Este documento presenta el teorema del resto y su demostración, y proporciona ejemplos de su aplicación para determinar valores desconocidos que hacen que una división tenga un resto igual a cero o un valor dado. También incluye ejemplos resueltos de factorización de polinomios utilizando un factor común o reconociendo trinomios cuadrados perfectos.

1. Polinomios. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto
 Marta Martín Sierra
División de polinomios.
TEOREMA DEL RESTO. CÁLCULO DE 1 INCÓGNITA
01. Enuncia y demuestra el "Teorema del resto".
RESOLUCIÓN:
El resto de la división de un polinomio P(x) entre x – a es el valor numérico del polinomio
para x = a
Demostración:
Sea una división cualquiera:
P(x) x – a
R(x) C(x)
Dividendo = divisor · cociente + resto
P(x) = (x – a) · C(x) + R(x)
para x = a
P(a) = (a – a) · C(a) + R(a)
P(a) = R(a)
Q.E.D.
04. Halla el valor de "m" para el cual el polinomio dividendo es divisible por el polinomio
divisor (x + 2), siendo el dividendo x4
– x3
– 2x2
+ mx – 2m
RESOLUCIÓN:
x4
– x3
– 2x2
+ mx – 2m : x + 2  R = 0
Aplicamos el teorema del resto
(– 2)4
– (– 2)3
– 2(– 2)x2
+ m(– 2) – 2m = Resto
16 – (– 8) – 2·4 + m (– 2) – 2m = 0
16+ 8 – 8 – 2m – 2m = 0
16 – 4m = 0
4m = 16  m = 16/4
m = 4
06. Calcula el valor de "m" para que la siguiente división tenga de resto – 9
(x4
+ mx2
– 3x + 1) : (x + 2)
RESOLUCIÓN:
x4
+ mx2
– 3x + 1 : x + 2  Resto
Aplicamos el teorema del resto
(– 2)4
+ m(– 2)2
– 3(– 2) + 1 = – 9
+ 16 + m · 4 + 6 + 1 = – 9
+ 4m + 6 + 1 = – 9 – 16 – 6 – 1
4m = – 32
m = – 32/4
m = – 8
FACTORIZACIÓN
007. 2ab + 4a2
RESOLUCIÓN :
2a ·(b + 2a)
008. 3x2
y + 6xy2
RESOLUCIÓN:
3xy ·(x + 2y)
009. 3xy – 9x
RESOLUCIÓN:

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3x ·(y – 3)
010. – 7x + 21x2
RESOLUCIÓN:
En la factorización de este polinomio ya no suele haber unanimidad a la hora de factorizar, si bien la mayoría de los
alumnos ven la primera solución, muchos ven la segunda. Cualesquiera de las 2 es válida.
Solución 1: 7x ·(– 1 + 3x)
Solución 2: – 7x ·(1 – 3x)
011.
9
1
x +
27
1
x +
3
1
RESOLUCIÓN:
3
1
(
3
1
x +
9
1
x + 1) =
Cuando se hace por primera vez, es habitual dejarlo como se muestra anteriormente, pero hay que darse cuenta
que hay 2 términos semejantes que tenemos que reducir :
3
1
x +
9
1
x =
9
4
x
=
3
1
(
9
4
x + 1)
012. 21x2
– 7x
RESOLUCIÓN:
Solución 1: 7x·(3x – 1)
Solución 2: – 7x·(– 3x + 1)
013. – 8x2
+ 24x3
RESOLUCIÓN:
Solución 1: 8x2
·(– 1 + 3x)
Solución 2: – 8x2
·(1 – 3x)
014.
7
1
x2
+
49
1
x3
–
14
1
RESOLUCIÓN:
=
7
1
(x2
+
7
1
x3
–
2
1
)
015. a4
+ ba4
– 3a4
RESOLUCIÓN:
= a4
· (1 + b – 3) =
= a4
·(– 2 + b)
016. 4a2
+ 12a
RESOLUCIÓN:
= 4a ·(a + 3)
017. 6x – 12x2
RESOLUCIÓN:
= 6x ·(1 – 2x)
018. 2ab + a2
b
RESOLUCIÓN:
= ab ·(2 + a)
020. xy + x2
y + xy2

3. Polinomios. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto
 Marta Martín Sierra
RESOLUCIÓN:
= xy ·(1 + x + y)
021. x2
y – x3
y2
RESOLUCIÓN:
= x2
y ·(1 – xy)
022. 2x4
– 2x3
RESOLUCIÓN:
= 2x3
·(x – 1)
025. x2
– 2x + 1
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
(x – 1)2
026. y2
– 12y + 36
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
(y – 6)2
027. – 4 – x2
+ 4x
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
Las expresiones al cuadrado nunca pueden ser negativas...
¿Cómo podemos conseguir que queden positivas?
Cambiando de signo dos veces
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
– (4 + x2
– 4x)
– (x – 2)2
028. – x2
– 20x – 100
RESOLUCIÓN:
Las expresiones al cuadrado nunca pueden ser negativas...
– (x2
+ 20x + 100)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
– (x + 10)2
029. – x2
+ 10x – 25
RESOLUCIÓN:
Las expresiones al cuadrado nunca pueden ser negativas...
– (x2
– 10x + 25)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
– (x – 5)2
030. 20 + 20 x + 5x2
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  5·(4 + 4x + x2
)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
5(x + 2)2
031.
9
1
–
3
2
x + x2
RESOLUCIÓN:

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1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
=
2
3
1






x
032. 27 – 18 x + 3x2
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  3 (9 – 6x + x2
)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
3(x – 3)2
ó 3(3 – x)2
033. x2
+ 49 – 14x
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
(x – 7)2
034. 8 + 2x2
– 8x
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
2(4 + x2
– 4x)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
2(x – 2)2
035. 2x2
+ 2x +
2
1
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
2x2
+ 2x +
4
2
2(x2
+ x +
4
1
)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
= 2·
2
2
1






x
036. 4x4
y2
+ 9y2
– 12x2
y2
RESOLUCIÓN1:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  y2
(4x4
+ 9 – 12x2
)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
y2
· (2x2
– 3)2
RESOLUCIÓN2:
1.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
(2x2y – 3y)2
037.
9
4
x2
+ 16 –
3
16
x
RESOLUCIÓN1:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
=
2
4
3
2






x

5. Polinomios. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto
 Marta Martín Sierra
038. 4x2
+ 20x + 25
RESOLUCIÓN1:
1.– ¿Se puede sacar factor común? No
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
(2x + 5)2