Un resumen sobre formulación de algunos valores numéricos como raíces cuadradas, número de Euler y tabla de valores de la Distribución de Probabilidad continua "Normal" Campana de Gauss, cuyas aproximaciones son a través de polinomios de Taylor o Maclaurin. Autoría Pedro Orlando González Cordero

1. Aproximaciones Numéricas
Algunas Aplicaciones
Lic. Pedro Orlando González Cordero
Hoy día se conocen todos los números de la recta Real, ¿pero
puedo calcular esos números irracionales de manera fácil?, pues
sabemos que para conseguir los números racionales o fraccionarios son
los valores decimales que se determinan con simples cálculos de
divisiones como se muestra en la siguiente tabla de valores:
1
2
0,5
1
7
0,142857142857…
1
12
0,08333…
1
3
0,333…
1
8
0,125
1
13
0,076923076923…
1
4
0,25
1
9
0,111…
1
14
0,07142857142857...
1
5
0,2
1
10
0,1
1
15
0,0666...
1
6
0,1666…
1
11
0,090909…
1
16
0,0625
Son números predecibles ya que cuando son periódicos y la razón
de su repetición es continua e infinita; pero no así los números
irracionales que carecen de una razón periódica, el mejor ejemplo es
el número pi (π) cuya aproximación más antigua data para el año 1900
a.c. En Egipto en los papiros encontrados en Ahme el valor aproximado
de Pi lo realizaron con una fracción
2
8
3
4
≈3,1605 otra aproximación
planteada en Grecia en el 600 a.c.fue calculado con la raíz
√10=3,16227... ambas con el error en la centésima, el valor exacto es
π=3,141592654...
Determinación de raíces cuadradas a través de polinomios de
Aproximación se realiza de la forma:
√p=(a
2
+b)
1/2
=a(1+
b
a
2
)
1/2
=a(1+
1
2
.
b
a²
−
1
8
b
2
a
4
+
1
16
.
b
3
a
6
)
√4=2
√5≈2.(1+
1
2
.
1
4
−
1
8
.(
1
4
)²+
1
16
.(
1
4
)
3
)=2,236328125 siendo √5=2,236067977
si restamos ambos resultados nos damos cuenta que el error se
encuentra en la diezmilésima cifra

2. √6≈2.(1+
1
2
.
2
4
−
1
8
.(
2
4
)²+
1
16
.(
2
4
)
3
)=2,453125 siendo √6=2,2449489743
Pero los errores pueden cambiar para visualizarlos se realizo una
tabla en una hoja de calculo usando el polinomio de aproximación
podemos ver en la primera columna el valor para sacarle la raíz
cuadrada, en la segunda columna el valor exacto de la raíz cuadrada,
la tercera columna el valor calculado por el polinomio de
aproximación y la cuarta y última columna es la diferencia entre
ambos resultados y de esta manera apreciamos el error.
Realizando la siguiente tabla
Otro Polinomio de Aproximación es el de Taylor, en especial para
dicho polinomio si los valores iniciales son nulos, se define como
Polinomios de Maclaurin
F(x)≈F(0)+F'(0).X+
F
' '
(0). X
2
2!
+...+
F
(N)
(0). X
N
N !
