Este documento trata sobre el cálculo de áreas bajo curvas mediante la integral definida. Explica conceptos como la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow para calcular áreas delimitadas por funciones entre dos puntos. Además, muestra ejemplos numéricos de cálculo de áreas para diferentes funciones.

1. MATEMATICAS
2º Bachillerato
MaTEX
r=A+lu
Proyecto A
d
B
s=B+mv
Integral Definida SOCIALES
MaTEX
Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a
Integral
Definida
Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo
c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc
11 de junio de 2004 Versin 1.00
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2. MATEMATICAS
2º Bachillerato
Tabla de Contenido A
r=A+lu
1. Integral Definida d
B
2. Teorema Fundamental del C´lculo
a s=B+mv
SOCIALES
2.1. Regla de Barrow
3. Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o a a
3.1. Area del recinto para una funci´n
o MaTEX
3.2. Para dos funciones positivas sin corte
3.3. Para dos funciones cualesquiera sin corte
3.4. Para dos funciones que se cortan
Integral
Definida
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests
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3. MATEMATICAS
Secci´n 1: Integral Definida
o 3 2º Bachillerato
r=A+lu
1. Integral Definida A
d
El problema planteado es hallar el ´rea de
a
B
la regi´n que encierra la curva del gr´fico
o a s=B+mv
SOCIALES
con la recta horizontal.
Una idea sencilla consiste en dividir la re-
gi´n en rect´ngulos verticales y de esta
o a MaTEX
forma de ((llenar)) la regi´n con numerosos
o
rect´ngulos.
a
De esta manera el ´rea de la regi´n se
a o
Integral
Definida
puede aproximar, cuanto queramos, medi-
ante la suma de las ´reas de n rect´ngulos,
a a
tomando todos con la misma base ∆ x.
Teniendo en cuenta que el ´rea de cada
a
rect´ngulo se obtiene multiplicando la base
a
por la altura, tenemos que el ´rea de cada
a
rect´ngulo ser´ la base ∆ x por su altura
a a
respectiva f (xi ).
A la suma de las ´reas de los rect´ngulos
a a
se les llama sumas de Riemann.
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4. MATEMATICAS
Secci´n 1: Integral Definida
o 4 2º Bachillerato
r=A+lu
A
A la primera de ellas se le llama suma in-
ferior SInf : d
B
SInf = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆ x s=B+mv
SOCIALES
n
= f (xi ) ∆x
i=1 MaTEX
=⇒ SInf ´
≤ Area
A la segunda de ellas se le llama suma su-
Integral
Definida
perior SSup :
SSup = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆ x
n
= f (xi ) ∆x
i=1
=⇒ ´
SSup ≥ Area
Se tiene as´ que
ı
´
SInf ≤ Area ≤ SSup
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5. MATEMATICAS
Secci´n 1: Integral Definida
o 5 2º Bachillerato
r=A+lu
A medida que aumentamos el n´mero de rect´ngulos n, (n → ∞) con
u a A
∆x → 0, el ´rea buscada se podr´ hallar con
a a
d
n
B
lim f (xi ) ∆x (1) s=B+mv
∆x→0 SOCIALES
n→∞ i=1
El s´
ımbolo de sumatorio se convirti´ en una “s” estilizada
o , quedan- MaTEX
do la expresi´n anterior con la notaci´n
o o
n b
lim f (xi ) ∆x = f (x) dx
Integral
Definida
∆x→0 a
n→∞ i=1
Definimos Integral Definida de
f (x) entre a y b, al ´rea de la re-
a
y y = f (x)
gi´n limitada por la funci´n f (x)
o o
entre los puntos a y b y el eje OX.
Dicho ´rea lo representaremos con
a
el s´
ımbolo
b Area
f (x) dx
a
x
a b
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6. MATEMATICAS
Secci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo
o a 6 2º Bachillerato
r=A+lu
Si bien las ´reas que determina las funciones se pueden calcular con
a A
el m´todo comentado anteriormente, afortunadamente aqu´ no realizaremos
e ı
d
l´
ımites de sumas de ´reas de rect´ngulos como muestra la ecuaci´n (1). Ello
a a o B
se debe a un resultado conocido como teorema fundamental del c´lculo
a s=B+mv
SOCIALES
2. Teorema Fundamental del C´lculo
a
MaTEX
Teorema 2.1. (Teorema Fundamental del C´lculo) Sea f (x) una funci´n
a o
continua en el intervalo I = [a, b]. Entonces la funci´n
o
x
Integral
Definida
F (x) = f (x) dx es derivable
a (2)
F (x) = f (x) x ∈ (a, b)
El teorema demuestra que la fun-
ci´n integral que da las ´reas entre
o a f(b)
a y x para cada valor de x
x
F (x) = f (x) dx
a
f(a) F(x)
es una funci´n cuya derivada es la
o
funci´n f (x).
