Este documento presenta definiciones y conceptos básicos de topografía. Explica términos como topografía, plano topográfico, levantamiento topográfico, curvas de nivel, taquímetro, estación total y más. También describe métodos para medir distancias directa e indirectamente, formar pendientes, calcular azimuts, coordenadas particulares y generales. El objetivo es proporcionar una introducción completa a los fundamentos teóricos y prácticos de la topografía.
Trazado y-desarrollo-de-tuberias-angulos-y-dibujo numero 1riverarley
El documento describe varios métodos para construir bisectrices, dividir ángulos en partes iguales, sumar y restar ángulos, y trazar desarrollos de piezas cilíndricas y codos formados por cilindros. Incluye instrucciones paso a paso con ilustraciones para cada construcción geométrica.
Este documento explica cómo trazar los desarrollos de piezas de calderería cilíndricas y cuadradas según sus dimensiones interiores. Detalla el procedimiento para trazar las vistas de alzado y planta de una pieza cilíndrica, incluyendo el trazado de cada uno de sus cuatro laterales y su semidesarrollo. Explica también conceptos como el diámetro neutro para el desarrollo de piezas cilíndricas construidas en chapa.
El documento describe los pasos para trazar plantillas para un codo de cuatro virolas. Primero, se traza un arco con un radio pequeño en un ángulo de 90 grados y luego otro arco mayor sumando el radio pequeño y el diámetro del codo. Luego, se dividen los ángulos de 30 grados en ángulos de 15 grados y se trazan perpendiculares formando el contorno del codo. Finalmente, se divide la circunferencia en partes y se trazan líneas horizontales y verticales para definir cada sección del codo.
Este documento proporciona instrucciones sobre trazados de calderería y conceptos geométricos básicos. Explica escalas, líneas, ángulos, figuras geométricas como polígonos y circunferencias, y métodos para dividir ángulos y figuras. También describe diámetros exteriores, interiores y neutros de una cañería cilíndrica. El objetivo es capacitar a trabajadores en conceptos y técnicas de trazado necesarias para el desarrollo de calderería en cañerías
Este documento describe métodos para trazar perpendiculares y paralelas utilizando únicamente una cinta métrica. Explica cómo trazar una perpendicular desde un punto de una línea usando un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 metros, y cómo trazar paralelas midiendo distancias iguales desde un punto de referencia. También cubre cómo prolongar un alineamiento cuando los extremos no son visibles.
El documento describe los principios y métodos de dibujo ortogonal y dibujo isométrico. Explica cómo proyectar objetos en tres vistas ortogonales y cómo dibujar objetos en proyección isométrica, incluida la construcción de cuadrados, aristas, ángulos, círculos y esferas. También cubre la importancia del dibujo isométrico en la industria.
El documento presenta dos métodos para obtener las medidas necesarias para desarrollar un modelo tridimensional en un plano bidimensional: línea por línea o mediante fórmulas. Explica cómo usar el teorema de Pitágoras y la fórmula del perímetro de un círculo para calcular las medidas y trazar el modelo paso a paso, comenzando por el vértice y usando compás, escuadra y regla.
Este documento presenta varios ejercicios sobre traslaciones, giros y simetrías en el plano. Los ejercicios incluyen calcular las coordenadas de vectores y puntos trasladados, determinar los ángulos de giro posibles en una rotonda, y encontrar ejes de simetría y puntos simétricos de diferentes figuras geométricas. El documento guía al lector a través de una serie de pasos para resolver cada problema planteado.
Trazado y-desarrollo-de-tuberias-angulos-y-dibujo numero 1riverarley
El documento describe varios métodos para construir bisectrices, dividir ángulos en partes iguales, sumar y restar ángulos, y trazar desarrollos de piezas cilíndricas y codos formados por cilindros. Incluye instrucciones paso a paso con ilustraciones para cada construcción geométrica.
Este documento explica cómo trazar los desarrollos de piezas de calderería cilíndricas y cuadradas según sus dimensiones interiores. Detalla el procedimiento para trazar las vistas de alzado y planta de una pieza cilíndrica, incluyendo el trazado de cada uno de sus cuatro laterales y su semidesarrollo. Explica también conceptos como el diámetro neutro para el desarrollo de piezas cilíndricas construidas en chapa.
El documento describe los pasos para trazar plantillas para un codo de cuatro virolas. Primero, se traza un arco con un radio pequeño en un ángulo de 90 grados y luego otro arco mayor sumando el radio pequeño y el diámetro del codo. Luego, se dividen los ángulos de 30 grados en ángulos de 15 grados y se trazan perpendiculares formando el contorno del codo. Finalmente, se divide la circunferencia en partes y se trazan líneas horizontales y verticales para definir cada sección del codo.
Este documento proporciona instrucciones sobre trazados de calderería y conceptos geométricos básicos. Explica escalas, líneas, ángulos, figuras geométricas como polígonos y circunferencias, y métodos para dividir ángulos y figuras. También describe diámetros exteriores, interiores y neutros de una cañería cilíndrica. El objetivo es capacitar a trabajadores en conceptos y técnicas de trazado necesarias para el desarrollo de calderería en cañerías
Este documento describe métodos para trazar perpendiculares y paralelas utilizando únicamente una cinta métrica. Explica cómo trazar una perpendicular desde un punto de una línea usando un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 metros, y cómo trazar paralelas midiendo distancias iguales desde un punto de referencia. También cubre cómo prolongar un alineamiento cuando los extremos no son visibles.
El documento describe los principios y métodos de dibujo ortogonal y dibujo isométrico. Explica cómo proyectar objetos en tres vistas ortogonales y cómo dibujar objetos en proyección isométrica, incluida la construcción de cuadrados, aristas, ángulos, círculos y esferas. También cubre la importancia del dibujo isométrico en la industria.
El documento presenta dos métodos para obtener las medidas necesarias para desarrollar un modelo tridimensional en un plano bidimensional: línea por línea o mediante fórmulas. Explica cómo usar el teorema de Pitágoras y la fórmula del perímetro de un círculo para calcular las medidas y trazar el modelo paso a paso, comenzando por el vértice y usando compás, escuadra y regla.
Este documento presenta varios ejercicios sobre traslaciones, giros y simetrías en el plano. Los ejercicios incluyen calcular las coordenadas de vectores y puntos trasladados, determinar los ángulos de giro posibles en una rotonda, y encontrar ejes de simetría y puntos simétricos de diferentes figuras geométricas. El documento guía al lector a través de una serie de pasos para resolver cada problema planteado.
Este documento trata sobre diferentes tipos de perspectivas utilizadas en dibujo técnico. Explica la perspectiva dimetrica, oblicua, isométrica y caballera. Detalla cómo trazar objetos prismáticos y con detalles paralelos en perspectiva isométrica, incluyendo sólidos con superficies inclinadas u oblicuas. También cubre la representación de círculos isométricos.
El documento describe el sistema axonométrico, un método de representación tridimensional que utiliza la proyección cilíndrica ortogonal. Existen dos tipos de sistemas axonométricos: ortogonal y cilíndrico oblicuo. Para representar un objeto axonométricamente, se proyecta sobre las caras de un triedro de referencia tomando como base las vistas diédricas del objeto.
El documento describe diferentes tipos de proyecciones gráficas, incluyendo proyecciones isométricas, oblicuas y ortogonales. Una proyección isométrica mantiene la misma escala a lo largo de los tres ejes formando ángulos de 120° entre sí, lo que permite representar objetos tridimensionales de manera que se conserve su forma y tamaño. Las proyecciones oblicuas utilizan ángulos distintos de 90° entre los rayos de proyección y el plano de proyección.
La perspectiva es el arte de dibujar objetos en dos dimensiones para recrear su profundidad y posición relativa. Existen varios tipos de perspectiva como la lineal, aérea, paralela, oblicua e invertida, las cuales utilizan puntos de fuga y líneas convergentes para crear la ilusión de profundidad. También existen perspectivas como la axonométrica, caballera y cónica que se usan en dibujo técnico y arquitectura.
La perspectiva caballera utiliza cuatro planos de proyección: tres auxiliares que forman un triedro trirrectángulo y uno principal. Para fijar una perspectiva caballera se necesitan conocer dos ángulos: el ángulo alfa entre la dirección de proyección y el plano del cuadro, y el ángulo beta entre la dirección de proyección y el plano XOY. Los segmentos paralelos a X y Z se proyectan sin deformación, mientras que a los paralelos a Y se les aplica un coeficiente de reducción
La axonometría es una proyección geométrica que representa figuras tridimensionales en un plano mediante la proyección de sus ejes. Existen dos tipos principales: la axonometría ortogonal, que mantiene los ángulos entre ejes, y la axonometría oblicua, como la perspectiva caballera y militar, que reducen una dimensión.
Este documento proporciona instrucciones sobre trazados de calderería y conceptos geométricos básicos. Explica escalas, líneas, ángulos, figuras geométricas como polígonos y circunferencias, y métodos para dividir ángulos y figuras. También describe diámetros exteriores, interiores y neutros de una cañería cilíndrica. El objetivo es capacitar a trabajadores en conceptos y técnicas de trazado necesarias para el desarrollo de calderería en cañerías
Este documento presenta los principios básicos para construir perspectivas paralelas y cónicas. Explica cómo representar objetos tridimensionales en estas perspectivas, incluyendo cómo medir la profundidad y dibujar formas como cubos y círculos. Describe métodos para encontrar puntos clave en estas formas usando líneas de fuga, medidores y trazados auxiliares, tanto en perspectivas paralelas como cónicas con uno o dos puntos de fuga.
El documento describe la historia y desarrollo de la perspectiva isométrica. Se introdujo en 1820 por William Farish como una forma de representar objetos tridimensionales de manera simple. Más tarde, los tratadistas franceses la adoptaron y la llamaron "proyección isométrica". Explica cómo se utiliza un óvalo de cuatro centros para dibujar elipses que representan circunferencias en perspectiva isométrica. También proporciona instrucciones detalladas para dibujar objetos como escaleras y esferas util
En este documento se explican las características de la perspectiva isométrica, incluyendo que representa objetos con lados de igual longitud y sin coeficientes de reducción. Luego, detalla los pasos para desarrollar una perspectiva isométrica de un cubo inscrito en un cuadrado, trazando primero los ejes y luego uniendo aristas paralelas, y una circunferencia inscrita en un rombo trazando diagonales y uniendo puntos con un compás.
El documento explica cómo dibujar elipses y círculos en proyección isométrica. Para dibujar una elipse, se coloca un compás en dos focos y se trazan cuatro arcos que forman la elipse. Para dibujar un círculo, se dibuja primero un cuadrado con lados iguales al diámetro y luego se unen puntos para formar la elipse circunscrita. También explica cómo redondear vértices usando arcos mayores o menores de elipses.
