El documento presenta una introducción a las series infinitas, incluyendo su origen histórico, definición, elementos, tipos como las series telescópicas y armónicas, y criterios de convergencia como las P-series y comparación. Explica conceptos clave como suma, términos y convergencia de una serie infinita.

1. Bachilleres.
Galarraga Beatriz
Mendoza Keinyz
Mendoza Reiser
Valderrama Carmelis
Tutor: Reinaldo Oropeza
Barquisimeto, Septiembre 2015

2. Conozcamos algo de historia de series infinitas.
Las series tienen su origen histórico en el siglo V a.C. cuando el filosofo griego
Zenón propuso la siguiente paradoja; para que un corredor recorra una distancia
dada, debe primero recorrer la mitad del camino, después la mitad de las
distancia que le queda y así ad infinitum. Pero, afirmaba Zenón, es claramente
imposible que el corredor logre un numero infinito de estos recorridos en un
periodo finito, de manera que el movimiento de un punto a otro es imposible.
Esta paradoja nos lleva al estudio de las series infinitas la cual veremos a
continuación.

3. ¿Qué es una serie infinita?
Para hablar de series infinitas es necesario conocer la suma de una serie
infinita para así tener presente cuando converge o cuando diverge la serie.
Considerando que la denota una serie infinita dada para la cual el {𝑆 𝑛} es
la sucesión de suma parcial.
 Si el lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛existe y es igual a S, entonces la serie seria convergente y S es la
suma de la serie.
 Si el lim
𝑛→∞
𝑆 𝑛no existe entonces la serie es divergente y no tiene suma.
Si {𝑎 𝑛} es una sucesión y 𝑆 𝑛= 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ ….+ 𝑎 𝑛 ,
entonces {𝑆 𝑛} es una sucesión de sumas parciales denominadas
series infinitas y se denota por:
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛 = 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ ….+ 𝑎 𝑛 + ⋯
Los números 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ ….+ 𝑎 𝑛 son los términos de la serie
infinita.
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛

4. Elementos de una serie
{𝑎 𝑛} es una sucesión infinita de números
reales.
Los puntos suspensivos
al final indican que los
sumandos continúan
indefinidamente.
Se usó el símbolo de la
para abreviar la suma infinita
de la derecha
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛
Los números 𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ ….+ 𝑎 𝑛
son los términos de la serie siendo
𝑎 𝑛 el termino general o termino n-
esimo.

5. Ejemplo de serie
 Considere la serie infinita
𝑛=1
∞
1
2 𝑛 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ⋯ +
1
2 𝑛 + ⋯
Notemos que su enésimo termino es 𝑎 𝑛=
1
2 𝑛 aunque no
podemos literalmente sumar un número infinito de
termino, podemos sumar cualquier numero finito de los
términos de la sumatoria.
Por ejemplo la suma de los primeros 5 términos,
podríamos sumar otros cincos términos y luego cinco mas
y así sucesivamente . Se puede notar en el cuadro de la
derecha que las sumas se acercan cada vez más a 1
conforme agregamos términos lo que es natural decir que
la suma de toda la serie es igual a 1
𝑛=1
∞
1
2 𝑛 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ⋯ + + ⋯ = 1
1era suma:
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
+
𝟏
𝟏𝟔
+
𝟏
𝟑𝟐
= 𝟎. 𝟗𝟔𝟖𝟕𝟓
2da suma:
𝟏
𝟔𝟒
+
𝟏
𝟏𝟐𝟖
+
𝟏
𝟐𝟓𝟔
+
𝟏
𝟓𝟏𝟐
+
𝟏
𝟏𝟎𝟐𝟒
= 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟎𝟐
3ra suma:
𝟏
𝟐𝟎𝟒𝟖
+
𝟏
𝟒𝟎𝟗𝟔
+
𝟏
𝟖𝟏𝟖𝟐
+
𝟏
𝟏𝟔𝟑𝟖𝟒
+
𝟏
𝟑𝟐𝟕𝟔𝟖
= 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟔

6. Tipos de serie
La serie telescópica se llama así
en remembranza de los antiguos
telescopios. Estos telescopios, a
pesar de su longitud, solo
estaban compuestos de dos
lentes.
Serie Telescópica
Una serie se llama telescópica si el término
general 𝑎 𝑛 puede expresarse en la forma:
𝒂 𝒏 = 𝒃 𝒏 - 𝒃 𝒏+1.
En este caso se tiene.
𝑆 𝑛 = 𝑛=1
∞
𝑎 𝑘= 𝑛=1
∞
( 𝑏 𝑘 − 𝑏 𝑘+1)= (𝑏1 − 𝑏2)+ (𝑏2 −
𝑏3)+ (𝑏3 − 𝑏4)+ ……+(𝑏 𝑛 − 𝑏 𝑛+1)= 𝑏1 − 𝑏 𝑛+1
Y por lo tanto:
𝒏=𝟏
∞
𝒂 𝒏=b1 -𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒃 𝒏+𝟏
𝑛=1
∞
𝑎 𝑛

7. Características de la
serie Telescópica
 El denominador puede pasar de ser
una expresión compleja a dos
expresiones sencillas por distintos
métodos:
a) Si es polinómica por el método de
fracción simple
b) Si es logarítmica por sus
propiedades.
 La serie es convergente
 La serie es impropiamente divergente
Convergencia de la
serie telescópica
Esta serie converge si y solo si
< ∞ y S= 𝑏 𝑛-lim
𝑛⇾∞
𝑏 𝑛 lim
𝑛⇾∞
𝑏 𝑛
Divergencia de la
serie telescópica
Esta serie diverge cuando
= ∞lim
𝑛⇾∞
𝑏 𝑛

8. Ejemplos de serie Telescópica
Probar que la siguiente serie es
telescópica y hallar su suma
a)
Sol.
Factorizando y descomponiendo en
fracciones parciales
Si
1
𝑛 𝑛+1
=
𝐴
𝑛
−
𝐵
𝑛+1
; hallaremos A=1 y
B=-1
Luego,
1
𝑛 𝑛+1
=
1
𝑛
−
1
𝑛+1
. Se trata de una
serie telescópica, en efecto:
Si 𝑏 𝑛 =
1
𝑛
tenemos que 𝑏 𝑛+1 =
1
𝑛+1
y
1
𝑛2+𝑛
=𝑏 𝑛 − 𝑏 𝑛+1
𝑛=1
∞
1
𝑛2 + 𝑛
1
𝑛2+𝑛
=
1
𝑛 𝑛+1
.
Ahora;
𝑆 𝑛 =
𝑘=1
𝑛
1
𝑘2 + 𝑘
=
𝑘=1
𝑛
1
𝑘
−
1
𝑘 + 1
=
1
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+…+
1
𝑛
−
1
𝑛+1
= 1-
1
𝑛+1
Luego,
= =
𝑛=1
∞
1
𝑛2 + 𝑛
lim
𝑛⇾∞
𝑠 𝑛 lim
𝑛⇾∞
(1 −
1
𝑛+1
)= 1- lim
𝑛⇾∞
1
𝑛+1
= 1-0 = 1

9. La serie armónica se llama así
porque aparece relacionada
con ciertos tonos producidos
por la vibración de cuerdas
musicales



ni
i i1
1
= ....
1
......
4
1
3
1
2
1
1 
n
Llamaremos serie
armónica a
donde cada termino es
media armónica de sus
dos adyacentes.
 Siempre diverge.
 Es una serie de
términos positivos.

10. Divergencia de la serie armónica
Sn= 


ni
i i1
1
Sea:
...
osmintérp
p...p..... 



12
2
1
2
1
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
1
1
=
....
2
1
....
2
1
2
1
1 
  
p
= =
2
1
p
 y como p ⇾lim 𝑆 𝑛 = + ∞. Diverge
Ejemplo:
Determine si la converge o diverge
Solución: Aplicando el criterio de la integral debido a que es una serie de términos
positivos decreciente.
por lo tanto la serie diverge.


