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Partición Regular.-  Dado un intervalo [ a ,  b ] una partición  P  se dice que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud. Para una partición con  n +1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se denota por  es decir, [ a ,  b ] se divide en  n  partes iguales,  siendo los puntos de la partición: Refinamiento de una partición.-  Dado una partición  P  de [ a ,  b ], ésta se puede hacer más fina agregando mas puntos. Si  P 1  se obtiene de  P  añadiendo por lo menos un punto, entonces  Ejemplos.-   Para el intervalo [0, 4] los siguientes conjuntos representan particiones:  P 1  = { 0, 1, 2, 3, 4},  P 2  = { 0, 1, 3/2 ,4},  P 3  = { 0, 2, 5/2, 3, 7/2, 4}, P 4  = { 0, 1, 3/2, 2, 3, 7/2, 4} Siendo  P 4   un refinamiento de  P 1 ,
Función Acotada Una función  se dice que es acotada sobre un intervalo [ a ,  b ], si existen números reales  m ,  M  tales que  Dada una partición  P  de [ a ,  b ],  y  f  una función acotada sobre [ a ,  b ],  entonces  f  es acotada sobre cada sub-intervalo  en consecuencia  números reales  m i ,  M i  tales que  verificándose la desigualdad NOTA.-  Si la función f es continua sobre [ a ,  b ], entonces M i  = valor máximo de  f  sobre [ a ,  b ] y  m i  = valor mínimo de  f
Suma superior y Suma inferior Dada una partición P del intervalo [ a ,  b ] y  f  una función acotada sobre éste intervalo, la suma superior de  f  con la partición  P  se denota por  SS ( f ,  P ) y se define mediante: Análogamente la suma inferior de  f  con  P  se denota por  SI ( f ,  P ) y se define mediante:  ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Solución:  En la solución de éstos ejemplos debemos tener en cuenta que las funciones son continuas, y los intervalos donde crece o decrece  ya que:  m i  =  f ( x i-1 ),  M i  =  f ( x i )  si la función es creciente,  caso contrario si fuera decreciente.  -6 -4 -2 0 2 4 6 36 16 4 0 4 16 36
OBSERVACION.-  Como  y  sumando esta desigualdad desde  i  =  1  hasta  i  =  n   se obtiene (*) Donde  es el conjunto de todas las posibles particiones de [ a ,  b ] Ya que (*) se cumple para elemento de  , se generan dos conjuntos acotados  de números reales  y
Integral superior e integral inferior Integral superior de  f   sobre el intervalo [ a ,  b ]  denotado por  Integral inferior de  f   sobre el intervalo [ a ,  b ]  denotado por Definición.-  Una función  acotada sobre [ a ,  b ] se dice que es integrable según  Reimann,  si las integrales superior e inferior coinciden lo que se denota por: Y se lee como la integral definida de la función  f  desde  a  hasta  b . La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se simboliza por una  S  alargada
Lema.-   Si P 1  , P 2   son dos particiones del intervalo [ a ,  b ] tales que  , entonces para toda función  f  acotada sobre [ a ,  b ] se cumple: 1.  2.
Teorema 1.-   Si  f  es una función acotada sobre [ a ,  b ] , entonces Teorema 2.-  Si  f  es integrable sobre [ a ,  b ]  entonces NOTA.-  Como  entonces Es decir  con un error máximo de
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Solución 1 a: con un error máximo de 0.22, ya que 0 1 2 3 4 5 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.03
Teorema 3.-  Toda función  f  acotada sobre [ a ,  b ] es integrable sobre éste intervalo, sí y sólo si para  tal que Teorema 4.-  Toda función  f   continua sobre [ a ,  b ] es integrable sobre éste intervalo. Teorema 5.-  Si  f   es una función continua sobre [ a ,  b ], entonces para  cada  ,  y todos los
OBSERVACION.-   Por el teorema anterior, la integral definida se puede expresar como: En particular, si  P  es una partición regular con  n +1 puntos, entonces  es equivalente a  y como  x i * podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e ó  de modo que
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PROPIEDADES  ……….. (continuación) 6. Si  f   es integrable sobre [ a ,  b ],  es integrable sobre [ a ,  b ] 7. Si  f   es una función par sobre [ a ,  b ] (  ), y [ a ,  b ] es un intervalo simétrico respecto del origen, entonces 8. Si  f   es una función impar sobre [ a ,  b ] (  ), y [ a ,  b ] es un intervalo simétrico respecto del origen, entonces ,[object Object],[object Object],[object Object]

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La Integral Definida

  • 1.