El documento describe los sistemas diédrico y axonométrico para la representación de elementos
tridimensionales en dos dimensiones. El sistema diédrico divide el espacio en cuatro cuadrantes mediante dos
planos perpendiculares llamados planos de proyección vertical y horizontal. En el sistema axonométrico, el
espacio se divide por tres planos que forman un triedro de referencia y las figuras se representan mediante
proyecciones obtenidas según estos tres ejes. Ambos sistemas describen cómo representar puntos y rectas
mediante
Este documento describe los diferentes tipos de perspectiva axonométrica utilizados en dibujo técnico. Explica que la perspectiva axonométrica representa elementos geométricos manteniendo sus proporciones en las tres dimensiones del espacio a través de una proyección ortogonal. Luego describe la perspectiva isométrica y caballera, y cómo trazar los ejes. Finalmente, explica brevemente los sistemas axonométricos ortogonales, isométricos, dimétricos y trimétricos.
Este documento describe los sistemas de representación utilizados en geometría descriptiva para proyectar cuerpos tridimensionales en superficies bidimensionales. Explica los tipos de proyección cilíndrica y cónica, y los diferentes sistemas de representación como planos acotados, diédrico, axonométrico, isométrico, dimétrico, trimétrico, caballera y perspectivas cónicas central y oblicua.
Este documento trata sobre rectas y ángulos. Explica que una recta es una sucesión infinita de puntos con la misma dirección y que por dos puntos pasa una única recta. Describe los tipos de rectas como paralelas, secantes y perpendiculares. Luego define qué es un ángulo y sus elementos como vértice y lados. Explica cómo medir ángulos en grados y los tipos como agudos, rectos y obtusos. Por último, cubre conceptos como ángulos complementarios, suplementarios y operaciones con áng
Este documento describe una técnica para dibujar isometrías a mano alzada. Explica que se deben determinar los ángulos precisos para trazar las líneas y analiza una figura formada por dos cuadrados unidos que forman un rectángulo. Recomienda trazar las líneas con ángulos de 30, 45 y 60 grados en lugar de usar cálculos trigonométricos, para simplificar el trazado.
La perspectiva isométrica representa objetos tridimensionales manteniendo las mismas proporciones en los tres ejes. Se usa comúnmente en diseño industrial y arquitectura para mostrar piezas desde diferentes ángulos sin exagerar sus volúmenes. En videojuegos permite mover elementos gráficos sin cambiar su tamaño. Para dibujar en perspectiva isométrica se usan líneas guía a 30 grados y es importante marcar medidas para cerrar cada cara del objeto.
Este documento presenta métodos para realizar trazados geométricos básicos como rectas paralelas, perpendiculares, bisectrices de ángulos y segmentos, división de ángulos y construcción de polígonos regulares dados un lado o el radio de la circunferencia circunscrita. Explica procesos paso a paso utilizando regla, compás y propiedades geométricas.
Este documento describe los diferentes tipos de axonometría, incluyendo la isométrica, dimétrica y oblicua. Explica que la axonometría es una técnica gráfica que representa objetos tridimensionales en un plano bidimensional manteniendo las proporciones en las tres direcciones del espacio. También proporciona detalles sobre los métodos de construcción, propiedades y características de cada tipo de proyección axonométrica.
El documento habla sobre diferentes tipos de trazados geométricos como polígonos, espirales y envolventes. Explica que los polígonos pueden ser regulares u irregulares, y da ejemplos de formas poligonales en la naturaleza. También describe métodos para construir polígonos como cuadrados, octógonos, pentágonos y triángulos inscritos en una circunferencia. Finalmente, menciona espirales como la de Arquímedes y cómo se trazan envolventes de segmentos y hexágonos
El documento describe los mapas de bits y los gráficos vectoriales. Los mapas de bits son imágenes compuestas de píxeles de color dispuestos en una tabla llamada raster, donde la resolución determina la cantidad de píxeles. Los gráficos vectoriales son imágenes digitales compuestas de objetos geométricos como puntos, líneas y curvas.
Este documento presenta los resultados preliminares de un estudio de la OCDE sobre las habilidades y competencias del siglo XXI necesarias para los estudiantes en los países de la OCDE. Propone un marco de tres dimensiones (información, comunicación e impacto ético-social) para conceptualizar estas habilidades y competencias. Analiza los debates en torno a su definición e importancia, y presenta los resultados iniciales de un cuestionario aplicado a representantes nacionales sobre cómo los países definen y enseñan estas habilidades.
Este documento trata sobre diferentes tipos de perspectivas utilizadas en dibujo técnico. Explica la perspectiva dimetrica, oblicua, isométrica y caballera. Detalla cómo trazar objetos prismáticos y con detalles paralelos en perspectiva isométrica, incluyendo sólidos con superficies inclinadas u oblicuas. También cubre la representación de círculos isométricos.
El documento describe el sistema axonométrico, un método de representación tridimensional que utiliza la proyección cilíndrica ortogonal. Existen dos tipos de sistemas axonométricos: ortogonal y cilíndrico oblicuo. Para representar un objeto axonométricamente, se proyecta sobre las caras de un triedro de referencia tomando como base las vistas diédricas del objeto.
El documento describe diferentes tipos de proyecciones gráficas, incluyendo proyecciones isométricas, oblicuas y ortogonales. Una proyección isométrica mantiene la misma escala a lo largo de los tres ejes formando ángulos de 120° entre sí, lo que permite representar objetos tridimensionales de manera que se conserve su forma y tamaño. Las proyecciones oblicuas utilizan ángulos distintos de 90° entre los rayos de proyección y el plano de proyección.
La perspectiva es el arte de dibujar objetos en dos dimensiones para recrear su profundidad y posición relativa. Existen varios tipos de perspectiva como la lineal, aérea, paralela, oblicua e invertida, las cuales utilizan puntos de fuga y líneas convergentes para crear la ilusión de profundidad. También existen perspectivas como la axonométrica, caballera y cónica que se usan en dibujo técnico y arquitectura.
La perspectiva caballera utiliza cuatro planos de proyección: tres auxiliares que forman un triedro trirrectángulo y uno principal. Para fijar una perspectiva caballera se necesitan conocer dos ángulos: el ángulo alfa entre la dirección de proyección y el plano del cuadro, y el ángulo beta entre la dirección de proyección y el plano XOY. Los segmentos paralelos a X y Z se proyectan sin deformación, mientras que a los paralelos a Y se les aplica un coeficiente de reducción
La axonometría es una proyección geométrica que representa figuras tridimensionales en un plano mediante la proyección de sus ejes. Existen dos tipos principales: la axonometría ortogonal, que mantiene los ángulos entre ejes, y la axonometría oblicua, como la perspectiva caballera y militar, que reducen una dimensión.
Este documento proporciona instrucciones sobre trazados de calderería y conceptos geométricos básicos. Explica escalas, líneas, ángulos, figuras geométricas como polígonos y circunferencias, y métodos para dividir ángulos y figuras. También describe diámetros exteriores, interiores y neutros de una cañería cilíndrica. El objetivo es capacitar a trabajadores en conceptos y técnicas de trazado necesarias para el desarrollo de calderería en cañerías
Este documento presenta los principios básicos para construir perspectivas paralelas y cónicas. Explica cómo representar objetos tridimensionales en estas perspectivas, incluyendo cómo medir la profundidad y dibujar formas como cubos y círculos. Describe métodos para encontrar puntos clave en estas formas usando líneas de fuga, medidores y trazados auxiliares, tanto en perspectivas paralelas como cónicas con uno o dos puntos de fuga.
El documento describe la historia y desarrollo de la perspectiva isométrica. Se introdujo en 1820 por William Farish como una forma de representar objetos tridimensionales de manera simple. Más tarde, los tratadistas franceses la adoptaron y la llamaron "proyección isométrica". Explica cómo se utiliza un óvalo de cuatro centros para dibujar elipses que representan circunferencias en perspectiva isométrica. También proporciona instrucciones detalladas para dibujar objetos como escaleras y esferas util
En este documento se explican las características de la perspectiva isométrica, incluyendo que representa objetos con lados de igual longitud y sin coeficientes de reducción. Luego, detalla los pasos para desarrollar una perspectiva isométrica de un cubo inscrito en un cuadrado, trazando primero los ejes y luego uniendo aristas paralelas, y una circunferencia inscrita en un rombo trazando diagonales y uniendo puntos con un compás.
El documento explica cómo dibujar elipses y círculos en proyección isométrica. Para dibujar una elipse, se coloca un compás en dos focos y se trazan cuatro arcos que forman la elipse. Para dibujar un círculo, se dibuja primero un cuadrado con lados iguales al diámetro y luego se unen puntos para formar la elipse circunscrita. También explica cómo redondear vértices usando arcos mayores o menores de elipses.
El documento describe los sistemas diédrico y axonométrico para la representación de elementos
tridimensionales en dos dimensiones. El sistema diédrico divide el espacio en cuatro cuadrantes mediante dos
planos perpendiculares llamados planos de proyección vertical y horizontal. En el sistema axonométrico, el
espacio se divide por tres planos que forman un triedro de referencia y las figuras se representan mediante
proyecciones obtenidas según estos tres ejes. Ambos sistemas describen cómo representar puntos y rectas
mediante
Este documento describe los diferentes tipos de perspectiva axonométrica utilizados en dibujo técnico. Explica que la perspectiva axonométrica representa elementos geométricos manteniendo sus proporciones en las tres dimensiones del espacio a través de una proyección ortogonal. Luego describe la perspectiva isométrica y caballera, y cómo trazar los ejes. Finalmente, explica brevemente los sistemas axonométricos ortogonales, isométricos, dimétricos y trimétricos.
Este documento describe los sistemas de representación utilizados en geometría descriptiva para proyectar cuerpos tridimensionales en superficies bidimensionales. Explica los tipos de proyección cilíndrica y cónica, y los diferentes sistemas de representación como planos acotados, diédrico, axonométrico, isométrico, dimétrico, trimétrico, caballera y perspectivas cónicas central y oblicua.
Este documento trata sobre rectas y ángulos. Explica que una recta es una sucesión infinita de puntos con la misma dirección y que por dos puntos pasa una única recta. Describe los tipos de rectas como paralelas, secantes y perpendiculares. Luego define qué es un ángulo y sus elementos como vértice y lados. Explica cómo medir ángulos en grados y los tipos como agudos, rectos y obtusos. Por último, cubre conceptos como ángulos complementarios, suplementarios y operaciones con áng
Este documento describe una técnica para dibujar isometrías a mano alzada. Explica que se deben determinar los ángulos precisos para trazar las líneas y analiza una figura formada por dos cuadrados unidos que forman un rectángulo. Recomienda trazar las líneas con ángulos de 30, 45 y 60 grados en lugar de usar cálculos trigonométricos, para simplificar el trazado.
