1. El resumen calcula el valor de M para un triángulo rectángulo dado sus lados. 2. Resuelve un problema de trigonometría en un triángulo rectángulo donde se dan el seno de un ángulo y la diferencia entre los catetos. 3. Explica que la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos y calcula la suma de las tangentes de los ángulos agudos.

1. Trigonometría
SEMANA 3 RESOLUCIÓN
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS I A
1. En un triángulo rectángulo ABC b = 13k
A  90º , se cumple: 5k = c
cotC+ cotB=4. Calcule:
M = 16senB.senC.cosB.CosC.
C a = 12k B
1 1
A) B) C) 1
4 2 Si: a  c  21
D) 2 E) 4 7k  21
k 3
RESOLUCIÓN
C Se pide: 2p  13k  5k  12k
 90
RPTA.: D
a cotC + cotB = 4
b
3. En un triángulo rectángulo si la
b c hipotenusa es el doble de la media
  4
c b geométrica de los catetos. Calcule
B c A
la suma de las tangentes
trigonométricas de los ángulos
 b2  c2  4bc agudos del triángulo.
Pero: b2  c2  a2  a2  4bc
 b  c  c  b  A)2 B) 3 C) 4
Luego: M  16     D)5 E) 6
 a  a  a  a 
 b2.c2   b2c2  RESOLUCIÓN
 M  16 4   16
 a   16b2c2 

   
Si: c  2 ab

M  1 c
a Si pide:
RPTA.: C
E  tg  tg

2. En un triángulo rectángulo b a b a2  b2
E  
ABC B  90º si: b a ab
5 Pero:
tgC  ; a  c  21 a² + b² = c²
12
Calcular el perímetro del triángulo 4ab
 E=  4
ab
A) 90 B) 120 C) 150 RPTA.: C
D) 75 E) 136
4. En la figura adjunta se cumple
AB BC
que: 
4 3
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2. Trigonometría
Calcular: ctg  csc  A RESOLUCIÓN
13 Dato: 2x  50º  90º  x  20º
B
Se pide:


D 12 C Ε  tg60º4 3sen º
30
3 5 7 1
A) B) C) Ε  3  4 3.
4 4 4 2
9 11 Ε3 3
D) E) RPTA.: C
4 4
6. En un triángulo rectángulo
RESOLUCIÓN
ABC(C  90º)
 
2  
AB BC Si: senB sec A   sen A.ctgB
Si   AB  4k 3
4 3
Halle: E = ctg²B + sec²A
BC  3K
DCB:
A) 13 B) 15 C) 17
BD2  122  3k 2...(1) D) 19 E) 21
DBA:
132  BD2  4K2...(2) RESOLUCIÓN
A
2  (1)  13  K   12   4K   3K 
2 2 2 2 2
A
c
25  25K2  K  1
12 12 b 3
ctgθ   4 1
BC 3
13 13 13
csc     2 2 B
AB 4 4
13 3 c a A
ctg     csc     4  
4 4
2
RPTA.: D senB  secA   senActgB
3
5. Si: sen x  10º  cosx  40º
 b c 2 a a
   .
Halle: c b 3 c b
E  tg3x  4 3 sen(x  10º)
b2  c2  a2 2 2b2 2
  
A) 3 B) 2 3 C) 3 3 bc 3 bc 3
D) 4 3 E) 5 3
c2  b2  a2
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3. Trigonometría
b 1 
  8. Si: sen  cos   0 
c 3 2
2 2  2 2      
3 tan   cot 0
 
 1   1  3   2 
   
  8  9  17 Calcule:
RPTA.: C
   
M  sen   cos   tan36º. tan
 
7. En un triángulo rectángulo ABC 2  2 
B  90º se cumple que:

1  1
sen A  senC 1  0 A) 0 B) C) 1
2 2
 
2 3
Halle:   tg A csc C 2 D) 2 E)
3
A) 0 B) -1 C) -2 RESOLUCIÓN
D) 2 E) 1
       
tan   cot    90º
RESOLUCIÓN  3   2  3 2
A
b2  c2  a2 5
     90º      108º
A
6
c
b
1  
Dato: senA  senc  1 sen  cos     90º    60º
2 2 2
c 2a 1 c
B a c  1 Luego:
2b 2 b
2a  c  2b  c  2b  a 1

c  a  b  2 b2  a2  M  sen º cos 60º tan36º. tan54º
30
ca  b  2cc cot36º
a  b  2c M1
RPTA.: C
  tgA  csc C  2
a b 9. En la figura calcule “tg”;
   2
c c
Si: AM  MB
ab 2c
 2   2
c c
A
0 
RPTA.: A
M

