Campo electrico y potencial electrico

ELECTROMAGNETISMO
INGENIERÍA INDUSTRIAL
TEMA DE INVESTIGACION
ELECTROMAGNETISMO
CAMPO ELECTRICO
Y
POTENCIAL ELECTRICO
LIC. GILBERTO OLAN CAMPOS
INSTRUCTOR

ELECTROMAGNETISMO
C O N T E N I D O
 T E M A D E I V E S T I G A C I O N
CAMPO ELECTRICO
 Definición
o Campo eléctrico uniforme
o Campo eléctrico no uniforme
o Definición mediante la Ley de Coulomb
o Definición Formal
 Líneas de campo eléctrico
o Definición Temática
o Descripción
o Propiedades de Campo Eléctrico
 Dipolo eléctrico
o Momento de un Dipolo
o Momento Dipolar De Una Distribución De Carga
o Densidad volumétrica dipolar y densidades de carga ligada
 Campo producido por cuerpos cargados no puntuales
o Concepto de campo
o Potencial debido a una carga puntual
o Potencial debido a dos cargas puntuales
POTENCIAL ELECTRICO
 Concepto de potencial eléctrico
 Energía potencial eléctrica
 Cuerpo con carga puntual
o Esfera conductora cargada
 Conjunto de cuerpos con carga puntual
 Distribución continua de cargas
o Potencial eléctrico generado por una distribución discreta
de cargas
o Potencial eléctrico generado por una distribución continua
de cargas
EDEN CANO RODRIGUEZ
INGENIERIA INDUSTRIAL

ELECTROMAGNETISMO
 Diferencia de potencial
a) Por placas
b) por cilindros
 Relación entre campo eléctrico y potencial eléctrico
CAMPO ELECTRICO

ELECTROMAGNETISMO
 DEFINICION CAMPO ELECTRICO
La presencia de carga eléctrica en una región del espacio modifica las
características de dicho espacio dando lugar a un campo eléctrico. Así pues,
podemos considerar un campo eléctrico como una región del espacio cuyas
propiedades han sido modificadas por la presencia de una carga eléctrica, de tal
modo que al introducir en dicho campo eléctrico una nueva carga eléctrica, ésta
experimentará una fuerza.
El campo eléctrico se representa matemáticamente mediante el vector campo
eléctrico, definido como el cociente entre la fuerza eléctrica que experimenta una
carga testigo y el valor de esa carga testigo (una carga testigo positiva).
La definición más intuitiva del campo eléctrico se la puede dar mediante la ley de
Coulomb. Esta ley, una vez generalizada, permite expresar el campo entre
distribuciones de carga en reposo relativo. Sin embargo, para cargas en
movimiento se requiere una definición más formal y completa, se requiere el uso
de cuadrivectores y el principio de mínima acción.
Debe tenerse presente de todas maneras que desde el punto de vista relativista, la
definición de campo eléctrico es relativa y no absoluta, ya que observadores en
movimiento relativo entre sí medirán campos eléctricos o "partes eléctricas"
del campo electromagnético diferentes, por lo que el campo eléctrico medido
dependerá del sistema de referencia escogido.
 CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico
uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección
del campo, tal como muestra la figura.

ELECTROMAGNETISMO
Una carga de prueba qse mueve de A hacia Ben un campo eléctrico
uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.
Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por
efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B.
La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la
carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una
fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El
trabajo realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:
Teniendo en cuenta que:
sustituyendo se obtiene:
Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad
de campo en un caso sencillo especial.
El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un
agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba
de A hacia B.

ELECTROMAGNETISMO
Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico no
uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.
 CAMPO ELÉCTRICO NO UNIFORME
En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una
fuerza sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la
carga acelere, debe aplicarse una fuerza que sea exactamente igual
a para todas las posiciones del cuerpo de prueba.
Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un
corrimiento a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo
desarrollado por el agente externo es . Para obtener el trabajo
total hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las
contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha
dividido la trayectoria. Así se obtiene:
Como , al sustituir en esta expresión, se obtiene que
Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial al infinito toma el
valor de cero, esta ecuación da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el
subíndice B,
Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos
cualesquiera si se conoce .

