1) El documento describe la evolución del pensamiento científico desde las ideas de orden y determinismo de Galileo, Kepler y Newton, hacia las ideas de desorden y caos introducidas por la termodinámica y la teoría del caos. 2) Poincaré demostró que sistemas no lineales complejos como el problema de los tres cuerpos podrían exhibir comportamiento impredecible a pesar de estar gobernados por ecuaciones deterministas. 3) La teoría del caos desarrollada por Lorenz y otros mostró que sistemas

1. Caos

2. " Despiertos, ellos duermen"
HERÁCLITO:
El orden.
El desorden.
El orden desorganizador .
El desorden organizador.
María del Consuelo Valle E.

3. Determinismo

4. Galileo - Kepler – Newton – Laplace
“ La inmutable población de las
estrellas obedece a una inexorable
mecánica”
“El Universo como una evocación al
más perfecto de los relojes”

5. Galileo:
Fecha de
nacimiento : 15
Feb 1564 en Pisa
Muere el 8 de
Enero 1642 en
Florencia

6. Galileo
"De la hipótesis y la deducción al
experimento"
Deducir y formar axiomas a partir de la
experiencia ... deducir y derivar nuevos
experimentos de los axiomas .... Pues el
camino no se halla a un solo nivel sino
que asciende y desciende; primero
ascendiendo hacia los axiomas,
descendiendo luego hacia las obras.

7. Kepler:
Nacimiento: 27
Diciembre 1571 en
Weil der Stadt,
Württemberg, Holy
Roman Empire
(Alemania)
Muerte: 15
Noviembre 1630 en
Regensburg
(Alemania)

8. Poliedros de Kepler:
En su búsqueda
fanática de
armonías
derivó sus tres
leyes

9. Leyes de Kepler:
 Los planetas se mueven en elipses
con el Sol en uno de sus focos.
 La línea recta que une al Sol con el
planeta barre áreas iguales en
tiempos iguales.
 El cuadrado del tiempo de revolución
de cada planeta es proporcional al
cubo de su distancia media del Sol.

10. Isaac Newton:
1643 a 1727
Creador del Cálculo
Diferencial e Integral.
Sus trabajos en óptica
y gravitación hacen
de él uno de los
científicos más
grandes del mundo.

11. Newton:
El matemático del firmamento
TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN
UNIVERSAL
La mecánica celeste de Newton fue
la primera gran síntesis de los
fenómenos naturales.

12. Laplace:
Nacimiento: 23 de
Marzo 1749 en
Beaumont-en-Auge,
Normandy, Francia.
Muere: 5 de Marzo
1827 en Paris.

13. Laplace:
"Si podemos imaginar una conciencia lo
suficientemente grande como para
conocer las ubicaciones exactas y
velocidades de todos los objetos en el
universo actualmente, como también
todas sus fuerzas, entonces no habría
secretos para esta conciencia. Se puede
calcular todo acerca del pasado o futuro
de las leyes de causa y efecto."

14. El universo mecánico:
Determinismo significa
que el universo es
comparable a un reloj
tremendamente preciso,
en el cual el estado
presente de todas las
cosas es la consecuencia
de su estado anterior, y
en la otra mano, la causa
de su estado futuro

15. El paradigma
Analítico

16. Cosmos significa orden

17. Fenómeno ordenado :
Cuando sus movimientos se
pueden explicar en un esquema
de causa y efecto

18. El proceder analítico
Aislar
Separar
Reducir a la unidad
Medir

19. El proceder analítico quiere decir que
una entidad investigada es resuelta
en partes unidas, a partir de las
cuales, puede por lo tanto, ser
constituida o reconstruida,
entendiéndose estos procesos en
sentido conceptual y no sólo en
sentido material.

20. Modo de actuar analíticamente:
 Resolución en encadenamientos
causales aislables.
 Búsqueda de unidades atómicas.

21. Condiciones que debe cumplirse:
 No existen interacciones entre
partes, o estas son tan débiles que
pueden dejarse de lado en ciertas
investigaciones.
 Las relaciones que describen el
comportamiento de las partes
satisfacen la condición de aditividad.

22. Principio:
“Él todo es igual
a la suma de las partes”

23. Debido a la generalidad de ésta
forma de pensar, su proceder es
aplicable a cualquier entidad;
siempre y cuando la naturaleza
particular de las partes o relaciones
entre sus elementos se hagan a un
lado, no se quieran investigar o se
desconozcan.

