El resumen trata sobre un examen parcial de matemáticas que contiene los siguientes temas: 1) Cálculo de límites, incluyendo el uso de teoremas y propiedades de límites. 2) Determinación de la existencia de límites utilizando una gráfica dada. 3) Conceptos de continuidad y cálculo de límites laterales. 4) Cálculo de derivadas utilizando definiciones. 5) Verificación de fórmulas de derivadas.

1. SEGUNDO PARCIAL DE MATEMATICA I 7-9am
Profesor: Fabio Valencia M
1)Haciendo todo el procedimiento, calcular, cada uno de los siguientes límites
i)
2x 5
lim
√x 4x
2x 5 2x 5 2x 5 5
2x 5 |x| 2
lim lim lim x lim x x lim x
√x 4x √x 4x √x 4x x 4x x 4x
|x| √x x x x
=
5 1
2 2 5 lim 2 5 0
x x
lim 2
4 1 1 4 0
1 1 4 lim
x x
Recuerden que lim 0
___________________________________________________________________________
ii)
x 3x 1 x 3 x 2x 3 x 3 x 1
lim lim lim
x 4x 5x 2 x 4x 5x 2 x 1 x 2
x 3 x 1 x 3
lim lim ∞
x 1 x 2 x 1 x 2
Recuerde que lim 3x 1 2 y la factorización x 4x 5x 2 aplicando división
sintética
1 -4 +5 -2 L1 x 4x 5x 2 =(x-1) ( x 3x 2 )= x 2 x 1
_1_ -3_ 2____
1 -3 2 0 reemplazando x 3x 2 x 2 x 1

2. Aplicamos el teorema que afirma que si lim se tiene que lim f x c c>0 y
=0 tal que x g(x) 0 por valores positivos entonces ∞
____________________________________________________________________________
iii)
π
sen 3x
lim 2
π
x
6
Hacemos un cambio de variable t= x cuando x t→0
π π π π π π
sen 3 t sen 3t 3 sen 3t
lim 6 2 lim 6 2 lim 2 2
→ t → t → t
sen 3t π sen3tcosπ senπcos3t sen3t 1 0 cos3t
lim lim lim
→ t → t → t
sen3t sen3t
lim 3 lim 3
→ t → 3t

3. 2)Considere la función f cuya gráfica se ilustra.
Utilizando la gráfica de f hallar si existen cada uno de los siguientes límites. Justifique
claramente cada respuesta, en el caso de que no exista el límite
i)lim f x)= -1 ii)lim f x)=2 iii) lim f x)= 1 iv) lim f x) = ∞
v) lim f x) = no existe
porque los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser iguales
vii) i)lim f x)= 5/2 porque f x) es la recta y=mx b que pasa por los puntos 1,4) y
3,1) calculamos y-4= x-1) se tiene y=f x)=-3/2 x-1) 4 lim 3/2 x 1) 4=5/2
viii) lim f x)= 1 ix) lim f x)=-∞
x)lim f x) no existe los límites por la dercha y por la izquierda deben existir y ser iguales
xi) lim f x)=2 xii) lim f x)=1

4. )= si x 2
3)Sea
x ax a si 2 x
i)Escriba las condiciones que debe cumplir la función f para que se continua en x=2
a).Debe existir f(2) b) debe existir el límite lim f(x) c) lim f(x) = f(2)
ii)Halle los valores de la constante a tales que la función f dada es continua en x=2
Como la función es continua en dos por hipótesis se cumple a) b) y si el límite existe
debe ser igual por la derecha y por al izquierda
(3x 6)(3x 1)
3x 5x 2 3 (x 2)(3x 1)
lim f(x) = lim = lim = lim
x 2 x 2 x 2
(x 2)(3x 1)
lim = lim 3x 1=7
x 2
lim x ax a =4 2a a
Igualamos
4 2a a =7
a 2a 3=0
Factorizando tenemos a 2a 3 = (a 3)(a 1) = 0
De donde a=3 y a = -1 para que la función f sea continua en x=2

5. 4) Sea
f x)=√x 1 2
i) Utilizar la definición para hallar en el punto a,f a))
f(x + h) f(x) √x + h 1 + 2 (√x 1 + 2)
lim = lim
h h

6. √x h 1 2 √x 1 2 √x h 1 √x 1
lim lim
→ h → h
Multiplicamos y dividimos por √x h 1 √x 1
√x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1
lim lim
h h √x h 1 √x 1
√x h 1 √x 1 x h 1 x 1
lim lim
h √x h 1 x 1 h √x h 1 x 1
h 1 1
lim lim
h √x h 1 x 1 √x h 1 x 1 2√x 1
Esta es la derivada en cualquier punto, la calculamos en a,f a
calculada en a, f a es
√
ii La ecuación de la recta tangente a la curva f x √x 1 2 tiene pendiente
√
pero también podemos calcular su pendiente con los dos puntos a,f a y 0,2
y y 2 f a 2 f a
x x 0 a a
Igualamos las dos pendientes calculamos f a √a 1 2
√
1 √a 1
2√a 1 a
-a 2 √a 1 tenemos -a 2 a-1 entonces -a 2a-2 de donde a 2 y f a 3
El punto a,f a es 2,3

7. 5 Haciendo todo el procedimiento verificar que
D = =
) )
x 1 1 x 1 1 x 1 x 1
D
x 1 3 x 1 x 1
x 1 1 x 1 x 1 x 1
D
x 1 3 x 1 x 1
x 1 1 x 1 2
D
x 1 3 x 1 x 1
x 1 1 x 1 2 1 x 1
D 2 x 1
x 1 3 x 1 x 1 3
x 1
x 1 1 x 1 2 1 x 1
D 2 x 1
x 1 3 x 1 x 1 3
x 1
x 1 1 x 1 2 x 1
D 2 x 1
x 1 3 3
x 1 x 1
B)Calcule la siguiente derivada
D (sen (5x 4x

8. D sen 5x 4x 2 sen 5x 4x 3 sen 5x cos 5x 5 4
D sen 5x 4x 2 sen 5x 4x 15sen 5x cos 5x 4