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Unidad Didáctica 8
Dibujo Geométrico
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados Rectas Paralelas
Rectas paralelas. Las que no llegan nunca a cortarse, o se
cortan en el infinito.
Con Escuadra y Cartabón:
De otra Forma:
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados Recta Paralela por un Punto Exterior P
Con Escuadra y Cartabón:
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados Rectas Perpendiculares
Con Regla y Compas:
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados Rectas Perpendiculares
División de Segmentos en dos partes iguales: Dado un segmento
AB, para dividirlo en dos partes iguales hay que realizar su mediatriz. Se
realiza de la siguiente manera.
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados Perpendicular a un segmento por el Punto Medio
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados Perpendicular a un segmento en un Extremo
1.- Con centro en A y con un radio cualquiera se traza un arco que corte
al segmento AB en el punto C. Con el mismo arco y con centro en C se traza otro
arco que corta al anterior en D. Con el mismo radio y centro en D se traza otro
arco que corte al anterior en E.
2.- Con centro en D y E manteniendo el mismo radio se trazan dos
arcos que determinan el punto F , si unimos F y A esa es la perpendicular.
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos - Construir un Ángulo igual a otro
Cogiendo un compás, pinchamos sobre el vértice A y abrimos el
compás con una medida cualquiera. Trazamos un arco que corte los dos
lados del ángulo. Obtenemos los puntos 1 y 2.
Con la misma abertura del compás utilizada para la operación anterior, se
traza otro arco en el punto A’. El arco trazado corta a la recta r en el
punto 1′.
Utilizando el compás, pinchamos en 1 y
abrimos el compás hasta 2.
Con esta medida del compás,
vamos al punto 1′ y trazamos un arco
sobre el arco que teníamos. Obtenemos
el punto 2′.
Unimos el vértice A’ y el punto
2′ y tendremos el ángulo transportado
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – Suma de Ángulos
Deberemos trasladar los ángulos, uno a continuación del otro, partiendo
del primero (ángulo A).
Con una abertura cualquiera del compás, se traza un arco en los ángulos
A, B y C. También, con la misma abertura, trazamos otro arco en el punto
O.
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – Suma de Ángulos
Obtenemos unos puntos que me servirán de ayuda para la
realización de la suma que nos piden.
Estos puntos son: en el A, tendremos 1 y 2; en el B, tendremos 3 y 4
y en el C, tendremos 5 y 6.
Además, en la recta r y con el punto O, tendré el punto 1′. Se toman
las medidas de cada uno de los ángulos.
Con el compas, cogemos la abertura que tiene el ángulo A.
Pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2. Con esta abertura del compás,
vamos al punto 1′ y trazamos un arco. Obtenemos el punto 2′. Repetimos los
pasos 5 y 6 para los ángulos B y C. Obtenemos los puntos 4′ y 6′.
Si unimos la recta r hasta el punto O, y este con 6′, tenemos el
ángulo suma A+B+C. Si unimos los puntos 2′, 4′ y 6′ con O tendremos los
ángulos originales A, B y C trasladados a este punto para hallar la suma.
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – División de un Ángulo Recto en tres partes Iguales
1. Haciendo centro en el vértice del ángulo V, con un radio cualquiera
determinamos el punto A sobre uno de los tramos rectos.
2. Haciendo centro en A con el radio anterior, se traza un arco que corta al
primer arco trazado en el punto B.
3. La recta que une B y el vértice V dividen el ángulo recto en uno de 30° y
un ángulo de 60°.
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en tres partes Iguales
4. Solo queda trazar la bisectriz del ángulo creado de 60°, que está
comprendido entre las rectas que pasan por BV y VA.
5. El punto obtenido C, unido al V, define una recta que divide el ángulo de
60° en dos de 30°, y por lo tanto hemos dividido el ángulo recto en tres
ángulos iguales.
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales
Dado el ángulo BAC, con centro en A trazamos un arco que corta al
ángulo en 1 y 2 luego con centro en 1 y un radio 1-2 dibujamos un arco; luego
en 2 y un radio 2-1 levantamos otro arco que corta al anterior en 3, unimos
A con 3 y encontramos la bisectriz.
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales con el
Vértice fuera del Dibujo
a
b
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales
1.- Se traza una recta cualquiera
que corte a los dos lados del
ángulo y se forman 4 ángulos
internos.
2.- Se trazan las bisectrices
de los ángulos internos
formados.
Las dos bisectrices se cortan
en dos puntos.
a
b
a
b
a
b
a
b
1.- Tazados Geométricos Básicos
Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales
3.- Se unen los dos puntos y tenemos la bisectriz del ángulo cuyo vértice
queda fuera de los límites del dibujo.
a
b
a
b
2.- Construcción de Polígonos Regulares
conocido el lado
Construcción de un Triángulo Equilátero
1.- Se toma la medida del
lado con el compás y se dibuja el
segmento AB con dicha medida.