B C
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4. Trigonometría
1 1 1 11. Del gráfico halle:
A) B) C)
3 2 5
W  sen  cos 
1 3
D) E)
7 2 127º
9 10
RESOLUCIÓN
A 

m 7 23
A)1 B) C)
M
17 17
7  23
D) E)
m
 17 17
B m’ C
RESOLUCIÓN
ABC 
m'
tg  ...(1)  W  sen  cos   ?
2m
8 15
 W 
MBC  17 17
m 7 6
tg  ...(2)  W
m' 17 15 53º
127º 8
(1) = (2) 9
10
m' m 1 1 m 37º
  m   tg 
2m m' 2 2 m'
1 17
tg 
2 RPTA.: D
RPTA.: D
12. Halle “ctg” del gráfico, si:
10. Halle: AB  BC
B
  tg10º tg20º tg30º...tg80º
120º
M
A) 1 B) 0 C)2
D) -1 E)-2

A C
RESOLUCIÓN
  tg10º tg20º tg30º tg40º...tg80º A) 2 3 B) 3 3 C) 3
  tg º tg20º tg30º tg40º ctg40º ctg30º...ctg10º
10 D) 3 / 6 E) 3 /9
E=1
RPTA.: D
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5. Trigonometría
RESOLUCIÓN
B 14. Si el triángulo ABC es equilátero.
2n Determine tg.
60º 60º 4n
4n n 30º B
M
n 3
60º 2n
30º n
  30º 3a
A C
2n 3 n 3 P n 3
3n 3 D
a

3n 3 A C
APM : ctg 
n
3 3 3
 ctg  3 3 A) B) C)
5 6 7
RPTA.: B
3 3
D) E)
8 9
13. Si CD  3AD, halle: tg
(tomar: sen37º=0,6)
RESOLUCIÓN
B

60º
3a = 6k
53º 8k
A D C
D
1 1 3
A) B) C) k 3 30ºa = 2k
16 8 8 60º
 60º
3 1 A 7k k C
D) E)
16 4
k 3 3
tg  
7k 7
RESOLUCIÓN RPTA.: C
 15. Si ABCD es un cuadrado y
9K BM=2CM, BN=NA. Calcule sen .
12K
M B
C
5K 15K 53º
A 53º D C
4K
3K
N
3k 3
Se pide: tg  
16k 16

RPTA.: D
D A
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6. Trigonometría
RESOLUCIÓN
2 3 5 16
A) B) C)
2 3 5 A B
x
7 10
D) E) 13
7 10 37º
Tgx =3/16
RESOLUCIÓN 16
2 10.3 5 2.6 3.6 4.3 53º
sen  62    3
2 2 2 2 53º
37º
15 2sen  15 D 12 C
4 RPTA.: C
2 17. De la figura, calcule: ctg 
 sen 
2 B
A)1
B)2
C)3 M
D)4
E)5
 45º
A C
RESOLUCIÓN
B
2
RPTA.: A 2 M
2
2
16. Halle tgx, si ABCD es un cuadrado. 1 45º
A B 
x A 3 1 C
37º ctg  3
RPTA.:C
18. Del gráfico. Halle:
W  sec2   tg2
37º
D C

1 1 3
A) B) C)
16 8 16
5 7
D) E)
16 16
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7. Trigonometría
1 20. Siendo “” y " β" las medidas de 2
A)5 B) C) 1
5 ángulos agudos tales que:
7 7 cos11. sec  1 
D) E) cos . csc   1
2 3
Halle:
RESOLUCIÓN W  tg  37º30'.sen   52º30'

2 2
* W  sec   tg   ?
2 2 1 3
R 3    A)1 B) C)
 W   R 2  2 2
 R   R 
    3
 W5 D) 3 E)
3
R 3
RESOLUCIÓN
45º

R Datos:
R 2
R i) cos11.sec β =111= β … (I)
ii) cos . csc   1
R
sen 90º. csc   90º        90º..(II)

Ien(II) :   11  90º    15º  7º30'
2
 15º  165º
" " enI :   11   82º30'
RPTA.: A  2  2
Piden:
19. Si se verifica que: W  tg  37º30'.sen   52º30'  ?

sen(50º x)  cos(40º x) 
1
tan  x  10º .tan(x  40º )  1  W  tg45º.sen30º 
2
 3x 
Determine: M  sec 3x  cot2  
 2  RPTA.: B
A)1 B)2 C) 3
D)4 E)5
RESOLUCIÓN
Como: sen 50º x   cos(40º x)
Entonces:
tan(x  10º ). tan(x  40º )  1
 tan(x  10º )  cot(x  40º )
 x  10º x  40º  90º
x  20º
Luego: M  sec60º cot2 30º  2   3 2
M  5
RPTA.: E
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