El documento resume la vida y obras de Arquímedes, un importante científico griego del siglo III a.C. Nació en la ciudad de Siracusa y estudió en Alejandría, donde se convirtió en discípulo de importantes matemáticos como Conón de Samos y Euclides. Arquímedes realizó importantes descubrimientos en geometría, mecánica e hidrostática. Murió durante el asedio romano a Siracusa mientras estaba absorto resolviendo un problema matemático. El documento también
Este es un trabajo que recoje datos de la historia de la ciencias para analizar las herramientas conceptuales y científicas que dejó como legado Arquimedes
La geometría analítica estudia figuras geométricas mediante técnicas algebraicas y de análisis matemático en un sistema de coordenadas. Representa figuras como ecuaciones polinómicas: las rectas como ecuaciones de grado 1, las cónicas como ecuaciones de grado 2. Sus cuestiones fundamentales son obtener la ecuación de un lugar geométrico dado sus coordenadas, y determinar el lugar geométrico a partir de una ecuación. Tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la
Matematicos fisicos y filosofos de la antiguedaddandyelll
Arquímedes fue un matemático griego nacido en el 287 a.C. en Siracusa, Italia. Fue asesinado en el 212 a.C. por un soldado romano a pesar de las órdenes de no dañarlo. Arquímedes estaba estudiando círculos matemáticos cuando fue interrumpido y asesinado.
Aristóteles nació en 384 a.C. en Estagira, Macedonia. Estudió en la Academia de Platón en Atenas por 20 años. Luego enseñó a Alejandro Magno en Pella, Macedonia. En 335 a.C. fundó su propia escuela en Atenas, el Liceo. Murió en 322 a.C. en Calcis, Grecia.
El documento presenta breves biografías de importantes matemáticos a través de la historia como Niels Henrik Abel, Arquímedes, Jakob Bernouilli, Euclides y Pierre de Fermat. Resalta sus contribuciones científicas y desafíos que enfrentaron en sus vidas.
Blaise Pascal fue un filósofo, matemático y físico francés del siglo XVII que se interesó en las matemáticas desde una edad temprana y formuló un importante teorema de geometría a los 16 años. Inventó la Pascalina, una de las primeras calculadoras mecánicas, de la cual construyó al menos cincuenta ejemplares. Euclides fue un matemático griego considerado el "Padre de la geometría" que definió conceptos básicos como punto, línea y triángulo
Pitágoras fue un matemático griego que fundó la escuela pitagórica y realizó descubrimientos importantes en matemáticas y cosmología. Euclides fue un geómetra griego conocido por su obra Los Elementos, que estableció los fundamentos de la geometría deductiva. Arquímedes fue un ingeniero y matemático griego considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad, que hizo contribuciones fundamentales a la estática, la hidrostática y el cálculo.
Este documento presenta una selección de matemáticos importantes desde la antigüedad hasta el presente, incluyendo a Tales de Mileto, Pitágoras, Euclides y Arquímedes de la antigua Grecia, así como a Diofanto de Alejandria, Herón de Alejandria y Liu Hui de China, destacando sus principales contribuciones científicas que dieron nombre a teoremas y conceptos matemáticos fundamentales.
Este es un trabajo que recoje datos de la historia de la ciencias para analizar las herramientas conceptuales y científicas que dejó como legado Arquimedes
La geometría analítica estudia figuras geométricas mediante técnicas algebraicas y de análisis matemático en un sistema de coordenadas. Representa figuras como ecuaciones polinómicas: las rectas como ecuaciones de grado 1, las cónicas como ecuaciones de grado 2. Sus cuestiones fundamentales son obtener la ecuación de un lugar geométrico dado sus coordenadas, y determinar el lugar geométrico a partir de una ecuación. Tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la
Matematicos fisicos y filosofos de la antiguedaddandyelll
Arquímedes fue un matemático griego nacido en el 287 a.C. en Siracusa, Italia. Fue asesinado en el 212 a.C. por un soldado romano a pesar de las órdenes de no dañarlo. Arquímedes estaba estudiando círculos matemáticos cuando fue interrumpido y asesinado.
Aristóteles nació en 384 a.C. en Estagira, Macedonia. Estudió en la Academia de Platón en Atenas por 20 años. Luego enseñó a Alejandro Magno en Pella, Macedonia. En 335 a.C. fundó su propia escuela en Atenas, el Liceo. Murió en 322 a.C. en Calcis, Grecia.
El documento presenta breves biografías de importantes matemáticos a través de la historia como Niels Henrik Abel, Arquímedes, Jakob Bernouilli, Euclides y Pierre de Fermat. Resalta sus contribuciones científicas y desafíos que enfrentaron en sus vidas.
Blaise Pascal fue un filósofo, matemático y físico francés del siglo XVII que se interesó en las matemáticas desde una edad temprana y formuló un importante teorema de geometría a los 16 años. Inventó la Pascalina, una de las primeras calculadoras mecánicas, de la cual construyó al menos cincuenta ejemplares. Euclides fue un matemático griego considerado el "Padre de la geometría" que definió conceptos básicos como punto, línea y triángulo
Pitágoras fue un matemático griego que fundó la escuela pitagórica y realizó descubrimientos importantes en matemáticas y cosmología. Euclides fue un geómetra griego conocido por su obra Los Elementos, que estableció los fundamentos de la geometría deductiva. Arquímedes fue un ingeniero y matemático griego considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad, que hizo contribuciones fundamentales a la estática, la hidrostática y el cálculo.
Este documento presenta una selección de matemáticos importantes desde la antigüedad hasta el presente, incluyendo a Tales de Mileto, Pitágoras, Euclides y Arquímedes de la antigua Grecia, así como a Diofanto de Alejandria, Herón de Alejandria y Liu Hui de China, destacando sus principales contribuciones científicas que dieron nombre a teoremas y conceptos matemáticos fundamentales.
El documento presenta resúmenes biográficos de importantes matemáticos a través de la historia, incluyendo a Tales de Mileto, Pitágoras, Platón, Euclides, Arquímedes y Fibonacci, entre otros, destacando sus principales contribuciones y descubrimientos en matemáticas y otras ciencias.
El documento presenta un resumen de tres oraciones o menos de la introducción del libro "Historia de la Filosofía Antigua" de Paul Bernard Grenet. En primer lugar, advierte que el intento de la colección se justifica al no repetir lo que otros ya han explicado bien sobre la filosofía antigua y Platón. Luego, explica que el autor y los colaboradores han limitado su ambición a ayudar a los estudiantes a entrar en contacto con los textos originales mediante traducciones y análisis de las obras de los filósofos
1) Aristóteles nació en 384 a.C. en Grecia y estudió en la Academia de Platón durante 20 años. Luego enseñó a Alejandro Magno y fundó su propia escuela, el Liceo, en Atenas.
2) Desarrolló una amplia obra que incluyó escritos sobre lógica, metafísica, física, biología, ética, política, retórica y poética. Tuvo una gran influencia en el pensamiento occidental.
3) Su filosofía se caracterizó por observar
Capítulo III del libro Histéricas historias de piratas y filósofos. Apuntes personales del profesor Ángel Luis del Barco para la asignatura Historia de la filosofía
El documento describe la vida y obra de Aristóteles. Nació en Estagira en 384 a.C. y estudió en la Academia de Platón en Atenas. Más tarde fundó su propia escuela, el Liceo, donde desarrolló una filosofía basada en la observación empírica. Aristóteles introdujo conceptos fundamentales como las cuatro causas, el hilemorfismo, la potencia y el acto. Su obra abarcó lógica, metafísica, física, biología, ética y política.
Los padres fundadores de la geometría analítica fueron René Descartes y Pierre de Fermat a principios del siglo XVII. Descartes sistematizó la geometría analítica al representar figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas en un sistema de coordenadas, mientras que Fermat también desarrolló independientemente métodos similares de geometría analítica.
El documento describe las características principales de la escultura del período clásico en Grecia entre los siglos V y IV a.C. Se aplicaron tres conceptos clave: 1) el principio de proporción armónica basado en la cabeza como módulo, 2) el principio de diartrosis que concibe el desnudo como un esqueleto perfecto regido por la movilidad de las articulaciones, y 3) la postura del contrapposto que rompe con la frontalidad mediante la flexión de una pierna. Artistas como Policleto, Mir
1) La arqueología ha demostrado el desarrollo de las culturas minoica y micénica en el Egeo entre el 3000 y 1200 a.C. 2) Los griegos desarrollaron la ciencia y la filosofía entre los siglos VI y IV a.C., con figuras como Tales, Pitágoras, Zenón, Platón y Aristóteles sentando las bases del pensamiento científico y deductivo. 3) La ciencia griega alcanzó su apogeo en Alejandría entre los siglos III y I a.C. con matemáticos como Eu
Los padres de la geometría analítica fueron René Descartes y Pierre de Fermat a principios del siglo XVII. Introdujeron la idea de asignar pares de números a puntos en un plano y representar figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas, lo que permitió estudiar geometría usando técnicas algebraicas y analíticas. Esto revolucionó el estudio de la geometría y las matemáticas.
