bono bon0

1. Cómo Calcular el
Rendimiento de los
Bonos
.
by PERCY EDILBERTO SILVA GARCIA

2. ¿Qué es el Rendimiento de
los Bonos?
El rendimiento de los Bonos es la ganancia o pérdida que un
inversionista obtiene de un bono. Se expresa como un porcentaje y
tiene en cuenta tanto los intereses pagados como el precio del bono
en el mercado secundario.
.

3. Concepto:
Son Instrumentos de renta fija , representados por Certificados
de deuda producen intereses , emitidos normalmente por
medio de series , según el cual el emisor se obliga a efectuar
pagos de intereses periódicos ( por ejemplo cada seis meses );
así como la amortización de capital ,parcial o totalmente a una
fecha determinada.
Los bonos se clasifican normalmente como instrumentos de
largo plazo y pueden realizarse en emisiones nacionales (
Bonos corporativos ) o internacionales ( Eurobonos)

4. Claves para escoger El Bono que mas
convenga
:
Hay muchos aspectos que se deben considerar para tomar la decisión de invertir en Bonos por ejm.
Su maduración , Pago de intereses , calidad del crédito , tasa de interés , precio tasas tributarias y
hasta los impuestos Etc.
La tasa de interés :
La tasa de interés que pagan los Bonos pueden ser Fijos o variables ,
El periodo de tiempo para su pago también es diferente , pueden ser mensuales , Trimestrales,
semestrales o anuales
Es necesario indicar que en la mayoría de países los interese son pagados a su vencimiento o
pagar los intereses a anticipadamente, la diferencia entre una y la otra es que los bonos a intereses
vencidos quiere decir que se le entregara el capital mas los intereses al final y en la modalidad de
interés adelantado o anticipado los intereses son pagados al principio.

5. Datos para el Cálculo del Rendimiento
La maduración de un bono
Se refiere a la fecha en la cual el capital o principal será pagado.
La maduración de los bonos maneja un tiempo entre un día y 30 años
Los rangos son descritos como :
Corto plazo : Maduración hasta los 5 años
Mediano plazo : Maduración entre los 5 años y 12 años
Largo Plazo : Maduración de 12 años a mas
.

6. Calidad del Emisor :
Se refiere al grado de inversión que tengan los bonos
, así como su calificación para la inversión . Estas
calificaciones van desde AAA, ( que es la mas alta )
hasta BBB y así sucesivamente
Precio
El precio que se paga por un bono esta basado en un
conjunto de variables , incluyendo tasas de interés ,
Oferta, y demanda , calidad del crédito , maduración
e impuestos
Los bono recién emitidos por lo general se transan a
un precio muy cerca de su valor facial ( al que salió
al mercado )
Los bonos en el mercado secundario fluctúan
respecto a la tasa de interés ( recordemos que la
tasa y el precio tiene un relación inversa )

7. Fecha de emisión: El día cuando la empresa pública o la privada
emite los títulos, colocándolos en el mercado de valores.
Fecha de redención: Aquella en la que el organismo emisor se
compromete a reembolsar el capital
que le prestaron los inversionistas.
Fecha de compraventa: Es el día cuando los títulos, las
obligaciones o los bonos son transferidos
a un tercero.
En una fecha de cupón, es decir, el día cuando la emisora paga
los intereses, o sea, la fecha de vencimiento de cada uno de los
cupones.
Entre fechas de cupón, o sea cualquier día distinto a las fechas
de cupón.
Fechas

8. El beneficio que obtiene un inversionista al comprar
bonos y obligaciones depende básicamente de
dos tasas:
La tasa de interés nominal o tasa cupón, r, que es
determinada y pagada por el organismo emisor, o
interés del cupón
La tasa de rendimiento (YTM yield to maturity),( i ), para
las ganancias de capital, es decir, las utilidades que logra
el inversionista.
Interes:

9. Valores
Valor nominal o denominación ( M) Es el valor consignado en el documento.
Valor de redención (N) Es el que el organismo emisor devuelve al inversionista o al tenedor
del título en la fecha de redención. Este valor puede ser:
Igual al valor nominal, al de emisión, en cuyo caso el título se redime a la par. (M=N)
Mayor que el valor nominal; en este caso el título se redime sobre la par con prima.
Menor que la denominación, en cuyo caso se dice que el título se redime bajo la par con
descuento.
Cuando se dice que un bono se redime a 105, significa que el valor de redención es un 5%
mayor que el de emisión, es decir, hay un premio o prima del 5% sobre el valor nominal.
En cambio, si un bono o una obligación se redimen a 93, entonces el valor de redención
es igual al 93% del valor de emisión, es decir, hay un 7% de descuento con respecto al valor
nominal.

