Campo magnetico

Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla
1/65Tema 6: Campo magnético
Tema 6: Campo Magnético
Fátima Masot Conde
Ing. Industrial 2007/08
1. Introducción.
2. Fuerza ejercida por un campo magnético.
3. Líneas de campo magnético y flujo magnético.
4. Ley de Gauss del campo magnético.
5. Cargas en movimiento dentro de un campo magnético.
5.1 Aplicaciones: Selector de velocidad. Relación carga-masa (Expto.
Thomson). Espectrómetro de masas. Ciclotrón.
6. Fuerza magnética sobre un conductor que transporta una corriente.
7. Fuerza y momento magnético sobre una espira de corriente. Momento
dipolar magnético.
8. Fuentes del campo magnético.
8.1 Campo que crea una carga puntual en movimiento.
8.2 Campo que crea un elemento de corriente.
9. Fuerza entre conductores paralelos. Definición de Amperio.
10. Ley de Ampère.
10.1 Limitaciones de la Ley de Ampère.
Índice:
Tema 6: Campo Magnético

Introducción
Utilidades técnicas:Utilidades técnicas:
Sistemas mecánicos para
manejo de industria pesada,
motores, altavoces, sistemas
de enfriamiento…
Algo de historia:Algo de historia:
Brújula: China, s. XIII a.C.
Magnetita (Fe3O4). Grecia. 800 a.C.
Introducción
Descubrimiento de polos
N y S de un imán.
Descubrimiento de polos
N y S de un imán.
Descubrimiento de la Tierra
como imán natural.
Descubrimiento de la Tierra
como imán natural.
Descubrimiento de la la ley
del cuadrado inverso para
las fuerzas magnéticas.
Descubrimiento de la
inseparabilidad de los polos.
Descubrimiento de la la ley
del cuadrado inverso para
las fuerzas magnéticas.
Descubrimiento de la
inseparabilidad de los polos.
Año 1700. J. MitchellAño 1700. J. Mitchell
Año 1600. W. Gilbert.Año 1600. W. Gilbert.
Año 1269. Pierre de MaricourtAño 1269. Pierre de Maricourt

Descubrimiento de la relación del magnetismo con la electricidad
Año 1819. OerstedAño 1819. Oersted Descubre cómo variaciones en una corriente
eléctrica afectan a una brújula (produce un
campo magnético).
Descubre cómo variaciones en una corriente
eléctrica afectan a una brújula (produce un
campo magnético).
Año 1800 AmpèreAño 1800 Ampère Deduce las leyes de las fuerzas magnéticas
entre conductores, y la interpretación
microscópica del origen del magnetismo.
Deduce las leyes de las fuerzas magnéticas
entre conductores, y la interpretación
microscópica del origen del magnetismo.
Año 1850 Faraday-HenryAño 1850 Faraday-Henry Descubren cómo se produce una
corriente eléctrica por el
movimiento de un imán (produce
un campo eléctrico).
Descubren cómo se produce una
corriente eléctrica por el
movimiento de un imán (produce
un campo eléctrico).
Introducción
Maxwell: Unificación total de
la teoría del electromagnetismo
Maxwell: Unificación total de
la teoría del electromagnetismo
Leyes de MaxwellLeyes de Maxwell
Introducción

Fuerza magnética - Campo magnético
Comparemos el campo eléctrico
y el campo magnético:
Una carga eléctrica, en reposo o
en movimiento, genera un campo
eléctrico en su entorno y
Ese campo eléctrico ejerce una
fuerza sobre cualquier
carga, en reposo o en
movimiento, que esté dentro del
campo
~Fe = q ~E
q
carga en reposo
o en movimiento
qo
qoE
carga en reposo o en
movimiento
Fuerza debida al campo eléctrico
Fuerza magnética
En cambio, el campo magnético:
¿Cómo es esa fuerza magnética?
• Es generado sólo por cargas en movimiento
y
• Actúa sólo sobre cargas en movimiento