o
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a x b
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7. MATEMATICAS
Secci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo
o a 7 2º Bachillerato
b x r=A+lu
A
f (x) dx representa un n´mero y
u f (x) dx representa una funci´n de x.
o
a a d
x
Es importante recalcar que f (x) dx es una funci´n de x. Como los son
o B
s=B+mv
a SOCIALES
x x x
f (s) ds = f (t) dt = f (w) dw
a a a MaTEX
A f (s), f (t) y f (w) se les llama el integrando y las variables s, t o w son las
variables auxiliares de integraci´n.
o
Realiza el siguiente test para ver si se ha comprendido
Integral
Definida
3
Test. Sea la expresi´n I =
o a s2 ds, responder a:
2
1. El significado de I es
(a) Integral Definida (b) Integral Indefinida
2. El significado de I es
(a) Un n´mero
u (b) una funci´n
o
3. El integrando de I es
(a) a s2 ds (b) s2 (c) a s2
4. La variable de integraci´n es
o
(a) a (b) ds (c) s
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8. MATEMATICAS
Secci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo
o a 8 2º Bachillerato
x r=A+lu
Test. Sea la expresi´n I =
o (a + t2 ) dt, responder a: A
2
1. El significado de I es d
B
(a) Integral Definida (b) Integral Indefinida s=B+mv
SOCIALES
2. El significado de I es
(a) Un n´mero
u
3. I es funci´n de
o
(b) una funci´n
o
MaTEX
(a) a (b) x (c) t
4. El integrando de I es
Integral
Definida
(a) (a + t2 ) dt (b) t2 (c) (a + t2 )
5. La variable de integraci´n es
o
(a) a (b) x (c) t
6. La derivada de I es
(a) a + x2 (b) a + t2 (c) (a + t2 ) dt
Test. La derivada de la funci´n F (x) =
o (1 + x2 )dx es
(a) 1 + x2 (b) 0
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9. MATEMATICAS
Secci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo
o a 9 2º Bachillerato
r=A+lu
2.1. Regla de Barrow A
Teorema 2.2. (Regla de Barrow) Sea f (x) una funci´n continua en el in-
o d
B
tervalo I = [a, b] y G(x) una primitiva de f (x) Entonces la integral definida s=B+mv
SOCIALES
b
a
f (x) dx = G(b) − G(a) (3) MaTEX
Observaciones:
1. La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relaci´n o
Integral
Definida
las integrales con las derivadas.
2. Para hallar la integral definida seguiremos el siguiente proceso:
a) Se halla una primitiva cualquiera de la funci´n, o
b) Se sustituyen en esta primitiva los l´ ımites de integraci´n -el supe-
o
rior y el inferior- y se restan los resultados.
π
Ejemplo 2.1. Hallar la integral definida cos x dx
0
Soluci´n: Hallamos una primitiva
o cos x dx = sen x luego
π
π
cos x dx = [ sen x]0 = sen π − sen 0 = 0
0
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10. MATEMATICAS
Secci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo
o a 10 2º Bachillerato
1 r=A+lu
x2 dx
A
Ejemplo 2.2. Hallar la integral definida
0 d
2 1 3
Soluci´n: Hallamos una primitiva
o x dx = x luego B
s=B+mv
3 SOCIALES
1 1
1 3 1 1 1
x2 dx = x = (1)3 − (0)3 =
0 3 0 3 3 3 MaTEX
3
Ejemplo 2.3. Calcular |x + 2| dx
Integral
Definida
−3
−x − 2 x ≤ −2
Soluci´n: Como |x + 2| =
o
x + 2 −2 < x
3 −2 3
|x + 2| dx = (−x − 2) dx + (x + 2) dx+
−3 −3 −2
−2 3
1 1 2
= − x2 − 2x + x + 2x
2 −3 2 −2
9 9
= (−2 + 4) − (− + 6) + ( + 6) − (2 − 4)
2 2
1 25
= + = 13
2 2 Doc Doc
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11. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 11 2º Bachillerato
1 r=A+lu
(1 + x2 ) dx
A
Ejercicio 1. Hallar la integral definida
0 d
B
3. Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o a a s=B+mv
SOCIALES
Para determinar el ´rea bajo f distinguimos el signo de f (x)
a
Si f (x) > 0 x ∈ [a, b], entonces la integral definida es positiva
b
MaTEX
Area del recinto = f (x) dx
a
Integral
Si f (x) < 0 x ∈ [a, b], entonces la integral definida es negativa
Definida
b
Area del recinto = − f (x) dx
a
a b
f(b)
f(a) Area
f(a) Area
f(b)
a b Doc Doc
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12. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 12 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.1. Hallar el ´rea limitada por y = 4 − x2 y el eje OX.