La perspectiva isométrica representa objetos tridimensionales manteniendo las mismas proporciones en los tres ejes. Se usa comúnmente en diseño industrial y arquitectura para mostrar piezas desde diferentes ángulos sin exagerar sus volúmenes. En videojuegos permite mover elementos gráficos sin cambiar su tamaño. Para dibujar en perspectiva isométrica se usan líneas guía a 30 grados y es importante marcar medidas para cerrar cada cara del objeto.
Este documento presenta métodos para realizar trazados geométricos básicos como rectas paralelas, perpendiculares, bisectrices de ángulos y segmentos, división de ángulos y construcción de polígonos regulares dados un lado o el radio de la circunferencia circunscrita. Explica procesos paso a paso utilizando regla, compás y propiedades geométricas.
Este documento describe los diferentes tipos de axonometría, incluyendo la isométrica, dimétrica y oblicua. Explica que la axonometría es una técnica gráfica que representa objetos tridimensionales en un plano bidimensional manteniendo las proporciones en las tres direcciones del espacio. También proporciona detalles sobre los métodos de construcción, propiedades y características de cada tipo de proyección axonométrica.
El documento habla sobre diferentes tipos de trazados geométricos como polígonos, espirales y envolventes. Explica que los polígonos pueden ser regulares u irregulares, y da ejemplos de formas poligonales en la naturaleza. También describe métodos para construir polígonos como cuadrados, octógonos, pentágonos y triángulos inscritos en una circunferencia. Finalmente, menciona espirales como la de Arquímedes y cómo se trazan envolventes de segmentos y hexágonos
El documento describe los mapas de bits y los gráficos vectoriales. Los mapas de bits son imágenes compuestas de píxeles de color dispuestos en una tabla llamada raster, donde la resolución determina la cantidad de píxeles. Los gráficos vectoriales son imágenes digitales compuestas de objetos geométricos como puntos, líneas y curvas.
Este documento presenta los resultados preliminares de un estudio de la OCDE sobre las habilidades y competencias del siglo XXI necesarias para los estudiantes en los países de la OCDE. Propone un marco de tres dimensiones (información, comunicación e impacto ético-social) para conceptualizar estas habilidades y competencias. Analiza los debates en torno a su definición e importancia, y presenta los resultados iniciales de un cuestionario aplicado a representantes nacionales sobre cómo los países definen y enseñan estas habilidades.
La lectura permite explorar nuevos mundos y adquirir conocimiento, pero se requiere estar dispuesto a practicarla regularmente para poder beneficiarse plenamente de sus ventajas.
Este documento resume el síndrome de restricción del crecimiento intrauterino (RCIU), caracterizado por una disminución patológica del ritmo de crecimiento fetal que aumenta la morbi-mortalidad perinatal. Explica la etiología, diagnóstico y manejo del RCIU mediante ecografía y otros métodos, así como las complicaciones perinatales y neonatales comunes. El objetivo es realizar un diagnóstico temprano, clasificar el tipo de RCIU, tratar la causa subyacente y prestar asistencia pre
El documento presenta la historia de Mico'e Palo, un rufián que opera una bodega y explota a los niños de la calle, especialmente a Betulia de 12 años. Mico'e Palo intenta forzar a Betulia a la prostitución a cambio de dinero. También está involucrado en el tráfico de drogas y planea comprar a la hermana menor de Facha para un "encargo", posiblemente tráfico humano. Los niños viven en constante miedo y amenaza por Mico'e Palo.
Este documento describe los principales cambios en el contexto ecuatoriano y su impacto en la educación y el rol de los directivos. Explica que el ser humano es un sujeto integral con derechos inalienables a educarse y desarrollarse plenamente. También analiza las características del buen vivir y su inclusión en la Constitución ecuatoriana, así como las competencias clave que debe tener un director para liderar de manera efectiva.
Los candidatos a la alcaldía de Cartagena inscribieron sus candidaturas y visitaron los barrios para presentar sus propuestas, mientras que las encuestas colocan a Campo Elías Therán y María del Socorro Miranda como los más opcionados. Las autoridades se preparan para las elecciones con medidas contra el fraude, y todo está listo para que la población elija al nuevo alcalde.
El documento describe varias claves y factores para identificar nuevas oportunidades de negocio. Entre ellos se encuentran encontrar nichos de clientes insatisfechos, buscar ineficiencias en el mercado, analizar nuevos segmentos demográficos, identificar frustraciones de clientes, aprovechar nuevas tecnologías, detectar cambios en legislaciones o costos, y eliminar barreras tradicionales. También habla sobre tendencias de mercado, debilidades de la competencia, cambios tecnológicos, y oportunidades en el c
Presentacion final diseno-de_proyectos_1_ Diego Sanchez
La microempresa Smoothie tiene como objetivo principal producir y comercializar bebidas naturales y saludables a base de fruta para estudiantes en Bogotá y Medellín. El estudio de mercado muestra que existe demanda para este tipo de productos y que los precios propuestos serían competitivos. El proyecto requiere inversión en maquinaria, equipos y adecuación de instalaciones para la producción, recepción, procesamiento y almacenamiento de las bebidas.
El documento describe los pasos para crear una imagen utilizando capas en una aplicación de diseño. Se retira el fondo original, se agregan nuevas capas para un fondo sutil y un círculo, y luego se van agregando más elementos y texto en capas separadas hasta completar la imagen final.
La motivación estudiantil puede ser intrínseca u extrínseca y depende de factores como el valor de la tarea, las expectativas de éxito y las emociones. Para evaluar la actitud y el aprendizaje, es importante considerar estas dimensiones de la motivación así como el autoconcepto. Las herramientas educativas deben fomentar la tolerancia al error, el aprendizaje cooperativo y equilibrar los tipos de motivación.
El tesista de postgrado ,sus aliados y verdugos.Mouna Touma
Este documento resume la postura de Alexander Moreno sobre los estudios de posgrado, sus aliados y verdugos. Aborda temas como la importancia de la libertad del estudiante para elegir su tema de investigación, el rol fundamental del tutor, y que la investigación es un proceso arbitrario más que riguroso que involucra ensayo y error.
El documento describe los pasos para simular una imagen en Photoshop. Estos incluyen ampliar el canvas, seleccionar y duplicar partes de la imagen original, agregar nuevas capas con colores naranja y amarillo, agregar trazos con pincel en otra capa, y agregar texto con efectos de capa para crear la imagen final.
El documento describe los conceptos clave de la gestión de marketing y la investigación de mercados para emprendedores. Explica que la gestión de marketing consiste en concebir, planificar, ejecutar y controlar la elaboración, precio, promoción y distribución de un producto o servicio para lograr un intercambio mutuamente satisfactorio entre la organización y los consumidores. Además, detalla las etapas del proceso de investigación de mercados, incluyendo la determinación de objetivos, el diseño de la muestra, la elaboración de cuestion
ECONOMÍA VERDE: UN SALTO FINAL A LOS BIENES COMUNESreynaldo19400000
ECONOMÍA VERDE: EL ASALTO FINAL A LOS BIENES COMUNES
Este libro es un esfuerzo colectivo por entender cuál es el trasfondo de los programas, proyectos, expropiaciones, acaparamientos, especulaciones financieras, que dicen tener una lógica ecologista (verde), cuando nada en la “economía verde” cuestiona o sustituye la economía basada en el extractivismo y los combustibles fósiles, ni sus patrones de consumo y producción industrial. La economía verde extiende la expoliación de la gente y el ambiente a nuevos ámbitos, alimentando el mito de que es posible un crecimiento económico infinito. Avanza así la privatización, la invasión y la usurpación de los territorios indígenas y campesinos por todo el planeta
Este documento presenta las fotografías tomadas por estudiantes de segundo grado de su escuela como un proyecto de fotoperiodismo. Las fotos muestran varias actividades cotidianas como deportes, juegos, trabajo en computadoras y proyectos artísticos. Cada foto incluye una breve descripción de lo que representa.
Este documento describe diferentes tipos de memoria RAM, incluyendo RAM, EDO RAM, BEDO RAM, DRAM, SDRAM, RDRAM y SRAM. Explica que la RAM es la memoria primaria de la computadora que puede leerse y escribirse en cualquier momento pero pierde la información sin alimentación eléctrica, mientras que la SRAM es más rápida pero también más costosa. La DRAM es el tipo más común y económico pero necesita refrescar constantemente los datos almacenados.
El documento describe cómo ajustar el color de una sección seleccionada de una imagen utilizando las herramientas de selección y color. Se selecciona el fondo de la imagen y luego se ajusta el color del área seleccionada modificando la saturación y el tono. El mismo proceso de selección y ajuste de color se aplica a otra imagen.
El documento describe los conceptos clave de la gestión de marketing y la investigación de mercados para emprendedores. Explica que la gestión de marketing consiste en concebir, planificar, ejecutar y controlar la elaboración, precio, promoción y distribución de un producto o servicio para lograr un intercambio mutuamente satisfactorio entre la organización y los consumidores. También describe el proceso de investigación de mercados, que incluye la recopilación y análisis de información para tomar decisiones estratégicas y operativas,
Este documento presenta definiciones y conceptos básicos de topografía. Explica términos como levantamiento topográfico, curvas de nivel, taquímetro, estación total, nivelación, perfiles y replanteo. También describe métodos para medir distancias, ángulos y cotas de puntos en el terreno y obtener sus coordenadas para representarlos en un plano topográfico.
El documento presenta información sobre taquimetría, que es un método para medir distancias de forma indirecta utilizando un teodolito. Explica fórmulas para calcular distancias horizontales y desniveles entre puntos, así como conceptos básicos de trigonometría necesarios para realizar cálculos taquimétricos. También describe cómo representar gráficamente el relieve del terreno mediante curvas de nivel trazadas a intervalos de elevación constante.
Este documento presenta una introducción a la cartografía geológica. Explica los elementos básicos de la cartografía como los planos de referencia, la proyección lineal y la proyección acotada. También describe cómo se construye un mapa topográfico utilizando la proyección acotada para representar el relieve, la hidrografía y otras características de la superficie terrestre. Finalmente, introduce conceptos como la cartografía geológica, los perfiles geológicos y las discontinuidades estratigráficas que
Este documento explica los conceptos básicos de un plano numérico, incluyendo su definición, elementos geométricos como puntos, rectas y distancias, así como ecuaciones para representar puntos y formas en un plano como circunferencias, elipses, parábolas e hipérboles. También cubre cómo estas curvas cónicas pueden derivarse de intersecciones de un cono con un plano y las ecuaciones generales para representar cada tipo de curva cónica.