Si usamos F(x)= e
x
todas las derivadas sucesivas dan la misma función
y si se evalúan en cero resulta la unidad, es decir, con el polinomio
RAIZ EXACTA POLINOMIAL DIFERENCIA
5 2,2360679775 2,236328125 0,0002601475
6 2,4494897428 2,453125 0,0036352572
7 2,6457513111 2,662109375 0,0163580639
8 2,8284271247 2,875 0,0465728753
9 3 3 0
10 3,1622776602 3,1622942387 1,65785E-005
11 3,3166247904 3,316872428 0,0002476376
12 3,4641016151 3,4652777778 0,0011761626
13 3,6055512755 3,6090534979 0,0035022225
14 3,7416573868 3,7497427984 0,0080854116
15 3,8729833462 3,8888888889 0,0159055427
16 4 4 0
17 4,1231056256 4,1231079102 2,28454E-006
18 4,2426406871 4,2426757813 3,50941E-005
19 4,3588989435 4,3590698242 0,0001708807
20 4,472135955 4,47265625 0,000520295
21 4,582575695 4,5838012695 0,0012255746
22 4,6904157598 4,6928710938 0,0024553339
23 4,7958315233 4,8002319336 0,0044004103
24 4,8989794856 4,90625 0,0072705144
25 5 5 0
26 5,0990195136 5,09902 4,86407E-007
27 5,1961524227 5,19616 7,57729E-006
28 5,2915026221 5,29154 3,73779E-005
29 5,3851648071 5,38528 0,0001151929
30 5,4772255751 5,4775 0,0002744249
31 5,5677643628 5,56832 0,0005556372
32 5,6568542495 5,65786 0,0010057505
33 5,7445626465 5,74624 0,0016773535
34 5,8309518948 5,83358 0,0026281052

3. de Maclaurin quedará la serie de la manera siguiente:
e
1
≈1+1+
1
2
+
1
6
+
1
24
+
1
120
+
1
720
+
1
5040
+...≈2,71828 siendo e=2,71828182
que en la medida usemos mas fracciones, para sumar, más nos acercamos
al valor real.
De la misma manera haremos la función de la integral Gausseana, es
decir, F(x)=e
−x
2
2
y los resultados de las derivadas sucesivas son
diferentes entre sí, ya que se convierte en derivadas de productos de
funciones:
F(x)=e
−x
2
2
→F(0)=1
Fi
(x)=−x.e
−x
2
2
→ Fi
(0)=0
Fii
(x)=x2.
e
−x
2
2
−e
−x
2
2
→ Fii
(0)=−1
F
iii
(x)=−x
3.
e
−x
2
2
+3.x.e
−x
2
2
→F
iii
(0)=0
F
iv
(x)=x
4.
e
−x
2
2
−6.x
2.
e
−x
2
2
+3.e
−x
2
2
→F
iv
(0)=3
Fv
( x)=−x5.
e
−x
2
2
+10.x3.
e
−x
2
2
−15.x.e
−x
2
2
→Fv
(0)=0
Fvi
(x)=x6.
e
− x
2
2
−15.x4.
e
−x
2
2
+45.x2.
e
− x
2
2
−15.e
−x
2
2
→Fvi
(0)=−15
F
vii
( x)=−x
7.
e
−x
2
2
+21.x
5.
e
−x
2
2
−105.x
3.
e
−x
2
2
+105.x.e
−x
2
2
→ F
vii
(0)=0
Fviii
(x)=x8.
e
−x
2
2
−28.x6.
e
− x
2
2
+210.x4.
e
−x
2
2
−420.x2.
e
−x
2
2
+105.e
−x
2
2
→Fviii
(0)=105
Cada una de las derivadas son coeficientes en el polinomio de
Maclauri.
