Apéndice matemático

APÉNDICE MATEMÁTICO DEL MÓDULO DE:
GESTIÓN FINANCIERA
1º CURSO DEL CICLO DE GRADO SUPERIOR
DE
ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS.

Apéndice matemático
M. Reyes F.F. I.E.S. Extremadura (Montijo) Página 1
CONTENIDO:
Números enteros
Fracciones
Potencias
Igualdades algebraicas notables
Raíces
Logaritmos
Progresiones
Expresiones algebraicas
Ecuaciones
Sistemas de ecuaciones
Ejercicios de aplicación

NÚMEROS ENTEROS
Números enteros
negativos
Número
cero
Números enteros
positivos
… - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 …
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
SUMA:
Para sumar dos números con el mismo signo, se suman sus
valores absolutos y se deja el mismo signo
ሺ൅7ሻ ൅ ሺ൅6ሻ ൌ ൅13
ሺെ7ሻ ൅ ሺെ6ሻ ൌ െ13
Para sumar dos números enteros con distinto signo, se restan sus
valores absolutos y se antepone el signo del que tenga mayor
valor absoluto
ሺ൅2ሻ ൅ ሺെ5ሻ ൌ െ3
ሺെ2ሻ ൅ ሺ൅5ሻ ൌ ൅3
RESTA:
Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto
del sustraendo.
ሺ൅3ሻ— ሺെ5ሻ ൌ ሺ൅3ሻ ൅ ሺ൅5ሻ ൌ ൅8
ሺ൅3ሻ െ ሺ൅5ሻ ൌ ሺ൅3ሻ ൅ ሺെ5ሻ ൌ െ2
MULTIPLICACIÓN:
Para multiplicar dos números con el mismo signo, se multiplican
sus valores absolutos y se antepone el signo +
ሺ൅5ሻ · ሺ൅4ሻ ൌ ൅20
ሺെ5ሻ · ሺെ4ሻ ൌ ൅20
Para multiplicar dos números enteros con distinto signo, se
multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo -
ሺ൅3ሻ · ሺെ7ሻ ൌ െ21
ሺെ3ሻ · ሺ൅7ሻ ൌ െ21
DIVISIÓN:
Para dividir dos números enteros con el mismo signo, se dividen
sus valores absolutos y se antepone el signo +
ሺ൅12ሻ ൊ ሺ൅3ሻ ൌ ൅4
ሺ൅12ሻ ൊ ሺെ3ሻ ൅ 4
Para dividir dos números enteros con distinto signo, se dividen
sus valores absolutos y se antepone el signo -
ሺ൅16ሻ ൊ ሺെ8ሻ െ 2
ሺെ16ሻ ൊ ሺ൅8ሻ ൌ െ2
POTENCIACIÓN:
Para calcular una potencia de base positiva, se multiplica esta
por sí misma tantas veces como indica el exponente y se
antepone el sino +
ሺ൅4ሻଷ
ൌ ሺ൅4ሻ · ሺ൅4ሻ · ሺ൅4ሻ ൌ ൅64
Para calcular una potencia de base negativa, se multiplica esta
por sí misma tantas veces como indica el exponente y se
antepone el signo + si el exponente es par, y el signo – si es
impar
ሺെ2ሻଶ
ൌ ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ ൌ ൅4
ሺെ2ሻଷ
ൌ ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ ൌ െ8
REGLAS DE LOS SIGNOS
Multiplicación División Potenciación
൅ · ൅ ൌ ൅ ൅ ‫׷‬ ൅ ൌ ൅ െ࢖ࢇ࢘
ൌ ൅
൅ · െ ൌ െ ൅ ‫׷‬ െ ൌ െ ൅ࡵ࢓࢖ࢇ࢘
ൌ ൅
െ · ൅ ൌ െ െ ‫׷‬ ൅ ൌ െ െࡼࢇ࢘
ൌ ൅
െ · െ ൌ ൅ െ ‫׷‬ ൅ ൌ ൅ െࡵ࢓࢖ࢇ࢘
ൌ െ

