Este documento presenta los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo definiciones de partición, suma superior e inferior, integrabilidad y área bajo una curva. También expone propiedades clave como la linealidad y comportamiento ante funciones constantes o pares/impares.
NOTACIÓN SIGMA: Los números cuya suma se indica en una notación sigma, pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
SUMAS SUPERIORES E INFERIORES: Es un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.
LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES: Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES: Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.
SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLE: Esta técnica es la regla de la cadena de las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.
Ponencia en I SEMINARIO SOBRE LA APLICABILIDAD DE LA INTELIGENCIA ARTIFICIAL EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSITARIA. 3 de junio de 2024. Facultad de Estudios Sociales y Trabajo, Universidad de Málaga.
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Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
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La Integral Definida
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2. La integral Definida El símbolo de Sumatoria Definición.- Dado n números reales , para expresar la suma de éstos números se emplea el símbolo y se lee como la suma de los desde hasta , i.e Ejemplo.- La suma de los primeros n enteros se expresa como igualmente la suma de los cuadrados de los primeros n enteros es
5. Particiones, Suma superior y Suma inferior Partición.- Dado un intervalo [ a, b ], donde a < b, el conjunto de puntos recibe el nombre de partición del intervalo dado. Geométricamente tenemos: Toda partición P de un intervalo [ a, b ], divide a éste en n sub-intervalos no necesariamente de igual longitud La longitud del i-ésimo sub-intervalo se denota por y la longitud de la partición P se denota por
6. Partición Regular.- Dado un intervalo [ a , b ] una partición P se dice que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud. Para una partición con n +1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se denota por es decir, [ a , b ] se divide en n partes iguales, siendo los puntos de la partición: Refinamiento de una partición.- Dado una partición P de [ a , b ], ésta se puede hacer más fina agregando mas puntos. Si P 1 se obtiene de P añadiendo por lo menos un punto, entonces Ejemplos.- Para el intervalo [0, 4] los siguientes conjuntos representan particiones: P 1 = { 0, 1, 2, 3, 4}, P 2 = { 0, 1, 3/2 ,4}, P 3 = { 0, 2, 5/2, 3, 7/2, 4}, P 4 = { 0, 1, 3/2, 2, 3, 7/2, 4} Siendo P 4 un refinamiento de P 1 ,
7. Función Acotada Una función se dice que es acotada sobre un intervalo [ a , b ], si existen números reales m , M tales que Dada una partición P de [ a , b ], y f una función acotada sobre [ a , b ], entonces f es acotada sobre cada sub-intervalo en consecuencia números reales m i , M i tales que verificándose la desigualdad NOTA.- Si la función f es continua sobre [ a , b ], entonces M i = valor máximo de f sobre [ a , b ] y m i = valor mínimo de f
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9. Solución: En la solución de éstos ejemplos debemos tener en cuenta que las funciones son continuas, y los intervalos donde crece o decrece ya que: m i = f ( x i-1 ), M i = f ( x i ) si la función es creciente, caso contrario si fuera decreciente. -6 -4 -2 0 2 4 6 36 16 4 0 4 16 36
10. OBSERVACION.- Como y sumando esta desigualdad desde i = 1 hasta i = n se obtiene (*) Donde es el conjunto de todas las posibles particiones de [ a , b ] Ya que (*) se cumple para elemento de , se generan dos conjuntos acotados de números reales y
11. Integral superior e integral inferior Integral superior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Integral inferior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Definición.- Una función acotada sobre [ a , b ] se dice que es integrable según Reimann, si las integrales superior e inferior coinciden lo que se denota por: Y se lee como la integral definida de la función f desde a hasta b . La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se simboliza por una S alargada
12. Lema.- Si P 1 , P 2 son dos particiones del intervalo [ a , b ] tales que , entonces para toda función f acotada sobre [ a , b ] se cumple: 1. 2.
13. Teorema 1.- Si f es una función acotada sobre [ a , b ] , entonces Teorema 2.- Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces NOTA.- Como entonces Es decir con un error máximo de
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15. Teorema 3.- Toda función f acotada sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo, sí y sólo si para tal que Teorema 4.- Toda función f continua sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo. Teorema 5.- Si f es una función continua sobre [ a , b ], entonces para cada , y todos los
16. OBSERVACION.- Por el teorema anterior, la integral definida se puede expresar como: En particular, si P es una partición regular con n +1 puntos, entonces es equivalente a y como x i * podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e ó de modo que