a A
Soluci´n: La funci´n y = 4 − x2 corta al eje Ox en ±2.
o o d
B
s=B+mv
2 2
1 SOCIALES
A= (4 − x2 ) dx = 4x − x3
−2 3 −2
1 1
= 4(2) − 23 − 4(−2) − (−2)3
MaTEX
3 3
32
=
Integral
3
Definida
−2 2
Ejemplo 3.2. Hallar el ´rea limitada por y = x2 ,x = −2, x = 2 y el eje OX.
a
Soluci´n: La funci´n y = x2 corta al eje Ox en 0.
o o
2 2
1 3
A= (x2 ) dx = x
−2 3 −2
1 3 1
= 2 − (−2)3
3 3
16
=
3 −2 2
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13. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 13 2º Bachillerato
r=A+lu
3.1. Area del recinto para una funci´n
o A
Para determinar el ´rea de un recinto limitado por una funci´n f (x) y
a o d
el eje OX entre los puntos a y b necesitamos saber si la funci´n cambia de
o B
s=B+mv
signo, hallando los cortes con el eje OX. SOCIALES
Despu´s, se hallan las integrales definidas por separado en cada intervalo
e
tomando sus valores en valor absoluto.
El area pedido ser´ la suma de todas las ´reas de cada uno de los recintos.
´ a a
MaTEX
x1
y
A1 = f (x) dx
Integral
Definida
a
x2
A2 = f (x) dx
x1
b a b
x1 x2 x
A3 = f (x) dx
x2
A = A1 + A2 + A3
x1 x2 b
A= f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx
a x1 x2 Doc Doc
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14. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 14 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.3. Hallar el ´rea delimitada por la gr´fica de cos x, el eje OX en
a a A
el intervalo [0, 2π]
d
Soluci´n:
o B
π 3π s=B+mv
La funci´n cos x corta al eje Ox en
o y . SOCIALES
2 2
Teniendo en cuenta los cambios de signo
π/2 3π/2 2π MaTEX
A= cos x dx + cos x dx + cos x dx
0 π/2 3π/2
luego
Integral
Definida
π/2
A1 = sen x =1
0
3π/2 y
A2 = sen x =2
π/2
2π
A3 = sen x =1
3π/2
π 3π
x
Luego 2 2
2π
Area = 4
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15. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 15 2º Bachillerato
r=A+lu
3.2. Para dos funciones positivas sin corte A
Para determinar el ´rea de un recinto limitado por dos funciones f (x) y
a d
g(x) positivas sin corte entre los puntos a y b, como en la figura, teniendo en B
s=B+mv
cuenta que SOCIALES
b b
a
f (x) dx = azul + rosa
a
g(x) dx = rosa
MaTEX
el ´rea del recinto comprendi-
a
do entre ambas funciones se
f(x)
Integral
obtiene restando ambas inte-
Definida
grales,
b b
f (x) dx − g(x) dx
a a
resultando la sencilla expresi´n
o g(x)
a b
b
A= (f (x) − g(x)) dx (4)
a
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16. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 16 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejemplo 3.4. Hallar el ´rea limitada por las gr´ficas de las funciones f (x) =
√ a a A
x2 y g(x) = x.