Fuerza magnética
Si tenemos una carga q, en movimiento dentro de un
campo magnético (por ejemplo, en las proximidades
de un imán), experimentalmente vemos que:
• La fuerza magnética es proporcional a la
carga q de la partícula (con su signo)
• La fuerza magnética es proporcional a la
velocidad v de la partícula
• Su módulo y dirección dependen de la
dirección relativa entre la velocidad v y
el campo magnético B, observándose que:
B
Llamamos B al
campo magnético
v
Fuerza magnética
• La fuerza magnética es siempre
perpendicular al plano que forman v y B (su
sentido, dado por la regla de la mano
derecha)
• Su módulo es proporcional al seno del
ángulo que forman v y B. (senφ)
Sobre una carga positiva, es opuesta a la que
experimenta una carga negativa en las
mismas condiciones de movimiento.
Si la partícula se mueve
paralela al campo, la fuerza
magnética es cero.

Fuerza magnética
Todo esto se puede resumir matemáticamente:
~FB = q (~v ∧ B)
fuerza magnética
sobre la carga
carga de la partícula
campo
magnético
velocidad de
la partícula
Módulo: |~FB| = |q|vB sen θ
Dirección:
Regla de la
mano derecha
Diferencias entre el campo eléctrico y el campo magnético
Eléctrico Magnético
~FB · d~s = (~FB · ~v) dt = 0
~FB ⊥ ~B~Fe||~E
La energía cinética de la carga no se ve
alterada por un campo magnético constante
La energía cinética de la carga no se ve
alterada por un campo magnético constante
FB NO realiza trabajo (porque es
a la trayectoria)
FB actúa sobre una carga sólo si
está en movimiento
Fe actúa sobre una carga
SIEMPRE (esté en reposo o
mov.)
Fe realiza trabajo al desplazar la
carga

Líneas de campo magnético y flujo magnético
Ocupan todo el espacio (aunque
sólo se pinten algunas)
Igual que en el campo
eléctrico, el campo magnético también
se puede representar por
líneas de campo.
se trazan en cualquier punto, de modo
que la línea sea tangente al vector
campo en dicho punto.
Alta densidad de líneas: Campo magnético intenso
Baja densidad de líneas: Campo magnético débil
Las líneas se cierran sobre sí mismas
y nunca se cruzan

Flujo eléctricoFlujo eléctrico Flujo magnéticoFlujo magnético
φe =
I
S
~E d~s φB =
I
S
~B d~s
[φB] = [B][s]
Wb='Weber'
Tesla · m2
≡
N · m
A
Unidades:Unidades:
Casos especiales
φB = B⊥A = BA cos φ
φB = B · A
~B
Si B y A son perpendiculares
(B perpendicular a la superficie)
Si la superficie es PLANA
y B es UNIFORME:
(cos φ =1)
A

En ese caso: (~B ⊥ ~A)
dφB ≡ B dA
~B
A
B =
dφB
dA
B=flujo por unidad de
área perpendicular
al campo
De ahí su nombre alternativo:
B=''densidad de flujo magnético''
Ley de Gauss para ~E Ley de Gauss para ~B
I
S
~E d~s =
q
ε0
I
S
~B d~s = 0
La ‘carga’ magnética
neta dentro de
cualquier superficie es
nula.
La ‘carga’ magnética
neta dentro de
cualquier superficie es
nula.
El flujo a través de
cualquier superficie
cerrada es nulo
El flujo a través de
cualquier superficie
cerrada es nulo
Esto es así debido a que no
existe la 'carga magnética' como
tal, de forma aislada.
Esto es así debido a que no
existe la 'carga magnética' como
tal, de forma aislada.
Ley de Gauss para ~B
Monopolo magnético