2.- Desde los extremos del
segmento y con la misma medida
anterior se traza con el compas dos
arcos que se cortan en el punto C.
3.- Al unir A,B y C se obtiene
el triángulo equilátero.
2.- Construcción de Polígonos Regulares
conocido el lado
Construcción de un Cuadrado
1.- Se toma la medida del
lado con el compás y se dibuja el
segmento AB con dicha medida.
2.- A partir de A se traza la
perpendicular a AB, y sobre esta se
lleva la medida del lado, obteniendo
el punto D.
3.- Con centros en B y D se
trazan arcos con la medida del lado
que se interceptan en C.
4.- Al unir A,B,C y D se
obtiene el cuadrado.
2.- Construcción de Polígonos Regulares
conocido el lado
Construcción de un Pentágono
1.- Se toma la medida del lado
con el compás y se dibuja el segmento
AB, por el extremo B se levanta una
perpendicular de la misma medida.
2.- Se traza la mediatriz de AB
y desde M, se dibuja un arco con radio
MS hasta corta con la prolongación del
segmento AB en el punto T.
3.- La longitud AT es la
diagonal del pentágono por lo que la
intersección de los arcos trazados con
centros A y B y radios AT y AB da los
vértices C,D y E.
2.- Construcción de Polígonos Regulares
conocido el lado
Construcción de un Hexágono
1.- Se toma la medida del lado
con el compás y se dibuja el segmento
AB, y con esta medida se trazan dos
arcos desde sus extremos que se
cortan en O.
2.- Con centro en O y radio OB
se dibuja una circunferencia. Las
prolongaciones de los lados AO y BO
cortan a la misma en D y E.
3.- Con centros en A y B y con
la medida del lado se trazan dos arcos
hasta que corten a la circunferencia en
los vértices que faltan, C y F, del
hexágono.
2.- Construcción de Polígonos
Regulares conocido el lado
Construcción de un Heptágono
1.- Se dibuja el segmento AB con
la medida del lado a.
2.- Por el extremo A se traza un
ángulo de 30º y por el extremo B se
traza una perpendicular que cortara al
ángulo en N.
3.- Se dibuja la mediatriz AB y
con centro en A y radio AN se traza un
arco hasta que corte con la mediatriz en
O.
4.- Se dibuja circunferencia con
centro en O y radio OB, y a partir de B y
con radio AB, se trazan los arcos
consecutivos que determinan los
restantes vértices.
2.- Construcción de Polígonos Regulares
conocido el lado
Construcción de un Octógono
1.- Se dibuja el segmento AB con
la medida del lado a y se dibuja su
mediatriz que corta la lado en M.
2.- Con centro en M y radio MA
se traza un arco que corta a la mediatriz
en N y con centro en N y radio NA se
traza otro arco que corta a la mediatriz
en O.
3.- Se dibuja la circunferencia de
centro O y radio OB, y a parir de B y con
radio AB, se trazan arcos consecutivos
que determinan los restantes vértices.
2.- Construcción de Polígonos Regulares
conocido el lado
Método General para la Construcción de un Polígono regular conocido el lado
1.- Se construye el hexágono
regular de lado AB, y se dibuja la
mediatriz de AB. Aplicando el teorema
de Tales, se divide el radio OT en seis
partes iguales, se toma la medida de la
división y se traslada sobre la mediatriz
tantas veces como lados tenga el
polígono.
2.- Cada punto es el centro de la
circunferencia circunscrita de los
polígonos de 7,8,9… lados. Sobre la
circunferencia trazada, se lleva la
medida del lado el número
correspondiente de veces.
3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el
radio de la Circunferencia Circunscrita
Construcción de un Triangulo Equilátero
1.- Se dibuja la circunferencia
con el radio dado, y se traza un diámetro
AB cualquiera de la misma.
2.- Desde B con radio igual al
dado, se traza un arco, que cortara a la
circunferencia en los puntos M y N.
3.- Uniendo los puntos A,M y N
se obtiene el triángulo equilátero.
3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el
radio de la Circunferencia Circunscrita
Construcción de un Cuadrado
1.- Se dibuja la circunferencia
con el radio dado.
2.- Se trazan dos diámetros
cualesquiera perpendiculares AC y BD.
3.- Al unir en orden los puntos
A,B,C y D se obtiene el cuadrado inscrito
en la circunferencia.
3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el
radio de la Circunferencia Circunscrita
Construcción de un Pentágono
1.- Se dibuja la circunferencia
con el radio dado y se trazan dos
diámetros cualesquiera perpendiculares
AB y CD.
2.- Se traza la mediatriz de OD y
se obtiene el punto medio M. con centro
en M y radio MA se traza el arco AS. El
segmento AS es la longitud del lado del
Pentágono.