e
−x
2
2
≈1+0−
x
2
2
+0+
3.x
4
24
+0−
15.x
6
420
+0+
105.x
8
40320
Simplificando el polinomio
e
−x
2
2
≈1−
x
2
2
+
x
4
8
−
x
6
48
+
x
8
384
nos queda un polinomio con 5 términos, mientras
más términos la aproximaciones serán con estimaciones más ajustadas a
los valores reales. La distribución de probabilidades de variable
continua, también conocida como Gaussiana, es la integral de esa
función polinómica con el coeficientes de corrección
1
√2.PI
∫e
−x
2
2
dx≈
1
√2.PI
∫(1−
x
2
2
+
x
4
8
−
x
6
48
+
x
8
384
)dx=
1
√2.PI
(x−
x
3
6
+
x
5
40
−
x
7
336
+
x
9
3456
) es
decir que a través de las técnicas de aproximaciones esa integral que
se resuelve por una función Gamma la convertimos en una función
polinómica fácil de integrar y se obtiene:
1
√2.PI
∫e
−x
2
2
dx≈
1
√2.PI
( x−
x
3
6
+
x
5
40
−
x
7
336
+
x
9
3456
)
otra aproximación para reducir el polinomio y hacerlo más pequeño es
la técnica de Padé:

4. (x−
x
3
6
+
x
5
40
−
x
7
336
+
x
9
3456
)(1+q1 x+q2 x
2
+q3 x
3
+q4 x
4
)−( p0+p1 x+p2 x
2
+p3 x
3
+p4 x
4
)=0 en
resumen la obtención de cada coeficiente del numerador qn o cada del
denominador pn mediante álgebra sencilla llegamos al polinomio
generador r(x)=
x+0,09660767.x
3
−0,002782167.x
5
1+0,0070058997.x
2
−0,016105668. x
4
siendo los coeficientes
del numerador
q1=0;q2=
95
1356
=0,0070058997; q3=0;q4=
−1223
75936
=−0,016105668
y los del denominador
p0=0; p1=1; p2=0; p3=
−131
1356
=−0,09660767; p4=0; p5=−0,002782167
con los polinomios de Maclaurin (azul) y Padé (verde) en comparación
de los valores reales de la tabla normal, también llamada Gaussiana
(crema),la diferencia entre polinomio de Maclaurin con la normal
(negro) y la diferencia del polinomio de Padé y la normal (amarillo)
se realizó la siguiente tabla:
observamos que el polinomio de Maclaurin hace las diferencias en la
columna negra tiene el error de aproximación en la potencia 10
−11
eso
nos da mayor precisión al valor real de la Gaussiana; no obstante son
0,00 0 0 0 0 0
0,10 0,0398278373 0,039827837 0,0398278373 2,27551E-011 -2,6792E-010
0,11 0,0437953126 0,0437953123 0,0437953125 2,50220E-011 -2,8860E-010
0,12 0,047758426 0,0477584257 0,047758426 2,72866E-011 -3,0755E-010
0,13 0,0517167867 0,0517167863 0,0517167867 2,95492E-011 -3,2460E-010
0,14 0,0556700048 0,0556700045 0,0556700048 3,18099E-011 -3,3956E-010
0,15 0,0596176924 0,059617692 0,0596176924 3,40697E-011 -3,5222E-010
0,16 0,0635594629 0,0635594625 0,0635594629 3,63302E-011 -3,6233E-010
0,17 0,0674949317 0,0674949313 0,0674949317 3,85944E-011 -3,6957E-010
0,18 0,0714237159 0,0714237155 0,0714237159 4,08673E-011 -3,7354E-010
0,19 0,0753454348 0,0753454344 0,0753454347 4,31570E-011 -3,7374E-010
0,20 0,0792597095 0,0792597091 0,0792597094 4,54766E-011 -3,6948E-010
0,21 0,0831661635 0,0831661631 0,0831661635 4,78454E-011 -3,5990E-010
0,22 0,0870644227 0,0870644223 0,0870644226 5,02928E-011 -3,4385E-010
0,23 0,0909541152 0,0909541148 0,0909541151 5,28616E-011 -3,1986E-010
0,24 0,0948348718 0,0948348714 0,0948348717 5,56137E-011 -2,8602E-010
0,25 0,0987063257 0,0987063254 0,0987063257 5,86361E-011 -2,3987E-010
0,26 0,1025681133 0,102568113 0,1025681132 6,20506E-011 -1,7832E-010
0,27 0,1064198733 0,1064198731 0,1064198732 6,60247E-011 -9,7446E-011
0,28 0,1102612476 0,1102612476 0,1102612476 7,07857E-011 7,64674E-012
0,29 0,1140918813 0,1140918813 0,1140918812 7,66394E-011 1,43043E-010
0,30 0,1179114223 0,1179114225 0,1179114222 8,39920E-011 3,16241E-010
0,31 0,1217195219 0,1217195224 0,1217195218 9,33782E-011 5,36420E-010
0,32 0,1255158348 0,1255158355 0,1255158347 1,05495E-010 8,14745E-010
0,33 0,1293000191 0,1293000201 0,1293000189 1,21245E-010 1,16471E-009
0,34 0,1330717362 0,1330717376 0,133071736 1,41783E-010 1,60252E-009
0,35 0,1368306513 0,1368306533 0,1368306512 1,68582E-010 2,14755E-009

5. errores que van creciendo cada vez más se acerca a los valores de 1 y
se desvanece la importancia de dicha tabla cuando los valores están
entre 2 y 3, para que esta tabla tenga valores cada vez más precisos
se deberá aumentar el grado del polinomio.