El documento describe los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo las coordenadas x e y, la distancia entre puntos, y el punto medio. Luego explica cómo trazar circunferencias de diferentes tamaños usando cuadrados circunscritos y diagonales. Finalmente, define curvas cónicas como parábolas, elipses e hipérbolas, y cómo representarlas gráficamente.
El documento describe las herramientas básicas de línea en AutoCAD, incluyendo línea, polilínea, rectángulo, círculo y elipse. También explica los sistemas de coordenadas cartesianas y polares, y cómo se pueden usar coordenadas absolutas y relativas para dibujar formas geométricas como cuadrados y triángulos equiláteros.
Este documento describe los conceptos básicos de un plano cartesiano, incluyendo la distancia entre puntos y varias curvas como la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Explica que un plano cartesiano contiene dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto de origen, y que la distancia entre dos puntos se calcula usando el teorema de Pitágoras. También proporciona ejemplos numéricos para ubicar puntos y calcular distancias en un plano cartesiano.
El documento describe los conceptos fundamentales de la perspectiva en arquitectura, incluyendo la línea de tierra, la línea de horizonte, el punto de vista y los puntos de fuga. Explica cómo construir cuadriculados y diagramas planos utilizando puntos de fuga para colocar objetos en su posición y tamaño correctos cuando se dibujan edificios, caminos y otras estructuras. También cubre cómo dibujar múltiples volúmenes y figuras en diferentes posiciones usando líneas de horizonte.
Este documento describe diferentes conceptos geométricos como el plano cartesiano, la distancia entre puntos, el punto medio de un segmento, ecuaciones, trazado de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando las coordenadas cartesianas, cómo encontrar el punto medio, y ofrece ejemplos de ecuaciones y representaciones gráficas de diferentes curvas.
Este documento presenta información sobre el uso del eclímetro y la mira para medir ángulos verticales, determinar alturas y cotas. Explica cómo funcionan estos instrumentos, cómo comprobarlos y calibrarlos, y los pasos para medir ángulos, alturas y distancias horizontales y verticales. Luego describe una práctica de campo para medir los lados, ángulos y cotas de un triángulo usando una cinta topográfica, brújula y eclímetro.
El documento explica los sistemas de coordenadas cartesianas y polares. Las coordenadas cartesianas ubican un punto mediante valores en los ejes X e Y que indican la distancia al origen a lo largo de cada eje. Las coordenadas polares definen un punto usando una distancia y un ángulo desde el origen. Ambos sistemas permiten usar coordenadas absolutas basadas en el origen o coordenadas relativas basadas en el punto anterior.
Este documento describe diferentes métodos topográficos para determinar la posición de puntos en el terreno y representarlos en un plano. Estos métodos incluyen la triangulación, intersección directa, trisección inversa, itinerario y radiación. También se detallan los procedimientos para la toma de datos en el campo y los cálculos necesarios para obtener las coordenadas de los puntos. Finalmente, se explica el método de Bowditch para el ajuste de errores en itinerarios topográficos.
Aprender a conocer el dibujo técnico es muy importante por que se requiere de este conocimiento y a la vez la habilidad para desarrollar la práctica en el diario vivir, por que antes de todo producto u objeto que nos rodea ha pasado por un boceto, croquis hasta los planos de construcción.
Este documento describe las características de la recta, incluyendo su definición formal como un lugar geométrico cuyos puntos cumplen con la misma pendiente entre ellos. Explica los diferentes tipos de rectas (horizontales, verticales, con pendiente positiva o negativa), y cómo calcular la pendiente y el ángulo de inclinación dados dos puntos. También presenta ejemplos prácticos de cómo usar la pendiente en la construcción y para determinar la velocidad de un avión.
Este documento presenta una introducción a conceptos fundamentales de geometría analítica como el plano cartesiano, rectas, circunferencias, elipses y su relación con las ecuaciones algebraicas. Se explican estos temas para profundizar el conocimiento de la unidad 3 de pensamiento geométrico y analítico.
El documento describe los pasos para realizar un levantamiento topográfico con cinta y jalones para elaborar un plano geológico de una zona. Incluye definir el área de estudio, demarcar puntos de referencia, medir distancias y ángulos entre puntos usando cinta métrica, brújula y otros instrumentos, y representar los rasgos geológicos identificados en el área. El objetivo es mapear las características del terreno y estructuras rocosas para su análisis.
PLANO NUMERICO MARIAN COLMENAREZ MATEMATICA.pdfmaria441095
El documento presenta información sobre diferentes conceptos geométricos como el plano cartesiano, la distancia y punto medio entre dos puntos, ecuaciones para representar planos, circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Explica cómo se definen y representan matemáticamente cada una de estas figuras geométricas, incluyendo sus elementos constitutivos como ejes, focos, radios y distancias características.
El documento presenta una introducción a la perspectiva cónica. Explica que es un sistema de representación gráfica basado en proyectar un objeto tridimensional sobre un plano utilizando líneas proyectantes que pasan por un punto de vista. Filippo Brunelleschi fue el primero en formular las leyes de la perspectiva cónica. Se detalla que es la perspectiva que más se aproxima a la visión real y que se usa comúnmente en arquitectura e interiorismo para representar edificios y volúmenes.
Este documento presenta el informe de una práctica de levantamiento topográfico realizada con un teodolito electrónico. El objetivo general fue obtener una representación gráfica de un terreno mediante la medición de su poligonal principal, puntos de lindero y perfiles transversales. El procedimiento incluyó la medición de ángulos horizontales, verticales y distancias inclinadas, y la elaboración de un plano del terreno en AutoCAD con sus curvas de nivel.
El documento resume los conceptos y procesos fundamentales de la topografía. Explica que la topografía consiste en localizar puntos en el terreno mediante el uso de coordenadas polares y cartesianas, y que estas coordenadas permiten graficar puntos, calcular distancias, ángulos y áreas. También describe los diferentes aparatos e implementos de topografía y cómo se usan para medir distancias y ángulos.
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Título: Apuntes de Topografía
Autor: Extraído del material de la asignatura
Dibujos: Anes Ortigosa Blázquez
Editado: Anes Ortigosa Blázquez
3. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
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Índice de contenido
1.Definiciones y Conceptos básicos
Topografía……………………………………………………………………………….5
Plano topográfico………………………………………………………………………..5
Distancia geométrica…………………………………………………………………….5
Distancia reducida……………………………………………………………………….5
Levantamiento topográfico………………………………………………………………5
Realizar un levantamiento topográfico…………………………………………………..5
Mínima dimensión representable………………………………………………………...5
Medida directa de distancias……………………………………………………………..5
Medida indirecta de distancias…………………………………………………………..5
Formación de pendientes………………………………………………………………...6
Curvas de nivel…………………………………………………………………………..6
Equidistancia…………………………………………………………………………….6
Taquímetro……………………………………………………………………………….6
Distanciometro electo óptico…………………………………………………………….7
Estación total…………………………………………………………………………….7
Movimiento general y particular………………………………………………………...8
Posición CD (circulo directo) y CI (circulo inverso)……………………………………8
Error de paralaje…………………………………………………………………………8
Error de eclímetro………………………………………………………………………..8
Regla Bessel……………………………………………………………………………..8
Azimut topográfico de una recta………………………………………………………...8
Coordenadas particulares o relativas…………………………………………………….9
Coordenadas generales o absolutas……………………………………………………...9
Taquímetro orientado……………………………………………………………………9
Desorientación en una estación………………………………………………………….9
Desorientación…………………………………………………………………………...9
Nivel topográfico………………………………………………………………………..9
Nivelación geométrica o por altura……………………………………………………...9
Nivelación trigonométrica o por pendientes…………………………………………….9
Enlace indirecto de porro………………………………………………………………..9
Medición de superficies………………………………………………………………..10
Replanteo……………………………………………………………………………….11
Perfil…………………………………………………………………………………....12
Perfil longitudinal………………………………………………………………………12
Perfil transversal………………………………………………………………………..12
Plano de comparación…………………………………………………………………..12
Cota roja…………………………………………………………………………….….12
Obtención de un perfil……………………………………………………………….…12
Vaciado del solar. Fórmula prismoide…………………………………………….……14
5. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
5
1. Definiciones y conceptos básicos
Topografía: Técnica que permite obtener planos topográficos
Plano topográfico: Es una representación gráfica plana de una zona del terreno
Distancia geométrica: Es la separación entre dos puntos medida en el espacio, lo que
llamamos verdadera magnitud en geometría
Distancia reducida: Es la separación entre dos puntos medida en el plano horizontal,
que en geometría corresponde a la distancia en proyección horizontal.
La relación entre las dos distancias es Dr = Dg · cosα
Levantamiento topográfico: Es el conjunto de operaciones por las cuales podemos
llegar a representar gráficamente los puntos que hemos escogido en el campo, a través
de recoger varios datos de cada punto. En función de los datos que tengamos y que
calculemos podemos hacer el levantamiento por varios sistemas, y obtener distintos
levantamientos los cuales clasificaremos de la siguiente forma:
- Planimétricos: que es cuando en la representación gráfica solo colocamos la
información de sus coordenadas horizontales (x, y)
- Altimetricos: que es cuando en la representación gráfica solo colocamos la
información de las cotas de los puntos que hemos considerado sobre el
plano de referencia.
- Taquimetricos: que es cuando en la representación gráfica colocamos toda la
información de los puntos considerados, incluimos simultáneamente sus
coordenadas horizontales y cotas de cada punto (x, y, z)
Realizar un levantamiento topográfico: Debemos seguir los siguientes pasos:
- Toma de datos de campo. (Que serán, distancia reducida, ángulos verticales y
ángulos horizontales de cada punto)
- Cálculo de coordenadas. (Por funciones trigonométricas básicas con los datos
anteriores)
- Dibujo del plano. Con autocad lo haremos a partir de los datos de campo. Y sin
el autocad lo haremos a partir de los cálculos de las coordenadas del punto anterior.
Mínima dimensión representable: Menor dimensión del terreno que tiene
representación a la escala a la que se va a dibujar el plano. Lo haremos a través de la
siguiente fórmula.
0’0002 x M = Mínima distancia representable Escala = 1 / M
El valor que nos salga es en metros, y todo lo que en el campo mida menos de ese valor
no se podrá representar en el plano.
Medida directa de distancias: es cuando se realiza con cinta métrica
Medida indirecta de distancias: que es cuando se realiza con procedimientos ópticos o
electrónicos.
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6
Formación de pendientes
Para formas rectas de una pendiente dada en un plano de curvas de nivel, casi siempre
nos darán la pendiente de la recta que tenemos que hacer y también nos darán la
equidistancia a la que quieren la recta.