d
Soluci´n: Hallamos la intersecci´n de ambas
o o B
s=B+mv
f (x) = √x2 √ SOCIALES
=⇒ x2 = x =⇒ x = 0, 1
g(x) = x
A=
1
(g(x) − f (x)) dx
MaTEX
0
f(x)
Integral
Definida
1 √ g(x)
A = x − x2 dx
0
1
3 3/2 1 3
= x − x
2 3 0
7 1
Area = 0
6
Doc Doc
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17. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 17 2º Bachillerato
r=A+lu
3.3. Para dos funciones cualesquiera sin corte A
Para determinar el ´rea de un recinto limitado por dos funciones f (x) y
a d
g(x) entre los puntos a y b pudiendo ser alguna o ambas negativas se aplica la B
s=B+mv
misma expresi´n que para dos funciones positivas, ya que bastar´ desplazar
o ıa SOCIALES
las funciones f (x) + C y g(x) + C como se muestra en el gr´fico de la derecha
a
A=
b
(f (x) + C − (g(x) + C)) dx =
b
(f (x) − g(x)) dx
MaTEX
a a
Integral
f(x)+C
Definida
f(x)
a b
g(x) g(x)+C
a b
Doc Doc
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18. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 18 2º Bachillerato
r=A+lu
3.4. Para dos funciones que se cortan A
Para determinar el ´rea de un recinto limitado por dos funciones f (x) y
a d
g(x) entre los puntos a y b necesitamos saber los puntos de corte entre ellas. B
s=B+mv
Se hallan las integrales definidas por separado en valor absoluto y se suman SOCIALES
todas las ´reas.
a
x1 f(x)
g(x)
MaTEX
A1 = (f (x) − g(x)) dx
a
x2
Integral
A2 = (f (x) − g(x)) dx
Definida
x1
x3
A3 = (f (x) − g(x)) dx
x2
b
A4 = (f (x) − g(x)) dx
x3
a x1 x2 x3 b
A = A1 + A2 + A2 + A4
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19. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 19 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2. Hallar el ´rea delimitada por la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el
a A
eje OX.
d
Ejercicio 3. Hallar el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de las fun-
a a B
s=B+mv
ciones y = x2 + x e y = x + 2. SOCIALES
Ejercicio 4. Hallar el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de las fun-
a a
ciones e f (x) = x4 − 2x2 + 1 y g(x) = −x2 + 1. MaTEX
1
Ejercicio 5. Hallar el ´rea delimitada por la curva y =
a y las rectas
4 − x2
x = −1, x = 1, y y = 1/2.
Integral
Definida
Ejercicio 6. Dada la curva y = x2 + 2x + 2, halla el ´rea limitada por la
a
curva, la recta tangente en el punto donde la funci´n tiene un extremo y recta
o
la tangente a la curva de pendiente 6.
Ejercicio 7. Calcula el ´rea de la regi´n comprendida entre las funciones
a o
y = 2 − x2 e y = |x|.
Ejercicio 8. Hallar el ´rea limitada por y = −x2 + 4 x + 5 con al recta y = 5.
a
Ejercicio 9. Hallar el ´rea limitada por y = x2 − 2 x con al recta y = x.
a
Ejercicio 10. La curva y = a[1 − (x − 2)2 ], con a > 0, limita con el eje de
abscisas un recinto de 12 unidades de superficie. Calcula el valor de a.
1 Doc Doc
Ejercicio 11. Dada la funci´n f (x) = a ex/3 +
o , con x = 0,
x2 Volver Cerrar

20. MATEMATICAS
Secci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas
o o a a 20 2º Bachillerato
2 r=A+lu
A
a) Calcular f (x) dx en funci´n de a
o
1 d
b) Si F (x) es una primitiva de f (x) hallar a sabiendo que F (1) = 0 y B
1 s=B+mv
F (2) = SOCIALES
2
Ejercicio 12. De todas las primitivas de la funci´n f (x) = 1 + x |x|, deter-
o
mina aquella cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1).
