Este documento presenta la resolución de inecuaciones de segundo grado a través de dos métodos: factorización y estudio de signos. Se resuelven 16 ejemplos de inecuaciones cuadráticas, representando gráficamente las soluciones y escribiendo la solución algebraica de dos formas.

1. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Aplicaciones
© Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ACTIVIDADES: Resuelve las siguientes inecuaciones, representa gráficamente las
soluciones y escribe algebraicamente la solución de dos maneras distintas.
11. x2
– 6x + 9 < 0
RESOLUCIÓN método 1
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
(x – 3)2
< 0
Como el cuadrado de una expresión Real siempre el positivo:
SOLUCIÓN:
No existe ningún valor Real de "x" que verifique la inecuación
∅ ℜ
RESOLUCIÓN método 2
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
x =
12
91466 2
⋅
⋅⋅−±
=
2
36366 −±
=
2
06 ±
=






=
−
=
+
3
2
06
3
2
06
(x – 3)(x – 3) < 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 3 x = 3
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor
3 ℜ
3 ℜ
-·-
+
+·+
+
La inecuación se verifica para < 0 en…
∅ ℜ
No existe ningún valor Real de "x" que verifique la inecuación
08 x2
– 2x – 35 ≥ 0
RESOLUCIÓN
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
x =
12
351422 2
⋅
−⋅⋅−± )(
=
2
14042 +±
=
2
122 ±
=






−=
−
=
+
5
2
122
7
2
122
(x – 7) (x + 5) ≥ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 7 ; x = – 5
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos
valores
- 5 ℜ7
- 5 ℜ7
+·+ -·--·+
+ - +

2. Resolución de inecuaciones de segundo grado con 1 incógnita
Teoría y problemas resueltos.
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
– 5 ℜ7
(– ∞, – 5] U [7, +∞)
{∀x∈ℜ/x ≤ – 5 ∨ x ≥ 7}
12. x2
– x < 6
RESOLUCIÓN
Colocamos la inecuación de forma que el 2º miembro sea cero
x2
– x – 6 < 0
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
x =
12
)6(1411 2
⋅
−⋅⋅−±
=
2
2411 +±
=
2
51±
=






−=
−
=
+
2
2
51
3
2
51
(x – 3)(x + 2) < 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 3 ; x = – 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos
valores
- 2 ℜ3
- 2 ℜ3
-·- +·+-·+
+ - +
La inecuación se verifica para < 0 en…
– 2 ℜ3
(– 2, 3)
{∀x∈ℜ/ – 2 < x < 3}
13 x2
+ 5x – 6 < 0
RESOLUCIÓN
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
x =
12
)6(1455 2
⋅
−⋅⋅−±−
=
2
24255 +±−
=
2
75±−
=






−=
−−
=
+−
6
2
75
1
2
75
(x – 1)(x + 6) < 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 1 ; x = – 6
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos
valores
- 6 ℜ1
- 6 ℜ1
-·- +·+-·+
+ - +

3. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Aplicaciones
© Abel Martín & Marta Martín Sierra www.aulamatematica.com
La inecuación se verifica para < 0 en…
– 6 ℜ1
(– 6, 1)
{∀x∈ℜ/ – 6 < x < 1}
14 x2
≥ 5x – 6
RESOLUCIÓN
x2
– 5x + 6 ≥ 0
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
x =
12
61455 2
⋅
⋅⋅−±
=
2
24255 −±
=
2
15 ±
=






=
−
=
+
2
2
15
3
2
15
(x – 3) (x – 2) ≥ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 3 ; x = 2
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos
valores
2 ℜ3
2 ℜ3
-·- +·+-·+
+ - +
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
2 ℜ3
(– ∞, 2]
{∀x∈ℜ/x ≤ 2 ∨ x ≥ 3}
16. x2
+ 10x + 25 < 0
RESOLUCIÓN método 1
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
(x + 5)2
< 0
Como el cuadrado de una expresión Real siempre el positivo:
No existe ningún valor Real de "x" que verifique la inecuación
∅ ℜ
RESOLUCIÓN método 2
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
(x + 5)2
< 0
(x + 5)·(x + 5) < 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero la expresión:
x = – 5
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor

4. Resolución de inecuaciones de segundo grado con 1 incógnita
Teoría y problemas resueltos.
- 5 ℜ
- 5 ℜ
+
+
+
+
La inecuación se verifica para < 0 en…
No existe ningún valor Real de "x" que verifique la inecuación
∅ ℜ
019 – x2
+ 10x – 25 ≤ 0
multiplicamos ambos miembros por (– 1)
x2
– 10x + 25 ≥ 0
Se trata de un trinomio cuadrado perfecto:
(x – 5)2
≥ 0
RESOLUCIÓN método 1
Como el cuadrado de una expresión Real siempre el positivo:
5 ℜ
∀x∈ℜ
RESOLUCIÓN método 2
Factorizamos con la ayuda de la fórmula de la ecuación de 2º grado
(x – 5) · (x – 5) ≥ 0
Comprobamos los valores que nos hacen cero cada uno de los factores:
x = 5 x = 5
Estudiamos el signo de la función en cada uno de estos 2 intervalos que determina este valor
5 ℜ
5 ℜ
+
+
+
+
La inecuación se verifica para ≥ 0 en…
5 ℜ
∀x∈ℜ