Este documento discute dos perspectivas opuestas sobre la metafísica. Se ha visto como una ciencia inútil alejada de las preocupaciones cotidianas, o como la ciencia más libre que libera al hombre de opiniones infundadas. El documento analiza cómo filósofos como Tales y Sócrates ayudaron a crear la imagen del filósofo desconectado de lo terrenal. Sin embargo, la Metafísica de Aristóteles buscaba los primeros principios y causas, lo que consideraba un quehacer liberador. Finalmente, la metaf
Arquímedes (c. 287 a.C. - c. 212 a.C.) fue un matemático, físico e ingeniero griego nacido en Siracusa. Estudió en Alejandría y se dedicó al trabajo científico en Siracusa. Murió durante la segunda guerra púnica cuando un soldado romano lo mató. Realizó importantes descubrimientos en matemáticas e hidrostática, incluyendo el principio que lleva su nombre sobre los cuerpos sumergidos en un fluido.
El documento presenta información breve sobre varios matemáticos importantes a través de la historia. Incluye detalles sobre las contribuciones de Albert Einstein, René Descartes, matemáticos franceses e ingleses del siglo 19 como el inventor de la topología algebraica, los griegos Euclides y Arquímedes conocidos por sus trabajos fundamentales en geometría y mecánica respectivamente, Carl Friedrich Gauss descrito como el matemático más completo de la primera mitad del siglo 19, y Leonhard Euler reconocido por revolucionar casi toda la mate
El documento describe la historia de la geometría y algunos de sus principales contribuyentes. La geometría se originó en Egipto debido a las mediciones necesarias después de las inundaciones anuales del río Nilo. Los padres fundadores de la geometría incluyen a Euclides, autor de los Elementos de geometría; Pitágoras, quien estableció el teorema de Pitágoras; y Tales de Mileto, Thales de Mileto y Eratóstenes, quienes hicieron contribuciones tempranas a la geometría.
El documento habla sobre la geometría y los cuerpos geométricos. Explica que resolver problemas de geometría implica razonar sobre las propiedades necesarias y no contradictorias de los objetos geométricos. Además, menciona que los cuerpos geométricos como pirámides, conos y cubos se encuentran en todas partes y que su estudio se remonta a la antigüedad clásica.
El documento resume las biografías y contribuciones científicas de importantes matemáticos y astrónomos de la antigüedad como Euclides, Pitágoras, Arquímedes, Eratóstenes y Leonardo Fibonacci. Euclides es conocido por sus Elementos donde sistematizó la geometría. Pitágoras fundó una escuela y descubrió el teorema que lleva su nombre. Arquímedes realizó importantes avances en cálculo e hidrostática. Eratóstenes midió la circunferencia
1) El documento resume la filosofía de la antigüedad en Grecia, comenzando con los primeros filósofos presocráticos que buscaban explicar el origen y la naturaleza de las cosas.
2) Luego describe a filósofos como Pitágoras, Heráclito y Parménides, y cómo sus ideas marcaron el desarrollo de la metafísica.
3) Explica el surgimiento de Sócrates y su método, así como las enseñanzas y mitos de Platón sobre las Ideas y la
El documento presenta información sobre Pitágoras, Tales de Mileto y Euclides. Resume que Pitágoras fundó una escuela matemática y filosófica y descubrió el teorema que lleva su nombre. Tales de Mileto fue el primer filósofo griego y estableció las bases de la geometría griega. Finalmente, Euclides escribió Los Elementos, una de las obras científicas más influyentes de la historia que presentó de manera sistemática los principios de la geometría.
El documento resume las ideas filosóficas de varios pensadores de la antigua Grecia, incluyendo Tales de Mileto, Anaximandro, Anaxímenes, Pitágoras, y otros. Tales propuso que el agua era el principio primordial de todas las cosas, mientras que Anaximandro argumentó que dicho principio no podía ser ningún elemento conocido. Pitágoras creía que los números eran el principio subyacente de la realidad y fundó una secta religioso-filosófica basada en la reencarnación del alma y la pur
Arquímedes fue un gran matemático y ingeniero griego del siglo III a.C. que vivió en Siracusa. Es conocido por sus descubrimientos en mecánica, hidrostática y cálculo integral, y por inventar máquinas de guerra que ayudaron a defender Siracusa. Murió cuando un soldado romano lo mató mientras estaba absorto resolviendo un problema matemático durante el saqueo de la ciudad.
La numerología es una de las ciencias metafísicas menos conocidas que busca encontrar significados ocultos en los números. Para determinar el número de una persona en numerología, se suma los dígitos de la fecha de nacimiento hasta reducirlo a un solo dígito entre 1 y 9. El documento proporciona un ejemplo de cómo calcular el número de alguien nacido el 12 de julio de 1966 reduciendo 32 a 5.
Tema 7. variedad de los espacios españoles y su consecuencia en la actividad ...CandelaDeCruzRomero
España tiene una gran diversidad geográfica, climática y paisajística debido a su ubicación entre dos mares y continentes, lo que genera diferentes climas y recursos en su territorio. Su relieve montañoso y altiplanos centrales crean variaciones climáticas entre las zonas costeras e interiores, mientras que sus ríos cortos son de caudal torrencial. Esta configuración física, junto con factores biogeográficos y humanos, producen un país con una amplia gama de paisajes, cultivos y densidades de
El documento describe los diferentes tipos de planos urbanos y la evolución histórica de las ciudades. Explica que las ciudades tienen diferentes sectores como el casco antiguo, el centro de negocios y los barrios residenciales. También describe la transformación de las ciudades desde la época preindustrial con murallas y calles irregulares, hasta la industrialización con ensanches para la clase alta y obrera, y los nuevos barrios ajardinados y de ciudad jardín con viviendas unifamiliares.
El documento presenta resúmenes biográficos de importantes matemáticos a través de la historia, incluyendo a Tales de Mileto, Pitágoras, Platón, Euclides, Arquímedes y Fibonacci, entre otros, destacando sus principales contribuciones y descubrimientos en matemáticas y otras ciencias.
El documento presenta un resumen de tres oraciones o menos de la introducción del libro "Historia de la Filosofía Antigua" de Paul Bernard Grenet. En primer lugar, advierte que el intento de la colección se justifica al no repetir lo que otros ya han explicado bien sobre la filosofía antigua y Platón. Luego, explica que el autor y los colaboradores han limitado su ambición a ayudar a los estudiantes a entrar en contacto con los textos originales mediante traducciones y análisis de las obras de los filósofos
1) Aristóteles nació en 384 a.C. en Grecia y estudió en la Academia de Platón durante 20 años. Luego enseñó a Alejandro Magno y fundó su propia escuela, el Liceo, en Atenas.
2) Desarrolló una amplia obra que incluyó escritos sobre lógica, metafísica, física, biología, ética, política, retórica y poética. Tuvo una gran influencia en el pensamiento occidental.
3) Su filosofía se caracterizó por observar
Capítulo III del libro Histéricas historias de piratas y filósofos. Apuntes personales del profesor Ángel Luis del Barco para la asignatura Historia de la filosofía
El documento describe la vida y obra de Aristóteles. Nació en Estagira en 384 a.C. y estudió en la Academia de Platón en Atenas. Más tarde fundó su propia escuela, el Liceo, donde desarrolló una filosofía basada en la observación empírica. Aristóteles introdujo conceptos fundamentales como las cuatro causas, el hilemorfismo, la potencia y el acto. Su obra abarcó lógica, metafísica, física, biología, ética y política.
Los padres fundadores de la geometría analítica fueron René Descartes y Pierre de Fermat a principios del siglo XVII. Descartes sistematizó la geometría analítica al representar figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas en un sistema de coordenadas, mientras que Fermat también desarrolló independientemente métodos similares de geometría analítica.