“Es nuestra decisión de querer estar cada vez más cerca de lo que
deseamos, pues tenemos el poder de trabajar para lograrlo”
Pedro González Cordero
Si es nuestro deseo querer un valor aproximado muy cercano al valor
real y que su diferencia sea nula pues se deberá realizar un
polinomio de aproximación de mayor grado.
El uso de la tabla Normal se extiende con diversos problemas
cotidianos en cualquier ámbito, pero nos compete el ámbito laboral,
veamos un ejemplo como el siguiente:
Preámbulo: Antes del uso de la distribución de probabilidades Normal
se tiene que TIPIFICAR, es decir, cambiar las diversas variables de
la cotidianidad como el peso (en onzas, gramos, mililitros entre
otros...) de una botella de un producto pero también un paquete o
bolsa, a Variables de la propia curva de probabilidades.
Ejemplo: El gerente de Calidad de la Pepsicola en el estado Lara
mantiene registros sobre la cantidad de las bebidas en su tamaño
familiar. La cantidad real de bebida en cada botella es de
fundamental importancia, pero varía en una mínima cantidad de una
botella a otra de Pepsicola, no quiere las botellas con menos líquido
del debido, porque tendría problemas en cuanto a la veracidad de lo
que especifica la etiqueta. Por otro lado, no puede llenar en exceso
las botellas debido a que regalaría bebida y así reduciría sus
utilidades. Sus registros indican que la cantidad de bebida de
Pepsicola sigue una distribución de probabilidad normal. La cantidad
media por botella es 31,2 onzas y la desviación estándar de la
población es 0,4 onzas. El día de hoy a las 8:00 a.m. el gerente de
calidad seleccionó al azar 16 botellas de la linea de llenado. La
cantidad media de bebida que contienen las botellas es 31,8 onzas.
¿Éste es un resultado poco probable? ¿Es probable que el proceso
sirva demasiada bebida en las botellas? En otras palabras, ¿el error
de muestreo de 0,18 onzas es poco común?
Solución: Podemos darnos cuenta que la muestra es n=16 botellas de
una población normal con una media de µ=31,2 onzas y una desviación
estándar de la población σ=0,4 onzas y encontrar que la media de la
muestra es ̄x=31,38 onzas.