ELECTROMAGNETISMO
 DEFINICION MEDIANTE LA LEY DE COULOMB
Partiendo de la ley de Coulomb que expresa que la fuerza entre dos cargas en
reposo relativo depende del cuadrado de la distancia, matemáticamente es igual
a:1
Dónde:
es la permitividad eléctrica del vacío, constante definida en el sistema
internacional,
Son las cargas que interactúan,
es la distancia entre ambas cargas,
, es el vector de posición relativa de la carga 2 respecto a la carga 1.
y es el unitario en la dirección . Nótese que
en la fórmula se está usando , esta es la
permitividad en el vacío. Para calcular la
interacción en otro medio es necesario cambiar
la permitividad de dicho medio. ( )
La ley anterior presuponía que la posición de
una partícula en un instante dado, hace que su
campo eléctrico afecte en el mismo instante a
cualquier otra carga. Ese tipo de interacciones
en las que el efecto sobre el resto de partículas
parece depender sólo de la posición de la partícula causante sin importar la
distancia entre las partículas se denomina en física acción. Si bien la noción de
acción a distancia fue aceptada inicialmente por el propio Newton, experimentos
más cuidados a lo largo del siglo XIX llevaron a desechar dicha noción como no-
realista. En ese contexto se pensó que el campo eléctrico no sólo era un artificio
matemático sino un ente físico que se propaga a una velocidad finita (la velocidad
de la luz) hasta afectar a otras partículas. Esa idea conllevaba modificar la ley de
Coulomb de acuerdo con los requerimientos de la teoría de la relatividad y dotar
de entidad física al campo eléctrico.1 Así, el campo eléctrico es una distorsión
electromagnética que sufre el espacio debido a la presencia de una carga.

ELECTROMAGNETISMO
Considerando esto se puede obtener una expresión del campo eléctrico cuando
este sólo depende de la distancia entre las cargas:
Donde claramente se tiene que, la que es una de las definiciones más
conocidas acerca del campo eléctrico. Para una distribución continua de cargas el
campo eléctrico viene dado por:
 DEFINICION FORMAL
La definición más formal de campo eléctrico, válida también para cargas
moviéndose a velocidades cercanas a la de la luz, surge a partir de calcular
la acción de una partícula cargada en movimiento a través de un campo
electromagnético.2 Este campo forma parte de un único campo electromagnético
tensorial definido por un potencial cuadrivectorial de la forma:
donde es el potencial escalar y es el potencial vectorial tridimensional. Así, de
acuerdo al principio de mínima acción, se plantea para una partícula en
movimiento en un espacio cuadridimensional:
Donde es la carga de la partícula, es su masa y la velocidad de la luz.
Reemplazando (1) en (2) y conociendo que , donde es el
diferencial de la posición definida y es la velocidad de
la partícula, se obtiene:
El término dentro de la integral se conoce como el lagrangiano del sistema;
derivando esta expresión con respecto a la velocidad se obtiene el momento de la

ELECTROMAGNETISMO
partícula, y aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange se encuentra que la
variación temporal de la cantidad de movimiento de la partícula es:
De donde se obtiene la fuerza total de la partícula. Los dos primeros términos son
independientes de la velocidad de la partícula, mientras que el último depende de
ella. Entonces a los dos primeros se les asocia el campo eléctrico y al tercero
el campo magnético. Así se encuentra la definición más general para el campo
eléctrico:
La ecuación (5) brinda mucha información acerca del campo eléctrico. Por un lado,
el primer término indica que un campo eléctrico es producido por la variación
temporal de un potencial vectorial descrito como donde es el campo
magnético; y por otro, el segundo representa la muy conocida descripción del
campo como el gradiente de un potencial.
 LINEAS DE CAMPO ELECTRICO
El concepto de líneas de campo (o líneas de fuerza)
fue introducido por Michael Faraday (1791-1867).
Son líneas imaginarias que ayudan a visualizar cómo
va variando la dirección del campo eléctrico al pasar
de un punto a otro del espacio. Indican las
trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva
si se la abandona libremente, por lo que las líneas de
campo salen de las cargas positivas y llegan a las
cargas negativas.
En física, las líneas de campo son una ayuda para visualizar
un campo electrostático, magnético o cualquier otro campo vectorial estático.
Esencialmente forman un mapa del campo. Se llaman líneas de campo eléctrico a
aquellas líneas que, en cada uno de sus puntos, son tangentes al vector campo
eléctrico.

ELECTROMAGNETISMO
El campo eléctrico puede por tanto representarse mediante estas líneas, que
indicarán la dirección del campo en cualquier punto. El campo eléctrico creado
por una carga puntual es un campo central (el vector campo siempre tiene
dirección radial), por lo que sus líneas de campo serán rectas que se cortan en el
punto donde está situada la carga. Las líneas de campo debidas a varias cargas
puntuales son líneas curvas, cuya forma depende de los valores de las cargas y
de sus posiciones.
 DEFINICION TEMATICA
Dado un campo vectorial definido sobre una región d ℝn
o sobre un abierto de una
variedad diferenciable las líneas de campo son las curvas integrales de dicho
campo vectorial.
Expresándolo con una ecuación, siendo F(X) un campo vectorial de R3→R3, una
línea de flujo para F es una trayectoria α(t)R→R3, tal que:
F(α(t))= α'(t)
Esto es, F produce el campo de velocidad de la trayectoria α(t).
Así dada una región física donde se ha definido un campo vectorial estático, existe
una colección de curvas tales que:
(1) Todo punto de la región donde existe el campo pertenece a una y sólo una de
las curvas de la colección, trivialmente eso implica que las curvas de campo no se
intersecan entre sí.