El documento describe las características principales de la escultura del período clásico en Grecia entre los siglos V y IV a.C. Se aplicaron tres conceptos clave: 1) el principio de proporción armónica basado en la cabeza como módulo, 2) el principio de diartrosis que concibe el desnudo como un esqueleto perfecto regido por la movilidad de las articulaciones, y 3) la postura del contrapposto que rompe con la frontalidad mediante la flexión de una pierna. Artistas como Policleto, Mir
1) La arqueología ha demostrado el desarrollo de las culturas minoica y micénica en el Egeo entre el 3000 y 1200 a.C. 2) Los griegos desarrollaron la ciencia y la filosofía entre los siglos VI y IV a.C., con figuras como Tales, Pitágoras, Zenón, Platón y Aristóteles sentando las bases del pensamiento científico y deductivo. 3) La ciencia griega alcanzó su apogeo en Alejandría entre los siglos III y I a.C. con matemáticos como Eu
Los padres de la geometría analítica fueron René Descartes y Pierre de Fermat a principios del siglo XVII. Introdujeron la idea de asignar pares de números a puntos en un plano y representar figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas, lo que permitió estudiar geometría usando técnicas algebraicas y analíticas. Esto revolucionó el estudio de la geometría y las matemáticas.
Este documento discute dos perspectivas opuestas sobre la metafísica. Se ha visto como una ciencia inútil alejada de las preocupaciones cotidianas, o como la ciencia más libre que libera al hombre de opiniones infundadas. El documento analiza cómo filósofos como Tales y Sócrates ayudaron a crear la imagen del filósofo desconectado de lo terrenal. Sin embargo, la Metafísica de Aristóteles buscaba los primeros principios y causas, lo que consideraba un quehacer liberador. Finalmente, la metaf
Arquímedes (c. 287 a.C. - c. 212 a.C.) fue un matemático, físico e ingeniero griego nacido en Siracusa. Estudió en Alejandría y se dedicó al trabajo científico en Siracusa. Murió durante la segunda guerra púnica cuando un soldado romano lo mató. Realizó importantes descubrimientos en matemáticas e hidrostática, incluyendo el principio que lleva su nombre sobre los cuerpos sumergidos en un fluido.
El documento presenta información breve sobre varios matemáticos importantes a través de la historia. Incluye detalles sobre las contribuciones de Albert Einstein, René Descartes, matemáticos franceses e ingleses del siglo 19 como el inventor de la topología algebraica, los griegos Euclides y Arquímedes conocidos por sus trabajos fundamentales en geometría y mecánica respectivamente, Carl Friedrich Gauss descrito como el matemático más completo de la primera mitad del siglo 19, y Leonhard Euler reconocido por revolucionar casi toda la mate
El documento describe la historia de la geometría y algunos de sus principales contribuyentes. La geometría se originó en Egipto debido a las mediciones necesarias después de las inundaciones anuales del río Nilo. Los padres fundadores de la geometría incluyen a Euclides, autor de los Elementos de geometría; Pitágoras, quien estableció el teorema de Pitágoras; y Tales de Mileto, Thales de Mileto y Eratóstenes, quienes hicieron contribuciones tempranas a la geometría.
El documento habla sobre la geometría y los cuerpos geométricos. Explica que resolver problemas de geometría implica razonar sobre las propiedades necesarias y no contradictorias de los objetos geométricos. Además, menciona que los cuerpos geométricos como pirámides, conos y cubos se encuentran en todas partes y que su estudio se remonta a la antigüedad clásica.
El documento resume las biografías y contribuciones científicas de importantes matemáticos y astrónomos de la antigüedad como Euclides, Pitágoras, Arquímedes, Eratóstenes y Leonardo Fibonacci. Euclides es conocido por sus Elementos donde sistematizó la geometría. Pitágoras fundó una escuela y descubrió el teorema que lleva su nombre. Arquímedes realizó importantes avances en cálculo e hidrostática. Eratóstenes midió la circunferencia
1) El documento resume la filosofía de la antigüedad en Grecia, comenzando con los primeros filósofos presocráticos que buscaban explicar el origen y la naturaleza de las cosas.
2) Luego describe a filósofos como Pitágoras, Heráclito y Parménides, y cómo sus ideas marcaron el desarrollo de la metafísica.
3) Explica el surgimiento de Sócrates y su método, así como las enseñanzas y mitos de Platón sobre las Ideas y la
El documento presenta información sobre Pitágoras, Tales de Mileto y Euclides. Resume que Pitágoras fundó una escuela matemática y filosófica y descubrió el teorema que lleva su nombre. Tales de Mileto fue el primer filósofo griego y estableció las bases de la geometría griega. Finalmente, Euclides escribió Los Elementos, una de las obras científicas más influyentes de la historia que presentó de manera sistemática los principios de la geometría.
El documento resume las ideas filosóficas de varios pensadores de la antigua Grecia, incluyendo Tales de Mileto, Anaximandro, Anaxímenes, Pitágoras, y otros. Tales propuso que el agua era el principio primordial de todas las cosas, mientras que Anaximandro argumentó que dicho principio no podía ser ningún elemento conocido. Pitágoras creía que los números eran el principio subyacente de la realidad y fundó una secta religioso-filosófica basada en la reencarnación del alma y la pur
Arquímedes fue un gran matemático y ingeniero griego del siglo III a.C. que vivió en Siracusa. Es conocido por sus descubrimientos en mecánica, hidrostática y cálculo integral, y por inventar máquinas de guerra que ayudaron a defender Siracusa. Murió cuando un soldado romano lo mató mientras estaba absorto resolviendo un problema matemático durante el saqueo de la ciudad.
La numerología es una de las ciencias metafísicas menos conocidas que busca encontrar significados ocultos en los números. Para determinar el número de una persona en numerología, se suma los dígitos de la fecha de nacimiento hasta reducirlo a un solo dígito entre 1 y 9. El documento proporciona un ejemplo de cómo calcular el número de alguien nacido el 12 de julio de 1966 reduciendo 32 a 5.
Tema 7. variedad de los espacios españoles y su consecuencia en la actividad ...CandelaDeCruzRomero
España tiene una gran diversidad geográfica, climática y paisajística debido a su ubicación entre dos mares y continentes, lo que genera diferentes climas y recursos en su territorio. Su relieve montañoso y altiplanos centrales crean variaciones climáticas entre las zonas costeras e interiores, mientras que sus ríos cortos son de caudal torrencial. Esta configuración física, junto con factores biogeográficos y humanos, producen un país con una amplia gama de paisajes, cultivos y densidades de
El documento describe los diferentes tipos de planos urbanos y la evolución histórica de las ciudades. Explica que las ciudades tienen diferentes sectores como el casco antiguo, el centro de negocios y los barrios residenciales. También describe la transformación de las ciudades desde la época preindustrial con murallas y calles irregulares, hasta la industrialización con ensanches para la clase alta y obrera, y los nuevos barrios ajardinados y de ciudad jardín con viviendas unifamiliares.
La maestra Elena Palillero Montes utilizó materiales didácticos y digitales para enseñar a sus estudiantes de primer grado a utilizar los números ordinales al resolver problemas. Dividió a los 27 estudiantes en equipos y les dio abacos numéricos para contar aros y registrar los resultados. Luego usó una tabla digital para que los estudiantes compararan números. Los estudiantes se mostraron entusiasmados por los materiales coloridos y manipulables, y pudieron trabajar fácilmente con la actividad digital.
El documento habla sobre el concepto de desarrollo sostenible. Explica que el desarrollo sostenible busca satisfacer las necesidades del presente sin comprometer las necesidades de las futuras generaciones, preservando los recursos naturales. También menciona que la conciencia sobre el desarrollo sostenible surgió en la década de 1970 debido a la preocupación por los problemas ambientales y la relación entre países ricos y pobres.
El documento presenta un resumen de la evolución de la administración desde una perspectiva asistemática hasta convertirse en una disciplina científica, destacando las contribuciones de Taylor, Fayol, McGregor y su Teoría X y Teoría Y, así como conceptos como la administración por objetivos y la importancia del factor humano. Finalmente, introduce teorías más modernas como la Teoría Z, la calidad total y la administración por procesos.
The document discusses the power of stories and encourages sharing stories to teach others. It notes that stories happen every day but can disappear without effort. With work, stories can become beautiful and functional by focusing on content over perfection. Stories are memorable so people should tell and post their stories to turn spaces like break rooms into classrooms where teams can learn from stories and find their own solutions.