Ley de Gauss para B
• Las líneas de campo eléctrico
comienzan y terminan en
cargas eléctricas (fuentes o
sumideros)
• Las líneas de campo
magnético nunca tienen
extremos (un principio o un
fin). Se cierran sobre sí mismas
formando espiras cerradas.
Cuando parecen surgir de un
norte y terminar en un sur, en
realidad continúan por dentro
del imán.
De ahí surge una diferencia entre las líneas de campo eléctrico
y las de campo magnético:
Dipolo eléctrico Dipolo magnético
Cargas en movimiento dentro de un campo magnético
fig
27.15
sears
no altera el módulo de v,
(sólo su dirección), y la
EK de la partícula no
cambia.
Partícula que se mueve en el
seno de un equipo magnético
perpendicular.
Partícula que se mueve en el
seno de un equipo magnético
perpendicular.
~FB = q(~v ∧ ~B)
Como FB es a v,
Si B es uniforme
Sea una partícula que entra
perpendicular a un campo
uniforme. La fuerza sobre ella:

Actúa como
fuerza centrípeta
~FB = |q|vB = m
v2
R
R =
mv
|q|B
p=cantidad de
movimiento
Radio de la
trayectoria circular
fig
27.15
sears
Movimiento circular de una carga en
un campo uniforme perpendicular
Movimiento circular de una carga en
un campo uniforme perpendicular
Si ~v ⊥ ~B
La frecuencia angular:
ω =
v
R
= v
|q|B
mv
=
|q|B
m
'frecuencia de ciclotrón'
Es independiente de v y de R
La frecuencia lineal
y el período:
Aplicación: CICLOTRÓN
f =
ω
2π
1
T
f
=

•La componente de v paralela
a B permanece constante.
•La componente perpendicular
sufre la misma desviación que
en el caso anterior.
Movimiento helicoidal de la
carga en un campo uniforme
no perpendicular
Movimiento helicoidal de la
carga en un campo uniforme
no perpendicular
ResultadoResultado
Movimiento helicoidal
Radio de la h´elice: R =
mv⊥
|q|B
Si ~v 6⊥ ~B
Confinamiento de plasmas calientes
Cinturones de radiación de Van Allen debido al campo terrestre
Si ~B no es uniforme
22.7 SEARS
Aplicación: Confinamiento magnético (Botella de Leyden)

Cinturones de Van Allen
Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos
Sirve para seleccionar partículas de un
haz con una velocidad determinada.
Una haz de partículas, de carga q y
masa m entra en una región de campo
eléctrico y magnético perpendiculares.
Las partículas que no se desvían son
aquellas que cumplen:
v =
E
B
Selector de velocidad

Relación carga-masa (Experimento de Thomson)
Básicamente consiste en un
acelerador y un selector de
velocidad.
En el acelerador,
Ep = eV
v =
r
2eV
m
En el selector, las partículas que
no se desvían, cumplen:
E
B
=
r
2eV
m
e
m
=
E2
2V B2
magnitudes fácilmente medibles
EK =
1
2
mv2
Esa relación no depende del material del tubo, ni de ningún otro
aspecto del experimento
Esta independencia demuestra que esas partículas son un
componente común de la materia (electrones)
A Thomson se le atribuye su descubrimiento
e
m
= 1.7588 × 1011
C/kg
Con este experimento no se puede medir la carga o la masa por
separado, sólo su relación.
Millikan, más adelante, consiguió medir la carga, con lo que el valor
de la masa del electrón quedó determinada en
m = 9.109 × 10−31
kg

Espectrómetro de masas
Extensión del experimento de Thomson a
medidas de masas atómicas, moleculares,
iónicas...
Consta de:
• Un selector de velocidades o un acelerador
• Una región de campo magnético
La relación carga-masa de la partícula se
determina midiendo el radio de la trayectoria,
que impresiona la partícula en una placa
fotográfica.
•Para el selector de velocidades: v =
E
B
•Para el acelerador: 1
2
mv2
= qV v =
r
2qV
m
velocidad voltaje
En cualquier caso, el radio de
la trayectoria verifica: q
m
=
v
RBR =
mv
qB

