Ejercicios desarrollados de ecuaciones cuadraticas

1. 1
ECUACIONES CUADRATICAS Y SISTEMAS
DE ECUACIONES
Forma General: ax2 + bx + c = 0
x  incógnita
Hay dos soluciones:







  

b b 4ac
  

b b 4ac
2a
x
2a
x
2
2
2
1
Discusión de las Raíces.- Se define como
discriminante de la ecuación: ax2 + bx + c = 0;
a  0
D = b2 – 4ac
D  Discriminante
1) Si D  0 ; las soluciones son números
reales diferentes.
2) Si D = 0 ; las soluciones son números
reales iguales.
3) Si D  0 ; las soluciones son números
complejos conjugados.
Propiedades de las Raíces:
Sea: x1 , x2 raíces de ax2 + bx + c = 0 ; a  0
 Suma: x1 + x2 = -b/a
 producto: x1 + x2 = c/a
 Diferencia: x1 - x2 =
D ; x1  x2
a
Reconstrucción:
x2 –(suma de raíces) x +(producto de raíces) =
0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la suma de raíces de la siguiente
ecuación cuadrática: 2 x  5x  6  0
a)5 b)3 c)2 d)-5 e) 9
2. Hallar “m” para que el producto de las
raíces de la ecuación:
(퐦 − ퟐ)퐱ퟐ − ퟓ퐱 + ퟐ퐦 = ퟎ , sea 6
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Formar la ecuación de segundo grado que
tenga como raíces la suma y el producto de
las raíces de la ecuación:
ퟐ퐱ퟐ − ퟓ퐱 + ퟕ = ퟎ
a) ퟒ퐱ퟐ + ퟔ퐱 + ퟑퟓ = ퟎ
b) ퟒ퐱ퟐ − ퟔ퐱 + ퟑퟓ = ퟎ
c) ퟒ퐱ퟐ − ퟐퟒ퐱 + ퟑퟓ=0
d) ퟒ퐱ퟐ + ퟐퟒ퐱 + ퟑퟓ = ퟎ
e) ퟒ퐱ퟐ + ퟐퟒ퐱 − ퟑퟓ = ퟎ
4. Encontrar el valor de K que hace que la
ecuación:
퐱ퟐ + ퟗ퐱 + 퐤 = ퟎ
Una raíz sea el doble de la otra.
a) 9 b) 6 c) 3 d) 27 e) 18
5. Calcular “m” en la ecuación:
(퐦 + ퟏ)퐱ퟐ − (퐦 + ퟖ)퐱 + ퟏퟎ = ퟎ
Para que la suma de raíces sea 9/2.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Determine 퐾 ∈ 푍 de modo que la ecuación
ퟒ퐱ퟐ + (ퟑ퐤 − ퟕퟕ)퐱 + ퟏ = ퟎ Admite raíces
reales e iguales.
a) k=4 b) k=3
c) k=5 d) k=-4 e) k= -3
8. Respecto de 3x2 + 5x + 4 = 0, ¿cuántas de
las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I. El término independiente es 3.
II. No tiene raíces reales.
III. Es equivalente a (3x + 2) (x + 2) = 0.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
9. Determina una ecuación de segundo
grado cuyas raíces sean los números 4 y –
1.
a) x2 + 3x – 4 = 0 b) 3x2+ 9x – 12 = 0
c) 2x2– 6x + 8 = 0 d) x2– 3x – 4 = 0
10. Sin necesidad de hacer cálculo alguno,
¿qué valores x cumplen con la igualdad
(x – 1)(x + 3) = 0?
a) –1 y –3 b) 1 y 3
c) 1 y –3 d) –1 y 3
11. Halla un polinomio de segundo grado
P(x) si se sabe que una de sus raíces es x
= 1 y que P (3) es 10. Da como respuesta
el término independiente.
Dos formas de
resolver una
ecuación de 2do
grado

2. 2
a) 2 b) –2 c) 1 d) –1
12. Calcula las dimensiones de un rectángulo
en el que la base mide 2 cm menos que la
altura, y la diagonal, 10 cm.
a) 6 y 8 cm b) 4 y 6 cm
c) 8 y 10 cm d) 7 y 9 cm
13. La base de un rectángulo mide el triple
que la altura. Si disminuimos en 1 cm
cada lado, el área inicial disminuye en 15
cm. Calcula el área del rectángulo inicial.
a) 4 cm2 b) 20 cm2
c) 48 cm2 d) 56 cm2
14. El largo de un terreno rectangular es el
doble que el ancho. Si se aumenta el largo
en 40 m y el ancho en 6 m. el área se
duplica. Determina el área del terreno.
a) 1500m2 b) 1600m2 c) 1700m2
d) 1800m2 e) 1900m2
15. Tenemos un alambre de 17 cm. ¿A
cuántos centímetros de uno de los
extremos debemos doblarlo para que
forme un ángulo recto y sus extremos
queden separados 13 cm?
RPTA.- a 5 cm o 12 cm de uno de los
extremos.
16. Resolver el sistema:
x + 2y = 7
2x – y = 4
20. Resolver
2x + 3y = 2
6x – 12y = -1
21. La suma de dos números es 55; y uno de
ellos es 9 unidades menor que el otro,
determinar los números
22. Si:
Hallar: x
a) 15 b) 12
c) 18 d) 21 e) 9
23. Resolver el sistema:
3
y
 
y
9
x
x
3
9
3
5
 
17. Resolver:
x + 3y = 1
3
 = 2
y x
4
Y dar como respuesta el valor de x.
a)
28 b)
12
28
13
c)
28 d)
14
28 e) 6
15
18. Si x + 4 > 7, calcular el mínimo valor
entero de “x”
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
19. Si x + 3  6, calcular el máximo valor de “x”.
a) 2 b) 3 c) 8
d) 1 e) 6
20. Calcular la suma de los valores de los
números enteros “x”, tal que: 3  2 x  10
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
21. Si x + 2  0, calcular el mínimo valor de (x
+ 6)
a) 7 b) 8 c) 13
d) 4 e) 5
22. Si x  1 ; 7, entonces a qué intervalo
pertenece: x + 3
a) 3 ; 4 b) 4 ; 10 c) 3 ; 7
d) 7 ; 10 e) N.A.
x 4

23. Resolver: 0
x 3


a. x  - ; -4  3 ; 8
b. x  - ; 2  3 ; 6
c. x  - ; -4  3 ; +
d. x  -3 ; 2  4 ; +
  
6x 5y 48
x y

  4
3 6

3. 3
e. N.A.