El resumen trata sobre un examen parcial de matemáticas que incluye tres problemas. El primer problema involucra calcular límites. El segundo problema pide determinar si ciertos límites existen usando una gráfica dada. El tercer problema trata sobre continuidad de funciones y hallar valores para que una función sea continua.

1. SEGUNDO PARCIAL DE MATEMATICA I 7-9am
Profesor: Fabio Valencia M
1)Haciendo todo el procedimiento, calcular, cada uno de los siguientes límites
i)
2x 5
lim
√x 4x
2x 5 2x 5 2x 5 5
2x 5 |x| 2
lim lim lim x lim x x lim x
√x 4x √x 4x √x 4x x 4x x 4x
|x| √x x x x
=
5 1
2 2 5 lim 2 5 0
x x
lim 2
4 1 1 4 0
1 1 4 lim
x x
Recuerden que lim 0
___________________________________________________________________________
ii)
x 3x 1 x 3 x 2x 3 x 3 x 1
lim lim lim
x 4x 5x 2 x 4x 5x 2 x 1 x 2
x 3 x 1 x 3
lim lim ∞
x 1 x 2 x 1 x 2
Recuerde que lim 3x 1 2 y la factorización x 4x 5x 2 aplicando división
sintética
1 -4 +5 -2 L1 x 4x 5x 2 =(x-1) ( x 3x 2 )= x 2 x 1
_1_ -3_ 2____
1 -3 2 0 reemplazando x 3x 2 x 2 x 1

2. Aplicamos el teorema que afirma que si lim se tiene que lim f x c c>0 y
=0 tal que x g(x) 0 por valores positivos entonces ∞
____________________________________________________________________________
iii)
π
sen 3x
lim 2
π
x
6
Hacemos un cambio de variable t= x cuando x t→0
π π π π π π
sen 3 t sen 3t 3 sen 3t
lim 6 2 lim 6 2 lim 2 2
→ t → t → t
sen 3t π sen3tcosπ senπcos3t sen3t 1 0 cos3t
lim lim lim
→ t → t → t
sen3t sen3t
lim 3 lim 3
→ t → 3t

3. 2)Considere la función f cuya gráfica se ilustra.
Utilizando la gráfica de f hallar si existen cada uno de los siguientes límites. Justifique
claramente cada respuesta, en el caso de que no exista el límite
i)lim f x)= -1 ii)lim f x)=2 iii) lim f x)= 1 iv) lim f x) = ∞
v) lim f x) = no existe
porque los límites por la derecha y por la izquierda deben existir y ser iguales
vii) i)lim f x)= 5/2 porque f x) es la recta y=mx b que pasa por los puntos 1,4) y
3,1) calculamos y-4= x-1) se tiene y=f x)=-3/2 x-1) 4 lim 3/2 x 1) 4=5/2
viii) lim f x)= 1 ix) lim f x)=-∞
x)lim f x) no existe los límites por la dercha y por la izquierda deben existir y ser iguales
xi) lim f x)=2 xii) lim f x)=1

4. )= si x 2
3)Sea
x ax a si 2 x
i)Escriba las condiciones que debe cumplir la función f para que se continua en x=2
a).Debe existir f(2) b) debe existir el límite lim f(x) c) lim f(x) = f(2)
ii)Halle los valores de la constante a tales que la función f dada es continua en x=2
Como la función es continua en dos por hipótesis se cumple a) b) y si el límite existe
debe ser igual por la derecha y por al izquierda
(3x 6)(3x 1)
3x 5x 2 3 (x 2)(3x 1)
lim f(x) = lim = lim = lim
x 2 x 2 x 2
(x 2)(3x 1)
lim = lim 3x 1=7
x 2
lim x ax a =4 2a a
Igualamos
4 2a a =7
a 2a 3=0
Factorizando tenemos a 2a 3 = (a 3)(a 1) = 0
De donde a=3 y a = -1 para que la función f sea continua en x=2

5. 4) Sea
f x)=√x 1 2
i) Utilizar la definición para hallar en el punto a,f a))
f(x + h) f(x) √x + h 1 + 2 (√x 1 + 2)
lim = lim
h h

6. √x h 1 2 √x 1 2 √x h 1 √x 1
lim lim
→ h → h
Multiplicamos y dividimos por √x h 1 √x 1
√x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1 √x h 1 √x 1
lim lim
h h √x h 1 √x 1
√x h 1 √x 1 x h 1 x 1
lim lim
h √x h 1 x 1 h √x h 1 x 1
h 1 1
lim lim
h √x h 1 x 1 √x h 1 x 1 2√x 1
Esta es la derivada en cualquier punto, la calculamos en a,f a
calculada en a, f a es
√
ii La ecuación de la recta tangente a la curva f x √x 1 2 tiene pendiente
√
pero también podemos calcular su pendiente con los dos puntos a,f a y 0,2
y y 2 f a 2 f a
x x 0 a a
Igualamos las dos pendientes calculamos f a √a 1 2
√
1 √a 1
2√a 1 a
-a 2 √a 1 tenemos -a 2 a-1 entonces -a 2a-2 de donde a 2 y f a 3
El punto a,f a es 2,3

7. 5 Haciendo todo el procedimiento verificar que
D = =
) )
x 1 1 x 1 1 x 1 x 1
D
x 1 3 x 1 x 1
x 1 1 x 1 x 1 x 1
D
x 1 3 x 1 x 1
x 1 1 x 1 2
D
x 1 3 x 1 x 1
x 1 1 x 1 2 1 x 1
D 2 x 1
x 1 3 x 1 x 1 3
x 1
x 1 1 x 1 2 1 x 1
D 2 x 1
x 1 3 x 1 x 1 3
x 1
x 1 1 x 1 2 x 1
D 2 x 1
x 1 3 3
x 1 x 1
B)Calcule la siguiente derivada
D (sen (5x 4x

8. D sen 5x 4x 2 sen 5x 4x 3 sen 5x cos 5x 5 4
D sen 5x 4x 2 sen 5x 4x 15sen 5x cos 5x 4