10. Valoración del Bono
Como se puede observar, el precio del bono depende en gran medida de
la tasa de interés, pudiendo concluir que cualquier variación de esta hará
subir o bajar el precio del instrumento, ya que poseen una relación
inversa (al subir la tasa de interés baja el precio del bono, y al bajar
sube el precio del bono).
:

11. Va = Valor actual o Pb =Precio del Bono N = Valor Redención
R = Renta o valor del cupón M = Valor Nominal del Bono
Pb
M
R
R R R
Plazo Fecha
redención
Fecha
Compra
venta
1
2
3
..n
Precio o valor
de los cupones
R

12. El precio de la obligación del Bono Pb es el valor presente del valor de redención M y se obtiene con la
formula del interés compuesto
Pb = R (
1−
1
(1+𝑖)𝑛
𝑖
)+ M(
1
(1+𝑖)𝑛 ) O Pb = R (
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
)+ M(1 + 𝑖)−𝑛
Pb = M(1 + 𝑖)−𝑛
+ R (
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
)
Pb = R (
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (1+𝑖)𝑛 )+
𝑀
(1+𝑖)𝑛
R=M(r )
Nota: en interés y el tiempo deben estar expresados en la misma unidad de tiempo.
M = Valor Nominal del Bono
r = tasa de interés de la emisión del bono
R = Es el valor de cada cupón
i = es la tasa de rendimiento anual
n = ese el plazo en años , el tiempo que hay entre la fecha de compraventa y la redención
El valor de cada cupón esta dado por R= M(r/p) , donde M= valor nominal del bono, r= tasa de interés anual
determinada por la emisora ( p) periodos (mensual,bimensual, trimestral, cuatrimestral semestral) ,
también M y N son iguales cuando el bono se redime a la par M=N(1 + 𝑖)𝑛
, Pb = M (1 + 𝑖/𝑝)−𝑛𝑝
o C = M
1
(1+𝑖/𝑝)𝑛𝑝

13. Valoración del Bono
Ejemplo:
Valor Nominal
Tasa Cupón
Tiempo
Pago
: $10.000
: 9%
: 6 años
: Anual
0 1 2 3 4 5 6
900 900 900 900 900 900
+
10.000
Pb=?
Supongamos que:
i = 9% =>
i = 12% =>
i = 6% =>
Pb = $10.000
Pb = $8.766,57↓ 12,34%
Pb = $11.475,19 ↑ 14,75%
Pb = R (
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (1+𝑖)𝑛 )+
𝑀
(1+𝑖)𝑛
Pb = R (
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (1+𝑖)𝑛 )+
𝑀
(1+𝑖)𝑛
Pb = R (
(1+0.09)6−1
0.09 (1+0.09)6 )+
1000
(1+0.09)6 = 10000
Pb = R (
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (1+𝑖)𝑛 )+
𝑀
(1+𝑖)𝑛
Pb = R (
(1+0.12)6−1
0.12 (1+0.12)6 )+
1000
(1+12)6 = 8766.57
Pb = R (
(1+0.06)6−1
0.06 (1+0.06)6 )+
10000
(1+0.06)6 = 11475.19
R=M(r ) = 10000*0.09 = 900
12.23% bajo la par
14.75% sobre la par

14. PB
11.475,19
10.000,00
8.766,57
12%
9%
Valoración del Bono
6% Y

15. 6
5
4
3
2
1
Valoración del Bono
Pb= 10.000
i = 9%
Pb= 8.766
i= 12%
Pb= 11.475
i = 6%
10.000

16. Relación precio – rendimiento de un Bono
Relación entre tasa cupón, rendimiento requerido y precio de un
bono
Si : i = r → Pb = M
Si : i < r → Pb > M
Si : i > r → Pb < M
Siendo:
i = Rendimiento requerido
r = Tasa cupón
Pb = Precio del Bono
M = Valor nominal o par