Lo primero que hay que hacer es un triangulo
donde la hipotenusa tenga esa pendiente, que si
por ejemplo la pendiente es 1/5, hay que poner
una unidad en el cateto vertical, y 5 en el
horizontal. Una vez que tenemos el triangulo, ponemos la distancia que nos digan a
escala en el cateto vertical, y hacemos una horizontal, y cuando corte con la hipotenusa
hacia abajo, y desde donde corte al cateto, al extremo del cateto donde corta con la
hipotenusa, eso es el intervalo.
Cogemos esa distancia con el compás y lo llevamos al mapa, desde el punto que nos
digan hacemos un arco, y donde corte a la curva de cota superior, ahí tenemos la línea
que queríamos.
Curvas de nivel: línea que une puntos de igual cota. Se usa para representar
gráficamente en los planos la forma del relieve del terreno y se dibujan siempre a partir
de un plano con puntos acotados.
Equidistancia: Es la separación entre las cotas de dos curvas de nivel consecutivas
dibujadas en el plano. Las curvas de nivel que dibujaremos serán las múltiplo de la
equidistancia.
Taquímetro:
El taquímetro es un instrumento por el cual podemos obtener distancias lineales y
angulares por procedimientos ópticos y geométricos.
Este aparato tiene una parte móvil con forma de horquilla que llamaremos alidada, sobre
esta parte, es donde se monta un anteojo estadimétrico, que es un anteojo astronómico al
que se le ha añadido un retículo estadimétrico, que es un cristal, con unas líneas
grabadas muy finas, que es lo que llamamos hilos. También lleva dos círculos
graduados, que los llamaremos círculo acimutal al horizontal, y eclímetro al vertical.
Pero ambos se pueden llamar limbos (horizontal y vertical respectivamente)
Puede darse el caso de encontrarnos que el limbo sea de escala, significa que es un
círculo graduado, y que el cristal tiene una muesca, y se lee según donde coincida la
muesca.
El funcionamiento del aparato es el siguiente:
El taquímetro funciona proporcionándonos lecturas de ángulos en el plano horizontal y
vertical, y podemos medir distancias indirectamente por procedimientos ópticos.
El ángulo horizontal casi seguro que siempre lo va a medir en sentido horario, en el
vertical sucede lo mismo pero es más común que se pueda en los dos sentidos. Por ello,
cuando el cero está en la parte de arriba y los ángulos crecen hacia abajo, eso lo
llamaremos distancias cenitales, y lo representaremos generalmente por (V), si por el
7. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
7
contrario, el 0 se coloca en el horizontal y cuenta los ángulos hacia arriba, a este
procedimiento le diremos altura de horizonte y lo representaremos generalmente por (α)
Obtención de medidas de forma indirecta:
- Óptico (con mira estadimétrica)
En este sistema se utiliza el taquímetro más una regla vertical llamada mira
estadimétrica de aproximadamente 4 metros.
El funcionamiento es sencillo, dentro del anteojo tenemos la cruz filiar, donde
conocemos la separación que tiene cada hilo al mirar por el anteojo vemos proyectados
estos hilos en la regla, y por los conceptos trigonométricos en los que se apoya la óptica,
podemos llegas a averiguar que distancia hay desde el punto donde estamos, hasta el
que está la mira, según la separación que tienen los hilos en la proyección.
De todo esto nos quedamos que para conocer la distancia reducida, hay que aplicar la
siguiente fórmula: Dr = k · l · cos2
αααα ó Dr = k · l · sen2
V
k: constante estaquimetrica
l: la diferencia entre el hilo superior y el inferior
*Para estar seguros que las lecturas de los hilos está bien, siempre comprobaremos que
el hilo medio es la media de los hilos extremos
* Constante estaquimétrica: es la relación entre en la distancia focal y la separación
entre los hilos extremos del retículo, suele ser 100
Para tomar los datos en el campo, nos podemos hacer un estadillo como el siguiente:
Lectura hilosEstación Punto
visado Extremos Axial
Lectura ángulo
vertical
Lectura ángulo
horizontal
Distanciometro electro óptico
Es un aparato parecido al taquímetro pero que solo mide distancias de forma
automática. Se basa, en calcular la distancia mediante la longitud de onda de una señal
que emite que puede ser un láser, infrarrojo, etc.., Esta señal llega hasta el prisma retro-
reflector, y al llegar de vuelta la señal ha sufrido un desfase, el aparato mide la
cantidades de ondas que ha emitido lo divide en dos, y le suma el desfase con el que ha
llegado.
Estación total
Este instrumento de medida es el que se está instaurando y monopolizando la
topografía. No es más que un taquímetro electrónico al que además le han añadido un
distanciómetro. Ambos aparatos utilizan el mismo anteojo estadimétrico, por lo que se
ahorra tiempo, ya que en la pantalla que lleva de una sola vez, se pueden obtener todos
los valores angulares y distancias.
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Movimiento general y particular
El movimiento general es cuando todo el taquímetro (alidada y círculo horizontal) giran
solidariamente alrededor del eje principal. Con este movimiento también movemos el
círculo graduado y podemos elegir el punto donde situar el 0. El otro movimiento que
tiene el aparato es el particular, que es el que hacemos normalmente, el círculo graduado
se mantiene fijo, y solo gira la alidada. Estos movimientos los podemos hacer por
combinación de 1 o 2 tornillos según el instrumento. Si es por dos tornillos, uno hará
que giren como un bloque las dos partes, y el otro bloqueará el giro de círculo graduado.
Si solo tiene un tornillo de presión horizontal, se hace pulsando a la vez la tecla
“HOLD”.
Posición CD (circulo directo) y CI (circulo inverso)
afectan al sentido de la graduaciones del eclímetro con respecto a la posición del
anteojo. La posición de CD es cuando el anteojo está en horizontal marcando un valor
aproximado de 100g de distancia cenital. Para pasar de una a otra lo que hay que
realizar es darle media vuelta de campana al anteojo, y girar 200g la alidada. La suma
de la lectura vertical en CD más CI debe ser 400g. Y para la toma de datos siempre lo
haremos en posición CD.
Error de paralaje: Se produce cuando la imagen del objeto y la cruz filar están en
planos paralelos dentro del anteojo. Afecta a la posición de las imágenes obtenidas con
el anteojo, para comprobar si hay paralaje, lo que tenemos que hacer es: cuando este
todo enfocado, el punto y la cruz filar, movemos levemente la cabeza en vertical, y si la
lectura de los hilos cambia, es que existe error de paralaje. Para corregirlo basta con
mover el anillo de enfoque del anteojo y repetir la comprobación.
Error de eclímetro: Es un error sistemático que afecta a la lectura del circulo vertical y
se produce a consecuencia de una incorrecta posición del origen de ángulos del circulo
vertical. Se detecta visando a un punto en la posición CD y CI, si la suma es distinta de
400 hay error. Para compensarlo, primero obtenemos el error, con la siguiente formula:
LVCD + LVCI – 400 = 2 Error
después calculamos la corrección que es el error con el signo contrario, y se la sumamos
con su signo a cada lectura.
Regla Bessel: Es un procedimiento de toma de datos con el fin de minorizar errores,
consiste en visar a cada punto 2 veces, una en CD y otra en CI, y tomaremos como
lectura horizontal buena la media de las dos lecturas corrigiendo la CI en 200g y en la
vertical la lectura CD corregida de error de eclímetro.
Azimut topográfico de una recta: Es un ángulo en el plano horizontal que forma la
recta con el norte geográfico medido en dirección del sentido horario, y se representa
por θ
El ángulo se puede obtener a partir de las coordenadas XY de 2 puntos de la
recta aplicando funciones trigonométricas.
arc tan ∆x Para casos como el del dibujo. Para los otros cuadrantes, habrá que
∆y restárselo 200 (2ºcuadrante), sumárselo (3ºc) o restárselo a 400 (4ºc)
Cuando en un sistema cartesiano el eje y coincide con el norte, se llama sistema de
referencia orientado.
9. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
9
coordenadas particulares o relativas
Son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia que tiene su centro
en el punto de estación.
coordenadas generales o absolutas
son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia centrado en un punto
externo al punto de estación.
Las coordenadas generales las podemos obtener como las coordenadas de la estación
más el incremento (positivo o negativo) de las coordenadas particulares
Nombraremos a las coordenadas particulares (las orientadas desde la estación) como
( xa
b
, ya
b
) y las coordenadas generales del punto de la estación serán XA YA.
Como hemos dicho anteriormente, para saber las coordenadas generales de un punto b,
haremos lo siguiente
XB = XA ± xa
b
(según el signo que tengan en su sistema de referencia)
YB = YA ± ya
b
(según el signo que tengan en su sistema de referencia)
Taquímetro orientado: Cuando la lectura horizontal cero coincide con la dirección del
norte geográfico. Para orientar un aparato se necesita conocer el acimut de una recta que
tenga por origen el punto de estación. Una vez conocido esto haremos lo siguiente:
Primero con el movimiento particular se gira la alidada hasta que la lectura horizontal
sea igual al acimut. Seguidamente con el movimiento general apuntamos al extremo de
la dirección de referencia, y por último se pasa a movimiento particular para la toma de
datos. Una vez orientado, las lecturas horizontales son azimutes.
Desorientación en una estación: es el ángulo que forma el cero del aparato con el
norte geográfico y se designa por δ
Desorientación: Es el ángulo que forma el Norte geográfico con el cero del circulo
horizontal en un instrumento no orientado. Se obtiene visando a una dirección de acimut
conocido y a partir de los datos del acimut a ese punto y de la lectura horizontal
proporcionada por el aparato, podemos obtener la desorientación de la siguiente forma:
δA = θA
B
– LHA
B
Gracias a la desorientación podemos pasar lecturas horizontales a acimutes, que es
sencillamente, sumando la lectura y la desorientación (con su signo)
θA
B
= δA + LHA
B
Como podemos intuir por la definición, la desorientación es propia de cada estación y
distinta de cualquier otra.
Nivel topográfico: Este instrumento está diseñado para obtener visuales horizontales y
a partir de ahí sacar desniveles entre dos puntos. El aparato está constituido por una base
que se sujeta en un trípode, y sobre la base un anteojo estadimétrico. En la actualidad, la
base lleva en el interior un mecanismo basculante, que nivela perfectamente el anteojo.
Nivelación geométrica o por altura: Se hace mediante un nivel topográfico más una
mira, se emplea el método del punto medio y es mediante visuales horizontales
Nivelación trigonometrica o por pendientes: Se usa el taquímetro más una mira o con
una estación total más prisma. Las visuales pueden ser con pendientes (inclinadas) y se
emplea el método del punto extremo.
Enlace indirecto de porro
Este es un método para conseguir enlazar dos estaciones que no están visibles entre sí.