z= ̄x−µ
σ/√n
=
31,38−31,2
0,4/√16
=1,8 La tabla que valor
de probabilidad resulta para z=1,80 es
0,4641 es un área negra que va desde el
centro z=0 hasta el valor de z=1,8 nos
interesa el área roja 0,5-0,4641=0,0359

6. Tabla normal
0 0 1 0,3413447461 2 0,4772498681
0,01 0,0039893563 1,01 0,343752355 2,01 0,4777844056
0,02 0,0079783137 1,02 0,3461357696 2,02 0,4783083062
0,03 0,0119664734 1,03 0,3484949972 2,03 0,4788217304
0,04 0,0159534369 1,04 0,3508300497 2,04 0,4793248371
0,05 0,0199388058 1,05 0,3531409436 2,05 0,4798177846
0,06 0,0239221827 1,06 0,3554277003 2,06 0,4803007296
0,07 0,0279031702 1,07 0,3576903456 2,07 0,4807738278
0,08 0,031881372 1,08 0,3599289099 2,08 0,4812372336
0,09 0,0358563926 1,09 0,362143428 2,09 0,4816911001
0,1 0,0398278373 1,1 0,3643339391 2,1 0,4821355794
0,11 0,0437953125 1,11 0,3665004868 2,11 0,4825708221
0,12 0,047758426 1,12 0,368643119 2,12 0,4829969774
0,13 0,0517167867 1,13 0,3707618878 2,13 0,4834141933
0,14 0,0556700048 1,14 0,3728568494 2,14 0,4838226166
0,15 0,0596176924 1,15 0,3749280644 2,15 0,4842223926
0,16 0,0635594629 1,16 0,3769755969 2,16 0,4846136652
0,17 0,0674949317 1,17 0,3789995156 2,17 0,484996577
0,18 0,0714237159 1,18 0,3809998925 2,18 0,4853712692
0,19 0,0753454347 1,19 0,382976804 2,19 0,4857378816
0,2 0,0792597094 1,2 0,3849303298 2,2 0,4860965525
0,21 0,0831661635 1,21 0,3868605536 2,21 0,4864474189
0,22 0,0870644226 1,22 0,3887675626 2,22 0,4867906162
0,23 0,0909541151 1,23 0,3906514476 2,23 0,4871262786
0,24 0,0948348717 1,24 0,3925123029 2,24 0,4874545386
0,25 0,0987063257 1,25 0,3943502263 2,25 0,4877755273
0,26 0,1025681132 1,26 0,3961653189 2,26 0,4880893746
0,27 0,1064198732 1,27 0,3979576849 2,27 0,4883962085
0,28 0,1102612476 1,28 0,399727432 2,28 0,4886961558
0,29 0,1140918812 1,29 0,401474671 2,29 0,4889893417
0,3 0,1179114222 1,3 0,4031995154 2,3 0,48927589
0,31 0,1217195218 1,31 0,4049020822 2,31 0,4895559229
0,32 0,1255158347 1,32 0,406582491 2,32 0,4898295613
0,33 0,1293000189 1,33 0,4082408643 2,33 0,4900969244
0,34 0,133071736 1,34 0,4098773275 2,34 0,4903581301
0,35 0,1368306512 1,35 0,4114920086 2,35 0,4906132945
0,36 0,1405764332 1,36 0,4130850381 2,36 0,4908625325
0,37 0,1443087548 1,37 0,4146565492 2,37 0,4911059574
0,38 0,1480272924 1,38 0,4162066776 2,38 0,491343681
0,39 0,1517317265 1,39 0,4177355613 2,39 0,4915758136
0,4 0,1554217416 1,4 0,4192433408 2,4 0,4918024641
0,41 0,1590970262 1,41 0,4207301585 2,41 0,4920237397
0,42 0,1627572732 1,42 0,4221961595 2,42 0,4922397464
0,43 0,1664021794 1,43 0,4236414905 2,43 0,4924505886
0,44 0,1700314463 1,44 0,4250663005 2,44 0,492656369
0,45 0,1736447797 1,45 0,4264707404 2,45 0,4928571893
0,46 0,1772418897 1,46 0,427854963 2,46 0,4930531492
0,47 0,1808224912 1,47 0,429219123 2,47 0,4932443474
0,48 0,1843863035 1,48 0,4305633767 2,48 0,4934308809
0,49 0,1879330506 1,49 0,431887882 2,49 0,4936128452
0,5 0,1914624613 1,5 0,4331927987 2,5 0,4937903347
0,51 0,1949742691 1,51 0,4344782879 2,51 0,4939634419
0,52 0,1984682125 1,52 0,4357445122 2,52 0,4941322583
