El documento describe conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y funciones implícitas. Explica cómo usar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta, y cómo la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. También cubre conceptos como derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y criterios para encontrar extremos relativos usando derivadas de primer y segundo orden.

1. Repùblica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la
Educación Superior Universidad tecnológica
“Antonio José de sucre
Estado-Lara.
Erasmo josè toledo.
Junio 2015

2. Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un
Objeto que se Mueve en Línea Recta
• Supóngase que una partícula que se mueve a
lo largo del eje x a una velocidad vi al tiempo
ti, y una velocidad vf tiempo tf, como se
muestra en la figura

3. • Decimos:
• a) Una "partícula" que se mueve de P a Q tiene velocidad vi en t = ti
y velocidad vf en t = tf.
• b) Grafica velocidad-tiempo para la partícula moviéndose en una
línea recta.
• La pendiente de la línea recta que conecta P y Q es la aceleración
promedio en el intervalo de tiempo ∆t= tf - ti.
• La aceleración promedio de la partícula en el intervalo de tiempo t
= tf - ti
• se define como el cociente v/ t, donde v = vf-vi es el cambio de la
velocidad en este intervalo de tiempo:

4. • La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por (tiempo)2,
o L/T2.
• Algunas de las unidades comunes de aceleración son metros por
segundo por segundo (m/s2) y pies por segundo por segundo
(pies/s2).
• De la misma forma que con la velocidad se pueden emplear los
signos positivo y negativo para indicar la dirección de la aceleración
cuando el movimiento que se analiza es unidimensional.
• En algunas situaciones el valor de la aceleración promedio puede
ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos.
• Por ese motivo, es útil definir la aceleración instantánea como el
límite de la aceleración promedio cuando t se acerca a cero.
• Este concepto es similar a la definición de velocidad instantánea
estudiado, la aceleración instantánea será:
• (2.3.3)

5. • Es decir, la aceleración instantánea es igual a la
derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual
por definición, es la pendiente de la gráfica velocidad-
tiempo
• Se puede interpretar la derivada de la velocidad
respecto del tiempo como la tasa de cambio de la
velocidad. Si a es positiva, la aceleración está en la
dirección x positiva, pero, si a es negativa indica que la
aceleración está en la dirección x negativa.
• A partir de ahora se empleará el término aceleración
con el significado de aceleración instantánea.
• Puesto que v = dx/dt, la aceleración también puede
escribirse:

6. •
• (2.3.4)
• La aceleración instantánea puede obtenerse de la gráfica
velocidad-tiempo.
• a) En cada instante, la aceleración en la gráfica a contra t.
• b) Iguala la pendiente de la línea tangente a la curva de v contra
t.
• Es decir, en un momento unidimensional, la aceleración es igual a
la segunda derivada de la coordenada x en relación con el tiempo.
• La aceleración en cualquier tiempo es la pendiente de la gráfica
velocidad-tiempo en ese tiempo.
•

7. Funciones implícita
• Una correspondencia o una función está definida en forma
implícita cuando no aparece despejada la y sino que la
relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos
incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Y cuando
hablamos:
• Derivadas de funciones implícitas. Decimos que Para hallar
la derivada en forma implícita no es necesario despejar y.
Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas
vistas hasta ahora y teniendo presente que:
• x'=1.
• En general y'≠1.
• Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

8. Derivada de Orden Superior
• Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la
primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función
derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es
decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y
que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A
estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
• Si la derivada de la derivada de una función se conoce como
segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y
existe su primera derivada f´(x), en el caso de que se pueda
obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la derivada se
le llama segunda derivada:

9. • de manera similar se puede obtener las
derivadas de mayor orden, sin embargo es
necesario aclarar que las derivadas de una
función dependen de las características de la
función y es posible, y frecuentemente
sucede, que algunas derivadas existen pero no
para todos los órdenes pese a que se puedan
calcular con las formulas. Es necesario
considerar los teoremas expuestos en la
sección de los teoremas.

11. • Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden
son:

12. Para derivadas de orden superior es de forma
similar, así por ejemplo tendríamos las
siguientes derivadas:

13. • Ejemplo
• Derivando

15. FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
• Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al
tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y
x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que
• f( x1 ) < f( x2 ).
• Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se
deduce que f(x1) < f(x2).
• Una función es decreciente en un intervalo [a,b]
si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2,
que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).
• Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ),
la función se dice estrictamente decreciente.

16. Criterio de la Primera Derivada para
Extremos Relativos
• Se llama Criterio de la primera derivada al
método o teorema utilizado frecuentemente en
el cálculo matemático para determinar
los mínimos y máximos relativos que pueden
existir en una función mediante el uso de la
primera derivada o derivada principal, donde se
observa el cambio de signo, en un intervalo
abierto señalado que contiene al punto crítico .
• Si hablamos del Criterio de la Primera Derivada
decimos Sea f una función en c:

17. • f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo
(a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a
f(c) para todo x en (a,b).
• f(c) es un mínimo relativo de f si existe un intervalo
(a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c)
para todo x en (a,b).
• decimos que la teorema Si f tiene un máximo relativo
o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:
• f’(c) = 0, ó
• f’(c) no está definida
• Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.

18. • Notas:
• 1) El teorema anterior afirma que si una
función f tiene un máximo o mínimo relativo
en x = c, c tiene que ser un número crítico
(valor crítico) de f.
• 2) Los puntos críticos son los únicos en los
que pueden aparecer los extremos relativos
(máximos y mínimos relativos). Esto significa,
que no todo punto crítico va a ser un máximo
o mínimo relativo.

19. Concavidad y Criterio de la derivada
Segunda
• Hablamos de Concavidad cuando f presenta
concavidad positiva en x=a si existe un E*a /
para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-
a) + f(a).

20. • La función presenta concavidad positiva en el
punto a si, en un entorno reducido de a, la
gráfica de f está "por encima" de la recta
tangente a f(x) en el punto a.
• f presenta concavidad negativa en x=a si existe
un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x)
< f'(a)(x-a) + f(a).

21. •
•
• La función presenta concavidad negativa en el
punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica
de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x)
en el punto a.
•

22. • Decimos que la Derivada segunda de una
función f(x) a la derivada de la derivada de dicha
función. Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada
n-ésima de una función.

23. Problemas Máximos y Mínimos
• 1.- f(x) = x3 − 3x + 2
• f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = − 1 x = 1
• Candidatos a extremos: − 1 y 1.
• f''(x) = 6x
• f''(−1) = −6 < 0 Máximo
• f''(1) = 6 > 0 Mínimo
• f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
• f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
• Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
•

24. • 2.-
• Candidatos a extremos: − 1 y 1.

25. • f"( − 1) = 6 > 0 Mínimo
• f"(1) = − 6 < 0 Máximo
• f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2
• f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2
• Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

26. Formas Indeterminadas
• Estas expresiones se encuentran con
frecuencia dentro del contexto del límite de
funciones y, más generalmente, del cálculo
infinitesimal y el análisis real.
• El hecho de que dos funciones f y g se
acerquen ambas a cero cuando x tiende a
algún punto de acumulación c no es
información suficiente para evaluar el límite

27. • Dicho límite puede converger a cualquier
valor, puede converger a infinito o puede no
existir, dependiendo de las funciones f y g.