24. Fenómenos dinámicos:
Sistemas

 
Lineales No lineales

25. Conducta de las ecuaciones de los sistemas
lineales:
En una ecuación de un sistema
lineal, un pequeño cambio en una
variable produce un un efecto
pequeño en las otras variables. Su
respuesta a cualquier perturbación
es proporcional a la intensidad de la
misma.

26. En las ecuaciones de sistemas
lineales la solución de una
ecuación permite
generalizaciones que conduce a
las otras soluciones.

27. Sin embargo, en los
últimos años,
gracias al
desarrollo de las
computadoras y de
mejores métodos
numéricos se ha
encontrado que
existen sistemas
!IMPREDECIBLES!

28. IMPORTANTE:
“Sistemas que a pesar
de estar gobernados
por relaciones precisas
y bien conocidas
(ecuaciones
deterministas), para
algunos valores de sus
condiciones iniciales (a
partir se las cuales se
quiere estudiar su
evolución) se pierde la
capacidad de predecir
el futuro.

29. Cualquier pequeño cambio en el estado
inicial tiene dramáticos efectos sobre el
comportamiento futuro. Para predecir el
fenómeno se necesitan conocer los datos
iniciales con precisión infinita, así como un
control extremo del proceso; esto es
imposible, independientemente de qué tanto
logremos mejorar nuestros aparatos de
medición, y de qué tan bien conozcamos las
relaciones matemáticas que rigen su
comportamiento.

30. Esta característica
es una propiedad
intrínseca del
sistema que no se
evita acumulando
más información y,
sorprendentemente,
su presencia es más
una regla que la
excepción.

31. Muchos sistemas
son capaces de
tener un
comportamiento
predecible o
impredecible, de
acuerdo con las
condiciones a las
que están sujetos.

32. El desorden

33. " La más bella
disposición
es un montón de
inmundicias
dispuestas al azar"
HERÁCLITO

34. Termodinámica:
En el siglo XIX una arruga de
desorden aparece en el corazón del
orden físico, las leyes de la
termodinámica.
Carnot - Kelvin - Clausius

35. Sadi Carnot:
Nacimiento: 1
Junio 1796 en
Paris, Francia
Muerte: 24
Agosto 1832 en
Paris, Francia

36. Rudolf Julius Emmanuel Clausius:
Nacimiento: 2 Enero
1822 en Koslin,
Prussia (Koszalin,
Polonia)
Muerte: 24 Aug
1888 in Bonn,
Alemania

37. William Thomson (Lord Kelvin):
Nacimiento: 26
Enero 1824 en
Belfast, Irlanda.
Muerte: 17
Diciembre 1907
en Netherhall
Ayrshire, Escocia

38. Primer principio:
La energía es una entidad
indestructible dotada de un poder
poliforme de transformaciones.

39. Segundo principio:
La energía calorífica no puede
reconvertirse enteramente y pierde
una parte de su aptitud para efectuar
trabajo.

El segundo principio introduce la
idea, no de disminución (la cual
contradiría el primer principio) , sino
de degradación.

40. Entropía:
Es la degradación irreversible de la
aptitud para transformarse y efectuar
trabajo, propia del calor.
Clausius

41. Ludwig Boltzmann:
Botzman introduce
la probabilidad en
la física
desarrollándose la
mecánica
estadística.

42. Mecánica Estadística:
Botzman definió la entropía de un sistema
(variable microscópica) en relación con el
número de configuraciones microscópicas que
pueden tomar los átomos o moléculas, según la
fórmula :

43. El calor es la energía propia de los
movimientos desordenados de las
moléculas en el seno de un sistema
cerrado, todo incremento de calor
corresponde a un incremento de la
agitación, a una aceleración de
estos movimientos. Es por eso, que
la forma calorífica de la energía
comporta desorden en sus
movimientos, debido a la
degradación inevitable de la aptitud
para el trabajo.

44. El caos de la entropía:
Es lo que sucede cuando las
formas y sistemas agotan la
energía que los ha
aglutinado.

45. Sistemas cerrados:
Enfoque Newtoniano:
Un sistema cerrado está compuesto
por cuerpos interactuantes aislados
del medio, estos sistemas son
ordenados, consecuentemente
previsibles. Sus perturbaciones son
debidas al azar, el caos que los
perturban solo pueden provenir de
contingencias aleatorias exteriores.

46. El caos determinístico

47. Henri Poincaré :
En matemáticas
aplicadas realiza
trabajos en óptica,
electricidad, telegrafía,
capilaridad,
electricidad,
termodinámica, teoría
del potencial, teoría
cuántica, teoría de la
relatividad y
cosmología.