FRACCIONES
Toda fracción consta de dos números, uno escrito encima del otro y separados por una raya. Al
número de arriba se le denomina numerador y al número de abajo se le denomina denominador.
El denominador indica el número de partes iguales en que hemos dividido la unidad entera y el
numerador, el número de partes iguales que tomamos de la unidad entera. Así ¾ de litro de leche,
supone dividir un litro en 4 partes iguales y tomar tres de ellas.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Son aquellas que tienen el mismo valor:
3
4
ൌ
6
8
En ellas, al multiplicar el numerador de cada fracción
por el denominador de la otra, se obtiene el mismo
resultado:
3 · 8 ൌ 4 · 6 ൌ 24
.
OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma o resta de fracciones
con igual denominador:
Se suman, o resta, sus
numeradores y se deja el
mismo denominador
3
5
൅
4
5
ൌ
3 ൅ 4
5
ൌ
7
5
9
4
െ
6
4
ൌ
9 െ 6
4
ൌ
3
4
Suma o resta de fracciones
de distinto denominador:
En el numerador: la suma del producto de cada numerador por todos
los denominadores menos por el suyo
En el denominador: el producto de todos los denominadores
1
4
൅
2
3
൅
2
6
ൌ
ሺ1 · 3 · 6ሻ ൅ ሺ2 · 4 · 6ሻ ൅ ሺ2 · 4 · 3ሻ
4 · 3 · 6
ൌ
ൌ
18 ൅ 48 ൅ 24
72
ൌ
90
72
También puedes realizar este tipo de operaciones usando el mínimo
común múltiplo m.c.m.
Multiplicación de fracciones:
Se multiplican los
numeradores para obtener el
numerador, y los
denominadores para obtener el
denominador. Es decir, se
multiplican en paralelo
7
4
·
5
3
ൌ
7 · 5
4 · 3
ൌ
35
12
2
5
· 7 ൌ
2 · 7
5 · 1
ൌ
14
15
División de fracciones:
Se multiplica la primera por la
inversa de la segunda, es
decir, se multiplican en cruz
7
4
‫׷‬
5
3
ൌ
7 · 3
4 · 3
ൌ
21
20
2
5
‫׷‬ 7 ൌ
2 · 1
5 · 7
ൌ
2
35

POTENCIACIÓN
.
3 2
= 9
La potencia es igual al producto de la base por sí
misma tantas veces como indica el exponente:
3ଶ
ൌ 3 · 3 ൌ 9
OPERACIONES CON POTENCIAS:
La potencia es una
multiplicación repetida
ܽ௡
ൌ ܽ · ܽ · ܽ · ··· · ܽ 3ହ
ൌ 3 · 3 · 3 · 3 · 3 ൌ 243
Producto de potencias de
la misma base
ܽ௠
· ܽ௡
ൌ ܽ௠·௡
4ଶ
· 4ହ
ൌ 4ଶାହ
ൌ 4଻
Cociente de potencias de
la misma base
ܽ௠
‫׷‬ ܽ௡
ൌ ܽ௠ି௡
6ହ
‫׷‬ 6ଷ
ൌ 6ହିଷ
ൌ 6ଶ
Potencia de un producto ሺܽ · ܾሻ௡
ൌ ܽ௡
· ܾ௡ ሺ3 · 2ሻଷ
ൌ 3ଷ
· 2ଷ
Potencia de un cociente ሺܽ ‫׷‬ ܾሻ௡
ൌ ܽ௡
‫׷‬ ܾ௡ ሺ32 ‫׷‬ 8ሻସ
ൌ 32ସ
‫׷‬ 8ସ
Potencia de una potencia ሺܽ௠ሻ௡
ൌ ܽ௠·௡ ሺ5ଶሻସ
ൌ 5ଶ·ସ
ൌ 5଼
POTENCIAS DE SUMAS Y RESTAS:
La potencia de una suma no es igual a la suma de las potencias:
ሺ5 ൅ 3ሻଶ
് 5ଶ
൅ 3ଶ
La potencia de una resta no es igual a la resta de las potencias:
ሺ5 െ 3ሻଶ
് 5ଶ
െ 3ଶ
exponente
base Valor
De la potencia