ELECTROMAGNETISMO
(2) El vector tangente a cualquiera de las curvas coincide con el campo vectorial.
 DESCRIPCION
Cada línea está dibujada de forma que el campo es tangente a la misma en cada
punto de ésta y las puntas de las flechas indican la dirección del campo
(Suponiendo una carga positiva). El espacio entre ellas indica el valor del campo.
En las regiones en donde las líneas están muy juntas este es muy grande,
mientras que donde están muy separadas es muy pequeño.
De aquí se deduce que la densidad de líneas es proporcional al campo. Así, un
campo uniforme estará representado por líneas de campo igualmente espaciadas,
rectas y paralelas.
Además las líneas de campo definen superficies equipotenciales perpendiculares
a estas.
 PROPIEDADES DE LAS LINEAS DE CAMPO
 La dirección del recorrido es el mismo que el del vector en cada punto.
 Pueden ser cerradas, como en el campo magnético; o abiertas, como en el
campo gravitatorio.
 No se pueden cortar.
 Si son salientes, el punto de donde proceden se llama fuente. Si son entrantes,
se llama sumidero.
 Si el campo es uniforme, son rectas paralelas e igualmente espaciadas.
 Cuando tienden a converger el campo es más intenso.
 Son perpendiculares a las superficies equipotenciales
 CONCEPTO DE DIPOLO ELECTRICO
Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas de signo opuesto e igual
magnitud cercanas entre sí.

ELECTROMAGNETISMO
Los dipolos aparecen en cuerpos aislantes dieléctricos. A diferencia de lo que
ocurre en los materiales conductores, en los aislantes los electrones no son libres.
Al aplicar un campo eléctrico a un dieléctrico aislante éste se polariza dando lugar
a que los dipolos eléctricos se reorienten en la dirección del campo disminuyendo
la intensidad de éste.
Es el caso de la molécula de agua, aunque tiene una carga total neutra (igual
número de protones que de electrones), presenta una distribución asimétrica de
sus electrones, lo que la convierte en una molécula polar, alrededor del oxígeno se
concentra una densidad de carga negativa, mientras que los núcleos de hidrógeno
quedan desnudos, desprovistos parcialmente de sus electrones y manifiestan, por
tanto, una densidad de carga positiva. Por eso en la práctica, la molécula de agua
se comporta como un dipolo.
Así se establecen interacciones dipolo-dipolo entre las propias moléculas de agua,
formándose enlaces o puentes de hidrógeno. La carga parcial negativa del
oxígeno de una molécula ejerce atracción electrostática sobre las cargas parciales
positivas de los átomos de hidrógeno de otras moléculas adyacentes.
Aunque son uniones débiles, el hecho de que alrededor de cada molécula de agua
se dispongan otras cuatro moléculas unidas por puentes de hidrógeno permite que
se forme en el agua (líquida o sólida) una estructura de tipo reticular, responsable
en gran parte de su comportamiento anómalo y de la peculiaridad de sus
propiedades fisicoquímicas.
 MOMENTO DE UN DIPOLO
Si se coloca un dipolo en un campo eléctrico ( ) uniforme, ambas cargas (+Q y -
Q), separadas una distancia 2a, experimentan fuerzas de igual magnitud y de
dirección contraria y , en consecuencia, la fuerza neta es cero y no hay
aceleración lineal (ver figura (a)) pero hay un torque neto respecto al eje que pasa
por O cuya magnitud está dada por:
Teniendo en cuenta que y , se obtiene:
Así, un dipolo eléctrico sumergido en un campo eléctrico externo , experimenta
un torque que tiende a alinearlo con el campo:

ELECTROMAGNETISMO
Los vectores respectivos se muestran en la figura (b).
Se define el momento dipolar eléctrico como una magnitud
Vectorial con módulo igual al producto de la carga q por la distancia que las
separa d, cuya dirección va de la carga negativa a la positiva:
Para valores suficientemente bajos del módulo del campo eléctrico externo, puede
probarse que el momento dipolar es aproximadamente proporcional a aquél. En
efecto:
Siendo la polarizabilidad electrónica.
Debe hacerse trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para
cambiar la orientación del dipolo en el campo. Este trabajo queda almacenado
como energía potencial U en el sistema formado por el dipolo y el dispositivo
utilizado para establecer el campo externo.
Si en la figura (a) tiene el valor inicial , el trabajo requerido para hacer girar el
dipolo, está dado por:
Teniendo en cuenta la igualdad:
Como solo interesan los cambios de energía potencial, se escoge la orientación de
referencia de un valor conveniente, en este caso 90º. Así se obtiene:
lo cual se puede expresar en forma vectorial:

ELECTROMAGNETISMO
 MOMENTO DIPOLAR DE UAN DISTRIBUCION DE CARGA
Dos cargas puntuales iguales q y de signo contrario, separadas una
distancia (colocada a lo largo del eje X) tienen un campo eléctrico dado por:
Dónde:
es el ángulo formado por el vector de posición de un punto dentro del
campo y el momento dipolar del par de cargas.
es la distancia al centro del dipolo.
Desarrollando la expresión anterior en desarrollo en serie de Taylor hasta primer
orden se obtiene:
Ignorando frente a , teniendo en cuenta que y que y
escribiendo rotando a ejes generales se tiene:
 Densidad volumétrica dipolar y densidades de carga ligada
Si en lugar de disponer de un único dipolo disponemos de una cierta distribución
dipolar de carga hemos de introducir una nueva característica del medio definida
como el momento dipolar por unidad de volumen.

ELECTROMAGNETISMO
Esta densidad dipolar "genera" unas densidades de carga que crean un campo
equivalente a las cargas libres. Se genera una densidad de carga volumétrica en
toda la distribución y una carga superficial en la frontera que separa el material del
exterior. Vienen dadas por las siguientes expresiones.
 CAMPOS PRODUCIDOS POR CUERPOS CARGADOS
NO PUNTUALES
(CONCEPTO DE CAMPO)
Es más útil, imaginar que cada uno de los cuerpos cargados modifica las
propiedades del espacio que lo rodea con su sola presencia. Supongamos, que
solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q del
punto P. Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P. Al volver a
poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la
ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.
Cada punto P del espacio que
rodea a la carga Q tiene una nueva
propiedad, que se denomina
campo eléctrico.
E que escribiremos mediante una
magnitud vectorial, que se define
como la fuerza sobre la unidad de
carga positiva imaginariamente
situada en el punto P.
La unidad de medida del campo en el S.I. de Unidades es el N/C

ELECTROMAGNETISMO
En la figura, hemos dibujado el campo en el punto P producido por una
carga Q positiva y negativa respectivamente.
Ejemplos de potencial eléctrico asociados a diferentes distribuciones de carga
Potencial debido a una carga puntual
Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el
campo producido por una carga
Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura.
Según se muestra, apunta a la derecha y , que siempre está en la dirección
del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente:
Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la
dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:
Por lo cual:
Combinando esta expresión con la de E para una carga puntual se obtiene:

ELECTROMAGNETISMO
Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que
, considerando que en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:
Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una
carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.
Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual
Potencial debido a dos cargas puntuales
El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales
debido a cada carga individual en dicho punto.
Siendo y las distancias entre las cargas y y el punto P respectivamente.

ELECTROMAGNETISMO
POTENCIAL ELECTRICO

ELECTROMAGNETISMO
 CONCEPTO DE POTENCIAL ELECTRICO
El potencial eléctrico o potencial electrostático en un punto, es el trabajo que
debe realizar un campo electrostático para mover una carga positiva desde dicho
punto hasta el punto de referencia,1 dividido por unidad de carga de prueba. Dicho
de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una
carga positiva unitaria q desde el punto de referencia hasta el punto considerado
en contra de la fuerza eléctrica a velocidad constante. Matemáticamente se
expresa por:
El potencial eléctrico sólo se puede definir para un campo estático producido por
cargas que ocupan una región finita del espacio. Para cargas en movimiento debe
recurrirse a los potenciales de Liénard-Wiechert para representar un campo
electromagnético que además incorpore el efecto de retardo, ya que las
perturbaciones del campo eléctrico no se pueden propagar más rápido que
la velocidad de la luz. Si se considera que las cargas están fuera de dicho campo,
la carga no cuenta con energía y el potencial eléctrico equivale al trabajo
necesario para llevar la carga desde el exterior del campo hasta el punto
considerado. La unidad del Sistema Internacional es el voltio (V). Todos los puntos
de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial forman una superficie
equipotencial. Una forma alternativa de ver al potencial eléctrico es que a
diferencia de la energía potencial eléctrica o electrostática, él caracteriza sólo una
región del espacio sin tomar en cuenta la carga que se coloca allí.
La referencia cero se suele tomar en el estado en que las cargas puntuales están
muy separadas ("separadas infinitamente") y están en reposo.