a
MaTEX
Integral
Definida
Doc Doc
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21. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 21 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Ejercicios A
Ejercicio 1. Hallamos una primitiva d
1 B
(1 + x2 ) dx = x + x3 s=B+mv
3 SOCIALES
luego
1
1 3
1
1 1 4
MaTEX
(1 + x2 ) dx = x + x = 1+ (1)3 − 0+ (0)3 =
0 3 0 3 3 3
Ejercicio 1
Integral
Definida
Doc Doc
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22. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 22 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 2. Sea y = x3 − 6x2 + 8x, hallamos los puntos de corte con el eje A
OX
d
y = x(x2 − 6x + 8) = 0 =⇒ x = 0, 2, 4 B
s=B+mv
una primitiva, SOCIALES
1
F (x) = (x3 − 6x2 + 8x) dx = x4 − 2x3 + 4x2
4 MaTEX
2 2
1 4
f (x) dx = x − 2x3 + 4x2 = |4|
0 4 0
Integral
Definida
4 4
1 4
f (x) dx = x − 2x3 + 4x2 = | − 4|
2 4 2
= Area del recinto = 8
Ejercicio 2
Doc Doc
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23. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 23 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 3. Sean y = x2 + x e y = x + 2, hallamos los puntos de corte entre A
ambas
y = x2 + x √ d
=⇒ x2 + x = x + 2 =⇒ x = ± 2 B
y =x+2 s=B+mv
SOCIALES
una primitiva de f − g,
1
F (x) = [(x2 + x) − (x + 2)] dx = (x2 − 2)] dx = x3 − 2x
3
MaTEX
√ √
2
2
1 3 4√
f (x) − g(x) dx = x − 2x = |− 2|
Integral
Definida
√ √
− 2 3 − 2 3
4√
= Area del recinto = 2
3
Ejercicio 3
Doc Doc
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24. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 24 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 4. Sean y = −x2 + 1 e y = x4 − 2x2 + 1, hallamos los puntos de A
corte entre ambas
d
y = −x2 + 1
=⇒ −x2 + 1 = x4 − 2x2 + 1 =⇒ x = 0, ±1 B
y = x4 − 2x2 + 1
s=B+mv
SOCIALES
una primitiva de f (x) − g(x) = x4 − 2x2 + 1 − (−x2 + 1) = x4 − x2 ,
F (x) = (x4 − x2 ) dx =
1 5 1 3
x − x
MaTEX
5 3
0 0
1 5 1 3 2
Integral
f (x) − g(x) dx = x − x = |− |
Definida
−1 5 3 −1 15
1 1
1 5 1 3 2
f (x) − g(x) dx = x − x = |− |
0 5 3 0 15
4
= Area del recinto =
15
Ejercicio 4
Doc Doc
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25. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 25 2º Bachillerato
1 r=A+lu
Ejercicio 5. Sean f (x) = 1/2 e g(x) = , A
4 − x2
d
1 1
f (x) − g(x) = − B
2 4 − x2 s=B+mv
SOCIALES
1 1 1 1 2−x
F (x) = ( − ) dx = x − ln
2 4 − x2 2 4 2+x
MaTEX
1
´ 1 1 2−x
Area = x − ln
2 4 2+x −1
Integral
Definida
1 y = 1/2
= |1 + ln 3|
2
-1 1
Ejercicio 5
Doc Doc
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26. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 26 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 6. Sea y = x2 + 2x + 2 A
Recta tangente en el punto donde la funci´n tiene un extremo. Como
o d
y = 2x + 2, y = 0 =⇒ x = −1, el punto (−1, 1) es un m´ ınimo. La B
s=B+mv
ecuaci´n de su tangente es
o SOCIALES
y1 = 1
Recta la tangente a la curva de pendiente 6. Como y = 2x + 2, y =
6 =⇒ 2x + 2 = 6 =⇒ x = 2, el punto es (2, 10) y la tangente es
MaTEX
y2 − 10 = 6(x − 2) =⇒ y2 = 6x − 2
Integral
Las tangentes se cortan en
Definida
y1 = 1 1
=⇒ 6x − 2 = 1 =⇒ x =
y2 = 6x − 2 2
Area bajo la par´bola:
a
2 2
1 3
(x2 + 2x + 2) dx = x + x2 + 2x = 12
−1 3 −1
Area pedida es el recinto azul, igual al ´rea bajo la par´bola menos el
a a
rect´ngulo marr´n y el trapecio rosa.