Su funcionamiento es sencillo, desde la estación A, se visa y se apuntan los datos de dos
puntos (1 y 2) que sean visibles desde las dos estaciones. Lo siguiente es visar desde B a
los puntos 1 y 2, y anotar los datos, y mediante trigonometría se obtienen las
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coordenadas particulares de 1 y 2, y desde ahí se obtiene por duplicado las coordenadas
de B, que sirve para comprobar que se ha realizado correctamente.
Medición de superficies
Hay varios métodos, uno de ellos es dividiendo el solar en triángulos, y a partir de ahí
sacar el área de cada triangulo y sumarlas.
Para este método usaremos la fórmula del semiperimetro
S = √p(p-a) (p-b) (p-c) => semiperimetro P = (a + b + c) /2
si usamos varios triángulos ST = S1 + S2 + …
Otro método es descomponiendo el solar en trapecios, a partir de fijar unos ejes
perpendiculares.
Primero tendríamos que conocer las coordenadas de los puntos sobre un sistema de
referencia y sobre ese obtener el área. Sumando y restando el área de los trapecios.
Superficie trapecio = altura · Semisuma de las bases
S = ∆x · (Y1 +Y2)
2
ejemplo trapecio ABAxBx
(Bx-Ax) · (A + B)
2
Superficie del solar:
S = SABAxBx + SBCBxCx + SCDCxDx – SAEAxEx - SEDExDx
También se puede hacer por el método de radiación.
Consiste en desde aproximadamente el punto central del solar, hacer una radiación a
cada uno de los vértices, y tomando la distancia de los vértices al centro y el ángulo
interior de todos los triángulos podemos obtener el área de cada triangulo que se forma.
Sumando todos tenemos el área total del solar
11. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
11
Superficie triangulo = ½ · Senα · Da · De
Superficie solar = ½ (Senαae · Da · De + Senαab · Da · Db + ….)
Otra forma de calcular el área de una superficie es empleando métodos mecánicos,
usando un planímetro
Replanteo
El replanteo comienza con la fase de elegir sobre el dibujo los puntos estratégicos que
definan geométricamente el dibujo. El replanteo en sí es el situar dichos puntos
escogidos sobre el terreno, para después pasar a la fase del trazado geométrico.
Para poder hacer la tarea de replanteo lo que necesitamos es una referencia que esté en
el plano y también marcada en el terreno, para poder apoyarnos en ella.
Los métodos para replantear son las mismas construcciones que en dibujo técnico..
Abscisas y ordenadas Por polares sobre una recta
Ref.: una recta y un punto de ella Ref: recta de origen de ángulos
Datos: distancia AP y PP’ Datos: Punto de origen de distancias
Con estación total, por tanteo.
Intersección angular sobre una recta Intersección angular por trileración
recta más 2 puntos o con solo 2 puntos (como si fuera con compás)
Con dos puntos y dos distancias AP y BP
Se hace igual que el anterior pero usando cinta
Obtención de los datos de replanteo
- Gráficamente con Autocad
- Numéricamente
- Con Estación Total y programa de replanteo
- mediante calculo a partir de las coordenadas generales de los puntos de
referencia y del punto a replantear.
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Calcular analíticamente los datos necesarios para replantear P
Xp: 410 Ref: A Xa: 360 B Xb: 440
Yp: 370 Ya: 250 Yb: 220
1) Se dibuja la posición de los puntos implicados en coordenadas
2) Elegir datos necesarios para el replanteo
Datos AP’ P’P
3) Se calculan resolviendo el triangulo AP’P
Cálculo AP = √ ∆x2
+ ∆y2
= 130m
conocemos un ángulo 100 gones
Cálculo ángulo A.
A = θA
B
- θA
P
= [200 – arctag (∆x /∆y)] – [arctag (∆x /∆y)] = 122’840 – 25’1332 =
97’7069 gon
AP’ = AP · CosA = 4’681
PP’ = AP · SenA = 129’915
Perfil: Es el dibujo de la sección vertical de una alineación en el terreno
Perfil longitudinal: Es cuando el plano seccionado contiene a la alineación. Se emplea
para establecer la rasante de la obra.
Perfil transversal: es cuando el plano seccionado es perpendicular a la alineación. Se
utiliza para calcular el volumen del movimiento de tierra y para determinar el ancho de
la obra a lo largo de la alineación del perfil longitudinal
Rasante: Es el plano de referencia que define las z de la obra
Plano de comparación: Son las Z del eje de colimación en cada estación del nivel.
Cota roja: Es la diferencia entre la cota del terreno y la cota de la rasante. Si el terreno
es más bajo que la rasante es terraplén, si es al revés (terreno por encima) es desmonte.
Obtención de un perfil
- A partir de un plano con curvas de nivel. La separación de los puntos son los
intervalos de las curvas.
- A partir de un modelo digitalizado del terreno con un ordenador, la separación entre
puntos es constante.
- A partir de datos tomados en campo
13. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
13
Calculo, a partir de datos de campo
1º. Establecimiento de la alineación del perfil y elección de los puntos
2º. Toma de datos, con estación total y prisma o con Nivel, más mira, más cinta.
3º. Datos necesarios para dibujar el perfil. Cotas de los puntos, y distancia entre dos
puntos consecutivos
Distancias Visuales Cotas Cotas RojasPunto
parcial Al
origen
Atrás intermedio Adelante
Plano
de
comp.
terreno rasante
Rasante
(pendient) desmonte terraplén
1 0’00 0 3’285 751’785 748’50 746’00 2’500
2 45’60 45’60 1’486 750’299 747’368 2’131
3 37’50 83’10 2’743 749’042 748’493 0’549
4 7’60 90’70 2’195 0’875 753’105 750’910 748’721 2’189
5 21’35 112’05 1’976 751’129 749’361 1’768
6 18’46 130’51 3’248 749’857 749’915 0’058
7 12’30 142’81 1’123 751’982 750’284
+ 3 %
1’698
Al leer las visuales, se estaciona el nivel fuera de los puntos, el primer punto es visual
de espalda, y sin mover la estación miramos a todos los puntos que estén a menos de 40
metros.
Las distancias parciales son las distancias entre los puntos
Plano de comparación: Son las Z del eje de colimación en cada estación del nivel.
Cotas lecturas intermedias.
Z2 = Zeje – L2
Distancias al origen se van sumando las parciales
El dibujo del perfil se hace a escala
Rasante: La pendiente no puede rebasar el límite de calculo, el movimiento de tierra
tiene que ser mínimo. Una vez dibujado se estable la cota de la rasante.
Calculo de cota rasante.
Se saca el tanto por uno y se multiplica por la distancia
ej.: 0’03 x 45’60 = + 1’368 (positivo pq la pendiente es positiva)
746’00 + 1’368 = 747’368
Cota roja: Es la diferencia entre la cota del terreno y la cota de la rasante. Si el terreno
es más bajo que la rasante es terraplén, si es al revés (terreno por encima) es desmonte.
Calculo de la cota de la rasante. Datos de partida:
- Z del primer punto rasante + la pendiente % (ejercicio)
- Z del primer punto y la Z del último punto (ejemplo libro)
Perfiles transversales: Se hacen en cada punto del perfil longitudinal. Siempre están
asociados a un perfil longitudinal. Se pueden obtener como los otros, con PC, curvas de
nivel, datos de campo.
Toma de datos de campo:
Lo necesitamos calcular el desnivel entre el punto central y los otros puntos así como
sus distancias.
14. IC+ www.icplus.es
14
Sección tipo: Perfil de la obra una vez terminado.
ejemplo de un vial
Cajear el perfil: suponer al perfil y la sección tipo
Vaciado del solar. Fórmula prismoide
Primero se calcula las coordenadas taquimétricas de los vértices del solar (x,y,z)
Después se calcula la superficie horizontal de la excavación
Lo siguiente es calcular el incremento de Z (altura) de cada vértice, y después la altura
media. Con estos datos lo que queda es dividir el solar en zonas con una superficie fácil
de calcular, e ir calculando el volumen que hay entre la cota media que tiene esa porción
y la altura de excavación que tenemos que dejar. Hay que prestar atención si el resultado
es a excavar o a rellenar, para obtener el total se suman o se restan según sea excavar o
rellenar todas las parciales.
2. Métodos prácticos
Radiación: Relaciona los puntos del terreno con uno de posición conocida mediante los
datos del ángulo horizontal y la distancia reducida. Para ello necesitamos el taquímetro
y la mira, y de las observaciones a cada punto nos quedamos con la lectura de los 3
hilos y la lectura de los dos ángulos. (Horizontal y vertical)
Levantamiento de un plano por radiación.
- Fase 1: dibujo del croquis solo con los elementos que van a tener
representación en el plano.
- Fase 2: Ubicación de la estación, teniendo en cuenta que el punto debe ser de
coordenadas conocidas y que desde ahí se pueden ver perfectamente y sin obstáculos los
puntos a mirar
- Fase 3: Elección de puntos y toma de datos.
Los puntos que escogeremos serán los más representativos, y estos son, los extremos de
los segmentos rectos, y en las zonas curvas, escogeremos los suficientes para poder
después representarla, una opción es escoger puntos donde la cuerda que forman entre
ellos y la circunferencia, no tenga flechas mayores a lo que podemos representar en el
plano. (seria interesante conocer primero la escala del plano).
Procedimiento toma de datos:
- Se visa a un punto lejano, fijo y ajeno a la radiación que se toma como referencia y
solo se anota la lectura del círculo horizontal
- Se toman los datos de los puntos del plano por vueltas de horizonte
- Se termina siempre visando nuevamente a la referencia y anotando la lectura
horizontal
15. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
15
Obtener las coordenadas de los puntos destacados
Datos de partida: ángulo horizontal y distancia reducida
Para el sistema de referencia, colocaremos los ejes en el punto de la estación con los
ejes formando ángulo recto. De esta forma los ejes coincidirán con los 0, 100, 200 y
300 grados de la estación. Y la formula para sacar las coordenadas es:
X = distancia reducida · Senθ
Y = distancia reducida · Cosθ
Estas formulas son aplicables cuando la radiación es orientada o podemos conocer la
desorientación. Si no es orientada, utilizaremos el seno y coseno de la lectura
horizontal.
coordenadas particulares o relativas
Son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia que tiene su centro
en el punto de estación.
coordenadas generales o absolutas
son las coordenadas que están referidas a un sistema de referencia centrado en un punto
externo al punto de estación.
Las coordenadas generales las podemos obtener como las coordenadas de la estación
más el incremento (positivo o negativo) de las coordenadas particulares
Nombraremos a las coordenadas particulares (las orientadas desde la estación) como (
xa
b
, ya
b
) y las coordenadas generales del punto de la estación serán XA YA.
Como hemos dicho anteriormente, para saber las coordenadas generales de un punto b,
haremos lo siguiente
XB = XA ± xa
b
(según el signo que tengan en su sistema de referencia)
YB = YA ± ya
b
(según el signo que tengan en su sistema de referencia)
El dibujo del plano se puede hacer mediante autocad, introduciendo los datos de campo
de ángulo horizontal y distancia reducida, o de forma manual en papel, dibujando el
sistema de referencia general, y colocar ahí los puntos en su sitio.