(Brandon jaimes) trabajo de induccion #1nodnarb_24
El documento presenta la visión, misión, escudo, logotipo y bandera del Servicio Nacional de Aprendizaje (SENA) de Colombia. La visión es que el SENA sea una organización de conocimiento que innove constantemente en aprendizaje para impactar positivamente la productividad y competitividad del país. La misión es ofrecer formación profesional gratuita para contribuir al desarrollo social, económico y tecnológico. El escudo representa los tres sectores económicos (agropecuario, industria y comerc
La maestra Sara Zárate planeó una lección para enseñar series numéricas ascendentes a sus 27 alumnos de primer grado usando canciones, carteles con números y una caja pitagórica digital. Los estudiantes cantaron la canción "La gallina papanata" varias veces aumentando el número de huevos mencionados. Luego colocaron fichas físicas en una canasta para representar los huevos. Finalmente usaron la caja pitagórica en la computadora para ordenar fichas digitales según su número. Si bien los estudiantes se entus
El documento describe conceptos básicos de ingeniería económica como tasas de interés, flujos de efectivo y valor del dinero a través del tiempo. Explica que la ingeniería económica estudia los aspectos económicos de los proyectos y proporciona herramientas para la toma de decisiones. También define interés simple e interés compuesto y diferentes tipos de flujos de efectivo como ordinarios, no ordinarios y anualidades.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de ingeniería económica como tasas de interés, flujos de efectivo, valor del dinero a través del tiempo e interés simple y compuesto. Explica que la ingeniería económica estudia los aspectos económicos de proyectos y alternativas de inversión para evaluar sus costos y beneficios. También define conceptos clave como tasa de interés, tasa de rendimiento, flujos de efectivo ordinarios y no ordinarios, e introduce los conceptos de valor presente, valor futuro y equivalencia.
K Srinivasa Rao is a human resources professional with over 17 years of experience in HR. He is seeking a challenging position in a reputed organization where he can effectively implement best HR practices and contribute to the organization's success. He has extensive experience in HR processes, recruitment, performance management, training, and statutory compliance. He is proficient in SAP HR and holds an MBA in HR from Andhra University.
El documento describe una investigación sobre la influencia del curriculum nulo en el rendimiento académico de matemáticas de estudiantes en segundo medio en liceos críticos de Chile. Los objetivos son determinar los niveles de dominio disciplinar, planificación y evaluación de los profesores, y establecer los resultados de aprendizaje de los estudiantes y sus disposiciones de aprendizaje. Se utilizan tests, observaciones y cuestionarios para medir la presencia de curriculum nulo y su relación con el rendimiento estudiantil. Los resultados mue
BizWare Int'l is a software business solutions provider founded in 2006 that provides solutions in Egypt, the Middle East, and worldwide. It offers business analytics, decision support systems, budget and planning solutions, and text mining solutions for Arabic. Some of its clients include Ibn Sina Pharma, AstraZeneca Egypt, Misr Insurance, and Hero MEA. BizWare Int'l has locations in Cairo, Egypt, Ajman, UAE, and Toronto, Canada.
Este documento presenta breves resúmenes sobre la historia del desarrollo del dibujo técnico a través de importantes figuras desde la antigüedad hasta el siglo XIX. Entre ellos se encuentran el Papiro de Ahmes, Tales de Mileto, Pitágoras, Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Gaspard Monge y Jean-Victor Poncelet.
1) Hipatia fue una matemática y filósofa griega que enseñó en Alejandría en el siglo V d.C.
2) Fue alumna de su padre Teón, quien la educó en matemáticas, astronomía y filosofía.
3) Hipatia escribió comentarios sobre obras de Diofanto y Apolonio que aportaron nuevas soluciones y problemas a conceptos algebraicos y geométricos.
El documento presenta una introducción a la geometría, explicando que surgió de la necesidad humana de medir la tierra y resolver problemas prácticos. Luego describe que los egipcios fueron los primeros en usarla de forma práctica para medir terrenos, y que los griegos le dieron un enfoque más científico con demostraciones. Finalmente, destaca a Euclides, quien en el siglo III a.C. escribió los Elementos, considerada la obra fundacional de la geometría.
Este documento presenta breves biografías de importantes matemáticos griegos como Tales de Mileto, Pitágoras, Euclides, Arquímedes, Apolonio y Zenón. Destaca sus contribuciones al desarrollo del pensamiento científico y filosófico a través de descubrimientos en geometría, astronomía, mecánica y otras áreas.
El documento proporciona información sobre varios matemáticos eminentes a través de la historia, incluyendo a Carl Friedrich Gauss, Arquímedes, Tales de Mileto, Euclides, Pitágoras y Isaac Newton. Resume sus principales contribuciones científicas y descubrimientos en campos como la teoría de números, geometría, óptica, mecánica celeste y más.
Un trabajo realizado sobre personajes importantes en la historia de las matemáticas, Autores: Santiago Fernandez, Pedro Miguel G. Urbaneja, Raúl Ibañez, Vicente Meavilla, F. J. Peralta, Antonio Pérez, Adela Salvador, Enrique Morente( dibujos) y Gerardo Basabe( dibujos)
Este documento resume la historia de los descubrimientos científicos desde los filósofos jónicos hasta Herón de Alejandría. Explica cómo ideas como el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos quedaron olvidadas por siglos. También describe brevemente a Herón de Alejandría, un científico e inventor del siglo I d.C. del que se conocen sus inventos pero poco de su vida.
Tales de Mileto fue un filósofo, matemático y astrónomo griego del siglo VI a.C. que es considerado el primer filósofo de la historia. Introdujo el uso de la razón y la ciencia para explicar los fenómenos naturales en lugar de la mitología. Realizó importantes contribuciones en geometría, matemáticas y astronomía. Murió mientras observaba unos juegos olímpicos en Éfeso.
Este documento resume la vida y contribuciones de varios filósofos presocráticos griegos importantes como Tales de Mileto, Pitágoras, Parménides y Demócrito. Resalta que Tales fue el primer matemático de la historia y realizó mediciones importantes, mientras que Pitágoras enunció su famoso teorema y fundó una escuela. Luego, Parménides introdujo la lógica y la dialéctica y propuso que el ser es uno e inmutable. Finalmente, Demócrito desarrolló la teoría ató
Este documento presenta resúmenes breves de varios filósofos importantes a través de la historia, incluyendo Demócrito, Aristóteles, Adam Smith, Heraclito, San Agustín, Nicolás Copérnico, Galileo Galilei, Sócrates, Anaximandro y René Descartes. Cada filósofo es descrito con uno o dos párrafos sobre sus ideas principales y contribuciones a la filosofía.
El documento resume la herencia cultural de la antigua Grecia y Roma. Los griegos desarrollaron la filosofía, la ciencia y las artes. Los filósofos más importantes fueron Sócrates, Platón y Aristóteles. Los griegos también hicieron avances en geografía, astronomía y medicina. Los romanos desarrollaron el derecho. El teatro fue una gran creación literaria de la época con tragedias y comedias. Los griegos también realizaron avances tecnológicos como la ballesta, la grúa y
El documento describe la filosofía griega presocrática. Explica que abarca desde Tales de Mileto en el siglo VII a.C. hasta antes de Sócrates en el siglo IV a.C. Los filósofos presocráticos intentaron explicar el mundo usando la naturaleza, la mitología y las ciencias. Sus contribuciones sentaron las bases para la ciencia moderna a pesar de que otros pueblos alcanzaron civilizaciones avanzadas antes.
La ciudad de Alejandría se convirtió en un importante centro de ciencia y conocimiento durante la antigüedad después de su fundación por Alejandro Magno. La Biblioteca de Alejandría albergaba una gran colección de manuscritos y fue el hogar de importantes matemáticos como Euclides, Arquímedes y Herón de Alejandría, quienes hicieron contribuciones fundamentales a campos como la geometría y el cálculo. Sin embargo, el declive de la ciencia en Alejandría ocurrió con la llegada del
La pequeña bibliografía presenta breves biografías de importantes matemáticos como Pitágoras, Tales de Mileto, Euclides, Arquímedes, Eratóstenes, Hipatia, Tartaglia, Fibonacci y René Descartes, destacando sus principales contribuciones a las matemáticas y algunos detalles sobre sus vidas.
La pintura La Escuela de Atenas de Rafael representa a los filósofos, científicos y matemáticos más importantes de la antigüedad clásica reunidos en un templo. Entre los personajes se encuentran Platón, Aristóteles, Sócrates, Euclides y Pitágoras. La obra fue realizada por Rafael entre 1509 y 1512 como parte de su encargo para decorar el Palacio Apostólico Vaticano.
La pintura La Escuela de Atenas de Rafael representa a los filósofos, científicos y matemáticos más importantes de la antigüedad clásica reunidos en un templo. Entre los personajes se encuentran Platón, Aristóteles, Sócrates, Euclides y Pitágoras. La obra se encuentra en el Palacio del Vaticano y es considerada una de las pinturas más famosas del Renacimiento.