IGUALDADES ALGEBRAICAS NOTABLES:
.
Cuadrado de la suma de dos monomios
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૛
ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ
ࢇ૛
൅ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
Cuadrado de la diferencia de dos
monomios
ሺࢇ െ ࢈ሻ૛
ൌ ሺܽ െ ܾሻሺܽ െ ܾሻ ൌ
ࢇ૛
െ ૛ࢇ࢈ ൅ ࢈૛
Suma de dos monomios por su diferencia ሺࢇ ൅ ࢈ሻ ሺࢇ െ ࢈ሻ ൌ ࢇ૛
െ ࢈૛
Cubo de la suma de dos monomios
ሺࢇ ൅ ࢈ሻ૜
ൌ ሺܽ ൅ ܾሻଶ ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ
ࢇ૜
൅ ࢇ૛
࢈ ൅ ૛ࢇ૛
࢈ ൅ ૛ࢇ࢈૛
൅ ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜
Cubo de la diferencia de dos monomios
ሺࢇ െ ࢈ሻ૜
ൌ ሺܽ െ ܾሻଶ ሺܽ െ ܾሻ ൌ
ሺܽଶ
െ 2ܾܽ ൅ ܾଶሻ ሺܽ െ ܾሻ ൌ
ࢇ૜
െ ࢇ૛
࢈ െ ૛ࢇ૛
࢈ ൅ ૛ࢇ࢈૛
൅ ࢇ࢈૛
൅ ࢈૜

RAÍCES
La raíz enésima de un número es otro que, elevado a n, da como resultado el
primero.
Ejemplo: 9339 22
=⇔=
OPERACIONES CON RAICES
Raíz de un producto del mismo
índice
nnn
baba ×=× 3535 ×=×
Raíz de un cociente del mismo
índice
n
n
n
b
a
b
a
=
3
5
3
5
=
Raíz de una potencia n
m
n m
aa = 44
12
4 12
333 ==
Potencia de una raíz ( ) n mm
n
aa = ( ) 3 55
3
88 =
Raíz de una raíz nmm n
aa ×
= 105 2
10241024 =

LOGARITMOS
En vuestras calculadoras podéis encontrar el Ln (logaritmo neperiano que tiene
como base el número “e”) o el Log (logaritmo decimal que tiene como base el 10). Aunque en
este recordatorio nos referiremos al logaritmo decimal, la forma de trabajar es similar en
ambos casos.
El logaritmo decimal, en base 10 de un número N es el exponente a que
hay que elevar la base para que dé dicho número.
NxN x
10log10 =⇔=
CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN:
El logaritmo de la base es 1:
Log 10 = 1 ............................. ya que : 101
= 10
El logaritmo de la unidad es 0:
Log 1 = 0 ............................... ya que: 100
=1
El logaritmo de los números mayores que la unidad son positivos:
Log 5 = 0.698970004
Los logaritmos de los números comprendidos entre cero y la unidad son
negativos:
Log 0,5 = -0,301030
Los números negativos carecen de logaritmo real.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores
Log (N x M) = log N + log M
El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los
logaritmos del dividendo y divisor
Log (N/M) = Log N – Log M
El logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base
Log Nm
= m x Log N
El logaritmo de una raíz es igual al producto de la inversa
del índice de la raíz por el logaritmo del radicando
N
m
Nm
log
1
log =

