El documento trata sobre series infinitas. Explica conceptos como sucesión, serie infinita, suma parcial y convergencia. Presenta ejemplos de diferentes tipos de series infinitas como series geométricas, armónicas y alternantes. Incluye teoremas sobre la convergencia de series de términos positivos y criterios para series alternantes.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÒN
UNIVERSITARIA CIENCIA Y TECNOLOGÌA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
SERIES INFINITAS
Autor:
Edith Williana
Pulgar salilla
San Cristóbal, Agosto 2017

2. SERIES INFINITAS
Si es una sucesión y entonces es una sucesión de sumas parciales denominada
serie infinita y se denota por los números son los términos de la serie infinita.
Continua.
Ejemplo: sea la serie infinita
a. obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales y
b. determine una fórmula para en términos de n. solución
(a) como
c. como se tiene, mediante fracciones parciales. Para ver la fórmula seleccione la
opción ¨Bajar trabajo¨ del menú superior por tanto, de esta forma, como continua…
Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene:
si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en esta ecuación, se verá que los resultados
anteriores son correctos. El método empleado en la solución del ejemplo anterior se
aplica sólo un caso especial. En general, no es posible obtener una expresión de este
tipo para s.
1. series infinitas de términos positivos
Las series infinitas, cuyos términos son positivos, tiene propiedades especiales. En
particular, la sucesión de sumas parciales de dichas series es creciente y tiene una
cota inferior 0. si la sucesión es monótona y acotada. Como el acotamiento y la
convergencia de u na sucesión monótona son propiedades equivalentes, entonces, la
series es convergente. De este modo, se tiene el teorema siguiente.
Teorema
Una serie infinita de términos positivos es convergente si y sólo si su sucesión de
sumas parciales tiene una cota superior. En sí mismo, este criterio no es muy útil:
decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por
otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación se peude
utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia

3. (constituye la base para casi todas las demás pruebas). Ejemplo: Demuestre que la
serie es convergente:
Solución:
Se debe obtener una cota superior para la sucesión de sumas parciales de la serie
continua…. ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con a
= 1 y r = :
La serie geométrica con a=1 y r= tiene la suma a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma
de la ecuación anterior es menor que 2. observe que cada término de la suma primera
es menor que o igual al término correspondiente de la suma siguiente; esto es, esto es
cierto por que k¡ = 1 • 2 • 3 •….• k, que , además del factor 1. Contiene k – 1 factores
cada uno mayor que o igual a 2. en consecuencia.
De lo anterior, tiene la cota superior 2. por tanto, por el teorema de la serie infinita
la serie dada es convergente.
2. series infinitas de términos positivos y negativos
Un tipo de series infinitas que constan de términos positivos y negativos es el de las
series alternantes, cuyos términos son, alternadamente, positivos y negativos.
Definición de serie alternante
Si para todos los números enteros positivos n, entonces la serie y la serie se
denominan series alternantes.
Ejemplo: Un ejemplo de serie alternante de la forma de la primera ecuación , donde
el primer término es positivo, es una serie alternante de la segunda ecuación, donde el
primer término es negativo, es el teorema siguiente, denominado criterio de las series
alternantes, establece que una serie alternante es convergente si los valores absolutos
de sus términos decrecen y el límite del n-ésimo término es cero. El criterio también
se conoce como el criterio de leibniz para series alternantes debido a que leibniz lo
formuló en 1705.

4. El concepto de sucesión está el concepto de la suma de los términos de la sucesión.
A la suma de los términos de la sucesión {a(n)} se le llama serie infinita, o
simplemente serie.
1
Para iniciar, consideremos la sucesión {a(n)} = { }.
2n
Los términos de la sucesión son: {1/2, 1/4 , 1/8 , 1/16, ...}
La serie asociada con esta sucesión es la suma infinita (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+...
A continuación damos de manera informal la definición de serie.
Definición:
Si {a(n)} es una sucesión infinita,
entonces a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+... se llama serie
infinita, o simplemente serie. Los números a(1), a(2),
a(3), ... se llaman términos de la serie.
Para hallar la suma de una serie infinita, consideremos la sucesión de sumas
parciales:
S(1) = a(1)
S(2) = a(1) + a(2)
S(3) = a(1) + a(2) + a(3)
.
.

5. .
S(n) = a(1) + a(2) + a(3) +...+ a(n)
Si esta sucesión converge diremos que la serie converge y que su suma es el
límite de la sucesión.
En cada uno de los siguientes ejemplos se muestran las 8 primeras sumas parciales.
1
Ejemplo 1: {a(n)} = { }
2n
(
1
)serie =
2n
n=1
1
S(1)= = 0.5
2
3
S(2)= = 0.75
4
7
S(3)= = 0.875
8
15
S(4)= = 0.9375
16
31
S(5)= = 0.9688
32

6. 63
S(6)= = 0.9844
64
127
S(7)= = 0.9922
128
255
S(8)= = 0.9961
256
¿Que observas acerca de la sucesión de sumas parciales?
2n
- 1 1
La n-ésima suma parcial es S(n)
=
= 1 - (
)n
2n
2
El límite de la sucesión de sumas parciales es S = 1
2n
Ejemplo 2: {a(n)} = { }
1+n
(
2n
)serie =

7. 1+n
n=1
S(1)= 1 = 1
7
S(2)= = 2.333
3
23
S(3)= = 3.833
6
163
S(4)= = 5.433
30
71
S(5)= = 7.1
10
617
S(6)= = 8.814
70
1479
S(7)= = 10.56
140
15551
S(8)= = 12.34
1260
¿Qué observas acerca de la sucesión de sumas
parciales?
El límite de la sucesión de sumas parciales es S =
Infinito

8. 4
Ejemplo 3: {a(n)} = { }
4n2
- 1
(
4
)serie =
4n2 -
1
n=1
4
S(1)= = 1.333
3
8
S(2)= = 1.6
5
12
S(3)= = 1.714
7
16
S(4)= = 1.778

9. 9
20
S(5)= = 1.818
11
24
S(6)= = 1.846
13
28
S(7)= = 1.867
15
32
S(8)= = 1.882
17
¿Qué observas acerca de la sucesión de sumas parciales?
4n 2
La n-ésima suma parcial
es S(n) =
=
2 -
2n + 1 2n + 1
El límite de la sucesión de sumas parciales es S = 2