Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas financieras aplicadas a la evaluación de proyectos, incluyendo el dinero y su costo, conceptos de interés simple y compuesto, tasas de interés nominal y efectiva, y cálculos de valor futuro y presente de cantidades individuales.

1. Conceptos de matemáticas
financieras aplicadas a la
evaluación de proyectos
ING. DONNY CAMPOS

2. El dinero y su costo
Dinero: principal recurso en decisiones de inversión
p p
o financiamiento.
Es un recurso escaso.
Esa escases implica un costo.
Tasa de interés: forma de medir ese costo.
Administración financiera: asignación del recurso
dinero.
Presupuestación de capital: implica activos
productivos o capital de trabajo.

3. Concepto de interés
Desde la perspectiva del q necesita el dinero:
p p que
Suma a pagar por usar dinero de otro.
Desde la perspectiva del prestamista:
Suma solicitada para compensar la desvalorización de la
moneda, el riesgo y el valor del alquiler del dinero
De que depende:
Oferta y demanda
Riesgo (p , inflación, actividad, finanzas)
g (país, , , )

4. Tasa de interés
Porcentaje q se paga o cobra sobre el p
j que p g principal.
p
Ejemplo: Una empresa deposita al inicio del año
j p p p
100,000 en una cuenta de ahorros al 6% anual.
¿Cuánto recibirá después de un año?
Monto del interés = monto depositado x número de periodos x
tasa de interés
Monto interés = 100,000 x 1 x 6% = 6000

5. Tasa de interés
Interés simple
p
Únicamente la inversión inicial (principal) gana intereses por
toda su vida financiera.
Forma de calcularlo:

6. Tasa de interés
Ejemplo: Una empresa p
j p p pide pprestado 3,
3,000,000 a
,
una tasa de interés anual del 30%. Suponiendo que
tarda dos años en pagar el préstamo, ¿cuánto dinero
tendrá
t d á que pagar? ?
Fin de año Cantidad Monto de Cantidad Cantidad
prestada intereses adeudada pagada
0 3,000,000
1 900,000
900 000 3,900,000
3 900 000 0
2 900,000 4,800,000 4,800,000

7. Tasa de interés
Interés compuesto
p
Supone que tanto la inversión inicial como los intereses
ganados generan nuevos flujos en el futuro. El interés es
capitalizable.
capitalizable
El interés se acredita al final de cada periodo y se deja
acumular de un periodo al siguiente.
Forma de calcularlo:

8. Tasa de interés
Ejemplo: Una entidad financiera p
j p presta 10,000,000
, ,
al 48% anual de interés compuesto. Calcular la
cantidad adeudada al final de los tres años.
Fin de año Cantidad Monto de Cantidad Cantidad
prestada intereses adeudada pagada
0 10,000,000
1 4,800,000 14,800,000 0
2 7,104,000 21,904,000 0
3 10,513,920 32,417,920 32,417,920

9. Tasa de interés
Tasa de interés nominal
Refleja, desde el punto de vista del inversionista, el costo de
oportunidad que éste le asigna al flujo de fondos que recibirá.
En términos financieros es la tasa de referencia del mercado
financieros, mercado.
Puede ser activa o pasiva.
Tasa de interés efectiva
Es la tasa que corresponde al periodo real de interés, la que se
paga o se gana en realidad.
Forma d calcularla:
F de l l l

10. Tasa de interés
Ejemplo: Fred Moreno desea determinar la tasa de
j p
interés efectiva relacionada con una tasa de interés
nominal del 8%, cuando la composición del interés
tiene una frecuencia 1) anual (
ti f i ) l (m=1), 2) semestral
) ) t l
(m=2) y 3) trimestral (m=4).
Para la composición anual:

11. Tasa de interés
Para la composición semestral:
Para una composición trimestral.

12. Tasa de interés
Aplicación de la tasa de interés efectiva p
p para
inversiones.
La tasa efectiva es una buena herramienta cuando el mercado
financiero ofrece a los inversionistas diferentes tasas de interés
a diferentes plazos.
Ejemplo: Si un banco ofrece las siguientes opciones de
inversión, determinar la opción que ofrece el mayor
rendimiento en términos anuales.
Plazo de capitalización Tasa anual
1 mes 14.25%
3 meses 14.75%
6 meses 15.50%
%
12 meses 16.15%