PROGRESIONES
Se entiende por progresión una sucesión de números que aparecen ordenados y que
se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante.
Este orden preestablecido puede seguir una ley matemática en:
Progresión aritmética
Progresión geométrica
1.- PROGRESIÓN ARITMÉTICA:
Es una serie de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior aumentado de una
cantidad fija llamada razón, pueden ser:
Crecientes: 2,5,8,11 ....
Decrecientes: 28,24,20,16, ....
Si llamamos:
a1: primer término
an: último término
n: número de términos
r: razón.
2.- PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Serie de términos tales que cada uno de ellos es igual al que le precede multiplicado por un
número fijo llamado razón, puede ser:
Creciente: 1, 2, 4, 8, 16, ...
Decreciente: 81, 27, 9, 3, 1
Si llamamos:
a1: primer término
an: último término
n: número de términos
r: razón.
Para sumar los términos de una progresión
aritmética es:
( )
2
1 naa
S n+
=
Para sumar los términos de una progresión geométrica
creciente:
1
1
−
−⋅
=
r
ara
S n
Para sumar los términos de una progresión geométrica
decreciente:
r
raa
S n
−
⋅−
=
1
1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de números, de letras, o de ambos,
relacionados mediante operaciones aritméticas.
3y – 2xy + 8 - 2 xy
Valor numérico Ejemplo
Para obtener el valor numérico de una
expresión algebraica, se sustituyen las
letras por los números correspondientes y
se realizan las operaciones indicadas
Para x =4 e Y = 1, el valor numérico de la
expresión algebraica:
3‫ݕ‬ െ 2‫ݕݔ‬ ൅ 7 es:
3 · 1 െ 2 · 4 ൅ 7 ൌ 2
MONOMIOS:
Son el producto de números, letras o ambos. Por ejemplo: 5xy
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, por ejemplo:
5xy -7xy xy
OPERACIONES COM MONOMIOS:
Para sumar, o restar, monomios
semejantes, se suman, o restan, sus
coeficientes y se deja la misma parte
literal.
3‫ݖݔ‬ ൅ 5‫ݖݔ‬ ൌ 8‫ݖݔ‬
11‫ݒ‬ െ 7 ‫ݒ‬ ൌ 4‫ݒ‬
Para multiplicar, o dividir, un monomio por
un número, se multiplica, o se divide, su
coeficiente por dicho número y se deja la
misma parte literal.
5‫ݔ‬ · 2 ൌ 10‫ݔ‬
14‫ݕ‬ ‫׷‬ 7 ൌ 2‫ݕ‬
Expresión algebraica
Término
Término
Coeficiente Parte
literal

ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que aparece al menos una
letra.
3X – 2X + 5 = 9
Son ecuaciones equivalentes las que tienen las mismas soluciones.
RESOLUCIÓN DE CUACIONES DE PRIMER GRADO
Se simplifica la ecuación, paso a paso, hasta obtener otra
más sencilla, equivalente a la anterior, uno de cuyos
miembros es el término de la incógnita.
9534 =−+ xx
957 =−x
59557 +=+−x
147 =x
Se multiplican o se dividen, según el caso, los dos
miembros de la ecuación por un mismo número para
despejar la incógnita y obtener la solución.
7
14
7
7
=
x
2=x
Se comprueba el resultado sustituyendo la incógnita del
enunciado por la solución
952324 =−⋅+⋅
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:
Se llama ecuación de segundo grado la que toma la siguiente forma:
02
=++ cbxax
Para resolver una ecuación de este tipo hay que hallar los valores de la incógnita X que
hacen cierta la igualdad.
Para ello usaremos la siguiente fórmula que proporciona dos resultados posibles, de los
cuales sólo uno será correcto.
a
cabb
x
⋅
⋅⋅−±−
=
2
42
Ecuación
1º miembro
2º miembro

SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas está formado por dos
ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores. Los sistemas de
ecuaciones se escriben así:
ࢇ࢞ ൅ ࢈࢟ ൌ ࢉ
ࢇ′࢞ ൅ ࢈′࢟ ൌ ࢉ′
Donde los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales
La solución del sistema es un par de números, tales que reemplazando x por su valor e y por
el suyo, se satisfacen a la vez las dos ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones nos permiten resolver problemas del tipo:
Alex lee un libro que tiene más de 100 páginas. La suma de los tres dígitos del número de
páginas que tiene el libro es 10. El segundo dígito es doble que el último. ¿Cuántas páginas
tiene el libro de Alex?
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
Este método consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y
sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación
de primer grado con una incógnita. Veamos un ejemplo:
૝࢞ ൅ ࢟ ൌ െ૜
࢟ െ ૜࢞ ൌ ૚૚
1. Se despeja y en la segunda ecuación ‫ݕ‬ ൌ 3‫ݔ‬ ൅ 11
2. Se sustituye este valor de y en la
primera ecuación
4‫ݔ‬ ൅ 3‫ݔ‬ ൅ 11 ൌ െ3
3. Se resuelve esta ecuación
4‫ݔ‬ ൅ 3‫ݔ‬ ൌ െ3 െ 11
7‫ݔ‬ ൌ െ14
‫ݔ‬ ൌ
െ14
7
ൌ െ2
4. Se sustituye este valor de x en la
ecuación en la que hemos despejado la
incógnita y
‫ݕ‬ ൌ 3 · ሺെ2ሻ ൅ 11
‫ݕ‬ ൌ 5
Ya tenemos la solución: x = -2 y = 5
Despeja siempre la incógnita que resulte más sencilla y, si existe, aquella cuyo coeficiente
es 1 ó -1; de esta forma se evita la aparición de denominadores.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE REDUCCIÓN:
Multiplicaremos una o ambas ecuaciones del sistema por números convenientes para que los
coeficientes de una de las incógnitas quede eliminado al sumar las dos ecuaciones del
sistema. Veamos un ejemplo:
૝࢞ ൅ ࢟ ൌ െ૜
െ૜࢞ ൅ ࢟ ൌ ૚૚
Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y
la segunda por 4, conseguimos las siguientes
ecuaciones:
12‫ݔ‬ ൅ 3‫ݕ‬ ൌ െ9
െ12‫ݔ‬ ൅ 4‫ݕ‬ ൌ 44
Si sumamos las dos ecuaciones anteriores,
obtenemos el siguiente resultado
7‫ݕ‬ ൌ 35
A partir de aquí podemos obtener el valor
de y
‫ݕ‬ ൌ
35
7
‫ݕ‬ ൌ 5
Una vez resuelta esta ecuación, se
sustituye el valor en cualquiera de las dos
ecuaciones iniciales, y despejamos el valor
de x
4‫ݔ‬ ൅ 5 ൌ െ3
4‫ݔ‬ ൌ െ3 െ 5
‫ݔ‬ ൌ
െ8
2
‫ݔ‬ ൌ െ4

EJERCICIO 1:
Realiza las siguientes operaciones, sin usar calculadora, deja los resultados
indicados y lo más reducidos que puedas:
1. (-16) + 8 * (-4)
2. (-12) * (-3) + 8 * (-5)
3. 36 / 2 + 8
4. (36 / 277) / 9
5. (-3) [ (-12 + 36) / 6 –11] –15 / [(-20 + 12) * 3 + (-7) * (-3) ] –9
6. [(-16) * 5 * (-9)] / 8
7. [ 36 * (-16) * 5] / (-8)
8. [(-24) * (-18) * 7 ] / 6
9. (-7) * (8 – 5) + 24 / (-13 + 7)
10. (-2)2
* (-2)3
* (-2)4
= ( -2)?
11. 32
* 34
* 3?
= 38
12. 73
* 7?
= 75
13. [(-3)2
]4
14.
2
7
15. 81*36
16. 64*16
17. ( )23
9
18.
8
14
*
15
c
19.
2
7
5
18
÷
20.
2
*
4
27,01 c+
Deja los resultados indicados, o reduce todo lo que
puedas, como en el siguiente ejemplo:
[(10-4) * 4 -12 + (-2)] / (15 – 5) + 3 =
( )
4313
10
10
3
10
1424
3
10
1446
3
515
2124410
=+=+=+
−
=
+
−⋅
=+
−
−−⋅−

EJERCICIO 2:
FRACCIONES:
Realiza las siguientes operaciones:
1)
4
2
8
3
5
4
++
2)
7
5
4
2
−
3)
3
4
8⋅
4)
2
1
4
7
10 ⋅⋅
5)
5
2
4 ÷
6)
2
3
7 ÷
7)
7
5
4
3
8
3
2
5
+−+
8)
4
7
12
7
+
9)
3
2
12
13
−
10)
bc
c 43
+
11)
c
c
c
a
a
43
5 ++
12)
2
781 a
a
+
13)
4
3
4
2
4
5
++
SOLUCIONES
1) 67/40
2) –6/28
3) 32/3
4) 70/8
5) 20/2
6) 14/3
7) 379/168
8) 14/6
9) 15/36
10)
b
b 43 +
11)
c
caac 435 ++
12)
a
a
2
782 2
+
13) 10/4