Ciclotrón:
Es un acelerador de partículas
Utiliza/se basa en el hecho de que
la frecuencia ciclotrónica no
depende de la velocidad (de la
partícula)
La partícula sufre sucesivas aceleraciones en la región de campo
eléctrico, cuya polaridad se invierte alternada y precisamente
gracias a la frecuencia de ciclotrón.
• Partiendo de la fuerza magnética sobre una
carga individual:
• La fuerza sobre cada elemento de carga dq
del chorro de carga:
Fuerza magnética
sobre un conductor que transporta una corriente:
~FB = q
Ã
d~l
dt
∧ ~B
!
~FB = q(~v ∧ ~B)
d~FB = dq
Ã
d~l
dt
∧ ~B
!

d~FB = dq
Ã
d~l
dt
∧ ~B
!
elemento de longitud
recorrido por la carga
a lo largo del cable
intensidad de
corriente I
d~FB = I
³
d~l ∧ ~B
´
~FB =
Z
cable
d~FB =
Z
cable
I
³
d~l ∧ ~B
´
= I~l ∧ ~B
longitud del segmento
de cable recto
Si el alambre es recto y B es uniforme:
Fuerza magnética
sobre un conductor que transporta una corriente:
Dirección:
Módulo: F = I aB
±x
Par de fuerzas
Si tenemos una espira rectangular de lados a y b dentro
de un campo magnético B
•La fuerza sobre los lados a:
(perpendiculares al campo)
Fuerza magnética
sobre una espira rectangular:
τ

El momento del par (módulo):
|~τ| =
¯
¯
¯
¯
¯
2X
i=1
~ri ∧ ~Fi
¯
¯
¯
¯
¯
= 2(IBa) sen φ
b
2
Dirección: +y
(la espira gira en torno al eje y)
La fuerza neta sobre una espira de corriente inmersa en
un campo magnético uniforme es cero, aunque no lo es
el momento (par) de giro.
La fuerza neta sobre una espira de corriente inmersa en
un campo magnético uniforme es cero, aunque no lo es
el momento (par) de giro.
|F |
´angulo que
forman ~r y ~F
prod.
vectorial
r
Fuerza magnética
• La fuerza sobre los lados b
(oblicuos al campo):
Dirección:
Módulo: F = I bB sen
³π
2
− φ
´
±y
ángulo que
forman b y B
Esta pareja de fuerzas se contrarrestan. No producen un
par porque actúan (están aplicadas) a lo largo de un mismo
eje (y) y contrarias. Su único efecto sería deformar la
espira, si fuera deformable. Si es rígida, su efecto es nulo.
Esta pareja de fuerzas se contrarrestan. No producen un
par porque actúan (están aplicadas) a lo largo de un mismo
eje (y) y contrarias. Su único efecto sería deformar la
espira, si fuera deformable. Si es rígida, su efecto es nulo.
Fuerza magnética

Momento dipolar magnético
El momento de giro
cuyo módulo: |τ| = (IBa)(b sen φ)
A=área de la espira
ángulo que forma la
normal a la espira
con ~B
se puede expresar como
|τ| = |I ~A ∧ ~B|
~A es normal a la superficie
~r y ~F forman el mismo
ángulo que ~A y ~B
direc(~τ) = direc(~r ∧ ~F)
⊥ ~A ⊥ ~B
~τ = I ~A ∧ ~B = ~μ ∧ ~B
”Momento magnético
de la espira”≡ ~μ
La dirección de τ también coincide con la de ese
producto vectorial:

Los dipolos magnéticos (espiras de corriente) tienden a
orientarse en la dirección del campo.
Los dipolos magnéticos (espiras de corriente) tienden a
orientarse en la dirección del campo.
Entonces, el par cesa
~τ = 0
~μ ↑ ↑ ~B
~μ ↑ ↓ ~B
Equilibro estable
Equilibro inestable
El par de giro τ es nulo cuando μ y B son paralelos
(sen φ=0)
Fuentes del campo magnético
¿Qué es lo que genera un campo magnético?
Las cargas en movimiento
Los campos
magnéticos
Las cargas en
movimiento
sobre cargas
en movimiento
campos
magnéticos
¿cómo?¿cómo?
actúan
producen