3.- Se trazan las medidas AS,
arcos consecutivos desde A en la
circunferencia para obtener los
restantes vértices
3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el
radio de la Circunferencia Circunscrita
Construcción de un Hexágono
1.- Se dibuja la circunferencia
con el radio dado y se traza un diámetro
AB.
2.- Como el radio de la
circunferencia coincide con la medida del
lado del hexágono regular, se trazan
arcos desde los extremos A y B, con la
medida del radio que corten a la
circunferencia para obtener los
restantes vértices.
3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el
radio de la Circunferencia Circunscrita
Construcción de un Heptágono
1.- Se dibuja la circunferencia
con el radio dado y se traza un diámetro
AB.
2.- Con centro en B y radio el de
la circunferencia se traza un arco que
corta a la misma en R y S.
3.- El segmento RM determina el
lado del heptágono, por lo que, con esta
medida se trazan arcos consecutivos
desde R para obtener los vértices
3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el
radio de la Circunferencia Circunscrita
Construcción de un Octógono
1.- Se dibuja la circunferencia
con el radio dado y se trazan dos
diámetros perpendiculares AB y CD.
2.- Se dibuja el cuadrado inscrito
en la circunferencia, y las mediatrices de
sus lados.
3.- Estas mediatrices cortan a la
circunferencia en los cuatros vértices
restantes del octógono.
3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el
radio de la Circunferencia Circunscrita
1.- Se dibuja la circunferencia con el
radio r y se traza un diámetro AT. Desde A
y T se trazan, con la medida AT, dos arcos
que se cortan en S. Aplicando el teorema de
tales, se divide el diámetro AT en tantas
partes como numero de lados tenga el
polígono a construir.
2.- Se une el punto S con la segunda
división y se prolonga hasta cortar a la
circunferencia en B. El segmento AB es la
medida del lado del polígono buscado;
trazando arcos consecutivos desde A se
obtienen los vértices del polígono, en este
caso un octógono
Método General para la Construcción de un Polígono regular conocido el radio
4.- Polígonos Estrellados y Espirales
Los Polígonos Estrellados se obtienen al unir de forma alterna los
vértices de los polígonos regulares de circunscrito en la
circunferencia.Método General para la Construcción de un Polígono regular
conocido el radio
Pentágono Estrellado Octógono Estrellado : uniendo vértices
alternos de dos en dos o de tres en tres
4.- Polígonos Estrellados y Espirales
La Espiral es una línea curva que crece de manera ordenada en
torno a un núcleo central.
Construcción Espiral de dos centros
Se traza una recta y sobre
ella los puntos 1 y 2 . Con centro en 1
y radio 12 se traza el primer arco 2A.
Con centro en 2 y radio 2A se dibuja
el segundo arco AB. Con centro en A
y radio AB se traza el siguiente arco
y así sucesivamente.
4.- Polígonos Estrellados y Espirales
La Espiral es una línea curva que crece de manera ordenada en
torno a un núcleo central.
Construcción Espiral de tres centros
Se construye un triangulo
equilátero y se prolongan sus lados.
Con centro en 1 y radio 13 se dibuja
el aro 3A. Con centro en 2 y radio 2A
se traza el arco AB. Con centro en 3
y radio 3B se construye el arco BC y
así sucesivamente.
5.- Óvalos y Ovoides
Se llama óvalo a la curva plana cerrada formada por arcos de
circunferencia con dos ejes de simetría. Para construir un óvalo conocido el
eje de simetría mayor se siguen los siguientes pasos:
1.-Se traza el eje mayor AB y
se divide en tres partes iguales. Con
centros en E y F y radio EF se
dibujan dos circunferencias que se
cortan en P y Q.
2.-Se unen P y Q con E y F, y
se prolongan las líneas hasta cortar a
las circunferencias en S,T,U y V. con
centros en P y Q y radios el
diámetros de las circunferencias, se
trazan los arcos TU y SV que cierran
el ovalo
5.- Óvalos y Ovoides
Se llama ovoide a la curva plana cerrada formada por arcos de
circunferencia con un eje de simetría. Para construir un ovoide conocido el
eje menor se siguen los siguientes pasos:
1.-Se traza el eje menor AB y
se traza la mediatriz. Con centro en
O y radio OA se traza una
circunferencia que corta la mediatriz
en T y S.
2.-Se trazan las rectas BS y
AS y se prolongan. Con centros A y B
y radio AB se trazan dos arcos que
cortan a las rectas anteriores en C y
D. con centro en S y radio SC se
traza el arco CD que cierra el ovoide.
6.- Tangencias
Decimos que dos elementos geométricos son tangentes cuando
tienen un punto en común. Las tangencias son trazados que unos líneas,
curvas o rectas, de manera que parezcan una línea continua.