ELECTROMAGNETISMO
 TRABAJO ELECTRICO Y ENERGIA POTENCIAL
ELCTRICA
La Energía potencial electrostática o Energía potencial eléctrica es un tipo
de energía potencial (medida en julios) que resulta de la fuerza de Coulomb y está
asociada a la configuración particular de un conjunto de cargas puntuales en un
sistema definido. No se debe confundir con el potencial eléctrico (medido
en voltios). El término "Energía potencial eléctrica" se suele emplear para describir
la energía potencial en sistemas con campos eléctricos que varían con el tiempo,
mientras que el término "Energía potencial electrostática" hace referencia a la
energía potencial en sistemas con campos eléctricos constantes en el tiempo.
Considérese una carga eléctrica puntual en presencia de un campo eléctrico .
La carga experimentará una fuerza eléctrica:
Esta fuerza realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto A a otro B, de
tal forma que para producir un pequeño desplazamiento la fuerza eléctrica hará
un trabajo diferencial expresado como:
Por lo tanto, integrando la expresión se obtiene el trabajo total realizado por el
campo eléctrico:
Figura 1

ELECTROMAGNETISMO
Un caso particular de la fórmula anterior, es el de un campo eléctrico definido
creado por una carga puntual estática Q. Sea una carga puntual que recorre una
determinada trayectoria A -B en las inmediaciones de una carga tal y como
muestra la figura 1. Siendo el desplazamiento infinitesimal de la carga en la
dirección radial, el trabajo diferencial se puede expresar así:
(4)
Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante de
la carga y la posición final B, distante de la carga :
(5)
De la expresión (5) se concluye que el trabajo no depende de la trayectoria
seguida por la partícula, sólo depende de la posición inicial y final, lo cual implica
que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa. Por lo tanto se puede definir
una energía potencial que permite calcular el trabajo más fácilmente:
(6)
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para desplazar una partícula
entre A y B será:
(7)
Usualmente, el nivel cero de energía potencial se suele establecer en el infinito, es
decir, si y sólo si (esto tiene que ver con la elección de la
constante de integración en la fórmula del potencial).
 CUERPO CON CARGA PUNTUAL
Una carga puntual es una carga eléctrica hipotética, de magnitud finita, contenida
en un punto geométrico carente de toda dimensión, en otras palabras una carga
puntual consiste en dos cuerpos con carga que son muy pequeños en
comparación con la distancia que los separa. Esta suposición resulta muy práctica
al resolver problemas de electrostática, pues los efectos derivados de

ELECTROMAGNETISMO
una distribución de cargas en un espacio finito se anulan y el problema se
simplifica enormemente.
Ya que el punto no tiene volumen, superficie ni longitud, la densidad (lineal, de
superficie o volumétrica) de una carga puntual de magnitud finita es infinita; así
que las cargas puntuales no existen en realidad. De cualquier modo,para resolver
un problema donde las dimensiones reales del espacio en que está(n)
contenida(s) la(s) carga(s) son despreciables comparándolas con otras
dimensiones dadas por el problema, resulta muy útil considerar las cargas como
puntuales. Éste es el caso del electrón, cuyo radio es inmensamente pequeño
comparado con las distancias de las órbitas atómicas, por ejemplo...
En el caso de que la carga esté contenida dentro de una geometría esférica, ha
sido demostrado que dicha carga se comporta exactamente como una carga
puntual localizada en el centro de la esfera.
Para una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico E producido por otra
carga puntual Q, la energía potencial eléctrica se define como el negativo del
trabajo hecho por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de
referencia rref hasta la posición r: matemáticamente esto es una integral de
línea.2 El campo eléctrico es conservativo, y, para una carga puntual, es radial, por
lo que el trabajo es independiente de la trayectoria y es igual a la diferencia de
energía potencial entre los puntos extremos del movimiento. Matemáticamente:
donde:
 r = posición en un espacio tridimensional, usando coordenadas
cartesianas r = (x, y, z), r = |r| es el módulo del vector de posición,
 es el trabajo hecho para llevar la carga desde la posición de
referencia rref hasta r,
 F = Fuerza producida sobre q por Q,
 E = Campo eléctrico producido por Q.
Normalmente UE se considera cero cuando rref es infinito:
por lo que

ELECTROMAGNETISMO
Como E y por lo tanto F, y r, son radiales desde Q, F y dr deben ser
anti paralelos por lo que
usando la Ley de Coulomb:
podemos evaluar la integral:
Normalmente la constante ke llamada Constante de
Coulomb se usa en estas expresiones. En unidades
del Sistema Internacional, la constante de Coulomb es
,
siendo la constante dieléctrica.
 ESFERA CONDUCTORA CARGADA
Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un
material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo
neutro su interior.
Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es
equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera.
donde es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos
el potencial eléctrico.
Potencial en el interior de la corteza: El campo eléctrico en el interior de una
esfera conductora es cero, de modo que el potencial permanece constante al valor
que alcanza en su superficie.