Calculamos el campo que crea una carga
puntual en movimiento
Calculamos el campo que crea cualquier
distribución de cargas en movimiento
(corriente)
1)
2)
Cómo las cargas en movimiento producen campos magnéticos
Campo que crea una carga puntual en movimiento
~B =
μ0
4π
q~v ∧ ~ur
r2
unitario en la
dirección r
módulo del
radiovector
de posición
constante
Permeabilidad magnética del vacío:
μ0 = 4π × 10−7 J m
A Exacto! (en realidad se trata
de un valor definido que surge
de la definición de amperio)Wb/Am
Una carga q que se mueve con
velocidad v constante, crea en un
punto P un campo magnético:

REGLA DE LA MANO DERECHA
Con v = dirección del pulgar
REGLA DE LA MANO DERECHA
Con v = dirección del pulgar
Las líneas de campo B son círculos
centrados en la línea de v, en
planos perpendiculares a esa línea
(señalada con un aspa si entra hacia el
papel, o un punto si sale de él)
Campo que crea una carga puntual en movimiento
Campo que crea un elemento de corriente
Un elemento de corriente que transporta una
intensidad I a lo largo de un elemento de
camino dl
se puede asimilar/interpretar como
Un elemento de carga dq , que
se traslada con velocidad v

El campo (diferencial) que crea esa "carga" dq:
d~B =
μ0
4π
dq
~v ∧ ~ur
r2
d~B =
μ0
4π
dq
d~l
dt
∧ ~ur
r2
=
μ0
4π
I
d~l ∧ ~ur
r2
I
=
elemento de carga
con velocidad ~v
Campo que crea un elemento de corriente
Campo magnético de un
elemento de corriente
El campo magnético creado por toda la corriente
simplemente es la integral (teorema de superposición):
~B =
Z
cable
d~B =
μ0
4π
Z
cable
I
d~l ∧ ~ur
r2
Ley de Biot-SavartLey de Biot-Savart
Líneas de campo asociadas a un elemento
de corriente que entra hacia el papel
(idénticas a las de una carga puntual
entrante)
Campo que crea toda la corriente

Ejemplo: Campo creado por un conductor recto
Integrando todos los
elementos de corriente,
obtenemos:
~B =
μ0
2π
I
r
~ur
Intensidad que
transporta el cable
Unitario en la
dirección tangente a
la circunferencia
con centro en el
cableconstantes
Distancia (en
perpendicular) del
punto al cable
Campo que crea toda la corriente
~B =
μ0
2π
I
r
~ur
Ejemplo: Campo creado por un conductor recto
Todos los cortes
transversales al cable
son iguales (el cable
tiene simetría
traslacional a lo largo
del eje)
Simetría del campo
debido a un hilo recto

Fuerza entre conductores paralelos
Sean dos conductores paralelos que transportan
corrientes I e I'
conductor 1 conductor 2
La fuerza que el conductor 1 ejerce sobre un tramo de
longitud L del conductor 2 es:
~F = I0 ~L ∧ ~B
longitud del tramo
conductor 2
Campo creado por
el conductor 1 (en
la línea/región
ocupada por el 2)
Corriente del
conductor 2
¿Cuánto vale
este campo?
¿Cuánto vale
este campo?
fuerza del 1 sobre el 2
F(1 → 2) :
Esto se puede poner así (sin
integral) porque los conductores
son rectos. Veámoslo.

Por Biot-Savart, ya sabemos que
ese campo es:
~B =
μ0
2π
I
r
~ur
Campo producido por un
hilo, a una distancia r
Como ~L ⊥ ~B:
Dirección:
|~F| = I0
LB =
μ0II0
L
2πr
Módulo:
Normal al conductor 2
Atractiva hacia
el conductor 1
corrientes ↑ ↑ se atraen
corrientes ↑ ↓ se repelen
perpendicular
Sustituyendo en ~F = I0 ~L ∧ ~B