Para empezar tenemos que tener en cuenta dos propiedades de las
tangencias:
1.- El punto de tangencia de dos circunferencias esta
situado en la recta que une sus centros.
2.- La recta tangente a una circunferencia es perpendicular
al radio que toca el punto de tangencia.
6.- Tangencias
Construcción de una Recta Tangente a una Circunferencia por un punto P
1.- Se dibuja el radio de la
circunferencia OP.
2.- Se traza la perpendicular al
radio por el punto P por cualquiera
de los métodos visto con
anterioridad.
6.- Tangencias
Construcción de dos rectas Tangentes a una Circunferencia desde el punto P
1.- Se dibuja el segmento OP y se le
traza la mediatriz, obteniendo el
punto M.
2.- Se traza la circunferencia con
centro en M y con radio MP que
corta a la primera en S y en T, al
unir P con S y P con T se obtienen
las dos tangentes buscadas.
6.- Tangencias
Construcción de tangentes Interiores comunes a dos Circunferencias
1.- Se dibuja el segmento que une los
centros O y O’ y se le traza la mediatriz,
obteniendo el punto M.
2.- Con centro en M y radio OM se dibuja
la circunferencia, y a continuación un arco
de centro O’ y de radio la suma de los
radios dados. Las intersecciones
determinan los puntos P y S.
3.- Unimos los puntos P y S con O’, quedan
determinado los puntos de tangencias T y
V.
4.- Se trazan por O las paralelas a O’S y
O’P, y se obtienen los puntos Z y U , que
unidos con T y V son las tangentes
6.- Tangencias
Construcción de una circunferencia de radio conocido tangente a dos rectas
concurrentes
1.- Dadas las rectas concurrentes S y T
se dibuja la bisectriz del ángulo que
forman y se traza la paralela U a una de
las rectas a la distancia del radio dado r.
2.- La intersección de esta paralela U con
la bisectriz determina el punto O, centro
de la circunferencia pedida.
3.- Con centro en O y radio dado r se
traza la circunferencia pedida.
6.- Tangencias
Enlace de Arcos de Circunferencia sobre una Línea Poligonal
1.- Se dibuja la mediatriz AB, en un punto cualquiera de la misma se sitúa el
punto O centro del primer arco AB.
2.- Se une B con O que corta a la mediatriz del siguiente segmento BC en
O1.
3.- Con centro en O1 y radio O1B se traza el siguiente arco BC.
4.- Este proceso se repite hasta completar la línea poligonal
7.- Curvas Cónicas
Elipse
La Elipse es una curva cerrada, plana y simétrica, formada por un
conjunto de puntos cuya suma de distancia de cada punto a otros dos puntos
fijos F y F’, llamados focos, es constante e igual a la medida del eje de
simetría mayor.
7.- Curvas Cónicas
Elipse
Para la construcción de la elipse se parte de la medida del eje
mayor, AB, y del eje menor CD, que son perpendiculares entre si y se cortan
en O.
1.- Se trazan el eje mayor AB y el eje
menor CD, perpendiculares entre si. Con
centro en C y radio OB se dibuja un arco que
corte al eje AB en los focos F y F’. Se sitúa el
punto arbitrario 1 entre F y O. Con centros en
F y F’ y radio 1A, se trazan arcos a los dos
lados del eje AB
2.- Con centros en F y F’ y radio B1, se
trazan arcos que corten a los anteriores en
N,P,N’ y P’. Para obtener más puntos de la
elipse, se elige otro punto 2 entre F y O y se
hace lo mismo. Uniendo los puntos obtenemos
la elipse
7.- Curvas Cónicas
Parábola
La Parábola es una curva abierta , plana y simétrica y cuyos puntos
equidistan de una recta fija d, llamada directriz y de un punto F , llamado
foco. Tiene un vértice y un eje de simetría OX que pasa por V y por el foco,
y es perpendicular a la directriz
1.- Se traza la directriz d y el eje de
simetría OX, perpendiculares entre si. Se
sitúa el foco F y el vértice V, que es el punto
medio de OF. A partir de F se marcan puntos
arbitrarios 1,2,3.., por los que se trazan
perpendiculares a OX.
2.- Con centro en F y radios
OF,O1,O2.., se trazan arcos que corten a las
perpendiculares en A,A’,B,B’,C,C’. Uniendo los
puntos tendremos la Parábola.
