiﬁque los puntos cr´ıticos de f (x, y) = 12x − x3
− 4y2
.
https://youtu.be/oY3DjTSqado.
Para encontrar los puntos cr´ıticos puede usar este script.
Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede utilizar este script.

Ejemplo
Clasiﬁque los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x3
− y3
+ 6xy.
https://youtu.be/oCk2O9SpJG4.
Para encontrar los puntos cr´ıticos puede usar este script.
Para evaluarlos en D(x, y) y ∂xx f (x, y) puede usar este script.

Clasiﬁque los puntos cr´ıticos de cada una de las siguientes funciones:
1 f (x, y) = 5 − x2
− y2
2 f (x, y) = 16
x
+ 6
y
+ x2
− 3y2
3 f (x, y) = x3
+ y2
− 6xy + 9x + 5y + 2
4 f (x, y) = (x2
+ 2y2
)e1−x2−y2
Puede veriﬁcar sus resultados, utilizando este este script.

Optimización Restringida
Método Lagrangiano
Teorema
Si (x0, y0) optimiza la función f (x, y) sujeta a la restricción
g(x, y) = C, entonces (x0, y0) resuelve las siguientes ecuaciones:
∂x f (x0, y0) = λ∂x g(x0, x0) (ML1)
∂y f (x0, y0) = λ∂y g(x0, y0) (ML2)
g(x0, y0) = C (ML3)

Método Lagrangiano
Teorema
Si (x0, y0) optimiza la función f (x, y) sujeta a la restricción
g(x, y) = C, entonces (x0, y0) resuelve las siguientes ecuaciones:
∂x f (x0, y0) = λ∂x g(x0, x0) (ML1)
∂y f (x0, y0) = λ∂y g(x0, y0) (ML2)
g(x0, y0) = C (ML3)
Al parametro λ se le llama multiplicador de Lagrange.

Observación
Si f (x, y) alcanza su máximo o m´ınimo absoluto en (x0, y0),
restringido a g(x, y) = C, entonces las ecuaciones anteriores se
satisfacen.
Sin embargo, no todos los puntos que satisfacen
(ML1)-(ML2)-(ML3) son máximos o m´ınimos absolutos.

Ejemplo
M´aximizar f (x, y) = xy sujeta a 2x + y = 4.
Puede ver completo el desarollo del ejercicio en
https://youtu.be/-5P9wcAJAmQ
Para comprobar los resultados, visite
http://sagecell.sagemath.org/?q=vyrfpy

Ejemplo
Maximizar f (x, y) = 60x
1
3 y
2
3 sujeto a 2x + 5y = 30.
Para ver completo el desarrollo del ejercicio, visite
https://www.youtube.com/watch?v=6wT0C w3LIY
http://sagecell.sagemath.org/?q=utuygm

Ejemplo
Maximizar f (x, y) = x2
+ 3xy + y2
sujeto a x + y = 100.
Para ver completo el desarrollo del ejercicio, visite
https://www.youtube.com/watch?v=5aHV 0w6j-c
http://sagecell.sagemath.org/?q=gknhrm

Resolver los siguientes problemas de optimización restringida:
1 Maximizar xy sujeto a x + 3y = 24.
2 Maximizar 10x1/2
y1/3
sujet0 a 2x + 4y = 20.
3 Maximizar x1/2
y1/2
sujeto a 50, 000x + 20, 000y = 1, 000, 000.
4 Minimizar x2
+ y2
sujeto a x + 2y = 4.
5 Minimizar x2
+ 2y2
sujeto a x + y = 12.
Observación
Todos los problemas de esta sección tienen un único punto que es
candidato a ser solución. En todos los casos, este punto es de hecho
la solución. Puede verificar sus resultados este script.