ELECTROMAGNETISMO
Donde es el radio de la esfera.
 CONJUNTO DE CUERPOS CON CARGA PUNTUAL
El potencial eléctrico (voltaje) producido por cualquier número de cargas puntuales
en cualquier punto del espacio, se puede calcular a partir de laexpresión de carga
puntual mediante su simple suma, ya que el voltaje es una cantidad escalar. El
potencial de una distribución de cargas continua se puede obtener sumando las
contribuciones de cada punto de la fuente de cargas.
El cálculo del potencial es inherentemente más simple que la suma vectorial
requerida en el cálculo del campo eléctrico.
El campo eléctrico exterior a una
distribución de cargas simétrica
esféricamente, es idéntico al de una
carga puntual, según se puede
mostrar por la ley de Gauss. De modo
que el potencial exterior a una
distribución de cargas esférica es
idéntico al de una carga puntual.
El campo eléctrico de múltiples cargas puntuales se puede obtener, tomando
la suma vectorial de los campos eléctricos de las cargas individuales.

ELECTROMAGNETISMO
El campo eléctrico de múltiples cargas puntuales se puede obtener, tomando
la suma vectorial de los campos eléctricos de las cargas individuales.
Después de calcular los campos de
cargas individuales puntuales, se
deben encontrar sus componentes y
sumarlas, para obtener las
componentes del campo resultante. El
campo eléctrico resultante se puede
poner en forma polar. Debido a las
ambigüedades, se debe tener
cuidado al establecer el cuadrante
correcto del ángulo.
 DISTRIBUCION CONTINUA DE CARGAS

ELECTROMAGNETISMO
La carga eléctrica no se presenta siempre como una carga puntual. En la mayoría
de ocasiones la carga (aunque de naturaleza discreta) se presenta como una
distribución continua de la carga a lo largo de una línea, en una superficie o en un
volumen. Así, nos referimos a hilos y planos cargados o incluso sistemas más
complejos como nubes atmosféricas o distribuciones de carga en una molécula.
En el caso de una distribución continua de carga, el campo eléctrico que se
produce en un punto cualquiera, se puede calcular dividiendo la carga en
elementos muy pequeños, dq, hasta poder considerarlos puntuales y así poder
hacer uso del cálculo integral. De esta forma el principio de superposición se
aplica sin más que sustituir el sumatorio por una integral y qi por dq:
El cálculo de estas integrales suele ser complicado, pero si la distribución tiene
una gran simetría se puede hacer consideraciones que permiten conocer como es
el campo de una manera sencilla.
Considera una esfera homogénea de radio R y carga q, la simetría de la
distribución de carga sugiere que las componentes del vector campo en la
dirección perpendicular al radio se anulan dos a dos entre los elementos dq

ELECTROMAGNETISMO
simétricos respecto al radio. De este modo el campo en cada punto debe ser radial
y depender solo de la distancia al centro de la esfera.
El cálculo de la integral conduce a que el campo creado por una distribución
esférica es:
Es decir, el campo eléctrico producido por una esfera cargada, en dos puntos
exteriores a ella r ≥ R , es igual al que produciría si toda su carga estuviera
concentrada en su centro.
El potencial eléctrico (voltaje) en cualquier punto del espacio producido por una
distribución continua de cargas, se puede calcular a partir de la expresión de carga
puntual por medio de la integración, puesto que el voltaje es una cantidad escalar.
La distribución continua de cargas, requiere un
número infinito de elementos de carga para
caracterizarlo, y la suma infinita que se necesita,
es exactamente lo que hace una integral. Para
realmente llevar a cabo la integral, el elemento de
carga se expresa en términos de la geometría de
la distribución, con el uso de alguna densidad de
carga.

ELECTROMAGNETISMO
 POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA
DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE CARGAS
El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene
calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no
existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea:
siendo el valor de la enésima carga y la distancia de la misma al punto en
cuestión. La suma que se efectúa es una suma algebraica y no una suma
vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad
del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a
las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies
equipotenciales con el plano XY.