7.- Curvas Cónicas
Hipérbola
La Hipérbola es una curva doble, abierta , plana y simétrica y cuya
diferencia de distancia a dos puntos fijos F y F’ llamados focos es
7.- Curvas Cónicas
Hipérbola
Para la construcción de la Hipérbola se parte de la medida del eje
real AA’ y del eje imaginario BB’
1.- Se trazan el eje real AA’ y el
imaginario BB’, perpendiculares entre si. Con
centro en O y radio AB se determinan los
focos F y F’. Se marcan puntos arbitrarios 1,
2… , sobre el eje real
2.- Con centros en F y F’ se trazan
arcos con radios A1 y A’1 que se corten en los
puntos S,P,S’,P’. Se repite el proceso con los
restantes puntos 2,3..,al unir todos los puntos
se obtiene la hipérbola.

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  • 2. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados Rectas Paralelas Rectas paralelas. Las que no llegan nunca a cortarse, o se cortan en el infinito. Con Escuadra y Cartabón:
  • 3. De otra Forma: 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados Recta Paralela por un Punto Exterior P
  • 4. Con Escuadra y Cartabón: 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados Rectas Perpendiculares
  • 5. Con Regla y Compas: 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados Rectas Perpendiculares
  • 6. División de Segmentos en dos partes iguales: Dado un segmento AB, para dividirlo en dos partes iguales hay que realizar su mediatriz. Se realiza de la siguiente manera. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados Perpendicular a un segmento por el Punto Medio
  • 7. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados Perpendicular a un segmento en un Extremo 1.- Con centro en A y con un radio cualquiera se traza un arco que corte al segmento AB en el punto C. Con el mismo arco y con centro en C se traza otro arco que corta al anterior en D. Con el mismo radio y centro en D se traza otro arco que corte al anterior en E. 2.- Con centro en D y E manteniendo el mismo radio se trazan dos arcos que determinan el punto F , si unimos F y A esa es la perpendicular.
  • 8. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos - Construir un Ángulo igual a otro Cogiendo un compás, pinchamos sobre el vértice A y abrimos el compás con una medida cualquiera. Trazamos un arco que corte los dos lados del ángulo. Obtenemos los puntos 1 y 2. Con la misma abertura del compás utilizada para la operación anterior, se traza otro arco en el punto A’. El arco trazado corta a la recta r en el punto 1′. Utilizando el compás, pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2. Con esta medida del compás, vamos al punto 1′ y trazamos un arco sobre el arco que teníamos. Obtenemos el punto 2′. Unimos el vértice A’ y el punto 2′ y tendremos el ángulo transportado
  • 9. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – Suma de Ángulos Deberemos trasladar los ángulos, uno a continuación del otro, partiendo del primero (ángulo A). Con una abertura cualquiera del compás, se traza un arco en los ángulos A, B y C. También, con la misma abertura, trazamos otro arco en el punto O.
  • 10. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – Suma de Ángulos Obtenemos unos puntos que me servirán de ayuda para la realización de la suma que nos piden. Estos puntos son: en el A, tendremos 1 y 2; en el B, tendremos 3 y 4 y en el C, tendremos 5 y 6. Además, en la recta r y con el punto O, tendré el punto 1′. Se toman las medidas de cada uno de los ángulos. Con el compas, cogemos la abertura que tiene el ángulo A. Pinchamos en 1 y abrimos el compás hasta 2. Con esta abertura del compás, vamos al punto 1′ y trazamos un arco. Obtenemos el punto 2′. Repetimos los pasos 5 y 6 para los ángulos B y C. Obtenemos los puntos 4′ y 6′. Si unimos la recta r hasta el punto O, y este con 6′, tenemos el ángulo suma A+B+C. Si unimos los puntos 2′, 4′ y 6′ con O tendremos los ángulos originales A, B y C trasladados a este punto para hallar la suma.
  • 11. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – División de un Ángulo Recto en tres partes Iguales 1. Haciendo centro en el vértice del ángulo V, con un radio cualquiera determinamos el punto A sobre uno de los tramos rectos. 2. Haciendo centro en A con el radio anterior, se traza un arco que corta al primer arco trazado en el punto B. 3. La recta que une B y el vértice V dividen el ángulo recto en uno de 30° y un ángulo de 60°.
  • 12. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en tres partes Iguales 4. Solo queda trazar la bisectriz del ángulo creado de 60°, que está comprendido entre las rectas que pasan por BV y VA. 5. El punto obtenido C, unido al V, define una recta que divide el ángulo de 60° en dos de 30°, y por lo tanto hemos dividido el ángulo recto en tres ángulos iguales.
  • 13. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales Dado el ángulo BAC, con centro en A trazamos un arco que corta al ángulo en 1 y 2 luego con centro en 1 y un radio 1-2 dibujamos un arco; luego en 2 y un radio 2-1 levantamos otro arco que corta al anterior en 3, unimos A con 3 y encontramos la bisectriz.
