Este documento describe las series infinitas y sus tipos. Explica que una serie infinita es la suma de los términos de una sucesión matemática que continúa indefinidamente. Describe diferentes tipos de series como las geométricas, armónicas y alternadas. También explica la convergencia de series y cómo determinar si una serie converge a un límite finito o diverge.

1. SERIES INFINITAS
Elabora Por:
Sanchez Hurtado Brenda
Brigitte

2. ¿QUÉ ES UNA SERIE?
 Una serie es la generalización de la noción de la suma aplicada a los términos de una sucesión
matemática, es decir, es el resultado de sumas los términos:
 Lo que se escribe de manera mas compacta con el símbolo sumatorio:
 El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos
sucesivos, que mediante un paso al limite identificar el comportamiento de la serie a medida
que n crece indefinidamente.
 Una secuencia o cadena ‘finita’, tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en
una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o
fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse
como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de
herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas.
 Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-
convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos

3. TIPOS DE SERIES
 Sumas Parciales: Para cualquier sucesión matemática de números racionales, reales,
complejos, funciones, etc. La serie asociada se define como la suma formal ordenada:
 La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión esta definida para cada k
como la suma de sucesión desde
 Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas
parciales asociadas.

4.  Convergencia: La serie converge al limite L si y solo si la sucesión de sumas parciales
asociadas converge a L.
Esta definición suele escribirse como:
 Serie Geométrica: Es aquella en la que cada termino se obtiene multiplicando el anterior
por una constante, llamada razón r. Ejemplo la razón es 1/2
 Serie armónica: Es la serie

5.  Serie alternada: Es una serie donde los términos cambian de signo
 Serie telescópica: Es la suma
 Serie hipergeometrica: Es una serie de la forma:

6. CONVERGENCIA DE SERIES
 Serie convergente: Una serie se dice que es convergente o que converge si la sucesión
de sumas parciales tiene un limite finito. Si el limite es infinito o no existe, se dice que la serie
diverge. Cuando este limite existe se le llama suma de la serie
 Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma
finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que
incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico
 Sn = 0.111111
 Serie decimal: La serie:
 Dado que estas series siempre convergen en los números reales no hay diferencia entre este tipo
de series y los números decimales que representa. Por ejemplo: 0.111…… y 1/9 o bien 1=0.999……

7. ¿QUÉ ES UNA SERIE INFINITA?
 Una serie infinita, es una seguidilla de unidades que no tienen final.

 El concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por
finalizar en un determinando momento.
 Se comprende la noción de series infinitas si se piensa en ciertas
series numéricas. Por ejemplo: el caso de la serie numérica
compuesta por los números múltiplos de 2, dicha serie es una serie
infinita ya que los números múltiplos de 2 son infinitos: 0,2,4,6,8……

8. EJEMPLO