0,53 0,2019440346 1,53 0,4369916355 2,53 0,4942968737
0,54 0,2054014838 1,54 0,4382198233 2,54 0,4944573766
0,55 0,2088403132 1,55 0,439429242 2,55 0,494613854
0,56 0,2122602812 1,56 0,4406200594 2,56 0,4947663918
0,57 0,215661151 1,57 0,4417924444 2,57 0,4949150743
0,58 0,2190426911 1,58 0,4429465668 2,58 0,4950599842
0,59 0,2224046752 1,59 0,4440825975 2,59 0,4952012034
0,6 0,2257468822 1,6 0,4452007083 2,6 0,495338812
0,61 0,2290690962 1,61 0,4463010719 2,61 0,4954728889
0,62 0,2323711065 1,62 0,4473838615 2,62 0,4956035117
0,63 0,2356527079 1,63 0,4484492515 2,63 0,4957307566
0,64 0,2389137003 1,64 0,4494974165 2,64 0,4958546986
0,65 0,2421538892 1,65 0,450528532 2,65 0,4959754115
0,66 0,2453730853 1,66 0,4515427737 2,66 0,4960929674
0,67 0,2485711049 1,67 0,4525403182 2,67 0,4962074377
0,68 0,2517477695 1,68 0,4535213421 2,68 0,496318892
0,69 0,2549029063 1,69 0,4544860227 2,69 0,496427399
0,7 0,2580363478 1,7 0,4554345372 2,7 0,4965330262
0,71 0,2611479319 1,71 0,4563670635 2,71 0,4966358396
0,72 0,2642375022 1,72 0,4572837792 2,72 0,4967359042
0,73 0,2673049077 1,73 0,4581848624 2,73 0,4968332837
0,74 0,2703500028 1,74 0,459070491 2,74 0,4969280408
0,75 0,2733726476 1,75 0,4599408431 2,75 0,4970202368
0,76 0,2763727076 1,76 0,4607960967 2,76 0,4971099319
0,77 0,2793500537 1,77 0,4616364296 2,77 0,4971971854
0,78 0,2823045624 1,78 0,4624620197 2,78 0,4972820551
0,79 0,2852361158 1,79 0,4632730443 2,79 0,4973645979
0,8 0,2881446014 1,8 0,4640697 2,8 0,4974448697
0,81 0,2910299121 1,81 0,4648521064 2,81 0,497522925
0,82 0,2938919464 1,82 0,4656204976 2,82 0,4975988175
0,83 0,2967306082 1,83 0,4663750306 2,83 0,4976725998
0,84 0,2995458067 1,84 0,4671158813 2,84 0,4977443233
0,85 0,3023374569 1,85 0,4678432252 2,85 0,4978140385
0,86 0,3051054787 1,86 0,468557237 2,86 0,497881795
0,87 0,3078497979 1,87 0,4692580911 2,87 0,497947641
0,88 0,3105703452 1,88 0,469945961 2,88 0,4980116241
0,89 0,313267057 1,89 0,47062102 2,89 0,4980737909
0,9 0,3159398747 1,9 0,4712834402 2,9 0,4981341867
0,91 0,3185887451 1,91 0,4719333933 2,91 0,4981928562
0,92 0,3212136204 1,92 0,4725710503 2,92 0,4982498431
0,93 0,3238144578 1,93 0,4731965811 2,93 0,49830519
0,94 0,3263912197 1,94 0,4738101551 2,94 0,4983589388
0,95 0,3289438737 1,95 0,4744119405 2,95 0,4984111304
0,96 0,3314723925 1,96 0,4750021049 2,96 0,4984618048
0,97 0,3339767539 1,97 0,4755808147 2,97 0,4985110013
0,98 0,3364569407 1,98 0,4761482357 2,98 0,4985587581

7. ¿A que conclusión llegamos?
Es poco probable, ya que con una probabilidad equivalente a
un 3,59%, que pudiéramos seleccionar una muestra 16
observaciones de una población normal con una media 31,2
onzas y una desviación estándar poblacional de 0,4 onzas, y
encontramos que la media de la muestra es igual a, o mayor
que, 31,38 onzas. Llegamos a la conclusión de que el
proceso sirve demasiada bebida en las botellas. El gerente
de calidad debe hablar con el supervisor de producción
acerca de reducir la cantidad de bebida en cada botella.