17. Valoración del Bono
Como se pudo comprobar con un bono de valor nominal de $10.000,
si el rendimiento de este bono es del 9% y se mantiene durante toda la
vida del bono, este tiene actualmente un valor de $10.000, es lo que
financieramente se conoce como “a la Par” , ahora bien si la tasa es
del 6%, donde el bono se cotiza a $11.475, a lo que se denomina
“sobre la Par” o con premio , y esta se mantiene, cada año que pase el
precio del bono cae año tras año, hasta llegar a $10.000, y si la tasa es
de 12%, donde el precio del bono se cotiza a $8.766 y se le denomina
“bajo la Par” o con descuento ,y se mantiene cada año que pasa el
precio del bono sube hasta llegar a $10.000

18. Relación precio – rendimiento de un Bono
Relación entre el precio del bono y el tiempo si las tasas de interés no
cambian
• Si el bono se cotiza a su valor par, el precio del bono no cambia hasta
el vencimiento
• Si el bono se cotiza con premio o con descuento, su precio variará hasta
llegar al vencimiento a su valor par

19. Ejm. Una compañía de teléfonos emitió bonos de $ 100 que vencen a la par el 01 de julio del 2020 con un interés del
10.4% anual pagaderos el primer dia de los meses de enero , abril, julio y octubre de cada año , es decir cada trimestre
.¿Cuanto deberá pagarse por cada bono el 1rode octubre del 2015 , si se pretenden rendimientos del 15% anual
compuesto por trimestre? ¿ A cuanto ascienden las utilidades para el inversionista que los compra?
Solución:
Datos:
M = valor nominal = 100
r = Tasa interés Nominal = 10.4% pagaderos trimestralmente( Ojo)
i= tasa de rendimiento = 15% compuesto Trimestralmente
Fecha de Emisión : 1ro de octubre 2015
Periodo de de pago : Trimestral
Periodo de Vencimiento : 01 Julio 2020
Primero Determinar el cupón o renta R , de igual manera el interés es anual pero se debe pagar cupones trimestrales por
lo tanto debo dividir la tasa nominal anual entre el numero de trimestres 10.4% / 4 = 2.6% o 0.026
R= N(0.026) = 100*0.026 = R= 2.60 cupones por trimestre
Segundo Debemos determinar la tasa de rendimiento trimestral , Entonces divido el interés Anual entre 4 porque el año
tiene 4 trimestres , i/p = 15%/4.= 3.75% = 0.0375

20. M= 100
Pb
M
R (2.60)
R (2.60) R R (2.60)
Plazo Fecha
Redención
1 jul.2020
Fecha
Compra
Venta
1ro Oct.2015
1
2
3
n..
Precio o valor
de los cupones
R

21. Continua …
a- Para encontrar el precio de compraventa Pb del bono se remplazan los siguientes valores en la ecuación
El plazo de trimestres es np = 19, los que faltan para la redención del bono , es decir los trimestres que hay entre el 1ro de octubre
del 2015 al 1ro de Julio del 2020 inclusive
el valor de compraventa de cada bono es:
Pb = R (
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
)+ M(1 + 𝑖)−𝑛
remplazando: Pb = 2.6 (
1−(1+0.0375)−19
𝑖
)+ 100(1 + 0.0375)−19
Pb= 34.8851086 +49.6850865 = 84.57
Pb = R (
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (1+𝑖)𝑛 )+
𝑀
(1+𝑖)𝑛 , Pb = R (
(1+0.0375)19−1
0.0375 (1+0.0375)19 )+
𝑀
(1+0.0375)19 = 84.57
Para conocer la Utilidad Neta del inversionista , es decir los intereses , se resta el valor de compraventa del monto total que recibirá
por el bono y los 19 cupones
Utilidad = 100.00+19* (2.60)- 84.57 = 64.83
bono cupón inversión utilidad