ELECTROMAGNETISMO
La ecuación de las líneas equipotenciales es:
 POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UNA
DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA
Si la distribución de carga es continua y no una colección de puntos, la suma debe
reemplazarse por una integral:
siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al
punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.
 POTENCIAL ELÉCTRICO GENERADO POR UN PLANO
INFINITO
Un plano infinito con densidad de carga de superficie crea un campo eléctrico
saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante

ELECTROMAGNETISMO
Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial
eléctrico en todo punto x es igual a:
Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0
 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELECTRICO POR
PLACAS Y CILINDROS
Detalle de un circuito integrado SMD.
Circuito electrónico sobre una placa para
prototipos o protoboard
La electrónica es la rama de la física y
especialización de la ingeniería, que estudia y emplea sistemas cuyo
funcionamiento se basa en la conducción y el control del flujo de los electrones u
otras partículas cargadas eléctricamente.
Utiliza una gran variedad de conocimientos, materiales y dispositivos, desde
los semiconductores hasta las válvulas termoiónicas. El diseño y la gran
construcción de circuitos electrónicos para resolver problemas prácticos forma
parte de la electrónica y de los campos de la ingeniería electrónica,
electromecánica y la informática en el diseño de software para su control. El
estudio de nuevos dispositivos semiconductores y su tecnología se suele
considerar una rama de la física, más concretamente en la rama de ingeniería de
materiales.
Considérese una carga de prueba positiva en presencia de un campo eléctrico
y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en
equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga,
la diferencia de potencial eléctrico se define como:

ELECTROMAGNETISMO
El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial
eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial
eléctrico en A. La unidad en el SI para la diferencia de potencial que se deduce de
la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva
unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 joule/coulomb.
Un electronvoltio (eV) es la energía adquirida para un electrón al moverse a través
de una diferencia de potencial de 1 V, 1 eV = 1,6x10-19 J. Algunas veces se
necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectronvoltios (keV),
megaelectronvoltios (MeV) y los gigaelectronvoltios (GeV). (1 keV=103 eV, 1 MeV
= 106 eV, y 1 GeV = 109eV).
Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más
intuitivo, se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito
representa la energía que posee cada unidad de carga al paso por dicho punto.
Así, si dicha unidad de carga recorre un circuito constituyéndose en corriente
eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o voltaje) a medida que
atraviesa los diferentes componentes del mismo. Obviamente, la energía perdida
por cada unidad de carga se manifestará como trabajo realizado en dicho circuito
(calentamiento en una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un motor,
etc.). Por el contrario, esta energía perdida se recupera al paso por fuentes
generadoras de tensión. Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en un
punto (energía por unidad de carga situada en ese punto) y corriente eléctrica
(número de cargas que atraviesan dicho punto por segundo).
Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia (en rigor el infinito) de toda
carga y el potencial eléctrico a esta distancia infinita recibe arbitrariamente el
valor cero. Esto permite definir el potencial eléctrico en un
punto poniendo y eliminando los índices:
siendo el trabajo que debe hacer un agente exterior para mover la carga de
prueba desde el infinito al punto en cuestión.
Obsérvese que la igualdad planteada depende de que se da arbitrariamente el
valor cero al potencial en la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera

ELECTROMAGNETISMO
podido escogerse de cualquier otro valor así como también se hubiera podido
seleccionar cualquier otro punto de referencia.
También es de hacer notar que según la expresión que define el potencial
eléctrico en un punto, el potencial en un punto cercano a una carga positiva
aislada es positivo porque debe hacerse trabajo positivo mediante un agente
exterior para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito.
Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo porque
un agente exterior debe ejercer una fuerza (trabajo negativo en este caso) para
sostener a la carga de prueba (positiva) cuando esta (la carga positiva) viene
desde el infinito.
Por último, el potencial eléctrico queda definido como un escalar
porque y son escalares.
Tanto como son independientes de la trayectoria que se siga al
mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el
punto B no tendría un potencial eléctrico único con respecto al punto A y el
concepto de potencial sería de utilidad restringida.
Una carga de prueba se mueve desde A hasta B en el campo de carga q
siguiendo una de dos trayectorias. Las flechas muestran a E en tres puntos de la
trayectoria II
Es posible demostrar que las diferencias de potencial son independientes de la
trayectoria para el caso especial representado en la figura. Para mayor simplicidad
se han escogido los puntos A y B en una recta radial.
Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia B siguiendo la trayectoria I
sobre una recta radial o la trayectoria II completamente arbitraria.
La trayectoria II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada
formada por secciones de arco y secciones radiales alternadas. Puesto que estas
secciones se pueden hacer tan pequeñas como se desee, la trayectoria quebrada
puede aproximarse a la trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II el