Este documento presenta biografías y resúmenes de las ideas filosóficas de varios filósofos griegos de la escuela de Mileto como Anaximandro, Tales de Mileto, Anaxímenes, Pitágoras, y Heráclito. Anaximandro fue discípulo de Tales y sucedió a este como director de la escuela de Mileto. Propuso que el principio básico del universo era el ápeiron, una sustancia indefinida e ilimitada. Tales propuso que el principio básico era el agua. Anaxímen
Este documento presenta biografías y resúmenes de las ideas filosóficas de varios filósofos griegos de la escuela de Mileto como Anaximandro, Tales de Mileto y Anaxímenes. Explica que estos primeros filósofos griegos rechazaron las explicaciones mitológicas y propusieron principios materiales como el agua, aire e indefinido para explicar el origen y la naturaleza. También presenta breves biografías de Pitágoras, Heráclito y otros que continuaron desarrollando estas ideas sobre
Tales de Mileto fue el primer filósofo de la historia según Aristóteles. Consideraba que el agua era el principio fundamental de la naturaleza y que podía explicar el origen, constitución y transformaciones del universo. Estudió temas como la geometría, astronomía y matemáticas y tuvo influencia en filósofos posteriores como Pitágoras y los primeros presocráticos.
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El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. Instituto Profesores Artigas.<br />2010<br />1863090476885Arquímedes<br />“El genio de Siracusa”<br /> Cecilia Figueroa<br />Filosofía<br />2º Año<br />Historia de la Ciencia<br />Para comenzar mi trabajo considero pertinente responder la siguiente pregunta:<br /> ¿Porqué estudiar a Arquímedes? <br />En lo personal, debo admitir que me fue una gran influencia leer, hace algún tiempo, a Leibniz, donde encontré la siguiente expresión:<br />“Quien comprenda a Arquímedes y<br />Apolonio admirará menos los logros<br />de hombres posteriores .”<br />Ante tal expresión no pude evitar recordarla y dada la oportunidad, intentar comprenderla. Hoy tengo la oportunidad de comenzar en esta actividad de investigación, y recolección de información, que sin duda no daré por acabada luego se esta actividad, sino que me será ésta de punto de partida para continuar luego a lo largo del tiempo. <br />291465-913130<br />Fue así entonces, que habiendo leído tal expresión y habiendo escuchado frecuentemente su nombre en discusiones filosófico-científicas (o epistemológicas) me vi impulsada por ello a conocer más de este científico.<br />Sin duda considero importante siempre que se tratará una figura de tal importancia, remitirnos a su momento histórico, a su biografía, no como simple anecdotario (que también lo es) sino como fuente insoslayable de ciertos aspectos que debemos tener en cuenta para la comprensión completa del sujeto y su pensamiento.<br />¿Quién fue Arquímedes (ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ)?<br />Arquímedes nació hacia el año 287 a.C. en la ciudad Estado de Siracusa, en la isla de Sicilia, de tradición y costumbres Griegas.<br />“El genio de Siracusa” es el nombre que muchos hasta hoy en día le otorgan. Aunque también Plutarco lo denominó “El de inteligencia sobrehumana”.<br />Fue hijo de un Astrónomo, y se sabe que estudió luego en Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y fue allí donde entró en contacto con Eratóstenes siendo discípulo de destacados sabios de la época como Conón de Samos (280-220 a.C.) astrónomo de la corte de Ptolomeo III, Eratóstenes de Cirene<br />(276-194 a.C.) director de la Biblioteca de Alejandría y Euclides de Alejandría (365-300 a.C.) entre otros.<br />Luego de un tiempo volvió a su patria, Siracusa, dedicándose<br />al estudio y resolución de múltiples problemas adquiriendo una gran fama. Escribió numerosas obras sobre geometría, mecánica e hidrostática, que han sido reconocidas como tratados de gran interés por numerosos científicos a lo largo de la historia.<br />Arquímedes murió durante el asalto a la ciudad de Siracusa por las tropas romanas de Marcelo durante la Segunda Guerra Púnica. Aunque no se conoce exactamente cómo murió, se cuenta que estando absorto en la resolución de un problema de geometría, un soldado irrumpió en el estudio de Arquímedes asesinándolo, pues el sabio se resistió<br />a abandonar la resolución del problema matemático en el que estaba inmerso, llegando a recriminarlo por haber Desordenado sus esquemas y dibujos. <br /> Sobre todo nos llegan anécdotas de su vida y comportamiento así como información de su desarrollo como científico.<br />Sus obras principales fueron: <br />Sobre la cuadratura de la parábola, Sobre la esfera y el cilindro, Sobre espirales<br />Sobre los conoides y esferoides, Sobre la medida del círculo, Sobre el equilibrio de los planos, Sobre el método de los teoremas mecánicos (El método), Sobre los, cuerpos flotantes, Sobre la cuadratura de la parábola, El Arenario<br />Dentro de las anécdotas más conocidas podemos citar las siguientes;<br />Isaac Asimov dice en su texto “Momentos estelares de la ciencia”:<br /> “Cabría decir que hubo una vez un hombre que luchó contra todo un ejército. Los historiadores antiguos nos dicen que el hombre era un anciano, pues pasaba va de los setenta. El ejército era el de la potencia más fuerte del mundo: la mismísima Roma.<br />Lo cierto es que el anciano, griego por más señas, combatió durante casi tres años contra el ejército romano... y a punto estuvo de vencer: era Arquímedes de Siracusa, el científico más grande del mundo antiguo.<br />El ejército romano conocía de sobra la reputación de Arquímedes, y éste no defraudó las previsiones. Cuenta la leyenda que, habiendo montado espejos curvos en las murallas de Siracusa (una ciudad griega en Sicilia): hizo presa el fuego en las naves romanas queda asediaban. No era brujería: era Arquímedes”.<br />Dice también que “Arquímedes era diferente de los científicos y matemáticos griegos que le habían precedido, sin que por eso les neguemos a éstos un ápice de su grandeza. Arquímedes les ganaba a todos ellos en imaginación”.<br />Luego de leer esta cita me vi en la obligación de preguntarme ¿Cómo estaba la ciencia en Grecia en ese momento? ¿Qué tal estaban las matemáticas?<br />No es fácil marcar un punto de comienzo exacto en la matemática griega, sabemos que se considera a Tales de Mileto como el primer científico, recordemos que contribuyó en la astronomía así como también en la matemática, para ser más exactos, se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico. Algunos de esos teoremas fueron: Todo círculo se bisecta por su diámetro, también que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los de otro triángulo, ambos triángulos son congruentes. Además que los ángulos opuestos por el vértice que forman <br />al cortarse dos rectas son iguales y sin olvidar que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.<br />Otro personaje insoslayable que no debemos olvidar en este pequeño “viaje” por la ciencia griega es Pitágoras, nacido en la isla de Samos, le da el impulso definitivo a las matemáticas con la creación de su gran escuela en Crotona a orillas del mar al sur de Italia. <br />A ellos se les atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre otros, la demostración del teorema de Pitágoras (que es normalmente el más conocido por todos), o el descubrimiento de los irracionales, el cual fue uno de los acontecimientos más profundos en la historia de las matemáticas.<br />Además, los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas matemáticas: la<br />Aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. <br />Los pitagóricos sostenían que todas las razones que rigen el mundo debían ser razones de números enteros o fraccionarios, para los pitagóricos “todo es número”; estos puntos de vista fueron combatidos por otra escuela griega importante: la escuela Elea; su crítica tomó la forma en los trabajos de Parménides(tengamos en cuenta que es el primer filosofo que procede con total rigor racional, convencido de que únicamente con el pensamiento, y no con los sentidos, puede alcanzarse la verdad y de que todo lo que se aparte de aquél no pude ser sino error; sólo lo racionalmente pensado quot;
esquot;
, y a la inversa, lo que es responde rigurosamente al pensamiento)y las célebres paradojas de Zenón (se caracteriza por haber elaborado numerosos argumentos -aporías o paradojas- contra la pluralidad y el movimiento, en consonancia con la defensa de las teorías eleáticas de la unidad e inmovilidad del ser, de los que conservamos algunos, basados en la reducción al absurdo; se parte de las tesis que se quiere criticar y se conduce la argumentación a una, o una serie de contradicciones que ponen de manifiesto, en consecuencia, la invalidez de las tesis).<br />Podemos ahora continuar, con un pensador muy importante, que es de la primera escuela de Alejandría, estamos hablando de Euclides (300 a.C) cuya obra más importante se titula “Los elementos” cuyo contenido fue trascendental en el desarrollo de la geometría. El método euclidiano comprende, en un primer lugar, una teoría general fundada sobre axiomas. Euclides llamó a sus axiomas postulados.quot;