48. El problema de los tres cuerpos:
En el campo de la
mecánica celeste
estudia el problema
de los tres cuerpos.
Él es considerado
junto con Albert
Einstein y Hendrik
Lorentz creadores
de la teoría de la
relatividad.

49. El problema de los tres cuerpos:
En cualquier sistema idealizado de
DOS cuerpos las órbitas son estables.
Pero la ecuación para TRES cuerpos
no tiene solución exacta, ya que el
pequeño efecto adicional del tercer
cuerpo se debe sumar a la solución
del sistema de dos cuerpos, en una
serie de aproximaciones sucesivas,
donde cada aproximación es menor
que la anterior.

50. El secreto de Poincaré:
Poincaré sabía que el método de
aproximaciones parecía funcionar bien con
los primeros términos,
¿ pero qué ocurría con el sinfín de términos
cada vez más pequeños que venían a
continuación ?.
¿ Que efectos tendrían ? .
¿ Mostrarían que en decenas de millones de
años las órbitas se modificarían y el sistema
comenzaría a desintegrase por obra de las
fuerzas internas ?

51. Poincaré reveló que el caos, o el
potencial para el caos, es la
esencia misma de un sistema no
lineal y la retroalimentación puede
magnificar los efectos más
pequeños. Así un sistema simple
puede estallar en una
perturbadora complejidad.

52. Teoría del Caos:
En la década de los
sesentas Edward
Lorenz (meteorólogo
del MIT) retoma los
descubrimientos de
Poincaré y publica los
primeros trabajos de
la teoría del caos,
“Deterministic
Nonperiodic Flow”
(1963).

53. El efecto mariposa:
Edward Lorenz en su
computador quiso recortar el
número de cifras significativas
con las que había calculado un
pronóstico, y para su sorpresa,
el resultado después de un
tiempo fue totalmente
diferente. “El aleteo de una
mariposa en Beijing puede
ocasionar una tormenta en
Texas”.

54. Conceptos de la Teoría del Caos:
 No linealidad
 Retroalimentación
 Entropía
 Desequilibrio

55. Algunos de sus tópicos:
 Sensibilidad.
 Periodicidad.
 Bifurcaciones.
 Ciclos límites
 Atractores extraños.

56. Un ejemplo de
fenómeno caótico

57. Sistemas sencillos hacen cosas
complejas:
James Yorke descubrió en 1972 el trabajo
de Lorenz,lo difundió y lo analizó con
Robert May (matemático, biólogo y
ecólogo). Así hizo el gran descubrimiento
de que "sistemas sencillos hacen cosas
complejas", el que da a conocer en el
artículo "Period three Implies Chaos"
(1975). Se descubrieron luego efectos
similares en genética, economía, dinámica
de fluidos, epidemiología, fisiología .

58. Sistema demográfico de un insecto
(Primer modelo)
Hipótesis:
1).- El insecto vive en verano y muere
con el frío después de poner los
huevos.
2).- El porcentaje de huevos es similar
cada año.

59. Ecuación:
Sea xt donde x tamaño de
la población, el sub
NOTA: número t el año y a es una
Esta ecuación constante de
de crecimiento
exponencial proporcionalidad que mide
funciona
bastante bien
la capacidad reproductiva
cuando la
población es
del insecto, entonces:
pequeña o se
desarrolla en
un ambiente
donde hay
mucho
alimento y
espacio.

60. Sistema demográfico de un insecto
(Segundo modelo)
Si ahora tomamos en cuenta el efecto de
la muerte de los insectos. Como primera
aproximación podríamos decir que el
mayor número de decesos se da por
competencia entre individuos, digamos que
muy pocos se mueren de viejos

61. Entre más insectos haya, más difícil
será que sobreviva cada uno, por lo que
se pude suponer que la probabilidad de
que muera un individuo es
proporcional a la población total de ese
año xt . Como esto se vale para cada
uno de ellos, el ritmo de decesos para
toda la población será proporcional a
(xt)^2

62. Entre más insectos haya, más difícil será
que sobreviva cada uno, por lo que se pude
suponer que la probabilidad de que muera
UN individuo es proporcional a la población
total de ese año xt . Como esto se vale para
cada uno de ellos, el ritmo de decesos para
toda la población será:

63. Si ahora combinamos ambos efectos
(nacimientos menos muertes) resulta la
siguiente ley de crecimiento:

64. Con el fin de facilitar el modelo, ahora supondremos
que las constantes a y b son iguales, esto es: a = b = r,
así obtenemos el siguiente modelo matemático que es
una versión no lineal del fenómeno demográfico:

65. Conducta de la ecuación:
La población se extingue

66. En la medida que pasa el tiempo la
población se estabiliza

67. Dos ciclos

68. 4 ciclos

69. 16 ciclos

70. Caos total

71. Bifurcaciones:
En esta ruta hacia el CAOS vemos
que hay cambios cualitativos
abruptos(cada vez el periodo se
duplica), llamados bifurcaciones, que
marcan la transición del orden hacia
el CAOS.