  • 2. La integral Definida El símbolo de Sumatoria Definición.- Dado n números reales , para expresar la suma de éstos números se emplea el símbolo y se lee como la suma de los desde hasta , i.e Ejemplo.- La suma de los primeros n enteros se expresa como igualmente la suma de los cuadrados de los primeros n enteros es
  • 3. Propiedades de la Sumatoria Algunas veces se expresa como
  • 4.  
  • 5. Particiones, Suma superior y Suma inferior Partición.- Dado un intervalo [ a, b ], donde a < b, el conjunto de puntos recibe el nombre de partición del intervalo dado. Geométricamente tenemos: Toda partición P de un intervalo [ a, b ], divide a éste en n sub-intervalos no necesariamente de igual longitud La longitud del i-ésimo sub-intervalo se denota por y la longitud de la partición P se denota por
  • 6. Partición Regular.- Dado un intervalo [ a , b ] una partición P se dice que es regular si todos los sub-intervalos tienen la misma longitud. Para una partición con n +1 puntos, la longitud de cada sub-intervalo se denota por es decir, [ a , b ] se divide en n partes iguales, siendo los puntos de la partición: Refinamiento de una partición.- Dado una partición P de [ a , b ], ésta se puede hacer más fina agregando mas puntos. Si P 1 se obtiene de P añadiendo por lo menos un punto, entonces Ejemplos.- Para el intervalo [0, 4] los siguientes conjuntos representan particiones: P 1 = { 0, 1, 2, 3, 4}, P 2 = { 0, 1, 3/2 ,4}, P 3 = { 0, 2, 5/2, 3, 7/2, 4}, P 4 = { 0, 1, 3/2, 2, 3, 7/2, 4} Siendo P 4 un refinamiento de P 1 ,
  • 7. Función Acotada Una función se dice que es acotada sobre un intervalo [ a , b ], si existen números reales m , M tales que Dada una partición P de [ a , b ], y f una función acotada sobre [ a , b ], entonces f es acotada sobre cada sub-intervalo en consecuencia números reales m i , M i tales que verificándose la desigualdad NOTA.- Si la función f es continua sobre [ a , b ], entonces M i = valor máximo de f sobre [ a , b ] y m i = valor mínimo de f
  • 8.
  • 9. Solución: En la solución de éstos ejemplos debemos tener en cuenta que las funciones son continuas, y los intervalos donde crece o decrece ya que: m i = f ( x i-1 ), M i = f ( x i ) si la función es creciente, caso contrario si fuera decreciente. -6 -4 -2 0 2 4 6 36 16 4 0 4 16 36
  • 10. OBSERVACION.- Como y sumando esta desigualdad desde i = 1 hasta i = n se obtiene (*) Donde es el conjunto de todas las posibles particiones de [ a , b ] Ya que (*) se cumple para elemento de , se generan dos conjuntos acotados de números reales y
  • 11. Integral superior e integral inferior Integral superior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Integral inferior de f sobre el intervalo [ a , b ] denotado por Definición.- Una función acotada sobre [ a , b ] se dice que es integrable según Reimann, si las integrales superior e inferior coinciden lo que se denota por: Y se lee como la integral definida de la función f desde a hasta b . La integral definida es un número real que se obtiene poniendo juntas partes de algo conocido como proceso de integración, el cual se simboliza por una S alargada
  • 12. Lema.- Si P 1 , P 2 son dos particiones del intervalo [ a , b ] tales que , entonces para toda función f acotada sobre [ a , b ] se cumple: 1. 2.
  • 13. Teorema 1.- Si f es una función acotada sobre [ a , b ] , entonces Teorema 2.- Si f es integrable sobre [ a , b ] entonces NOTA.- Como entonces Es decir con un error máximo de
  • 14.
  • 15. Teorema 3.- Toda función f acotada sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo, sí y sólo si para tal que Teorema 4.- Toda función f continua sobre [ a , b ] es integrable sobre éste intervalo. Teorema 5.- Si f es una función continua sobre [ a , b ], entonces para cada , y todos los
  • 16. OBSERVACION.- Por el teorema anterior, la integral definida se puede expresar como: En particular, si P es una partición regular con n +1 puntos, entonces es equivalente a y como x i * podría ser uno de los extremos del i-ésimo intervalo, i.e ó de modo que
  • 17.
  • 18.
  • 19.
  • 20.