1
1
n n
  


 Nx
xx lìmlìmlìm n
N N
nn
lnln
11
1
1
1

11. A las series de forma se las conocemos con el
nombre de P-series. Ellas desempeñan un rol importante en el
estudio de la convergencia.
Para p número real positivo.
La serie es convergente si p > 1
La serie es divergente si 0<p<1.
Cuando p = 1, la serie es armónica, la cual diverge.


1
1
n
p
n

12. Sea la serie “p” , determine para que valores de “p” converge y para que valores
diverge.
Solución:
Analizando la integral
Si P=1, tenemos la serie armónica, que es divergente
Si P≠1, la integral es diferente
Ahora, si P>1, la integral converge
Si P≤1, la integral diverge
En conclusión, la serie


1n
p
n
1
 


1
N
1
p
1
x
1
p
x
lìm









































































1
1
0
1
1
n
11
n
1
N
1
1
npn
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
lìm
1
1
1
lìm
1
lìm
x
1
lìm
n
p
p
p
p
PPNP
n
pp
ppp
pp
N
pp
N
p
x



 

1-p
1
aconverge1Psi
diverge1siP
Ejemplo de P-Series

13. La serie de términos positivos converge si esta dominada por
una serie convergente y diverge si esta dominada por una serie
divergente de términos positivos.
Vamos a estudiar las series de la forma en estas
condiciones
Para indicar que una serie de términos positivos es convergente
se suele escribir
Esta nota NO se usa para otro tipo de series.






1
1
n
n
n
n
a
a
0...1  nn aaS

14. Sean y dos series de términos positivos. Se dice que la domina
Si se cumple que
Condiciones para aplicar el criterio de comparación.
Supongamos que para
i) si converge, entonces converge.
ii) si diverge, entonces diverge.
 



1 1n n
nn ba  



1 1n n
nn ab
nnn ba 



ba
ab
Nnba0
nn
nn
nn
Criterio de Comparación

15. Determine si la serie converge o diverge.
Solución:
Empleando el criterio de comparación.
Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador:
Resulta una serie divergente ¿ por que?
Los términos de la serie dada deben ser mayores que los de esta serie, para que la serie dada
sea divergente.
(Si esto no ocurriese habrá que cambiar de serie o de criterio)
Se observa que para
Por tanto se concluye que la serie dada es divergente.
En este ejemplo también se puede aplicar el criterio de la integral.


 1
2
12n n
n
 







1 11
2
1
2
1
22 n nn nn
n
n
n
1n
212 22

 n
n
n
n

16. Sean y dos series de términos positivos.
si c 0, entonces las dos series son convergentes o ambas series son divergentes
si 0, y si converge, entonces converge.
si , y si diverge, entonces diverge.
Condiciones
Paso 1: hallar una serie de la cuya propiedades de convergencia sean conocidas (como una p-
serie o una serie geométrica) y que el termino sea esencialmente lo mismo que
Y así, si interviene un cociente de polinomios, se obtiene tomando solo los términos de mayor
potencia
Paso2: verificar que existe y que este limite sea positivo.
Paso 3: aplicar la conclusión del criterio.




 11 n
n
n
n vu
uv
v
u
uv
v
u
v
u
1n
n
1n
n
n
n
1n
n
1n
n
n
n
n
n














lìm
lìm
lìm
n
n
n


1n
nb
nbna
n
n
b
a
lìmn 
nanb
Criterio de comparación
por paso al limite

17. Determine si la serie converge o diverge.
Solución.
Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador
Tenemos un serie convergente¿ por que?
Obtenemos ahora
Por lo tanto la serie dada es también divergente.


 1n
23
112n
2-3n
n






1
2
1n
3
1
3
n
3n
n n
1
1163
23
2
23
n
23
3
n3
112n
2-3n




 

nn
n
lìm
n
nlìm

18. Este criterio suele ser muy útil
cuando los términos de las series
contienen factoriales o enésimas
potencias.
Criterio de la Razón, o criterio D`Alambert.
Sea una serie de términos positivos
tal que .


1n
na
Llìmn

 n
1n
a
a
1. Si 0≤L<1, entonces converge
2. Si 1<L ≤∞, entonces diverge
3. Si L=1 no hay información, puede
converger o diverge


1n
na


1n
na

19. 