Poligonal
Primero hay que hacerse una tabla para la los datos de campo y otra para los cálculos
(cálculos de gabinete)
Lo más completo de todo es que nos den lecturas directas e inversas de todo
Nota: antes de nada hay que ver si la poligonal es cerrada o encuadrada, y si es
orientada o no. Para saber si es cerrada o encuadrada, hay que ver si sale de un punto y
termina en el mismo (es cerrada). Y para ver si está orientada nos fijamos si la lectura a
la referencia y el azimut de la referencia (Dato) es el mismo. Si está orientada también
se cumple que la lectura de la base 1 a la base 2, y que la lectura de la base 2 a la base 1,
varían en 200. Si es desorientada no varían en 200 las lecturas.
Primero hay que apuntar en la tabla los ángulos horizontales corregidos, que esto se
hace si nos dan las dos lecturas, hay que sumar las dos medidas, restarle 200º y dividirlo
entre 2, ese es el valor del ángulo menor compensado, normalmente basta con fijarnos
en los decimales y poner la lectura del circulo directo.
Para los ángulos verticales lo que hay que hacer es sumar las dos medidas, y lo que se
diferencie de 400º es el error que tiene, que se compensa cada medida repartiendo la
mitad del error en cada medida.
Si hay que calcular la desorientación, hay que tener en cuenta que siempre se obtiene la
desorientación haciendo azimut conocido – lectura a ese punto, y para calcular el
azimut, es siempre lectura al punto más desorientación de la estación.
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Al ángulo medido para la referencia se le resta lectura a ese punto, y la diferencia es la
desorientación. Si hay que ir corriendo azimutes, esa desorientación se le suma a la
lectura del punto en el que estamos al siguiente, y obtenemos el ángulo que hay entre el
punto en el que estamos y el siguiente. Para obtener la desorientación del siguiente
punto, como ya tenemos el ángulo, le ponemos el contrario (sumado 200 o restado),
volvemos a repetir el proceso de restarle la lectura. Y esto se hace con todas las medidas
que tenemos.
Para compensar los azimutes, podemos tener dos casos, si es encuadrada, nos darán el
ángulo de cierre, que en este caso lo que hay que hacer es comprobar si el último ángulo
que hayamos con la desorientación es el mismo que el que nos dan. Si son distintos, la
diferencia de uno a otro es lo que hay que compensar, que teniendo en cuenta si nos
hemos pasado o quedado corto, lo iremos sumando o restando en cada ángulo. Muy
importante, es que a la última medida se le compensa con el error completo, a la anterior
se le quita una parte, a la anterior dos, etc.. Cada parte será el resultado de dividir el
error, entre las medidas que hemos tomado, por ejemplo si hay 5 puntos son 5 partes.
Si la poligonal es cerrada, el error lo obtendremos comparando el ángulo del primer
punto al último, con el del último al primero, por ejemplo si tiene 5 puntos,
comparamos el ángulo medido de 1 a 5 y el ángulo medido de 5 a 1,ambos tienen que
diferir en 200º, por lo tanto lo que le sobre o le falte para llegar a 200º es el error, que se
compensa igual que en el otro caso.
Lo siguiente es sacar las medidas reducidas entre cada punto, que si está hecho con
distanciometro, es multiplicar la distancia geométrica por el seno del ángulo vertical.
Lo siguiente es obtener los incrementos de las ordenadas en cada punto que se hace
como en radiación. Pero estas medidas también hay que compensarlas, y se hace,
sumando todas los incrementos de una misma ordenada (por ejemplo la x) tiene que dar
lo mismo que si se resta las coordenadas del punto de salida y llegada. O si es cerrada,
tiene que dar el mismo punto de salida que de llegada. Lo que salga de error que se
puede compensar de 3 formas distintas. La más sencilla es en partes iguales, el error se
divide en tantas partes iguales como segmentos haya. El segundo modo es repartir el
error de forma proporcional a la longitud de los tramos, y la tercera forma es dividendo
el error proporcionalmente a los valores de las coordenadas parciales. (no se hacen
acumulativos) La forma proporcional para una cantidad C en partes 3, 4 ,5
[C / (3+4+5)]· La parte que sea ejemplo, (3, 4, 5)
Por último es coger las coordenadas que nos dan, e ir sumando o restando según
corresponda los incrementos que hemos obtenido.
Intersección directa
Siempre trabajos con triángulos por lo tanto, siempre tendremos 2 puntos que podremos
conocer y un punto que queremos. En los puntos que conocemos, tomamos la lectura
horizontal del punto que estamos a los otros dos, y del punto que desconocemos si
queremos conocer la altura, necesitamos también el ángulo vertical, y la lectura de los
hilos al otro punto que conocemos.
También nos darán las coordenadas conocidas de los puntos, para que obtengamos la
distancia entre ellos, o nos darán alguna forma para hallarla.
Este método se basa en resolver un triangulo que siempre va a ser igual, por lo tanto
vamos a seguir un método.
Primero resolveremos el obtener los ángulos internos del triangulo.
Esto lo haremos en cada punto restando la lectura angular, de un punto al otro. Siempre
al más avanzado en el reloj, el más retrasado. Al de más a la derecha le restamos el otro.
(al mayor el menor, precaución si da una vuelta contar más de 400g)
17. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
17
Lo siguiente será obtener el ángulo del punto que desconocemos, aplicando que la suma
de los ángulos de un triangulo suman 200g (en centesimal). Por lo tanto el ángulo que
buscamos será: 200 – la suma de los otros dos ángulos.
Una vez que tenemos todos los ángulos, vamos a por las distancias.
Primero sacar la más fácil, la distancia entre los dos puntos que conocemos que lo
haremos con por Pitágoras y las coordenadas.
Distancia AB = √∆x2
+ ∆y2
Los otros lados los sacaremos por el teorema del seno
Teorema del seno = a / Sen A = b / Sen B = c / Sen C
Después de resolver el triangulo calcularemos los azimutes de los puntos.
Tendremos que hacernos un dibujito orientativo, los puntos deben estar colocados en
sus posiciones aproximadas. Según en el cuadrante que tengan, sacaremos el acimut por
la formulita de la tangente.
Una vez sacado el azimut del lado que conocemos, los otros los sacamos sumando o
restando azimutes con ángulos interiores del triangulo. Se deduce del dibujo fácilmente
Por último debemos sacar las coordenadas generales del punto desconocido a través de
conocer las coordenadas de los otros dos puntos. Por ultimo comparamos ver los dos
resultados y tomamos la media de ambos como solución correcta.
* Para obtener la cota del punto desconocido, tendremos que obtener también como
datos las lecturas de los ángulos verticales, de los puntos conocidos al desconocido, y la
altura de la de estación en los dos puntos conocidos. Y en gabiente las operaciones
serán. Por cada punto conocido. (ejemplo por punto A)
Cotad = CotaA + desnivelA
d
desnivela
d
= segmento AD · cotangente Va
d
+ ia
d
[cot (x) = 1 / tag (x)]
Nivelación
Nivelación geométrica
Está es la más simple, el trabajo de campo es:
En el punto medio de entre los dos puntos que se quiera conocer el desnivel poner el
nivel, y en los puntos, colocar una mira. Desde el aparato se mira, al punto que queda
detrás (según el sentido de la marcha) y después al de adelante. Se anota la lectura de
los tres hilos, y tomamos la media. Para conocer el desnivel, solo tenemos que restar al
valor del punto de atrás el valor de la lectura del punto de adelante, y el resultado es el
desnivel entre los dos puntos. Si por cualquier motivo no se puede hacer de una vez la
nivelación, se pueden hacer varias encadenadas tomando puntos medios y sumando los
desniveles parciales. A esto se le conoce como nivelación compuesta.
Nivelación trigonométrica
Esta nivelación es un poco más compleja de calcular. Y es de la siguiente forma:
En el campo estacionamos nuestro aparato (taquímetro o estación total) y visamos a la
mira, y nos apuntamos la lectura de los hilos, el ángulo vertical, y la altura de la estación
(desde el suelo, hasta el eje de muñones). Y en el gabinete lo único que hay que hacer es
aplicar la siguiente fórmula: ∆z = t + i – m
Siendo t = distancia reducida · CotangV = dr · tangα
i = altura de la estación
m = lectura hilo medio
Para compensar errores, depende de los datos que tengamos y como sea el itinerario.
Si el itinerario es cerrado, el error será lo que varíe de 0 la suma de todos los desniveles.
Si es encuadrado, el error será lo que varíe la suma de desniveles, respecto a la
diferencia de cotas de salida y llegada.
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La compensación en ambos casos se hace igual, se coge el valor a compensar en total, y
se divide entre la cantidad de desniveles a compensar. El valor para compensar tiene
que tener 3 decimales, por lo tanto si después de dividirlo tiene más, habrá que ir
redondeando por exceso y defecto, para que al final al volver a sumar compensen el
error por completo. Como nos habrán salido datos compensados por exceso y por
defecto, los de mayor valor servirán para compensar los desniveles mayores, y los de
menor valor para compensar los desniveles menores.
La radiación, la poligonal y la intersección directa se hacen igual, salvo que al final hay
que añadirles estos cálculos.
Itinerario taquimétrico
Realmente es una poligonal, en la cual, en cada punto de estación se realiza una
radiación para realizar un levantamiento topográfico (conociendo la altura de todos los
puntos). También se puede hacer sin radiación y es una poligonal normal.
Con la radiación simultanea se hace de la siguiente forma.
Estacionamos en un punto, y realizamos la radiación, teniendo en cuenta que el último
punto que visemos será la siguiente estación de la poligonal. Y así todas las veces que
necesitemos.
Para realizar los cálculos de gabinete de este procedimiento, primero resolveremos la
poligonal, y después las distintas radiaciones
Replanteo por polares
Este sistema se basa en a partir de un punto y una referencia, replantear los puntos
mediante un ángulo y una distancia.
Se escoge el punto desde el que se quiere replantear, desde la referencia contaremos los
ángulos. Cuando tengamos esas dirección colocaremos la distancia, y así tendremos
definido el otro punto. Ejemplo:
A partir de la base DE, replantear el punto M
Base DE: [D(750, 810); E(1020, 600)] M: (882’77, 540’83)
DM = √(∆x2
+ ∆y2
= 300’13 metros
α = θD
M
- θD
E
= 28’745 gon
19. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
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Trazado de curvas circulares de un centro
Queda definida por el ángulo Ω y el radio R
el ángulo α = 200 - Ω
Trazado de la curva conocido el ángulo y el radio
1. Calcular la longitud TV
TV = R · tag (α/2)
2. Se colocan sobre el terreno los puntos T1 y T2
3. Trazar la curva
De forma continua (pinchas en el centro y con una cuerda que sea igual al radio)
Por puntos aislados, que es calculándolos, que hay dos formas, por polares y por
abscisas y ordenadas sobre la tangente.