Diferencial de una función
Si f es una función de x, y y, a su vez, tanto x como y son funciones
de una tercera variable t, entonces podemos usar la siguiente versión
de la regla de la cadena:
d
dt
[f (x(t), y(t)] =
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
. (RC)

Si f es una función de x, y y, a su vez, tanto x como y son funciones
de una tercera variable t, entonces podemos usar la siguiente versión
de la regla de la cadena:
d
dt
[f (x(t), y(t)] =
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
. (RC)
Abusando de la notación, escribimos f (t) = f (x(t), y(t) y podemos
reescribir la regla de la cadena como
f (t) = ∂x f (x, y)x (t) + ∂y f (x, y)y (t).

En la ecuaci´on anterior, podemos omitir la dependencia dt de la
variable t
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt

En la ecuación anterior, podemos omitir la dependencia dt de la
variable t
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
y obtenemos la siguiente
Definición (Diferencial de f (x, y))
df (x, y) = ∂x f (x, y)dx + ∂y f (x, y)dy. (df)

Podemos interpretar la f´ormula (df), en t´erminos de aproximaciones
por incrementos.

Podemos interpretar la f´ormula (df), en t´erminos de aproximaciones
por incrementos. Si tanto ∆x ≈ 0 como ∆y ≈ 0, entonces
∆f ≈ ∂x f (x, y)∆x + ∂y f (x, y)∆y.

Diferencial de una funci´on Diferenciaci´on implicita con derivadas parciales
Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx
= 1,
dy
dx
= y .

Un caso especial de (RC) es cuando x = t, de manera que
dx
dx
= 1,
dy
dx
= y .
Entonces obtenemos el caso especial
df
dx
= ∂x f (x, y) + ∂y f (x, y)y (x).
Si ﬁjamos una curva de nivel, f (x, y) al derivar respecto de x de
ambos lados tenemos que df
dx
= 0, y sustituyendo la f´ormula anterior,
obtenemos
∂x f (x, y) + ∂y f (x, y)y (x) = 0.

Diferenciación implicita con derivadas parciales
Finalmente, al despejar y (x), obtenemos la siguiente fórmula para
derivación implicita con derivadas parciales
dy
dx
= −
∂x f (x, y)
∂y f (x, y)
(DIDP)

Ejemplo
Encuentre dy
dx
a partir de x2
− 6 xy + 9 y2
= 9 con la f´ormula (DIDP).
En este caso f (x, y) = x2
− 6 xy + 9 y2
. Calculamos las parciales



∂x f (x, y) = 2 x − 6 y
∂y f (x, y) = −6 x + 18 y
y sustituyento y simpliﬁcando en (DIDP), obtenemos
dy
dx
= −
(2 x − 6 y)
(−6 x + 18 y)
=
1
3
.

Ejemplo
Encuentre dy
dx
a partir de 4 x2
− 4 xy + y2
= 4 con la f´ormula (DIDP).
En este caso f (x, y) = f (x, y) = 4 x2
− 4 xy + y2
. Calculamos las
parciales 


∂x f (x, y) = 8 x − 4 y
∂y f (x, y) = −4 x + 2 y
y sustituyento y simpliﬁcando en (DIDP), obtenemos
dy
dx
= −
(8 x − 4 y)
(−4 x + 2 y)
= 2.

Encuentre dy
dx
por usando la fórmula (DIDP):
1 x2
y = 1.
2 (2x + 3y)5
= x + 1.
3 x2
+ 2y3
=
3
xy
.
4 4x2
+ y2
= 1.
5 3x2
− 2y2
= 6.
Observación
Recuerde que antes debe reescribir la ecuación de modo que el lado
derecho sea constante.

Referencias
Nuestros libros de texto
1 HOFFMANN, Laurence et. al.; ”Matemáticas Aplicadas a la
Administración y los Negocios”. 1a ed. México: McGraw-Hill,
2014.
2 SYDSAETER, Knut et. al.; “Matemáticas para el Análisis
Económico”, 2a. ed., México: Pearson, 2012.

Optimización en Varias Variables

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Optimización en Varias Variables

Similar a Optimización en Varias Variables (20)

Más de Juliho Castillo

Más de Juliho Castillo (20)

Último

Último (20)

Optimización en Varias Variables