Un amperio es la corriente que, transportada por dos
conductores paralelos, separados 1 metro de distancia
en vacío, produce una fuerza atractiva (repulsiva) entre
ellos de (EXACTO) N/m
Un amperio es la corriente que, transportada por dos
conductores paralelos, separados 1 metro de distancia
en vacío, produce una fuerza atractiva (repulsiva) entre
ellos de (EXACTO) N/m
De la ecuación anterior:
|F|
L
=
μ0
2π
II0
r
De aqu´ı surge la deﬁnici´on de μ0 ≡ 4π × 10−7 N
A2 (EXACTO)
Definición "funcional"
(proporciona un
procedimiento
experimental para
medir la corriente)
Definición de Amperio
7
2 10−
×
Ley de Ampère
Hasta ahora, el cálculo del campo magnético lo
hemos hecho
•Se parte la corriente en
elementos diferenciales
•Se calcula el campo
diferencial de cada uno de
ellos
•Se suman (integran) todos
(superposición)
por integración directa:

Recordando:
•Éste es un planteamiento paralelo al del campo
eléctrico
• Pero además de éste, existía en el caso eléctrico
otro método, la Ley de Gauss, que nos permitía
explotar las condiciones de simetría del problema
para calcular ~E
I
S
~E · d~s =
q
ε0
Ley de Ampère
En el caso magnético, la Ley de Gauss no sirve
I
~B d~s = 0
La Ley de Ampère
Ley de Ampère
para calcular B, porque en
ella no aparece relacionado
el campo con la
distribución de corriente
Sin embargo, existe un procedimiento alternativo,
que sí nos permite aprovechar la simetría de la
distribución para este cálculo.

I
C
~B d~l = μ0 I
elemento de
desplazamiento
sobre C
permeabilidad
magnética del vacío
intensidad
enlazada por C
Aunque en apariencia son iguales, esta integral es distinta
a la de la Ley de Gauss:
Ley de Gauss:
Ley de Ampère:
Integral de superficie (flujo)
Integral de línea (circulación)
Ley de Ampère
Ley de AmpèreLey de Ampère
I
C
d~l = I
Signo de I:
Si coincide con el de
C según la regla de
la mano derecha
Si es opuesto
al de C
I > 0 I < 0
C
I < 0
C
I > 0
Ley de Ampère

C
I < 0
I C I
I > 0I < 0
Signo de I:
Ley de Ampère
I > 0
Comprobación de la Ley de Ampère
Cable recto que transporta una
corriente I.
El campo B es tangente a
círculos concéntricos con centro
en el cable. SIMETRÍA AXIAL
En este caso, la elección más razonable de C es
un círculo con centro en el cable, para que dl y B
sean paralelos.
nuestra curva de integración arbitraria

Así:
I
C
~B d~l =
I
C
B dl =
vectores
(producto escalar)
módulos
longitud de la circunferencia= 2πr
= μ0 I
Comprobación de la Ley de Ampère
Y como B es constante para radio constante
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0μ I
B =
2πr
= B
I
C
dl =
μ0I
2πr
2πr
Limitaciones de la Ley de Ampère
Ley de AmpèreLey de Ampère
I
C
~B d~l = μ0 I
∀ curva cerrada C
Sean dos superficies diferentes, S1 y S2,
apoyadas sobre la misma curva cerrada C

A trav´es de S1 atraviesa una corriente I
A trav´es de S2 la intensidad que circula es cero.pero
(por la acumulación de
carga en el condensador)
Entonces "la corriente que
enlaza C" es ambigua, porque
depende de la superficie elegida.
Ley de Ampère generalizada ó Ley Ampère-MaxwellLey de Ampère generalizada ó Ley Ampère-Maxwell
Esta ambigüedad aparece siempre que la corriente varía
con el tiempo, y se puede resolver añadiendo un término
de corriente de desplazamiento (Maxwell)
I
C
~B d~l = μ0(I + Id)
válida para todos los casosválida para todos los casos
corriente de
desplazamiento

Bibliografía
•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
(vol. II)
•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)
•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.
•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”,
Ed. Pearson Education (vol. II)
Fotografías y Figuras, cortesía de
Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté
Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.
Pearson Education

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