ELECTROMAGNETISMO
agente externo hace trabajo solamente a lo largo de las secciones radiales,
porque a lo largo de los arcos, la fuerza y el corrimiento son perpendiculares
y en tales casos es nulo. La suma del trabajo hecho en los segmentos
radiales que constituyen la trayectoria II es el mismo que el trabajo efectuado en la
trayectoria I, porque cada trayectoria está compuesta del mismo conjunto de
segmentos radiales. Como la trayectoria II es arbitraria, se ha demostrado que el
trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias que unen A con B.
Aun cuando esta prueba sólo es válida para el caso especial ilustrado en la figura,
la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria para dos puntos
cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se desprende de ello el carácter
conservativo de la interacción electrostática el cual está asociado a la naturaleza
central de las fuerzas electrostáticas.
Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple que , donde d
es la distancia entre las placas paralelas y E es el campo eléctrico constante en la
región entre las placas.
 RELACION ENTRE CAMPO ELECTRICO Y POTENCIAL
ELECTRICO
La diferencia de potencial (ddp) es el impulso que necesita una carga eléctrica
para que pueda fluir por el conductor de un circuito eléctrico, esta corriente cesará
cuando ambos puntos igualen su potencial eléctrico.
Si la energía (E) que el generador cede al circuito durante su funcionamiento es
directamente proporcional a su dpp (V) y a la carga, q (C), que pone en
movimiento.
Por lo tanto la d.d.p o diferencia de potencial
es:

ELECTROMAGNETISMO
Su unidad en el S.I. es el voltio
V:
Después de ver el campo, E, y el potencial, V, son dos formas distintas de
caracterizar el campo eléctrico, interesa fijarse en la relación entre ambos
conceptos. La relación matemática entre ambos conceptos se expresa diciendo
que el campo es igual al gradiente (negativo) del potencial, y esto, limitando el
análisis a una sola componente espacial, x, se reduce a:
Expresión que supone que la magnitud de la componente del campo eléctrico en
la dirección adoptada, x, equivale al ritmo de variación del potencial eléctrico con
la distancia. El signo menos indica que la orientación del campo es la que coincide
con el sentido hacia el que el potencial decrece.
En la figura de la izquierda se visualiza esta
relación en el caso del campo creado por una
carga puntual de signo positivo. En este caso,
las líneas de fuerza del campo eléctrico forman
un haz que emerge de la carga en todas las
direcciones y se dirige hacia el exterior. Junto
con ellas, se han dibujado también tres
superficies esféricas (1, 2 y 3) con centro en la
carga. Son superficies equipotenciales, ya
que, como el valor del potencial eléctrico
depende únicamente de la carga y de la
distancia, en todos los puntos que pertenecen a
cada una de estas superficies, el potencial tiene un valor constante. El dibujo
completo muestra que, tal como predice la relación escrita un poco más arriba, las
líneas del campo eléctrico atraviesan a dichas superficies equipotenciales
perpendicularmente y se dirigen desde donde el potencial el mayor (superficie 1)
hacia donde es menor (superficie 3).
Este tipo de representación, que dibuja las líneas de fuerza del campo y
superficies equipotenciales, es muy instructivo, porque, después de calcular el

ELECTROMAGNETISMO
potencial el cada punto circundante a cualquier distribución de carga, ayuda a
prever la dirección y el sentido de las líneas de fuerza del campo, y viceversa.
Como ejemplo, se muestran a la derecha las líneas del campo eléctrico (en color
rojo) y las superficies equipotenciales (en azul) de un dipolo eléctrico, formado
por dos cargas puntuales de signos opuestos (la positiva representada de color
rojo y la negativa de color verde).
Un caso de especial interés es el condensador plano. Entre sus placas el campo
eléctrico es prácticamente uniforme y por eso sus líneas de fuerza son casi
paralelas. Dichas líneas se dirigen desde la zona donde el potencial el mayor (la
placa con carga positiva) hacia donde es menor (la placa con carga negativa). A
su camino atraviesan las superficies equipotenciales, en este caso planos
paralelos a las placas, siendo mayor el potencial cuanto más cerca se esté de la
placa positiva (superficie 1) y menor cuanto más cerca ese esté de la negativa
(superficie 3).
En este caso especial, la intensidad del campo eléctrico
uniforme existente entre las placas y la tensión, V, o

ELECTROMAGNETISMO
diferencia de potencial entre ellas, se relacionan mediante la sencilla expresión:
En este documento se deducen, mediante desarrollos sencillos, las dos
expresiones que aparecen en esta página. Quienes estén interesados, pueden
consultar en este otro documento el desarrollo de la relación entre el campo y el
potencial eléctrico creados por una carga puntual, considerando las tres
dimensiones del espacio.
Edén Cano Rodríguez
26 de abril del 2015
Carretera a Chichicapa No.520 Santo Domingo
Comalcalco,Tabasco

ELECTROMAGNETISMO
UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CAMPUS COMALCALCO
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