Los Elementosquot;
consta de trece libros sobre geometría y aritmética. Los seis primeros libros tratan de geometría plana. Del VII al IX sobre teoría de números, el X sobre segmentos irracionales, y los tres últimos libros hablan de geometría espacial.<br />Es en esta momento en el cual aparecen en la matemática griega tres problemas fundamentales que serán de interés para los científicos, por un lado la cuadratura del círculo, por otro la trisección del ángulo y finalmente la duplicación del cubo, pero lo difícil es que se pretendían resolver con el sólo uso de regla y compás.<br />Ahora sí, finalmente, entran en escena Apolonio y Arquímedes.<br />Apolonio fue conocido como quot;
el gran geómetraquot;
tuvo gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, introduciendo términos como parábola, elipse e hipérbola.<br />Nació alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Antalia, Turquía) y murió alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, Egipto.<br />Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas.<br />Según Francisco Javier Tapia Moreno “Apolonio representa la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia”.<br />En cuanto a las circunstancias de la composición de la obra de Apolonio están explicadas por él mismo en su primer libro. Apolonio sabía mucho más de lo que hasta entonces se conocía y de un modo mucho mejor organizado. Por ello se decide a publicarlo. Él mismo, en este prólogo al libro primero, explica el contenido de la obra bien claramente. Los cuatro primeros libros constituyen una introducción elemental. Debían constituir materia probablemente ya sabida, pero no organizada como la propone Apolonio. A partir del libro V se exponen los hallazgos más importantes del mismo Apolonio. Su índice se puede proponer más o menos así: <br />I. Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas. <br />II. Diámetros, ejes y asíntotas. <br />III. Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos. <br />IV. Número de puntos de intersección de cónicas. <br />V. Segmentos de máxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evoluta, centro de curvatura. <br />VI. Igualdad y semejanza de las secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono. <br />VII. Relaciones métricas sobre diámetros. <br />VIII. Se desconoce (hasta ahora).<br />Sin duda que su influencia fue insoslayable, y a medida que sus obras se fueron traduciendo lograron grandes impactos en la matemática mundial. <br />Después de un largo período de progresos son escasos, surge otro fructífero periodo debido a la Segunda Escuela de Alejandría (100-300 d.C.) en la que destacan: Nicóman, Ptolomeo (con su célebre sistema del mundo), Diofanto (a menudo conocido como el 'padre del álgebra', es mejor conocido por su Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los números.) y Pappus (con su obra quot;
Colecciónquot;
).<br />Pero vallamos ahora a nuestro autor; Arquímedes (287 a.C).<br />Es interesante ver que en Alejandría le habían enseñado que el científico está por encima de los asuntos prácticos y de los problemas cotidianos; pero eran precisamente esos problemas los que le fascinaban a Arquímedes, los que no podía apartar de su mente. Avergonzado de esta afición, se negó a llevar un registro de sus artilugios mecánicos; pero siguió construyéndolos y a ellos se debe hoy día su fama.<br />Uno de sus primero inventos relevantes fue “el tornillo de Arquímedes”. La cóclea (del latín cochlĕa [caracol], y este del griego κοχλίας) más conocida como tornillo de Arquímedes es una máquina simple utilizada sobre todo para elevar agua. <br />La máquina está constituida por un cilindro con una hélice en su interior dispuesto el conjunto oblicuamente de forma que la parte inferior esté sumergida en el depósito del que se quiere elevar el agua. Girando el tornillo en el sentido descendente de la hélice (en el que se enrosca) arrastra una cierta cantidad de agua que es vertida en el depósito elevado. El mismo efecto se logra si se arrolla un tubo flexible a un cilindro. <br />Desde su invención hasta ahora se ha utilizado para el bombeado de fluidos. También es llamado Tornillo Sin fin por su circuito en infinito.<br />Por otra parte, tenemos su interés por la palanca a pesar de que probablemente la palanca fue descubierta y utilizada por el hombre desde los tiempos más remotos. Debemos a Arquímedes de Siracusa (S. III a.C.) el primer estudio riguroso de esta máquina. A él se la atribuye la frase: <br /> “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”<br />Esta frase la dijo en alusión a que cualquier objeto de cualquier peso puede moverse con la palanca adecuada. El principio de funcionamiento de la palanca utiliza la acción y reacción de fuerzas para maximizar la fuerza aplicada sobre un objeto, utilizando para ello un punto de apoyo y una barra rígida situada sobre el punto de apoyo y bajo el objeto a mover.<br />En física, la fórmula de la palanca es: P x dp = R x dr Siendo P la potencia o fuerza que ejercemos y R la resistencia o fuerza que transmitimos o vencemos, dp y dr son las distancias que hay del punto de apoyo a P y R. <br />Por otro lado un tema de mucho interés para nuestro filósofo fue la esfera y el cilindro. Consta de dos libros en los que Arquímedes determina las áreas y volúmenes de esferas y cuerpos relacionados con ellas.<br />Advertía por ejemplo que la superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su círculo máximo.<br />La demostración vuelve a ser una doble reducción al absurdo, suponiendo primero que la<br />superficie de la esfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos a una contradicción. La técnica empleada es el método de exhaución; es decir, inscribiendo y circunscribiendo cuerpos geométricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies había demostrado previamente), y aproximándose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Quedó establecido por lo tanto que S=4pr2.<br />Siendo además que dada una esfera cualquiera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al círculo máximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera. La demostración la hace basándose en los volúmenes del cono y del cilindro que había hallado previamente. Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera y su altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendo un corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la sección correspondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y a la esfera.<br />Afirma además que entre todas las líneas que tienen los mismos extremos, la recta es la más corta. Otro axioma se refiere a las longitudes de las curvas como el segundo axioma, que dice: de dos líneas planas convexas que unen dos puntos situados en el mismo lado de la recta que los une, y donde una de las cuales envuelve a otra, la envolvente es la de mayor longitud.<br />Principio de Arquímedes <br />Hierón II de Sicilia prometido a los dioses una corona de oro, cuando ganó el poder en Siracusa. Hizo para su fabricación y se pesa el oro. El proveedor envió en su momento una corona con el peso correcto. Sin embargo, algunos de los acusados y le dijo que un poco de oro que había sido tomado de la corona, y que un peso igual de plata se ha añadido en su lugar. El rey sabía cuánto oro fue considerado como orfebre recibido, y la corona pesaba la misma cantidad, pero el rey se encontraba todavía en duda. Una oportunidad para conocer la verdad fueron a fundir la corona, pero el rey Herón no quería estropear la hermosa obra. La corona se suponía que era de oro puro. Por último llamado Hierón de Arquímedes y le pidió que investigara. Mientras estaba pensando en esto, ocurrió a Arquímedes se dio un baño. Cuando entró en la bañera, se dio cuenta de que cuanto más su cuerpo fue arrojado al agua, más el agua fluía sobre el borde de la tina. Esto le dio la idea de la solución. Llenos de alegría, corrió a casa gritando desnudo quot;
Eureka! ¡Eureka! quot;
(quot;
He descubierto, he descubierto! quot;
). Lo que encontró fue en realidad el concepto de densidad. Se produce dos trozos del mismo peso que la corona, una de oro y una de plata. Luego llenó un recipiente hasta el borde con agua y se coloca en el nudo de plata. El agua que se agotó, tuvo un volumen igual de plata. Cuando se mide el agua que fluía de la embarcación, y ha llegado hasta el volumen de plata. Hizo lo mismo con una pepita de oro igualmente pesada. La pequeña cantidad de agua que se agotó cuando el oro estaba, de por supuesto, era como mucho menos como el volumen de oro era menos de la plata, porque el oro es más pesado que la plata. Ahora era el mismo con la corona. Cuando la corona estaba en el agua, corrió hacia fuera más agua que el oro del mismo peso, pero menos agua que la plata del mismo peso. De esta forma descubrió parte de la plata en oro. Arquímedes había sido de hecho el peso relativo específico de oro, plata y una mezcla de las dos mediante la comparación de las cantidades relativas de agua, que fluía sobre cuando un bulto del mismo peso de cada metal se sumerge en agua. La parte científica de su descubrimiento se describe en el trabajo, si las células flotantes. Es el primer ejemplo conocido de la aplicación científica de lo que hoy llamaríamos quot;