  • 14. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales con el Vértice fuera del Dibujo a b
  • 15. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales 1.- Se traza una recta cualquiera que corte a los dos lados del ángulo y se forman 4 ángulos internos. 2.- Se trazan las bisectrices de los ángulos internos formados. Las dos bisectrices se cortan en dos puntos. a b a b a b a b
  • 16. 1.- Tazados Geométricos Básicos Trazados de Ángulos – División de un Ángulo en dos partes Iguales 3.- Se unen los dos puntos y tenemos la bisectriz del ángulo cuyo vértice queda fuera de los límites del dibujo. a b a b
  • 17. 2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado Construcción de un Triángulo Equilátero 1.- Se toma la medida del lado con el compás y se dibuja el segmento AB con dicha medida. 2.- Desde los extremos del segmento y con la misma medida anterior se traza con el compas dos arcos que se cortan en el punto C. 3.- Al unir A,B y C se obtiene el triángulo equilátero.
  • 18. 2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado Construcción de un Cuadrado 1.- Se toma la medida del lado con el compás y se dibuja el segmento AB con dicha medida. 2.- A partir de A se traza la perpendicular a AB, y sobre esta se lleva la medida del lado, obteniendo el punto D. 3.- Con centros en B y D se trazan arcos con la medida del lado que se interceptan en C. 4.- Al unir A,B,C y D se obtiene el cuadrado.
  • 19. 2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado Construcción de un Pentágono 1.- Se toma la medida del lado con el compás y se dibuja el segmento AB, por el extremo B se levanta una perpendicular de la misma medida. 2.- Se traza la mediatriz de AB y desde M, se dibuja un arco con radio MS hasta corta con la prolongación del segmento AB en el punto T. 3.- La longitud AT es la diagonal del pentágono por lo que la intersección de los arcos trazados con centros A y B y radios AT y AB da los vértices C,D y E.
  • 20. 2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado Construcción de un Hexágono 1.- Se toma la medida del lado con el compás y se dibuja el segmento AB, y con esta medida se trazan dos arcos desde sus extremos que se cortan en O. 2.- Con centro en O y radio OB se dibuja una circunferencia. Las prolongaciones de los lados AO y BO cortan a la misma en D y E. 3.- Con centros en A y B y con la medida del lado se trazan dos arcos hasta que corten a la circunferencia en los vértices que faltan, C y F, del hexágono.
  • 21. 2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado Construcción de un Heptágono 1.- Se dibuja el segmento AB con la medida del lado a. 2.- Por el extremo A se traza un ángulo de 30º y por el extremo B se traza una perpendicular que cortara al ángulo en N. 3.- Se dibuja la mediatriz AB y con centro en A y radio AN se traza un arco hasta que corte con la mediatriz en O. 4.- Se dibuja circunferencia con centro en O y radio OB, y a partir de B y con radio AB, se trazan los arcos consecutivos que determinan los restantes vértices.
  • 22. 2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado Construcción de un Octógono 1.- Se dibuja el segmento AB con la medida del lado a y se dibuja su mediatriz que corta la lado en M. 2.- Con centro en M y radio MA se traza un arco que corta a la mediatriz en N y con centro en N y radio NA se traza otro arco que corta a la mediatriz en O. 3.- Se dibuja la circunferencia de centro O y radio OB, y a parir de B y con radio AB, se trazan arcos consecutivos que determinan los restantes vértices.
  • 23. 2.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el lado Método General para la Construcción de un Polígono regular conocido el lado 1.- Se construye el hexágono regular de lado AB, y se dibuja la mediatriz de AB. Aplicando el teorema de Tales, se divide el radio OT en seis partes iguales, se toma la medida de la división y se traslada sobre la mediatriz tantas veces como lados tenga el polígono. 2.- Cada punto es el centro de la circunferencia circunscrita de los polígonos de 7,8,9… lados. Sobre la circunferencia trazada, se lleva la medida del lado el número correspondiente de veces.
  • 24. 3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita Construcción de un Triangulo Equilátero 1.- Se dibuja la circunferencia con el radio dado, y se traza un diámetro AB cualquiera de la misma. 2.- Desde B con radio igual al dado, se traza un arco, que cortara a la circunferencia en los puntos M y N. 3.- Uniendo los puntos A,M y N se obtiene el triángulo equilátero.
  • 25. 3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita Construcción de un Cuadrado 1.- Se dibuja la circunferencia con el radio dado. 2.- Se trazan dos diámetros cualesquiera perpendiculares AC y BD. 3.- Al unir en orden los puntos A,B,C y D se obtiene el cuadrado inscrito en la circunferencia.