22. Ejercicio …
Ejm. Un bono con un valor Nominal de 6500 um a un plazo de 2 años y 8 meses con cupones que se pagan
cada 4 meses ( cuatrimestral) a una tasa nominal de 7.2% capitalizable cuatrimestralmente, determine el
precio del bono con una tasa de rendimiento de 6.3% convertible cuatrimestralmente.
Solución:
Datos:
M = valor nominal = 6500
r = Tasa interés Nominal = 7.2% pagaderos cuatrimestralmente( Ojo)
i= tasa de rendimiento = 6.3% convertible cuatrimestralmente
Fecha de Emisión :
Periodo de de pago : cuatrimestral
Periodo de Vencimiento : 2 años y 8 meses
Primero debemos determinar la tasa de rendimiento trimestral , Entonces divido el interés Anual entre 3
porque el año tiene 3 cuatrimestres , 7.2%/ 3.= 2.4% = 0.024
Primeroegundo Determinar el cupón o renta R , de igual manera el interés es anual pero se debe paga
cupones cuatrimestrales por lo tanto debo dividir la tasa nominal anual entre el numero de cuatrimestres
6.3% / 4 = 2.1% o 0.021
Para determinar el cupón o renta es igual a:
R= N(0.024) = 6500*0.024 = R= 156.00 cupones por cuatrimestre

23. Continua …
a- Para encontrar el precio de compraventa Pc del bono se remplazan los siguientes valores en la
ecuación
El plazo 2 años y 8 meses cuantos cuatrimestres hay = 8, los que faltan para la redención del bono
Pb = R (
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
)+ M(1 + 𝑖)−𝑛
remplazando: Pb = 156.00 (
1−(1+0.021)−8
0.021
)+ 6500(1 + 0.021)−8
Pb= 6642.23
Pb = R (
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (1+𝑖)𝑛 )+
𝑀
(1+𝑖)𝑛 , Pb = R (
(1+0.021)8−1
0.021 (1+0.021)8 )+
6500
(1+0.021)8 = 6642.23
Utilidad = 6500+8* (156.00)- 6642.23 = 1105.00

24. Ejemplo
Encuentre el valor de un bono que paga un cupón de 4% anual con pagos semestrales y tiene un tiempo
de vencimiento de 14 años en estos momentos la tasa de mercado YTM( Yield to maturity) o tasa de
rendimiento esperado es de 5% anual capitalizado semestralmente , siendo el precio nominal del bono
de 1000 um , hallar el precio del bono, y determine : si esta a la par ,sobre la par con prima o bajo la
par con descuento. Rpta: 900.18
En el mismo ejercicio considere la tasa de rendimiento de 4% ( 1000) y 3% (1113.63)

25. Ejemplo
Encuentre el precio de un bono que paga un cupón de 6% anual con pagos trimestrales tiene un tiempo de
vencimiento de 11 años , en estos momentos la tasa de rendimiento del mercado es de 7% capitalizable
trimestralmente, el precio nominal del bono es 1000
El Banco Scotiabank emite obligaciones por un valor nominal de S/ 700, se redimen a la par el 1° de enero del
2019 paga un interés del 15% anual , los cupones vencen bimestralmente , encontrar el valor de compraventa el
1°de enero del 2015 , la tasa d rendimiento es el 2% bimestral. Rpta. 766.198

26. Ejemplo
Encuentre la tasa de rendimiento (YTM) o i de un bono que se esta vendiendo a 1080um sobre la par , paga un cupón de 7% anual, los
pagos son semestrales (el precio nominal del bono es 1000 um )y tiene un tiempo de vencimiento de 16 años ( cuando se vende con prima
o sobre la par solo se deberá calcular con una tasa que el valor del Pb sea mayor al monto del bono ofrecido)
Ojo como el bono se vende con prima sabemos que la tasa de rendimiento ( i )tiene que ser menor a la tasa cupón
Datos:
M = valor nominal = 1000
r = Tasa cupón interés Nominal = 7% pagaderos semestralmente ( Ojo)
i= tasa de rendimiento = ?
Pb= 1080
Periodo de pago : semestral
n= Periodo de Vencimiento : 16 años -
Solución.
Determinar la tasa de interés
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑝𝑜𝑛 =
0.07
2
= 0.035 , R = 1000*0.035= 35
n= 16*2= 32 semestres
Para calcular la tasa de rendimiento debemos interpolar para eso debemos calcular uno mayor a 1080, porque sabemos que si trabajamos
con una tasa del 7% el monto será a 1000
Entonces calcularemos con el 6% anual pagaderos semestralmente entonces la tas será =.=6/2 = 0.03
Pb = R (
1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖
)+ M(1 + 𝑖)−𝑛
Remplazando Pb = 35 (
1−(1+0.03)−32
0.03
)+ 1000(1 + 0.03)−32
= 1101.94
Interpolamos
YTM o i = 6 + (
1101.94 −1080
1101−94 −1000
) = 6.2152%

