Este documento trata sobre conceptos básicos de variables, funciones y límites. Define variables, constantes y funciones, y explica la notación de funciones. También cubre conceptos como intervalos de variables, variación continua, límites, infinito e infinitesimales. Resume los principales teoremas relacionados con infinitesimales y límites.

1. Tema:
Variables, funciones y limites
Integrante
Aguayo Ayala Alex

2. Variables, funciones y
limites

3. Variables y Constantes
Variable: Es una
cantidad a la que se le
puede asignar , durante
el curso de un proceso
de análisis, un numero
limitado de valores.
Constante: una
cantidad que durante el
curso de un proceso
tiene un valor fijo.

4. Constante
Constantes numéricas o
absolutas: Son las que
conservan los mismos
valores en todos los
problemas.
Constantes arbitrarias, o
parámetros: Son aquellas a
las que se pueden asignar
valores numéricos, y que
durante todo el proceso
conservan esos valores
asignados.
Valor numérico: de una
constante a, para
diferenciarlo de su valor
algebraico, se representa por
|a|
Ej:
|-2|= 2 = |2|

5. Intervalo de una variable
 Se puede restringir una variable de manera que tome únicamente valores
comprendidos entre a y b.
 También puede ser que a y b sean incluidos o que uno o ambos sean excluidos.
 Se puede emplear el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los
números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se
diga explícitamente otra cosa.
 Este símbolo [a, b] se lee “ intervalo de a a b”

6. Variación continua
 Se dice que una variable “a” varía de una manera continua en un intervalo [a, b]
cuando “x” aumenta desde el valor a hasta el valor b. De tal manera que toma
todos los valores intermedio entre a y b en el orden de sus magnitudes o cuando
“x” disminuye desde x=b hasta x=a, tomando sucesivamente todos los valores
intermedios.
o---------------o--------------o-------------o
a x b
0 A P B
Tomando el punto O como origen, marquemos
sobre la recta los puntos A y B correspondientes
a los números el y b. Además, hagamos
corresponder el punto P a un valor particular de
la variable x .Evidentemente, el intervalo [a, b]
estará representado por el segmento AB. Al
variar x de una manera continua en el intervalo [
a, b],el punto P engendrará el segmento AB si x
aumenta o el segmento BA SI x disminuye.

7. Funciones
 Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera
que da determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la
primera es función de la segunda.
Ej.
El peso que un hombre
puede levantar depende
directamente, a la igualdad
de otras circunstancias, de
su fuerza.

8. Variables independientes y dependientes
Independiente: la
segunda variable,
a la cual se
pueden asignas
valores a
voluntad dentro
de limites que
dependen del
problema
particular.
Dependiente:
primera variable;
cuyo valor queda
fijado cuando se
asigna un valor a
la variable
independiente.

9. Notación de funciones
 El símbolo  (x) se emplea para designar una función de x, y se lee  de x.
 Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como
en F (x),  (x), ’ (x), etc.
 Ej.

10. La división por cero, excluida
 El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx. Evidentemente,
con esta definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = 0 , Y
recordando que cero tomado cualquier número de veces como sumando es
siempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = 0. Si a = 0, entonces
x puede ser cualquier número.

11. Límite de una variable
 La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, al establecer
o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área de un
polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone,
después, que n crece infinitamente.
 En este caso, la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la diferencia a - v
(siendo a el área del círculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a ser
menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar lo
pequeño que éste se haya elegido.

12. Funciones continuas y discontinuas
Se dice que una función
(x) es CONTINUA para
x=a si el límite de la
función, cuando x tiende
a a, es igual al valor de la
función para x=a
Se dice que la función es
DISCONTINUA para x=a
si no se satisface esta
condición

13. Infinito
 Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que
cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea,
decimos que v se vuelve infinita.
 Si v toma solamente calores positivos, se hace infinita positivamente: si solamente
toma valores negativos, se hace infinita negativamente.
 En estos casos v no se aproxima a un límite, según la definición del Artículo 14 .
La notación lím v = 00 , o V-7oo • debe leerse "v se vuelve infinita" y no "v se
aproxima al infinito"
lim v = ∞, lim v = + ∞, lim v = - ∞

14. Infinitésimos
 Una variable v que tiende a cero se llama infinitésimo.
 Quiere decir que el valor numérico lim (v – l) = 0; es decir, la diferencia entre una
variable y su limite es un infinitésimo.
 Recíprocamente, si la diferencia entre una variable y una constante es un
infinitésimo, entonces la constante es el límite de la variable.
Lim v = 0 o v  0

15. Teoremas relativos a infinitésimos y limites
I. La suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un número
finito, es otro infinitésimo
II. El producto de una constante e por un infinitésimo es otro
infinitésimo
III. El producto de un número finito n de infinitésimos es otro
infinitésimo.
IV. Si lim de v = l y “l” no es cero, entonces el consiente de un
infinitésimo i dividido por v es también un infinitésimo.