  • 26. 3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita Construcción de un Pentágono 1.- Se dibuja la circunferencia con el radio dado y se trazan dos diámetros cualesquiera perpendiculares AB y CD. 2.- Se traza la mediatriz de OD y se obtiene el punto medio M. con centro en M y radio MA se traza el arco AS. El segmento AS es la longitud del lado del Pentágono. 3.- Se trazan las medidas AS, arcos consecutivos desde A en la circunferencia para obtener los restantes vértices
  • 27. 3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita Construcción de un Hexágono 1.- Se dibuja la circunferencia con el radio dado y se traza un diámetro AB. 2.- Como el radio de la circunferencia coincide con la medida del lado del hexágono regular, se trazan arcos desde los extremos A y B, con la medida del radio que corten a la circunferencia para obtener los restantes vértices.
  • 28. 3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita Construcción de un Heptágono 1.- Se dibuja la circunferencia con el radio dado y se traza un diámetro AB. 2.- Con centro en B y radio el de la circunferencia se traza un arco que corta a la misma en R y S. 3.- El segmento RM determina el lado del heptágono, por lo que, con esta medida se trazan arcos consecutivos desde R para obtener los vértices
  • 29. 3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita Construcción de un Octógono 1.- Se dibuja la circunferencia con el radio dado y se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. 2.- Se dibuja el cuadrado inscrito en la circunferencia, y las mediatrices de sus lados. 3.- Estas mediatrices cortan a la circunferencia en los cuatros vértices restantes del octógono.
  • 30. 3.- Construcción de Polígonos Regulares conocido el radio de la Circunferencia Circunscrita 1.- Se dibuja la circunferencia con el radio r y se traza un diámetro AT. Desde A y T se trazan, con la medida AT, dos arcos que se cortan en S. Aplicando el teorema de tales, se divide el diámetro AT en tantas partes como numero de lados tenga el polígono a construir. 2.- Se une el punto S con la segunda división y se prolonga hasta cortar a la circunferencia en B. El segmento AB es la medida del lado del polígono buscado; trazando arcos consecutivos desde A se obtienen los vértices del polígono, en este caso un octógono Método General para la Construcción de un Polígono regular conocido el radio
  • 31. 4.- Polígonos Estrellados y Espirales Los Polígonos Estrellados se obtienen al unir de forma alterna los vértices de los polígonos regulares de circunscrito en la circunferencia.Método General para la Construcción de un Polígono regular conocido el radio Pentágono Estrellado Octógono Estrellado : uniendo vértices alternos de dos en dos o de tres en tres
  • 32. 4.- Polígonos Estrellados y Espirales La Espiral es una línea curva que crece de manera ordenada en torno a un núcleo central. Construcción Espiral de dos centros Se traza una recta y sobre ella los puntos 1 y 2 . Con centro en 1 y radio 12 se traza el primer arco 2A. Con centro en 2 y radio 2A se dibuja el segundo arco AB. Con centro en A y radio AB se traza el siguiente arco y así sucesivamente.
  • 33. 4.- Polígonos Estrellados y Espirales La Espiral es una línea curva que crece de manera ordenada en torno a un núcleo central. Construcción Espiral de tres centros Se construye un triangulo equilátero y se prolongan sus lados. Con centro en 1 y radio 13 se dibuja el aro 3A. Con centro en 2 y radio 2A se traza el arco AB. Con centro en 3 y radio 3B se construye el arco BC y así sucesivamente.
  • 34. 5.- Óvalos y Ovoides Se llama óvalo a la curva plana cerrada formada por arcos de circunferencia con dos ejes de simetría. Para construir un óvalo conocido el eje de simetría mayor se siguen los siguientes pasos: 1.-Se traza el eje mayor AB y se divide en tres partes iguales. Con centros en E y F y radio EF se dibujan dos circunferencias que se cortan en P y Q. 2.-Se unen P y Q con E y F, y se prolongan las líneas hasta cortar a las circunferencias en S,T,U y V. con centros en P y Q y radios el diámetros de las circunferencias, se trazan los arcos TU y SV que cierran el ovalo
  • 35. 5.- Óvalos y Ovoides Se llama ovoide a la curva plana cerrada formada por arcos de circunferencia con un eje de simetría. Para construir un ovoide conocido el eje menor se siguen los siguientes pasos: 1.-Se traza el eje menor AB y se traza la mediatriz. Con centro en O y radio OA se traza una circunferencia que corta la mediatriz en T y S. 2.-Se trazan las rectas BS y AS y se prolongan. Con centros A y B y radio AB se trazan dos arcos que cortan a las rectas anteriores en C y D. con centro en S y radio SC se traza el arco CD que cierra el ovoide.
  • 36. 6.- Tangencias Decimos que dos elementos geométricos son tangentes cuando tienen un punto en común. Las tangencias son trazados que unos líneas, curvas o rectas, de manera que parezcan una línea continua. Para empezar tenemos que tener en cuenta dos propiedades de las tangencias: 1.- El punto de tangencia de dos circunferencias esta situado en la recta que une sus centros. 2.- La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que toca el punto de tangencia.