 1 )!12(
2
n
n
n
)12(2
2
)!12)(2)(12(
)!12(2
)!12(2
)!12(2
)!12(
2
)!12(
12
1
1














nnnnn
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
n
n
10
1)2n(2n
2
a
a
n
1n






lìmlìm nn


 1 )!12(
2
n
n
n
Luego
En consecuencia, converge
Determine la convergencia o divergencia de:
Solución

20. Esta es otra técnica para determinar la
convergencia de series cuyo términos
contienen potencias
Criterio de la Raíz.
Sea una serie tal que:
.


1n
na
Llìmn


n
na
1. Si 0≤L<1, entonces converge
2. Si 1<L ≤∞, entonces diverge
3. Si L=1 no hay información, puede
converger o diverge


1n
na


1n
na

21. 2
1
1
1
n
n
n
n
a 































1n`
2
1
11
1
1n
2
1
1
nn
n
n
nn
n
lìm
n
lìm 
Determine la convergencia o divergencia de:
Solución:
Luego diverge

22. Criterio de la integral
Las series geométricas y las telescópicas tienen especial ventaja de que
en termino general 𝑆 𝑛 de las sumas parciales es fácil de calcular, lo que nos
permite calcular la suma con facilidad. En general, esta situación no sucede. En
muchos casos, hallar una formula para 𝑆 𝑛 es difícil o imposible de hallar. Para
resolver estas dificultades se cuenta con un criterio que nos garantiza la
convergencia o divergencia de una serie, como lo es el caso del criterio de la
integral
Definición del
Criterio
de la integral
Sea f una función continua, decreciente, y de valores positivos para
todo x≥1. entonces la serie infinita
Es convergente si la integral existe y
es divergente si 








b
1
1
1
)(
dxf(x)
...)(...)3()2()1()(
dxxf
nffffnf
lìmb
n

23. Determine si la serie es convergente o
divergente
Solución: la función f definida por
Es continua y de valores positivos para
toda x≥2. también si 2≤ 𝑥1 < 𝑥2,
entonces f(𝑥1) > f(𝑥2); de modo que f
es decreciente pata toda x ≥2, por lo
que se puede aplicar el criterio de la
integral.


2 ln
1
n nn
xx
xf
ln
1
)( 
 
 









2ln2ln2
ln2
)(ln
ln
2
2
2
1
2
b
x
x
dx
x
xx
dx
lìm
lìm
lìm
b
b
b
b
b
Así, la serie dada es divergente

24. Criterio de P-Series
Conocemos a la serie P
a aquella que:
Converge si
P>1
Diverge si
P≤1


1
1
n
p
n
En efecto para p≤0 el termino
general de la serie no tiende a
0 por lo que la serie diverge.
Si p>0 la función f(x)= 1
𝑥 𝑝 es
continua, positiva y
decreciente para todo X≥1
Entonces la serie converge
si y solo si la integral
converge


1 p
x
dx
Ahora bien, para p≠1
Por los que la serie converge
para p>1
dx
x
dx
p 


1
p
1
x
1psi
1psi
1-p
1
1
1b
x
1p
p
1
p
lìm 
















p
dxlìmp

25. Convergencia de las p-series


1
1
n
p
n
La p-serie es convergente si p>1 y es divergente p= ≤1
Demostración:
Si p<0 entonces
Si p=0 entonces
Si p=1 entonces
Si p>0 la función f(x)=
1
𝑥 𝑝 es continua, positiva y decreciente en el intervalo y tenemos:
Luego, por el criterio de la integral, converge si p>1 y diverge si 0<p<1.
divergecuallaarmonica,serielaes
11
diverge
1
tantolopory1
1
diverge
1
tantolopory
n
1
11
1 11
0
1n
p lìm

 


















nn
p
n n
p
n
n
p
p
n
nn
nn
n
nlìm
 ,1





















1p0si
1psi
1
1
1
1
1
dx
x
1 1
t
1 p1 lìm p
pp
t
x
dx p
t
t
p lìm


1
1
n
p
n