Forma 1. Por polares
Tenemos la tangente y el punto de tangencia.
Establecemos puntos intermedios de la curva (aproximadamente que tengan un arco de
6 gones (ángulo interior de la curva) Debemos sacar exacto el valor del ángulo.
Y se aplican las siguientes fórmulas
(ángulo) γn = n β/2 (distancia) dn = 2R · Sen γn
Ejemplo:
Ángulo de alineaciones (Ω): 173’072 Radio: 70 metros
Establecemos los puntos intermedios de la curva:
α = 200 - Ω => 200 - 173’072 = 26’928
α / 6 = 26’928 / 6 = 4’488 *si el punto central nos dicen que tiene estar al mismo intervalo se
divide en partes pares.
En este caso redondeamos a tomar 5 puntos en la curva.
α / 5 = β => 5’3856
Ahora calculamos los 5 puntos por polares a partir de la tangente
*Los ángulos los contaremos a partir de la línea de la tangente
(ángulo) γn = n β/2 (distancia) dn = 2R · Sen γn
γ1 = 1 β/2 = 2’6928 d1 = 2R · Sen γ1 = 5’92
γ2 = 2 β/2 = 5’3856 d2 = 2R · Sen γ2 = 11’83
γ3 = 3 β/2 = 8’0784 d3 = 2R · Sen γ3 = 17’71
γ4 = 4 β/2 = 10’7712 d4 = 2R · Sen γ4 = 23’57
γ5 = 5 β/2 = 13’4640 d5 = 2R · Sen γ5 = 29’39
Forma 2. Por abscisas y ordenadas sobre tangente
El sistema de referencia lo haremos poniendo la tangente como el eje de abscisas, y el
20. IC+ www.icplus.es
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punto de tangencia como origen de abscisas
Necesitamos las coordenadas del punto P
Fórmulas Xn = R · Sen(nβ) Yn = R – Rcos(nβ)
Ejemplo
Ángulo de alineaciones (Ω): 173’072 Radio: 70 metros
Establecemos los puntos intermedios de la curva:
α = 200 - Ω => 200 - 173’072 = 26’928
α / 6 = 26’928 / 6 = 4’488
En este caso redondeamos a tomar 5 puntos en la curva.
α / 5 = β => 5’3856
Ahora sacamos las distintas coordenadas usando las fórmulas
Xn = R · Sen(nβ) Yn = R – Rcos(nβ)
X1 = R · Sen(1β) = 5’91 Y1 = R – Rcos(1β) = 0’25
X2 = R · Sen(2β) = 11’79 Y2 = R – Rcos(2β) = 0’99
X3 = R · Sen(3β) = 17’57 Y3 = R – Rcos(3β) = 2’24
X4 = R · Sen(4β) = 23’24 Y4 = R – Rcos(4β) = 3’97
X5 = R · Sen(5β) = 28’73 Y5 = R – Rcos(5β) = 6’17
Cálculo de coordenadas generales de los punto de la curva para su posterior replanteo
por el procedimiento general (apoyándose en dos puntos)
Datos de partida:
Radio R
Coordenadas generales (x,y) del vértice y de un punto en cada alineación
Datos finales: Coordenadas generales de los puntos de la curva
R: 500m
Vértice D: ( 1000, 1000)
A: ( 100, 100) C: ( 2000, 70)
Procedimiento de cálculo
1. Dibujo del croquis
2. Cálculo del ángulo Ω que forma la alineación
Ω = θB
A
- θB
C
= 102’308g
θB
A
= 200 + arctag ∆x /∆y = 250’00g
θB
C
= 200 - arctag ∆x /∆y = 147’692g
3. Cálculo de las coordenadas del punto T a partir de B
3.1. BT = R · Tag α/2 = 482’19m; α = 200 - Ω = 97’692g
3.2. θB
T
= θB
A
Coordenadas
Xt1 = XB + SenθB
A
· BT = 659’040
Yt1 = YB + CosθB
A
· BT = 659’040
4. Cálculo de las coordenadas de los puntos de la curva
4.1. Cálculo de número par de puntos del arco.
97’692 / 6 = 16’282 ≈ 16 partes
4.2. Cálculo del valor del ángulo central β
97’692 / 16 = 6’106g
21. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
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4.3. Cálculo para cada punto de los valores γ y distancia
γ = β/2 D1 = 2R Sen γ1
Curva arco.
x2
+ y2
= R2
despejamos la y; y = √R2
– x2
Ponemos las abscisas (x) a intervalos constantes teniendo
en cuenta que la x máxima es media cuerda. Solo hacemos medio lado por ser simétrico.
Esto nos dará los valores de Y respecto el sistema de referencia que está en centrado en
el centro, por ello nosotros después haremos una traslación del sistema, y lo
colocaremos donde el eje de abscisas (eje x) coincida con la cuerda de la curva.
Obtención de perfiles
Lo que tenemos que hacer es simplemente rellenar un estadillo.
Distancias Visuales Cotas Cotas RojasPunto
parcial Al
origen
Atrás intermedio Adelante
Plano
de
comp.
terreno rasante
Rasante
(pendient) desmonte terraplén
1
2
3
4
5
6
7
Las columnas de distancias parciales y visuales atrás intermedio y adelante se rellenan
en la toma de datos.
Las casillas de visuales es como en la nivelación, colocando la estación fuera de la línea
del perfil, se miran a los puntos del perfil sin cambiar de estación, el primer punto se
coloca en la subcolumna “atrás” y el resto en la columna intermedio. Cuando vallamos a
llegar al último punto que se ve desde la estación y hagamos un cambio de estación, la
lectura de ese último punto se coloca en la subcolumna “adelante” y cuando tenemos la
nueva estación se mira al mismo punto y se añade la lectura a la columna atrás.
Para rellenar las casillas de distancia, la parcial es la que hay entre los dos puntos, y la
de origen es desde el punto al primer punto. La distancia al origen de un punto tiene que
ser igual a las parciales sumadas hasta ese punto.
Ahora rellenamos simultáneamente las columnas de “plano de comparación” y las de
“Cotas de terreno”
Para ello, utilizamos la cota dato, que será la primera casilla de la columna cotas de
terreno. A esa cota le sumamos la lectura de la casilla de “visuales atrás”. Y ese número
lo ponemos en la primera fila de la columna “Plano de comparación”. Para rellenar el
resto de filas de la columna “cotas de terreno”, solo hay que restarle las lecturas
intermedias de cada punto al valor de la casilla del plano de comparación. Cuando
llegamos a un cambio de estación lo único que hay que hacer es otra vez lo mismo. A la
cota de terreno dato, le sumamos la visual atrás de ese punto donde está el cambio, y ese
dato lo pasamos a la columna de plano de comparación, y seguimos rellenando la
columna de cotas de terreno como estábamos haciendo hasta ahora, pero ahora con el
22. IC+ www.icplus.es
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nuevo valor.
Para rellenar la casilla de cotas de rasantes, lo que tenemos que hacer es, coger el valor
de la pendiente y calcular las cotas que tendrá cada punto partiendo de la cota dato, y
aplicándole la pendiente que nos dicen. Si es una pendiente positiva irá subiendo y si es
negativa irá bajando. Para obtener la cota con más exactitud es mejor utilizar las
distancias hasta el origen.
Y para rellenar las columnas de cota roja se hace lo siguiente, se hace la diferencia entre
la cota del terreno y la cota de la rasante, si da negativo hay que poner la diferencia en la
casilla terraplén (hay que terraplenar esa altura) y si da positiva la resta se coloca ese
valor en la casilla de desmonte (es la altura que hay que retirar de tierra)
Al final tendremos algo así
Distancias Visuales Cotas Cotas RojasPunto
parcial Al
origen
Atrás intermedio Adelante
Plano
de
comp.
terreno rasante
Rasante
(pendient) desmonte terraplén
1 0’00 0 3’285 751’785 748’50 746’00 2’500
2 45’60 45’60 1’486 750’299 747’368 2’131
3 37’50 83’10 2’743 749’042 748’493 0’549
4 7’60 90’70 2’195 0’875 753’105 750’910 748’721 2’189
5 21’35 112’05 1’976 751’129 749’361 1’768
6 18’46 130’51 3’248 749’857 749’915 0’058
7 12’30 142’81 1’123 751’982 750’284
+ 3 %
1’698
Con estos datos, la distancia y las cotas rojas, se puede realizar un dibujo del perfil
terminando. Y si superponemos las cotas del terreno podemos ver las zonas de
desmonte y terraplén.
3. Definiciones y conceptos adicionales
Geodesia: Es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra.
Geoide: Es una superficie física real, aproximada a un elipsoide de revolución, y sobre
la cual la gravedad en todos sus puntos es normal a ella.
Coordenadas geográficas: Son la longitud y latitud de un punto en la esfera terrestre.
Longitud: Es la coordenada de un punto medida entre el meridiano del punto y el
meridiano cero. (se mide en horizontal, sobre los paralelos)
Latitud: Es la coordenada de un punto medida entre el paralelo ecuador y el paralelo
del punto. (se mide en vertical, sobre los meridianos)
Cartografía: Ciencia que estudia y hace mapas geográficos
Mapa: Es la representación gráfica mediante sistema de referencia de las coordenadas
geodésicas de los puntos
Plano: Representación gráfica de la tierra obtenida mediante procesos topográficos
En los sistemas de referencia con líneas altimétricas, según las figuras y las formas de
las líneas podemos definir varios conceptos. (No válidas para cartas náuticas)
Cumbre: viene representada por un triangulito, y líneas cerradas concéntricas, con valor
descendiente hacia fuera
Hoya: Conjunto de líneas cerradas concéntricas con valor ascendente hacia fuera
Divisoria: línea de separación de dos vertientes (saliente, similar a una limatesa de
cubierta )
Vaguada: Línea que une dos vertientes (entrante, similar a una limahoya de cubierta)
Puerto: Es donde coinciden dos divisorias y dos vaguadas
Anamorfosis: Es la deformación que existe el terreno y lo dibujado.
Planímetro: Es un instrumento que nos marca la superficie de una figura a partir de
repasar el perímetro de esta.
23. Apuntes de topografía – Arquitectura técnica
23
Anexo
Funciones trigonométricas
Sen α = a /c
Cos α = b / c
Tag α = a / b
Teorema del seno = a = b = c _
Sen A Sen B Sen C
Distancia entre dos puntos conocida sus coordenadas
√∆X2
+ ∆Y2