72. Ciclos límites:
hay un ciclo estable de periodo 2 para
3 < r < 3.4495
hay un ciclo estable de periodo 4 para
3.4495 < r < 3.5441
hay un ciclo estable de periodo 8 para
3.5441 < r < 3.5644
hay un ciclo estable de periodo 16 para
3.5644 < r < 3.5688

73. Diagrama de Feigenbaum:
Como podemos
observar, a medida
que r aumenta, los
periodos se
duplican con mayor
sensibilidad
Podemos graficar el
desarrollo de estas
bifurcaciones hacia
CAOS.

74. Los fenómenos modelados con
ecuaciones no lineales alcanzan valores
"críticos" que representan procesos
complejos donde hay inestabilidades o
caos, en ellos la predicción exacta es
práctica y teóricamente imposible. En
tales puntos de "presión" , un cambio
pequeño puede producir un impacto
desproporcionadamente grande.

75. El desorden
organizador

76. Autorganizándose:
En los últimos años
se han empezado a
estudiar sistemas
que, en condiciones
adecuadas, tienen la
capacidad de
autorganizarse.

77. Características comunes:
 Su habilidad para generar estructuras
macroscópicas complejas y organizadas.
 Su extrema susceptibilidad a las
perturbaciones externas
 Su increíble capacidad para autorregularse
y funcionar como una entidad única que
responde creativamente y se adapta a las
condiciones del medio

78. Sistemas que se autorganizan:
Los sistemas que se autorganizan
siempre se encuentran en condiciones
que los mantienen muy alejados de su
estado de equilibrio; son entidades que
están en contacto con el medio externo
y utilizan la energía que éste les
proporciona para organizarse y
formar estructuras complejas.

79. Ejemplo 1:
 Una capa horizontal de
algún fluido se somete a una
diferencia de temperaturas.
Para lograrlo basta
calentar el líquido en su
parte inferior o, aún más
fácil, trabajar con un líquido
volátil permitiendo que se
evapore. Esto enfriará la
superficie y provocará la
diferencia de temperatura
deseada. El fenómeno se
presenta a gran escala
cuando el Sol calienta la
superficie terrestre y la
atmósfera se toma como
fluido de trabajo.

80. En este experimento, el
líquido más caliente cercano
a la base es menos denso y
tratará de ascender; el más
frío cercano a la superficie
es más denso y tratará de
descender. Si la diferencia
de temperaturas es
pequeña, la viscosidad del
fluido impedirá su
movimiento, pero si se sigue
calentando se alcanza una
condición crítica en la que
repentinamente el líquido
comienza a desplazarse y se
organiza en celdas de flujo
convectivo a las que se
denomina celdas de Bénard

81. La aparición de los patrones de Bénard
en un fluido es un fenómeno
completamente reproducible. Si se
aseguran las mismas condiciones de
trabajo, las celdas se presentarán al
alcanzar la misma diferencia de
temperatura. Sin embargo, su posición
o el sentido en el que rota el líquido
dentro de ellas es algo impredecible e
incontrolable. Sólo el azar determina
cómo será el patrón en cada caso.

82. Esta posibilidad de
elegir entre muchas
opciones y de que el
azar decida cuál se
selecciona es típica de
sistemas que se
autorganizan. Se
acostumbra decir que el
sistema es arrastrado
hasta un punto en el
que repentinamente se
le presentan muchos
caminos, pero es
imposible predecir cuál
seguirá.

83. El resultado de la selección puede
conducirlo a un nuevo estado más
complejo y organizado, pero también
puede perderlo en el reino del caos. Lo
que es indudable es que se trata de un
mecanismo muy efectivo para explotar
la creatividad del sistema, generando
formas complejas muy parecidas pero
no idénticas.

84. Ejemplo 2: El Solitón de John Russell
Si arrojamos una piedra en un
estanque de agua la misma generará
una perturbación, produciendo
pequeñas olas, las cuales se diluirán en
un tiempo breve, dependiendo en
principio de la fuerza con que se la
haya arrojado y las condiciones del
agua en ese momento.

85. John Rusell observó un fenómeno
increíble. En situaciones muy
especiales, cuando las condiciones
iniciales se presentan de una manera
única, hay olas en el océano que se
unen formando una nueva con
características propias. Esta nueva
ola, llamada SOLITON viaja
centenares de kilómetros sin perder
su forma.