densidadquot;
, aunque, por supuesto, mucho antes de que Arquímedes sabía muy bien que algunos temas eran relativamente más pesada que otros. <br />Posteriormente, desarrolló este y descubrió que el cuerpo también se volvió más fácil en el agua, entonces llevaba el agua a una parte de su peso corporal. Dijo entonces que el agua lleva el mismo peso que el peso del agua desplazada. Este principio se explica cómo, cuando grandes barcos pesados pueden flotar. Básicamente podemos decir que si esa parte del barco por debajo de la superficie tiene una densidad menor que el agua lo hace el barco flota. Lo mismo sucede con los globos, el globo tiene una densidad total menor que el aire, por lo que levantarla. <br />También dedico su ingenio y tiempo a su interés por los espirales. En lo que a esto respecta nuestro autor expresó;<br /> “Imagínese una línea que gira con velocidad angular constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral”.<br />Y con sus experimentos concluyó; <br />“El área limitada por la primera vuelta de la espiral y el área inicial es igual a un tercio del primer círculo”<br />quot;
El área barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el área de la primera vueltaquot;
.<br />quot;
El área barrida en la segunda revolución está en razón 7/12 con el círculo cuyo radio es la 11 posición final del radio vectorquot;
<br />En lo que respecta al círculo también obtuvo sus logros. Y estas se resumen en tres proposiciones que se consideran fundamentales.<br />Primera: El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.<br />Segunda: El área del círculo es al cuadrado de su diámetro 11 a 14 (el círculo es los 11/14 del cuadrado circunscrito si la longitud de la circunferencia es 3+ 1/7 veces el valor del diámetro).<br />Tercera: El perímetro de todo círculo es igual al triple del diámetro aumentando en un segmento comprendido entre 10/71 y 1/7 de dicho diámetro (lo que equivale a decir que el perímetro del círculo es menor que los 3 + 1/7 del diámetro puesto que es superior a los 3 + 10/71 de este diámetro).<br />Una de las obras de nuestro autor que más me sorprendió fue la que comúnmente podemos llamar “El arenario” aquí vemos que nuestro autor va más allá de nuestra imaginación e intenta contar los granos de arena.<br />Arquímedes se expresará sobre esto de la siguiente manera;<br />“Hay algunos que creen que el número de granos de arena es infinito en cantidad y por arena entiendo no sólo la que existen en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se encuentra en cualquier región habitada o sin habitar. Hay también algunos que, sin considerarlo infinito, creen que no existe una cifra lo bastante grande para exceder a su magnitud. Y está claro que quieren mantienen esta<br />opinión, si imaginasen una masa hecha de arena en otros aspectos tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y las cavidades de la Tierra llenadas hasta una altura igual a la de las montañas más altas estarían muchas veces lejos de reconocer que se pueda expresar ningún número para exceda a la magnitud de la arena así conseguida. Pero intentaré demostraros por medio de puntos geométricos que seréis capaces de seguir, que los números nombrados por mi… algunos exceden no sólo al número de la masa de arena igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma descrita, sino al de la masa igual en magnitud al Universo”<br />El “contador de arena” (o arenario) era un sistema numérico que permitiría contar los granos de arena que harían falta para llenar el Universo. Después de demostrar que en el interior de una semilla de amapola podían caber 10.000 granos de arena, se propuso determinar el orden de magnitud de los granos que llenarían el Universo que, tal y como se concebía entonces, consistía en una esfera con origen en el centro de la Tierra y cuyo radio debía ser la distancia de la Tierra al Sol. Los sistemas de numeración de la época no le permitían utilizar números más grandes que la miríada (diez mil), por lo que introdujo la miríada de miríadas. Progresivamente fue introduciendo órdenes de magnitud cada vez mayores, hasta que se dio cuenta de que era posible continuar indefinidamente la serie de números, lo que constituyó uno de los descubrimientos más trascendentales de su época.<br />Otro de sus grandes descubrimientos es el número “pi”.<br />El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Se puede calcular una aproximación de forma experimental. Los objetos redondos (ruedas, recipientes,...) han sido utilizados por el hombre desde hace miles de años. En algún momento debieron darse cuenta de que ese 3'14... que aparece siempre que manejamos circunferencias, círculos y esferas es un número que podemos utilizar para calcular longitudes, áreas y volúmenes. <br />Los geómetras de la Grecia clásica conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera al cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de quot;
Los Elementosquot;
). Fue Arquímedes (siglo III a. de C.) quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con . Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación (si tenemos en cuenta los medios con los que contaba), 3+10/71 < < 3+1/7; es decir, el número buscado está entre 3'1407 y 3'1428 (se puede ver en su obra quot;
Sobre la medida del circuloquot;
).<br />Por otra parte también presentó lo que podemos llamar; Teorema de la cuerda doblada.<br />Imaginemos una línea quebrada ABC (segmento AC doblado en un punto B). Su punto medio, M, puede hallarse por el siguiente procedimiento:<br />Se traza el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A, B y C. <br />Se halla el punto medio, M', del arco de circunferencia AC. <br />Entonces, la perpendicular a BC trazada por M' da sobre BC el punto medio, M, de la cuerda doblada ABC. <br /> <br />Pero nuestro gran inventor realizó además numerosos descubrimientos de tipo práctico ya sea para ser utilizados en las guerras o en la vida cotidiana.<br />Se deben a él la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas y de una serie de dispositivos mecánicos y ópticos con los que logró defender durante tres años la ciudad de Siracusa, sitiada por los romanos.<br />Se destaca también la garra de Arquímedes que es un arma que fue diseñada para defender la ciudad de Siracusa del asedio al que la habían sometido los romanos. También conocida como quot;
el agitador de barcosquot;
, la garra consistía en un brazo semejante a una grúa de donde estaba suspendido un enorme gancho de metal. Cuando se dejaba caer la garra sobre un barco enemigo el brazo se balancearía en sentido ascendente, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo. Ha habido experimentos modernos con la finalidad de probar la viabilidad de la garra, se construyo una versión real del arma y se concluyó que era un dispositivo tan factible como cualquier otro actual. (ver la siguiente imagen)<br /> <br />Arquímedes construyó también el que probablemente fue el primer Planetario de la historia. Consistía en una gran esfera celesta movida mediante un sistema hidráulico que representaba el movimiento de las estrella fijas y los planetas alrededor de la Tierra. Este gran globo fue el único trofeo que el general Marcelo pudo llevarse a Roma tras la conquista de Siracusa. <br />Para finalizar expondremos “El método”; que es la obra más estudiada de Arquímedes puesto que nos a llegado con mayor exactitud. El texto fue descubierto en 1906 por Heiberg. Tuvo noticias del hallazgo en el convento del Santo Sepulcro de Constantinopla de un palimpsesto de contenido matemático. Un palimpsesto es un pergamino en el que el primer texto escrito fue lavado para poder volver a escribir una nueva obra, en este caso un libro de oraciones de la iglesia ortodoxa.<br />La particularidad de este libro radica en el uso de la experimentación previa a la hora de resolver los problemas. Arquímedes en una carta a Eratóstenes lo expresa de la siguiente manera:<br />“Será posible captar ciertas cuestiones matemáticas por medios mecánicos, lo cual, estoy convencido, será útil para demostrar los mismos teoremas. Yo mismo, algunas de las cosas que descubrí por vía mecánica, las demostré luego geométricamente, ya que la investigación hecha por este método no implica verdadera demostración. Pero es más fácil, una vez adquirido por este método, un cierto conocimiento de los problemas, dar luego la demostración, que buscarla sin ningún conocimiento previo”<br />Las características de este método exhaustivo son esencialmente:<br />Llamemos X a una figura o sólido plano cuyo volumen o área se desconozcan. El método consiste en pesar elementos infinitesimales de X comparándolo con los de una figura Y de la que se conoce su área, volumen y su centro de gravedad. Para conseguir un equilibrio se dispone de un eje de tal manera que las figuras se encuentren en la misma recta, entonces los centros de gravedad de estas figuras infinitesimales están en algún punto del eje. El eje se convierte en el brazo de una balanza.