27. Ejemplo
Encuentre el YTM i de un bono que se esta vendiendo a 910 um bajo la par , paga un cupón de 8% anual en pagos
semestrales y tiene un tiempo de vencimiento de 9 años .
Ojo : Como el bono se vende a descuento entonces la tasa de rendimiento tiene que ser mayor a la tasa del cupón
Solución:.
Datos:
M = valor nominal = ? ( cuando no existe el valor nominal del bono se asume este caso 1000um)
r = Tasa cupón interés Nominal = 8% pagaderos semestralmente ( Ojo) 8%/2= 4%
i= tasa de rendimiento = ?
Pb= 910
Periodo de pago : semestral
n= Periodo de Vencimiento : 9 años n= 18 semestres
Pb= 910
R= 1000*0.04= 40
(Ojo: cuando el bono es vendido u ofrecido bajo la par o con descuento debemos calcular con dos tasas de interés que
nos proporcionen dos precios del bono uno mayor al monto ofrecido y otro menor al monto ofrecido)
Si trabajamos con 9%
Pb = R (
(1+𝑖)𝑛−1
𝑖 (1+𝑖)𝑛 )+
𝑀
(1+𝑖)𝑛 = Pb = R (
(1+0.09)18−1
0.09 (1+𝑖)18 )+
1000
(1+0.09)𝑛 = 939.20
Calculamos con el 10%
Pb = R (
(1+0.1)18−1
0.1 (1+𝑖)18 )+
1000
(1+0.1)𝑛 = 883.10
YTM o i = 9 +(
939.20 −910
939.20 −883.10
) = 9.5205%

28. Ejemplo
Supongamos que tienes un bono con un valor nominal de $1,000, un cupón anual del 5% y una fecha de
vencimiento de 5 años. Si el precio actual del bono es de $900 Bajo la par es decir se vende con descuento ,
puedes calcular su rendimiento YTM o i.
Ojo: Cuando se vende el bono con descuento se deberán trabajar con dos tasas de interés que permitan un monto mayor al bono
ofrecido y otro monto menor al bono ofrecido)
Datos:
M = valor nominal = 1000
r = Tasa cupón interés Nominal = 5% pagaderos anualmente( Ojo)
i= tasa de rendimiento = ?
Pb= 900
Periodo de pago : anual
n= Periodo de Vencimiento : 5 años -
Solución
R= 1000*0.05= 50

29. Encuentre la tasa de rendimiento i o YTM de un bono que se esta vendiendo a 1125 um y paga un cupón de 4.5% anual con pagos semestrales y tiene un
tiempo de vencimiento de 21 años . Rpta. 3.6639%
Ojo como el bono se vende con prima , sabemos que la tasa de rendimiento i o YTM tiene que ser menor que la tasa del cupón , por lo tanto es necesario
trabajar con dos tasa ( 4% y 3% )
Luz del Sur tiene un bono en circulación con un valor nominal de 1000 m y una tasa cupón del 8% al bono le restan 12 años para su vencimiento.
a. El interés se paga anualmente encuentre el valor del bono cuando el rendimiento es de 7%.
b. Indique si en el caso anterior se vende con descuento, tiene prima o a su valor nominal
c. Utilizando un rendimiento requerido del 10% encuentre el valor del bono cuando el interés se paga semestralmente .

30. Encuentre el precio e un bono que paga un interés nominal de 5% anual con pago de cupones semestrales y tiene un vencimiento de 21 años. En estos
momentos la tasa de rendimiento esperado en el mercado es de 3% anual capitalizable semestralmente.
Se tiene una emisión de bonos con un valor a la par de 1000 um y una tasa de interés cupón de 12% , la emisión paga interés anualmente y le quedan 10 años
para su vencimiento .Se gana una tasa de rendimiento del 10 % se pide hallar en cuanto debe venderse estos bonos . Rpta. 1122.89
Una compañía tiene pendiente un bono con valor de 1000um al 8% y a 4 años , sobre el que se paga interés en forma anual
a) Si la tasa de rendimiento requerida es del 15% ¿Cuál es el valor del mercado del bono? 800.15
b) Si la tasa cupón fuera del 15% de rendimiento bajara al 8% Rpta. 1231.85