86. Si un barco la atraviesa, al instante recobra
su estructura original y sigue adelante. No
importa si hay vientos o tormentas, la
misma sigue su trayectoria inmutable.

87. Este fenómeno es muy famoso y ha sido muy
estudiado. Se ha intentado reproducir
artificialmente en universidades por
alumnos de matemática y física, hay
conferencias especializadas en el tema, y
cursos especiales solamente referidos a este
raro fenómeno, que puede englobar todos los
misterios del Caos.

88. Para finalizar:

89.  El caos es un hecho, pero también es una
circunstancia extrema. Un ejemplo bastante
aclaratorio es el de las órbitas planetarias, que
si bien tienen una ínfima componente caótica,
están muy cerca de la estabilidad.
 Consciente de que la realidad está plagada de
elementos semejantes, Steve Wolfram ha
definido un estado entre el comportamiento
ordenado y el caos, denominado "límite del
caos".
 Quizá deambulamos constantemente por esa
zona gris, más cerca del caos que del orden,
mientras nos convencemos de que jamás
alcanzaremos la posición del reduccionismo de
Laplace.

90. El arte de la ciencia:
 A causa de los
infinitos matices de
la realidad, puede
haber muchos
modos de ver qué
está haciendo la
naturaleza.

91.  Reconocer que la
teoría , diga lo que
dijere acerca de la
realidad, no es esa
realidad, porque
toda teoría es una
abstracción a partir
del todo y en cierto
sentido es una
ilusión. El que
recurre a una teoría
debe de tener en
cuenta las
limitaciones de
dicha teoría.

92.  Posiblemente, en las
bifurcaciones que
conducen a nuestro
futuro, la ciencia y las
artes se unan para
presentar a nuestro
mundo un mundo donde
allí todos estemos juntos
 “No hay modo de trazar
una frontera entre las
cosas, sin conciencia de
la unidad de las cosas la
ciencia sólo nos puede
dar pedazos de
naturaleza.

93. Para terminar solo me queda recordar las
palabras de la genetista Barbara
McClintock:
 "Básicamente TODO es UNO". Hemos
desquiciado el ambiente y pensamos que
estábamos bien, porque usábamos técnicas
de la ciencia.
 Luego se transforma en tecnología y nos
devuelve la bofetada porque no
reflexionamos sobre sus consecuencias.
 Adoptábamos supuestos que no teníamos
derecho a adoptar.

94.  Desde el punto de vista
de como funciona el todo,
sabemos como funciona
la parte....
 Ni siquiera preguntamos,
ni siquiera vimos como
andaba el resto.
 Todas esas cosas estaban
pasando y ni siquiera lo
vimos.
 El TODO es un sitio
hospitalario porque allí
estamos juntos"

95. Nota histórica:
Hibris: desmesura furiosa
Dike: Ley del equilibrio

96. Escuela filosófica de Atenas:
Hybris contra Dike
Urano el furioso
copula con su
madre Gea y
destruye a sus
hijos del
cosmos
universo
organizado
Platón donde reina la
ley y el orden

97. Escuela filosófica de Alejandría:
Hybris y Dike
Antes de la distinción, la
separación y la oposición
estaba la indistinción, la
confusión entre:
* Potencia destructora y
potencia creadora.
* Orden y desorden.
Heráclito
* Desintegración y
organización.

98. REFERENCIAS:
Aleksandrov A. D.,Kolmogorov A. N.,
Laurentiev M. A. (1981)."La
Matemática: su contenido, métodos y
significado" (Vol. 3). Editorial Alianza
Universidad. Madrid: p.p. 408.

99. Beltrami E. (1987)."Mathematics for
Dynamic Modeling". Academic Press,
Inc. London: p.p. 277.
Bertalanffy L. V. (1976)." Teoría
General de Sistemas". Fondo de
Cultura Económica: México. p.p. 306.
J. Briggs y F. D. Peat “Espejo y
reflejo”. CONACYT GEDISA.

100. Frijotz K (1992)."The Tao of physics".
Academic Press, Inc. London
Percival I. P., Richards D. (1982).
"Introduction to Dynamics". Cambridge
University Press. N. Y. USA: p.p. 228.
Morin E. (1997). "El Método: La naturaleza
de la naturaleza". Ediciones Cátedra, S. A.
Madrid. p.p. 448.

101. Sitios de Internet consultados:
http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/c
iencia/volumen3/ciencia3/147/htm/sec
_9.htm
http://www.arrakis.es/~sysifus/
http://www.fractaltec.org/