Este documento presenta una introducción a las funciones reales de una variable real, incluyendo conceptos como dominio, recorrido, límite y continuidad. Contiene problemas para determinar dominios y recorridos de funciones, estudiar la paridad y continuidad de funciones, y calcular límites. El objetivo es analizar diferentes tipos de funciones y sus propiedades fundamentales.

1. UNIDAD 2: Funciones reales de una variable real.
Tema 2. Introducción.
Concepto de función. Dominio y recorrido. Diferentes formas de expresar una
función. Descripción y análisis de la gráfica de algunas funciones conocidas.
Conceptos de límite y continuidad.
Problemas
1. Expresar la longitud “l” de una cuerda de un círculo de r = 8 en función de su distancia x al
centro. ¿Cuál es el dominio de la función?
2. Determinar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:
a) f ( x) = − x 2 + 1
⎧ x − 1 si 0 < x < 1
b) f ( x) = ⎨
⎩ 2 x si 1 ≤ x
c) f ( x) = [x ] = E(x) = el mayor entero ≤ x
x2 − 4
d) f ( x) =
x−2
e) f ( x) = 5 − x 2
f) f ( x) = −4 x
g) f ( x) = x − 3
h) f ( x) = 4
x
x
i) f ( x) =
x
j) f ( x) = x − x
⎧ x si x ≥ 0
k) f ( x) = ⎨
⎩2 si x < 0
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2. 3. Determinar el dominio de las siguientes funciones:
x2 +1
a) f ( x) =
x2 −1
b) g ( x) = x 2 − 2 x − 3
⎛ x + 1⎞
c) h( x) = sen⎜ ⎟
⎝ x −1⎠
⎛ x +1 ⎞
d) l ( x) = arccos⎜ 2 ⎟
⎝ x + 1⎠
⎛ x2 + x + 3 ⎞
e) m( x) = log⎜ 5 − 1⎟
⎜ x2 +1 ⎟
⎝ ⎠
4. Representar las siguientes funciones, indicando el tipo de transformación sufrido por su
gráfica base respectiva:
a) y = x 3 + 5
b) y = cos( x + 1)
c) y = −( x − 1)
d) y = − x
e) y = sin x − 2
f) y = ( x + 5) 3 + 3
2
g) y = − + 2
x
x +3
h) y = e + 5
i) y = 3 − ln( x − 2)
5. Estudiar la paridad de las siguientes funciones:
sen x + x + x 3
a) f ( x) =
x 2 + cos x + 4
x4 + x2 +1
b) g ( x) = 5
x + x3 + 2
c) h( x) = sen x + tg x
sen x + sen 3 x
d) m( x ) =
cos 2 x + 1
sen x cos x
e) n( x ) =
x5 + x
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3. ⎧x 2 − m x<2
6. Calcular m para que la función f ( x) = ⎨ tenga límite en x = 2 .
⎩ 3x − 1 x≥2
3x 2 + 2 x − 1 1
7. Dadas f ( x) = y g ( x) = , calcular:
2x + 2 x
a) lim( f ( x) + g ( x))
x →2
b) lim( f ( x)·g ( x))
x→ 2
f ( x)
c) lim
x→ 2 g ( x)
8. Calcular los siguientes límites:
1
=0 (tg x + sen 2 x) ln(1 + x 2 )
1. lim x sen 10. lim =2
x →0 x x →0 x(1 − cos x)
1
2. lim x sen =1 x −1 − 2 1
x →∞ x 11. lim =
x →5 x 2 − 25 40
1 − cos x 1
3. lim = sen x − cos x 2
x →0 x2 4 12. lim =−
x →π / 4 1 − tg x 2
x − sen 2 x 1
4. lim =− ⎛π ⎞
x →0 x + sen 3x 4 13. lim x sen⎜ ⎟ = π
x →∞
⎝ x⎠
1− x2 2
5. lim = 2 x − sen2 x
x →1 sen πx π 14. lim =0
x →0 x2
(2 x + 3) 3 (3 x − 2) 2
6. lim = 72 x 5 − 5x 3 + 2
x →∞ ( x 5 + 5) 15. lim = −2
x →0 2 x 5 + 4 x 4 − 1
7. lim[ln(2 x + 1) − ln( x + 2) = ln 2
x →∞ x 5 − 3x 4 + x 2 + 2
16. lim =0
x →∞ x ( x 5 + x 4 − 12)
x − 3x + 2 1
3
8. lim =
x →1 x 4 − 4 x + 3 2 x 5 − 5x 3 + 2 1
17. lim =
x →∞ 2 x 5 + x 4 − 1 2
1 + sen x − 1 − sen x
9. lim =1
x →0 x e ax − e bx
18. lim = a−b
x →0 x
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4. x 8 + 3x 6 23. Calcular a para que:
19. lim =0 ax 2 +1
x →∞ x (e 0.002 x − 10)
⎛ x2 + x +1 ⎞ x
lim ⎜ ⎟ = e2 (a=4)
x →∞⎜ x2 ⎟
20. lim(cos x) 1 / sen x
= e =1
0
⎝ ⎠
x →0
⎛ x+a⎞
x
⎛ x +1 ⎞ 24. Calcular a para que: lim ⎜ ⎟ =4
sen⎜ 2 ⎟ x →∞ x − a
⎝ x + 3⎠ = 1 ⎝ ⎠
21. lim (a=ln2)
x →∞ ⎛ x+3 ⎞
log⎜1 + 2 ⎟
⎝ x +7⎠
25. lim x
x →∞
( )
x+2 − x =∞
22. lim
x →∞
(x 2
)
+ x + 1 − x 2 − 2x − 1 =
3
2
4 − 14 + x
9. La función f ( x) = tiene una discontinuidad en x = 2 . ¿Redefinir f para que sea
2− x
continua en todo IR?
⎧ x +1 x ≤ −1
⎪ 2
10. Estudiar la continuidad de la función f ( x) = ⎨ x − 1 − 1 < x ≤ 1 .
⎪ x2 x >1
⎩
⎧2 x + a x≤0
11. Calcular el valor de a para que f ( x) = ⎨ sea continua.
⎩ x x>0
x ⎛π ⎞
12. Demostrar que la ecuación sen x = tiene alguna solución en el intervalo ⎜ ,π ⎟ .
2 ⎝6 ⎠
13. Demostrar que la ecuación x 3 − x = 5 tiene alguna solución real y acotarla entre dos enteros
consecutivos.
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