<br />El propósito de Arquímedes consiste en balancear los elementos de X, aplicándolos todos en un único punto de la palanca, mientras los de Y permanecen en su sitio. Como el centro de gravedad, el volumen y su área son conocidos, se imagina Y como una masa que actúa sobre su centro de gravedad. Si X e Y están situados en sus puntos respectivos, conocemos las distancias de los centros de gravedad al punto de aplicación de la palanca. Así, se calcula el área o volumen de X. Proposición 1:Sea ABG el segmento de una parábola limitado por la recta AG y la parábola ABG, y sea D el punto medio de AG.<br />Trazar la recta DBE paralela al eje de la parábola y unir A con B y B con G. Entonces el segmento ABGes 4/3 del triángulo ABG.<br />Demostración:<br />Desde A, trazar AKZ paralela a DBE; los puntos E y Z los encuentra en la intersección de la tangente a la parábola en G y las perpendiculares desde A y D. Trazar GB y prolongar hasta K (en la recta AZ) y prolongar hasta Q de tal manera que QK = GK. QG será el brazo de la palanca y K su punto medio. Sea MX una recta paralela a ED que corta en M, O, X a la tangente, la parábola y la base respectivamente. EB = DB y AK = KZ (por ser la tangente y la semiordenada, esto se demuestra según Arquímedes en los elementos de las cónicas de Aristeo y Euclides).<br />Ahora por la propiedad de la parábola probada en su libro cuadratura de la parábola MX/XO = GA/XA<br />Medir TH igual a XO y colocarla en su centro de gravedad en H, de manera que TQ = QH, entonces puesto que N es el centro de gravedad de MX, se tiene MX/TH = QK/KN. Según el libro de los equilibrios, se desprende que TH en Q y MX en N están en equilibrio alrededor de K. Además K es el centro de gravedad de todo el sistema.<br />Puesto que el triángulo GZA está constituido por todas las paralelas como MX, y el segmento GBA está constituido por todas las paralelas como OX bajo la curva limitada por AG, se desprende que el triángulo ABG(= <ABG>) está en equilibrio alrededor de K con el segmento GBA situado con su centro de gravedad en H.<br />Dividir KG de manera que GK = 3KX, entonces X es el centro de gravedad del triángulo AGZ.<br />Además:<br /><AGZ>/ABC = HK/KX = 3<br />De donde<br />ABC = 1/3<AGZ><br />Pero<br />AGZ = 4 <ABG><br />Luego<br />ABC = 4/3 <ABC>.<br />Pero está demostración no corresponde a Arquímedes Reviel Netz, un estudioso de Arquímedes, nos cuenta en su artículo “The origins of mathematical physics: new light on an old question” que el dibujo encontrado en el palimpsesto de Arquímedes es este otro<br />En la primera figura todo es técnicamente correcto, pero en la segunda no es del todo correcto.<br />Por ejemplo las relaciones de tamaño no se cumplen KB = ½ QK no se puede considerar cierto en la segunda figura, y además la primera figura tiene un segmento parabólico y la segunda tiene un segmento de un círculo.<br />Netz continua explicando que esta sería probablemente la razón por la que Heiberg eligió no hacer caso a los diagramas del manuscrito y en lugar de los auténticos, produjo los suyos corrigiendo figuras. Al hacer esto, quizás, haya suprimido una importante caracterización sobre Arquímedes ya que:<br />-los diagramas del palimpsesto provienen de la antigüedad, probablemente de<br />Arquímedes mismo.<br />-los diagramas exhiben una lógica visual constante. Mientras Heiberg representa figuras y cocientes, Arquímedes producía figuras esquemáticas . Sus diagramas demuestran relaciones de configuración e identidad, que objetos participan, como son sus relaciones Hay poca tentativa de demostrar la forma verdadera.<br />Si estas conjeturas de Netz son ciertas no habría que pensar que la figura estuviese mal. Es más el palimpsesto nos daría una forma de entender la capacidad de Arquímedes y como visualizabael los problemas.<br />¿Qué ocurre en la matemática griega luego de Arquímedes?<br />Tras la época de Arquímedes, las matemáticas sufrieron unas transformaciones radicales (no muy positivas a la vista de muchos).<br />Debidos a los cambios de la sociedad, políticos, culturales y sin duda los económicos de la época. El declive de la sociedad griega viene acompañado del asentamiento de la civilización romana (con su practicidad), los romanos se preocuparon sólo por las matemáticas que precisaban para hacer frente a los problemas de la vida cotidiana, de hecho su aportación en matemáticas es prácticamente nula. No daban importancia a la teorización o investigación de la matemática pos si misma sino en tanto ésta fuese necesaria para la praxis.<br />Una de sus aportaciones, su sistema numérico, de funcionamiento decimal y símbolos literales, restaba agilidad a los cálculos.<br />Los romanos eran un pueblo puramente práctico, poco dado a las innovaciones científicas. La mayor utilidad que sacaron a las matemáticas fue la agrimensura que utilizaba el álgebra y la geometría para medir terrenos, aplicar fronteras a las ciudades. Los agrimensores utilizaban procedimientos ya conocidos antes como el uso de triángulos congruentes y otro tipo de procedimientos utilizados por los griegos.<br />¿Qué huellas deja Arquímedes en la historia? ¿Qué influencias ejerce?<br />La suma de la contribución de Arquímedes a nuestro conocimiento es enorme. Su carácter, la humanidad, la amplitud de sus intereses y la sencillez de su exposición lo ha colocado en un lugar donde desde el cual ha sido objeto de simpatía universal y respeto.<br />Los descubrimientos de Arquímedes han pasado a formar parte de la herencia de la humanidad. Demostró que era posible aplicar una mente científica a los problemas de la vida cotidiana y que una teoría abstracta de la ciencia pura -el principio que explica la palanca- puede ahorrar esfuerzo a los músculos del hombre. Y también demostró lo contrario: porque arrancando de un problema práctico -el de la posible adulteración del oro- descubrió un principio científico.<br />El esfuerzo e Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propósito respecto a la geometría: esfuerzo que se puede ver en sus dos últimos libros. En los Equilibrios planos argumenta y fundamenta la ley de la palanca, la cual es deducida de un número reducido de postulados y determina además el centro de gravedad de paralelogramos, trapecios, triángulos y un segmento de una parábola. <br />En la obra sobre la esfera y el cilindro utilizó el método denominado exhaustión procedente del cálculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para estableces la relación entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo grabó sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes cuando ésta había sido ya olvidada.<br />La astronomía también decidió honrar a este gran sabio dando nombre a varios accidentes geográficos lunares. El Cráter de Arquímedes tiene un diámetros de aproximadamente 80 Km., siendo el cráter más grande del Mar de las Lluvias o Mare Imbrium.<br />A su vez, como consecuencia del impacto del meteorito que formó el cráter, se produjo la eyección de materiales creándose una formación montañosa que se denominó Montes de Arquímedes o Arquimedianos.<br />Y finalmente, en dirección sur sureste existen varias grietas de gran longitud que se conocen como Rima o Fisura de Arquímedes. De los viajes espaciales que han tenido por destino la Luna sólo dos alunizaron en las proximidades de esta zona. El primero de ellos (14/09/1959) la nave soviética Luna 2 que no llevaba tripulación y el segundo fue un vuelo tripulado de la NASA, el Apolo 15<br />Finalmente, podemos concluir que, sin dudas, la enorme influencia que la obra de Arquímedes ha tenido a lo largo de la Historia de la Ciencia está fuera de discusión. <br />Recordando sus aportaciones podemos pasar por la geometría, también por la aritmética, la mecánica y a la hidrostática.<br />Considero que luego del trabajo realizado, podemos estar más cerca de comprender la frase de Laibniz con la que comenzamos este texto: <br />“Quien comprenda a Arquímedes y<br />Apolonio admirará menos los logros<br />de hombres posteriores .”<br />Compartirla o no dependerá de cada lector, pero sin dudas queda comprendida la importancia insoslayable de nuestro autor…”El genio de Siracusa”.<br />Bibliografía.<br />- Diccionario de Física. 2ª Edición. Labor, S.A. 1967<br /> Diccionario de Filosofía, J. Ferrater Mora (2004), Barcelona, Ed. Ariel.<br />Enciclopedia Universal Espasa Calpe. Grandes Científicos de la Humanidad. Espasa, 1998.<br />El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días (Vol. I).KLINE, M. El Alianza.<br />Historia de la geometría griega. Seminario Orotava. Historia de la ciencia. Actas. Libro on line en http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/pub_actas1.htm<br />-. Los manuscritos griegos de Arquímedes en la Biblioteca del Real Monasterio del Escorial. Durán Guardeño. A Ponencia: Symposium Arquímedes. Fundación Orotava de Historia de la Ciencia. Congreso de la R.S.M.E. (31/12/02) prepint en la web www.mpiwgberlin.mpg.de/Preprints/P239.PDF<br />Mederos Martín, C. Arquímedes y la Geometría Dinámica. Ponencia: Symposium<br /> Arquímedes. Fundación Orotava de Historia de la Ciencia. Congreso de la R.S.M.E.<br /> “Momentos estelares de la ciencia “ - Isaac Asimov Ed. Alianza<br />