EJERCICIO 3:
POTENCIAS
1) ( ) ( ) ( ) ( )5555 −⋅−⋅−⋅−
2)
1
7
3) ( )3
532 ⋅⋅
4) ( ) ( )[ ]2
534 −⋅⋅−
5)
3
8
32






6)
3
9
18





 −
7) 4
6
5
5
8)
( )
( )11
13
7
7
−
−
9) ( )42
7
RAÍCES
1) 4
5 Y 3
2) 33
1258 −⋅
3) 33
1258 ÷
4)
4 12
3
5)
4 6
5
6) ( )5
3
8
7)
12
4
12
3






8) 5
1024
9) 3
15625
LOGARITMOS:
1) ( )5215⋅Log
2)
175
525
log
3)
3
5log
4) 3
343Log
Resuelve las siguientes ecuaciones:
5) Log X + Log 50 = Log 1000
6) 2 Log X = Log (10 – 3X)
7) (15 + i)x
= 2
8) 2 . 5x
= 250
9) 5x+1
= 250
SOLUCIONES:
POTENCIAS:
1) (-5)4
2) 7
3) 23
. 33
. 53
4) (-4)2
. 32
. (-5)2
5) 43
6) (-2)3
7) 52
8) (-7)2
9) 78
RAÍCES:
1)
5 1/4
Y 3 1/2
2) ( )3 1258 −⋅
3) 3
125
8
−
4) 33
5) 5 6/4
6)
8 5/3
7)
3
12
3






8) 10
1024
9) 6
15625
LOGARITMOS:
1) Log 15 + Log 52
2) Log 525 – Log 175
3) 3 Log 5
4) 1/3 Log 343
5) X = 20
6) X = 2 ; X = -5
7)
( )iLog
x
+
=
15
2
8) 3
5
2250
=
−
=
Log
LogLog
x
9) X = 4

EJERCICIO 4
UNO.- Saca factor común en:
1) yxx ⋅+2
2) caba ⋅−⋅
3) 32
63 xx −
4) cc
2
1
+
5) hyyyy 1215191815 +−++
6)
jj
c
j
a
j
1815181
−++
7)
i
j
ii +
−
+
+
+ 11
18
1
15
8)
( ) ( ) ( )432
1111 i
c
i
c
i
c
i
c
+
+
+
+
+
+
+
DOS.- Encuentra la solución de las
siguientes ecuaciones:
1) 1210 =+ x
2) 242 =+ yx
3) 0162
=−x
4) 258218 −=−+ xx
5) 14128 −=+− xxx
6) xxx 74004352 −=−+
7) ( ) 271
3
=+ x
8) ( ) 1407,01 =+
x
9) ( ) 140315
4
=+ x
10)
a
n 5
1814 =
11) 20
2
18
1 =





+
a
12) ( ) 1014
5
=+ a
13)
h
h
h
x
h
⋅
−⋅⋅+=
50
307,0
30
(Despejar la h)
SOLUCIÓN EJERC DOS:
1) X=2
2) X=24-2Y
3) 16=X
4) X=-35
5) X=11/5
6) X=73
7) 1273
−=X
8) X= Log 14 / Log 1,07
9)
3
151404
−
=x
10) n= [Log 18+ Log (5 / a)] / Log 14
11) a= Log 20 / Log 10
12) 14105
−=a
13)
3079,0
20
⋅
−
=
x
h

EJERCICIO 5
NÚMERO 1:
Escribe con una incógnita las siguientes ecuaciones expresadas en lenguaje ordinario, y
después resuélvelas:
1) La suma de dos números consecutivos es 115
2) La suma de tres números pares consecutivos es 54
3) Un número más su cuarta parte es 45
4) Un número y su mitad suman 15.
5) El doble del cuadrado de un número es 162
NÚMERO 2:
Resuelve los siguientes problemas:
1) ¿Cuánto vale un capital, cuyo importe más su mitad, ascienden a 200€?
Solución: 133,33
2) Halla el número cuya mitad, más su cuarta parte, más 1, es igual a dicho número.
Solución: 4
3) Un recipiente está lleno de agua. Se extrae la mitad del agua y después la mitad del
resto, quedando en el recipiente 200 litros. Calcula su capacidad.
Solución: 800 litros
4) La Suma de dos números es 32 y uno de ellos es igual a la séptima parte del. Halla
los dos números
Solución: 28
5) La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble del
primero; el tercero el doble del segundo, y el cuarto doble del tercero. Halla los
cuatro números.
Solución: 6, 12, 24 y 48
6) Halla la longitud de una pieza de tela, sabiendo que después de haber vendido la
mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan 20 metros.
Solución: 100 metros
SOLUCIONES:
1) 57
2) 16
3) 36
4) 10
5) 9