a o
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27. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 27 2º Bachillerato
r=A+lu
A
d
Area del rect´ngulo marr´n
a o B
s=B+mv
1/2
3 SOCIALES
1 dx =
−1 2
Area del trapecio rosa MaTEX
2
33
(6x − 2) dx =
1/2 4
Integral
Definida
Recinto azul
3 33 9 -1 1/2 2
12 − ( + ) =
2 4 4
Ejercicio 6
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28. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 28 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 7. Sean y = 2 − x2 e y = |x|, hallamos los puntos de corte entre A
ambas
d
y = 2 − x2 (x < 0) − x = 2 − x2 =⇒ x = -1 , 2 B
=⇒ s=B+mv
y = |x| (x > 0) x = 2 − x2 =⇒ x = 1 , −2 SOCIALES
Area pedida
1 1 MaTEX
f (x) − g(x) dx = (2 − x2 − |x|) dx
−1 −1
0 1
Integral
(2 − x2 + x) dx + (2 − x2 − x) dx
Definida
=
−1 0
13 13
= +
6 6
13
=
3
Ejercicio 7
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29. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 29 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 8. A
Hallamos los puntos de corte:
d
−x2 + 4 x + 5 = 5 =⇒ x = 0 x = 4 B
s=B+mv
SOCIALES
4
Area =
0
(−x2 + 4 x + 5 − 5) dx MaTEX
y
4
= (−x2 + 4 x) dx
0
Integral
Definida
4
x3
= − + 2 x2
3 0
64
= − + 32 − 0
3
64
=
3
x
0 4
Ejercicio 8
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30. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 30 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 9. A
Hallamos los puntos de corte:
d
x2 − 2 x = x =⇒ x = 0 x = 3 B
s=B+mv
SOCIALES
3 y
Area =
0
(x − x2 + 2 x) dx MaTEX
3
= (3 x − x2 ) dx
0
Integral
Definida
3
3 x2 1
= − x3
2 3 0
27
= −9 −0 x
2 0 3
27
=
6
Ejercicio 9
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31. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 31 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 10. A
Hallamos los puntos de corte con el eje de abscisas:
d
a [1 − (x − 2)2 ] = 0 =⇒ 1 = (x − 2)2 =⇒ x = 1 x = 3 B
s=B+mv
SOCIALES
Igualamos el ´rea a 12
a
3 3
(x − 2)3
a
1
(1 − (x − 2)2 ) dx = a x−
3
MaTEX
1
1 1
12 = a 3 − −a 1+
3 3
Integral
Definida
4
12 = a ·
3
a=9
Ejercicio 10
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32. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 32 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 11. A
1
Siedno f (x) = a ex/3 + , con x = 0, d
x2
B
a) s=B+mv
SOCIALES
2 2 2
x/3 1 x/3 1
(a e + 2 ) dx = ae dx + dx
1 x 1
2
1
1
x2
2
MaTEX
x/3
= 3ae −
1 x 1
1
Integral
= 3 a (e2/3 − e1/3 ) +
Definida
2
1
b) Una primitiva es F (x) = 3 a ex/3 − +k. Hallar a y k con las condiciones
x
1
F (1) = 0 y F (2) =
2
1/3 1 
3 a e − + k = 0  3 a e1/3 + k = 1
1

1 1  3 a e2/3 + k = 1
3 a e2/3 − +k = 
2 2
a=0 k=1
Ejercicio 11
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33. MATEMATICAS
Soluciones a los Ejercicios 33 2º Bachillerato
r=A+lu
Ejercicio 12. Sea f (x) = 1 + x |x|, Como A
1 − x2 x≤0 d
f (x) = 1 + x |x| =
1 + x2 0<x B
s=B+mv
SOCIALES
las primitivas de f (x) son
 x − 1 x3 + C

F (x) = f (x) dx =

3
1 x<0 MaTEX
1 3
 x + x + C2 0<x

3
Integral
para que pase por el punto (0, 1), exigimos que
Definida
F (0− ) = F (0+ ) = 1
luego
C1 = C2 = 1
Ejercicio 12
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34. MATEMATICAS
Soluciones a los Tests 34 2º Bachillerato
r=A+lu
Soluciones a los Tests A
Soluci´n al Test: En efecto
o d
d 2 2 B
F (x) = (1 + x )dx = (1 + x ) s=B+mv
dx SOCIALES
Final del Test
MaTEX
Integral
Definida
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35. MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A
´
Indice alfab´tico
e d
´
Area, 11 B
s=B+mv
de una funci´n, 13
o SOCIALES
entre dos funciones, 15, 17, 18
integral definida, 3 MaTEX
notaci´n, 5
o
teorema
Integral
Definida
funadamental del c´lculo, 6
a
regla de Barrow, 9
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35