13. Tasa de interés
Tasa anual Periodo de Tasa efectiva Valor
capitalización
14.25% 12 veces 15.218%
14.75% 4 veces 15.586%
15.50% 2 veces 16.100%
16.00% 1 vez 16,00%

14. Valor futuro y presente
Valor futuro de una cantidad individual (VF)
( )
Es el valor de una cantidad presente a una fecha futura
calculado al aplicar el interés compuesto durante un periodo
de tiempo específico
específico.
Ejemplo: Si Fred Moreno deposita $100 en una
cuenta de ahorro que paga 8% de interés compuesto
anualmente, ¿cuánto tendrá el primer año? ¿cuánto
el segundo?

15. Valor futuro y presente
Si Fred dejara este dinero en la cuenta otro año, se le pagaría
un interés del 8% sobre el nuevo principal.

16. Valor futuro y presente
Ejemplo: Ana Barrantes depositó $800 en una
j p p
cuenta de ahorros que paga 6% de interés compuesto
anualmente y desea determinar la cantidad que
tendrá después d 5 años.
t d ád é de ñ
Ana t d á $1070.40 l final del quinto ñ
A tendrá $1070 40 al fi l d l q i t año

17. Valor futuro y presente
¿Qué p
Q pasa cuando la composición del interés tiene
p
una frecuencia mayor a la anual?
En lugar de la tasa de interés establecida pagadera anualmente
(i),
(i) se paga “m” cantidad de veces a una tasa igual a i/m
m i/m.
Ejemplo: Fred Moreno decidió invertir $100 a una
cuenta de ahorros que paga 8% de interés anual
compuesto semestralmente. ¿Cuánto ahorra al final
de dos años?

18. Valor futuro y presente
Periodo Cantidad Tasa Intereses del Valor al
ahorrada De interés p
periodo final del
periodo
0 $100
6 meses 4% $4.00 $104.00
12 meses 4% $4.16 $108.16
18 meses 4% $4.33 $112.49
24 meses 4%
% $4.50
$ $116.99
$ 6

19. Valor futuro y presente
Si se asume ahora que Fred Moreno encontró una
q
institución que le pagará el 8% de interés anual,
compuesto trimestralmente, ¿cuánto recibirá al final
de d
d dos años si d id invertir su di
ñ i decide i ti dinero en di h
dicha
institución?

20. Valor futuro y presente
Periodo Cantidad Tasa de Intereses del Valor al
ahorrada interés periodo final del
periodo
0 $100
3 meses 2% $2.00 $102.00
6 meses 2% $2.04 $104.04
9 meses 2% $2.08 $106.12
1 año 2% $2.12 $108.24
15 meses 2% $2.16
$2 16 $110.40
$110 40
18 meses 2% $2,21 $112.61
21 meses 2% $2.25 $114.86
2 años 2% $2.3o $117.16

21. Valor futuro y presente
Conclusión:
Cuanto mayor sea la frecuencia de composición del interés,
mayor será la cantidad de dinero acumulado.
Una ecuación general:
Para la composición semestral:
Para la composición trimestral:

22. Valor futuro y presente
Valor presente de una cantidad individual ( )
p (VF)
Es el valor actual en dólares de una cantidad futura. La
cantidad de dinero que sería necesario invertir el día de hoy a
una tasa de interés determinada durante un periodo específico
para obtener una cantidad futura.
Cuanto mayor sea la tasa de interés (descuento), menor será el
valor presente.
l t
Cuanto mayor sea el periodo de tiempo, menor será el valor
presente.

23. Valor futuro y presente
Ejemplo: El señor Vargas tiene la oportunidad de
j p g p
recibir $300 dentro de un año. Si tiene la posibilidad
de obtener el 6% sobre sus inversiones, ¿cuánto es lo
máximo que d b pagar ahora por esa oportunidad?
á i debe h t id d?
Fórmula general:
Fó l l

24. Valor futuro y presente
Ejemplo: Eugenia Gutiérrez desea calcular el valor
j p g
presente de $1,700 que recibirá dentro de 8 años. El
costo de oportunidad de Eugenia es del 8%.