  • 37. 6.- Tangencias Construcción de una Recta Tangente a una Circunferencia por un punto P 1.- Se dibuja el radio de la circunferencia OP. 2.- Se traza la perpendicular al radio por el punto P por cualquiera de los métodos visto con anterioridad.
  • 38. 6.- Tangencias Construcción de dos rectas Tangentes a una Circunferencia desde el punto P 1.- Se dibuja el segmento OP y se le traza la mediatriz, obteniendo el punto M. 2.- Se traza la circunferencia con centro en M y con radio MP que corta a la primera en S y en T, al unir P con S y P con T se obtienen las dos tangentes buscadas.
  • 39. 6.- Tangencias Construcción de tangentes Interiores comunes a dos Circunferencias 1.- Se dibuja el segmento que une los centros O y O’ y se le traza la mediatriz, obteniendo el punto M. 2.- Con centro en M y radio OM se dibuja la circunferencia, y a continuación un arco de centro O’ y de radio la suma de los radios dados. Las intersecciones determinan los puntos P y S. 3.- Unimos los puntos P y S con O’, quedan determinado los puntos de tangencias T y V. 4.- Se trazan por O las paralelas a O’S y O’P, y se obtienen los puntos Z y U , que unidos con T y V son las tangentes
  • 40. 6.- Tangencias Construcción de una circunferencia de radio conocido tangente a dos rectas concurrentes 1.- Dadas las rectas concurrentes S y T se dibuja la bisectriz del ángulo que forman y se traza la paralela U a una de las rectas a la distancia del radio dado r. 2.- La intersección de esta paralela U con la bisectriz determina el punto O, centro de la circunferencia pedida. 3.- Con centro en O y radio dado r se traza la circunferencia pedida.
  • 41. 6.- Tangencias Enlace de Arcos de Circunferencia sobre una Línea Poligonal 1.- Se dibuja la mediatriz AB, en un punto cualquiera de la misma se sitúa el punto O centro del primer arco AB. 2.- Se une B con O que corta a la mediatriz del siguiente segmento BC en O1. 3.- Con centro en O1 y radio O1B se traza el siguiente arco BC. 4.- Este proceso se repite hasta completar la línea poligonal
  • 42. 7.- Curvas Cónicas Elipse La Elipse es una curva cerrada, plana y simétrica, formada por un conjunto de puntos cuya suma de distancia de cada punto a otros dos puntos fijos F y F’, llamados focos, es constante e igual a la medida del eje de simetría mayor.
  • 43. 7.- Curvas Cónicas Elipse Para la construcción de la elipse se parte de la medida del eje mayor, AB, y del eje menor CD, que son perpendiculares entre si y se cortan en O. 1.- Se trazan el eje mayor AB y el eje menor CD, perpendiculares entre si. Con centro en C y radio OB se dibuja un arco que corte al eje AB en los focos F y F’. Se sitúa el punto arbitrario 1 entre F y O. Con centros en F y F’ y radio 1A, se trazan arcos a los dos lados del eje AB 2.- Con centros en F y F’ y radio B1, se trazan arcos que corten a los anteriores en N,P,N’ y P’. Para obtener más puntos de la elipse, se elige otro punto 2 entre F y O y se hace lo mismo. Uniendo los puntos obtenemos la elipse
  • 44. 7.- Curvas Cónicas Parábola La Parábola es una curva abierta , plana y simétrica y cuyos puntos equidistan de una recta fija d, llamada directriz y de un punto F , llamado foco. Tiene un vértice y un eje de simetría OX que pasa por V y por el foco, y es perpendicular a la directriz 1.- Se traza la directriz d y el eje de simetría OX, perpendiculares entre si. Se sitúa el foco F y el vértice V, que es el punto medio de OF. A partir de F se marcan puntos arbitrarios 1,2,3.., por los que se trazan perpendiculares a OX. 2.- Con centro en F y radios OF,O1,O2.., se trazan arcos que corten a las perpendiculares en A,A’,B,B’,C,C’. Uniendo los puntos tendremos la Parábola.
  • 45. 7.- Curvas Cónicas Hipérbola La Hipérbola es una curva doble, abierta , plana y simétrica y cuya diferencia de distancia a dos puntos fijos F y F’ llamados focos es
  • 46. 7.- Curvas Cónicas Hipérbola Para la construcción de la Hipérbola se parte de la medida del eje real AA’ y del eje imaginario BB’ 1.- Se trazan el eje real AA’ y el imaginario BB’, perpendiculares entre si. Con centro en O y radio AB se determinan los focos F y F’. Se marcan puntos arbitrarios 1, 2… , sobre el eje real 2.- Con centros en F y F’ se trazan arcos con radios A1 y A’1 que se corten en los puntos S,P,S’,P’. Se repite el proceso con los restantes puntos 2,3..,al unir todos los puntos se obtiene la hipérbola.