EJERCICIO 6
SISTEMAS DE ECUACIONES
UNO:
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, por el método que prefieras: sustitución,
igualación o reducción:
DOS:
Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a los siguientes enunciados y resolverlo:
1) En un corral, entre conejos y gallinas, se encuentran 17 cabezas y 56 patas. ¿Cuántos
conejos y gallinas hay?
Solución: 11 conejos y 6 gallinas
2) Un grupo de alumnos, por 3 entradas de patio y 6 de palco, ha pagado 75€. Otro grupo,
por 2 entradas de patio y 2 de palco, ha pagado 36 €. ¿Cuánto vale cada entrada?
Solución: palco 7€ y patio 11€
3) Un grupo de amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 20 céntimos de euro.
Al abrir las manos cuentan 8 monedas con un valor total de 115 céntimos. ¿Cuántas
monedas hay de cada clase?.
Solución: 3 monedas de 5 céntimos y 5 de 20 céntimos
4) Dos grupos de alumnos han ido a merendar a una cafetería. Elvira observa que el primer
grupo, por 3 bocadillos y 4 refrescos, ha pagado 10 €, y que el segundo grupo, por un
bocadillo y 2 refrescos, ha pagado 4 €, ¿cuánto costó cada bocadillo y cada refresco?
Solución: Refresco 1€ y bocadillo 2€
5) Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos.
Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te
quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te
doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el
mulo?.
Solución: caballo 5 sacos y mulo 7 sacos
1424
52
=+
=+
yx
yx
72
52
=+
=+
yx
yx
10025
5503510
+=
+=+
xy
yyx
102
16534
=
=+
y
yx
1)
2)
3)
4)
SOLUCIONES:
1) X= 47, 22 ;
Y=38,88
2) X= 37,5 ; Y=5
3) X=3 ; Y=1
4) X=2 ; Y=1

EJERCICIO 7
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:
1. 213 −=+ XX
2. 9231 −=− XX
3. XX −=− 23
4. ( ) ( )4514 −=+ XX
5.






−
+





−+=−
09,0
360
130000130000
09,0
360
60
1000001000007500009,0
360
80
300000300000
x
6. 004,012,0
360
52
990667 NNN −−=
7.
3000
50200000
200000
3000
30 ⋅
−=−
X
X
8. ( ) 006..06,016000 XCXC −+= - Despeja C
9. ( )05,0.12 YXX += - Despeja Y
10. 6003.06,0..07,0
2
1
+=





+ XXX
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más
que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada
hermano ? Sol: 10, 13 y 17 años
2. El perro de Alex tiene hoy 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Alex tendrá el triple de la
edad de su perro. ¿Cuál es la edad de Alex y su perro?. Sol: 14 y 2 años.
3. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto 13 y su padre 43. ¿Cuantos años han de transcurrir
para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?. Sol: en 15 años.
4. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es de 104 años. El padre es 6 años
mayor que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?.
Sol: 11 años cada hijo.
5. Hallar el número que disminuido en sus 3/8 equivale a su duplo disminuido en 11. Sol: 8
6. Hallar dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4.
Sol: 24 el menor y 25 el mayor
7. En tres días un hombre ganó 175 Euros. Si cada día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior,
¿cuánto ganó cada día?. Sol: 100€, 50€ y 25€.
SOLUCIONES:
1. X= -3/2
2. X=2
3. X=5/2
4. X=24
5. X=292,3
6. X=1.012.262
7. X=198.653,19
8. C=100.000
9. Y=20
10. X=20.000

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