Este documento presenta varios ejercicios y aplicaciones relacionados con el campo magnético. Calcula la aceleración de electrones en un tubo de televisión bajo la influencia de un campo magnético, así como la energía requerida por partículas alfa y deuterones para seguir la misma órbita que protones en un experimento nuclear. También resuelve problemas sobre la fuerza magnética sobre alambres que transportan corriente eléctrica y se encuentran en presencia de campos magnéticos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA
ASIGNATURA FISICA II
CAMPO MAGNÉTICO
Prof. Juan Retamal G.
e-mail vretamal@unet.edu.ve
San Cristóbal, Noviembre 2005

2. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Los electrones en un haz de un tubo de televisión tienen una energía de 12[KeV]. El tubo está
orientado de tal manera que los electrones se mueven horizontalmente de sur a norte. La
componente vertical de campo magnético tiene magnitud B=5.5 10-5 [Wb/m2].
a) ¿En qué dirección se desviará el haz?
b) ¿Cuál será la aceleración de un electrón?
Dirección hacia el Este
éë ùû
6.282 1014 m/ s2
N
S
v r
B r
F r
c E = qV
c E 1mv2
2
=
c
1 2 2
2
c
E
mv E v
m
= Þ =
r r r
F = qv ´ B
r r
F = e vBsenq Nˆ Þ ma = evBsenq Nˆ
r r
F = ma
= q r
ma evBsen Nˆ
c E
v
2 =
m
= 2 q ˆ r
c e E a Bsen N
m m
1.6 10 - 2 12000 1.6 10 -
5.5 10 90º ˆ 6.282 10 ˆ
9.110 9.110
a sen N m N
= = é ù êë s
úû
19 19
5 14
- -
31 31 2
- -
r

3. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
En un experimento nuclear se mueve un protón de 1.0[MeV] en un campo magnético uniforme
siguiendo una trayectoria circunferencial.
a) ¿Qué energía debe tener una partícula a (alpha) para seguir la misma órbita?
b) ¿Qué energía debe tener un deuterón para seguir la misma órbita?
7 [ ]
p v = 1.38 10 m/ s
2K
m = 4m m =
2m
2q = q q =
q
= p d r r r a = = p d p
2 p
p
m
p
v
1 1 v K m v K 4m K K
a 2 a a a 2 4 a = Þ = Þ =
K =
1.6 10-13 [ J]
a v K = 1 m v Þ K = 1 2m Þ K =
1 K
13 [ ]
d K = 0.8 10- J
[ ] 13 [ ]
r r r
p K = 1 MeV = 1.6 10- J F = qv ´B
m 6.68 10 Kg m 3.33 10 Kg
q 3.20 10 C q 1.60 10 C
a
F = qvB
v2 F m
r
=
- -
qvB = m v2 Þ r
=
vm r qB
v m
p p
p
p
r
q B
=
r v m
a a
q B
a
a
=
[ ] [ ]
[ ] [ ]
27 27
d
19 19
d
a
-
a
= =
= =
K = 1mv2 Þ v2 =
2K
2 m
v m v m v m q v m 2q v v v v
q B q B q m 4m q 2
p p a a p p a
p p p p
p p p p
Þ = Þ = Þ = Þ =
a a a
a a
v m
r v m
d d
d
q B
d
=
p p
p
p
r
q B
=
v m v m v m q v m q v v v v
q B q B q m 2m q 2
p p d d p p d p p p p
Þ = Þ = Þ = Þ =
d d d
p d p d p p
2
2 p
p p
2
2 p
d d d d p d p
2 2 4 2
p a
d p

4. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un alambre de 1[cm] de largo lleva una corriente de
10[A] y forma un ángulo de 30º con un campo
magnético de magnitud B= 1.5 [Wb/m2]. Calcúlese la
magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el
alambre.
r
F = -0.075 kˆ []
r r r
NF = il ´ B
r r r
F = i l ´ B = i lBsenq (-kˆ ) = 10 10-2 1.5 sen30º (-kˆ) = -0.075kˆ [ N]

5. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un alambre de 60[cm] de longitud y 10[gr] de masa está suspendido
mediante unos alambres flexibles y un campo magnético de inducción
de 0.4[Wb/m2].
¿Cuál es la magnitud y dirección de la corriente que se requiere para
eliminar la tensión de los alambres que lo sostienen?
i = 0.41[ A]
r
F1
r
F2
mg r
1 2 F + F -mg = 0
1 2 m F + F = F ¨m F -mg = 0 Þ ilB -mg = 0
r
F = ilBsenq ˆj
m
3
2
ilB mg i mg 10 10 10
-
- = Þ = =
lB 60 10 0.4
i = 0.42[ A]

6. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Expresar la inducción magnética B y el flujo magnético Φ en función de las dimensiones
fundamentales M, L, T y Q (masa, longitud, tiempo, y carga, respectivamente).
2
f =
B
ML
QT
[ ] [ ] 2 1
F ilB B F B MLT B MT
- -
- = Þ = Þ = Þ =
1
il QT L Q
[ ] [ ] 1 1 2
- BA MT L2 MT -
L
f = Þ f = Þ f =
Q Q

7. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un alambre metálico de masa m se desliza sin roce en
dos rieles separados por una distancia d. La vía está
colocada en un campo magnético uniforme vertical de
inducción magnética B. Una corriente constante i
alimenta a un riel, que sigue por el alambre y regresa
por el otro riel. Encontrar la velocidad del alambre en
función del tiempo, suponiendo que parte del reposo.
Y
Z X
r r r
F = iL ´B
r
F = iLBsen90º(-ˆi)
v i dBt ( ˆi)
Þ = - r
m
ma r i dB( ˆi) a r
i dB( ˆi)
Þ = - Þ = -
m
r r
v = at
r
F = idB(-ˆi)
r r
F = ma

8. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un alambre en forma de U de masa 10[gr] y longitud 20[cm] se coloca con
sus dos extremos en mercurio. El alambre se encuentra en un campo de
inducción magnética uniforme de 0.1[Wb/m2]. Si se envía por el alambre
un pulso de corriente q = ò i dt
, el alambre salta hasta una altura de 3 [m].
calcular la magnitud de la carga q o impulso de corriente, suponiendo que
el tiempo que dura el pulso de corriente es muy pequeño en comparación
con el tiempo de vuelo. Válgase del hecho de que el impulso es igual a ,
que es igual a . (sugerencia )
ò i dt ò i dt = ò F dt
mvr
q = 3.84 [C]
òFdt = mv
F = ilB
òilBdt = mv Þ lBòidt = mv Þ lBq = mv
lBq = mv
1mv2 =
mgh
2
lBq mv lBq m 2gh q m 2gh
lB
= Þ = Þ =
3
q m 2gh q 10 10 2 10 3
- = Þ =
2
-
lB 20 10 0.1
q = 3.87[C]

9. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un anillo de alambre de radio a perpendicular a la dirección general de un campo
magnético divergente simétrico radial. La inducción magnética en el anillo es en
todas partes de magnitud B y forma un ángulo θ con la normal al plano del anillo en
todos los puntos de éste. Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce el
campo sobre el anillo si éste lleva una corriente i.
B r
rF = iB2 p asen q
ˆj
X
Y
B F r
B F r
B r
r r r r r
B r
F Idl B F I dl B sen ˆj F I B sen0º dl ˆj B = ò ´ Þ B = ò q Þ = ò
r r r
F I B sen dl ˆj F IBsen (2 a) ˆj F IB2 asen ˆj B B B = q ò Þ = q p Þ = p q

10. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Una barra de cobre tiene un peso de módulo 1.335 [N] y reposa en dos rieles separados 0.3[m] y
lleva una corriente de 50[A], de un riel al otro. El coeficiente de roce estático es de 0.6
¿Cuál es el mínimo valor del campo magnético que es capaz de hacer que la barra resbale?
¿Cuál debe ser su dirección?
= éë ùû
r
B 0.0534 ˆj Wb /m2
Z
X
Y
B F r
r
s f
mg r
N r
x s B åF = f - F = 0
x åF = N - mg = 0
s f = m N
r r r r
B s Þ F = m mg
B B B F = iL´ B Þ F = iLBsenq (-î) Þ F = iLBsenq
B F = iLBsenq
B s F = m mg
s
s
mg
mg iLBsen B
m
iLsen
m q
q
Þ = Þ =
( ) 0.6 1.335 0.0534
s mg Wb B B B
= Þ = Þ = é ù iLsen 50 0.3 sen 90º
êë m2
úû
m
q
B Wb î
m2 = 0.0534 éê ùú ë û
r

11. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un alambre irregular lleva una corriente i desde el punto a al b. El alambre se encuentra en un
plano perpendicular a un campo uniforme B. Demostrar que la fuerza que actúa sobre el alambre
es la misma que la que actúa sobre un alambre recto que llevara la corriente i directamente al
punto a.
a
b
i
B r
a´
b´
i

12. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Una de las espiras rectangulares de 10 [cm] por 5 [cm] de una bobina de 20 espiras. Lleva una
corriente de 0.1[A] y tiene bisagras en un lado.
¿Qué torque actúa sobre la espira si inicialmente forma un ángulo de 30º con respecto a la
dirección de un campo uniforme de inducción magnética de 0.95[Wb/m2]?
t = - - [ ] r 4.3 10 3 ˆj Nm
x
y
z
i rB

13. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Demostrar que la relación t = N Ai B senq
es válida para espiras cerradas de cualquier forma.
(sugerencia reemplazar la espira de forma irregular por un conjunto de espiras adyacentes largas
y delgadas, aproximadamente rectangulares, que le son equivalentes por lo que toca a la
distribución de la corriente)
rB
x x x x x
x x x x x
x x x r
x x
dF
x x x i
x x
x x x x x
r
dL
t = N Ai B senq

14. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un tramo de alambre de longitud L lleva una corriente i. Demostrar que si con el alambre se hace
una bobina circular, el máximo torque en un campo dado se obtiene cuando la bobina tiene
solamente una espira y que el máximo torque tiene el valor t = (1/ 4p)L2 i B

15. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Un Cilindro de madera tiene una masa de 0.25[Kg], un radio R y una longitud 0.1[m] con 10
espiras de alambre enrollado longitudinalmente en torno de él, de manera que el plano de la
espira de alambre contiene el eje del cilindro. Calcular cuál es la mínima corriente que debe pasar
por las espiras para impedir que el cilindro ruede por el plano inclinado θ con la horizontal, en
presencia de un campo vertical de inducción magnética de 0.5 [Wb/m2]si el plano de las espiras
es paralelo al plano inclinado.
x
i = 2.45 [ A]

16. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Una corriente de 50 se hace pasar por una lámina de cobre de altura 0.02 y espesor 0.1, si se
aplica un campo uniforme de inducción magnética de módulo 2 perpendicular a la lámina.
Calcular:
a) La velocidad de arrastre de los electrones
b) La fuerza magnética que actúa sobre los electrones
c) ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de un campo eléctrico homogéneo para contrarrestar el
efecto del campo magnético?
d) ¿Cuánto debe ser el valor de la diferencia de potencial aplicada, a los lados de la lámina, para
producir ese campo eléctrico?
XXXXXX
h
a
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
v =
14.2 10 -
m/ s
r
F = -
4.54 10 -
kˆ N
r
E = -
2.84 10 -
kˆ V /m
V =
5.68 10 -
V
5
d
23
4
6

17. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Determinar el campo magnético en el centro de una espira de radio R por la que circula una
corriente i.
dB = m idL ´
r
0
2
4 p
r
ˆ
r
r El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto provenientes de
todos los dL a través de la espira.
r
r dB = m i dL rˆ sen(90º ) 0 ˆr r
i Þ dB = m idL 0 ˆi Þ dB = m
idL 0
ˆi
2 2 2
4 p r 4 p r 4 p
R
r r r
B idL ˆi B i dL ˆi B i (2 R) ˆi
= ò m Þ = m m 0 0 Þ = 0
p
p 2 p 2 ò p
2
4 R 4 R 4 R
B = m
i 0ˆi
2R
r

18. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Determinar el campo magnético sobre puntos del eje axial de una espira de radio R por la que
circula una corriente i.
dB = m idL ´
r
0
2
4 p
r
ˆ
r
r
r r
X dB dB dB ^ = +
r
dB dBcos ˆt ^ = q
x dB = dB senq ˆi r
El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto.
Dado que las componentes
perpendiculares se anulan al realizar la
suma para todos los dL a través de la
espira, sólo basta sumar las
contribuciones a lo largo de la coordenada
X del campo.
sen R
2 2
R x
q =
+
r = R2 + x2
r
m i dL rˆ sen(90º ) dB = Þ dB = m idL 0 0 Þ dB
= m
idL 0
2 2 2 2
4 p r 4 p r 4 p (R +
x )
r r r
dB = m idL sen q ˆi Þ dB = m idL R ˆi Þ B = m
iRdL ˆi
0 0 0
p + p + ò
+ p + X 2 2 X 2 2 2 2 X 2 2 3 / 2
4 (R x ) 4 (R x ) R x 4 (R x )
r r
B = m i R dL ˆi Þ B = m iR (2 p
R) ˆi
0 0
p + ò p +
X 2 2 3/ 2 X 2 2 3 / 2
4 (R x ) 4 (R x )
2
B = m
iR 0
ˆi
X 2 2 3 / 2
2(R +
x )
r

19. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Determinar el campo magnético para el alambre de la figura, en el centro de una semi espira de
radio R por el que circula una corriente i.
El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto,
provenientes de todos los dL a través del
alambre.
dB = m idL ´
r
0
2
4 p
r
ˆ
r
r
r
r r r r r r r r
r i dL rˆ sen(90º ) r r
dB = m 0 ( - kˆ) Þ dB = m idL 0 ( - kˆ) Þ dB = m idL 0
( -
kˆ)
2 2 2 2 2 2
4 p r 4 p r 4 p
R
r r r
B idL ( kˆ) B i dL ( kˆ) B i ( R) ( kˆ)
= ò m 0 - Þ = m 0 ò - Þ = m 0
p -
p p p
2 2 2 2 2 2
4 R 4 R 4 R
B = - m
i 0kˆ
4R
r
1 2 3 2 2 dB = dB + dB + dB = 0 + dB + 0 = dB

20. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Determinar el campo magnético para el alambre de la figura, en el centro de un cuarto de espira
de radio R por el que circula una corriente i.
El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto, provenientes
de todos los dL a través del alambre.
dB = m idL ´
r
0
2
4 p
r
ˆ
r
r
r r r r r r r r
1 2 3 2 2 dB = dB + dB + dB = 0 + dB + 0 = dB
r
r i dL rˆ sen(90º ) r r
dB = m 0 ( - kˆ) Þ dB = m idL 0 ( - kˆ) Þ dB = m idL 0
( -
kˆ)
2 2 2 2 2 2
4 p r 4 p r 4 p
R
r r r
B idL ( kˆ) B i dL ( kˆ) B i ( R) ( kˆ)
= ò m - Þ = m ò - Þ = m p 0 0 0
-
p p p
2 2 2 2 2 2
4 R 4 R 4 R 2
B = - m
i 0kˆ
8R
r

21. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Determinar el campo magnético a una distancia R perpendicular al eje para un alambre largo, por
el cual circula una corriente i,
El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto, provenientes de
todos los dL a través del alambre.
dB = m idL ´
r
0
2
4 p
r
ˆ
r
r
r = Rsec q
sena = cosq
x = Rtgq Þ dx = Rsec2 qdq dL = dx
r
r m i dL rˆ sen( a ) dB = kˆ r Þ dB = m idL r cos q kˆ Þ dB = m i Rsec 2
q d q 0 0 0 cos q kˆ r
Þ dB = m i 0
cos q d q
kˆ
2 2 2
4 p r 4 p r 4 p (Rsec q ) 4 p
R
r r
B = m i 0 cos q d q kˆ Þ B = m i 0 sen q
kˆ
q q
q q
p ò p
2 2
4 R 4 R
1 1
B = m i 0
(sen q - sen q
) kˆ
2 1
4 p
R
r
m
i Si el alambre es muy largo θ= -90º y θ= 90º, luego el campo toma el valor B = 0kˆ
1 22 p
R
r

22. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
Determinar el campo magnético a una distancia R perpendicular al eje para un alambre largo, por
el cual circula una corriente i,
r r
Ñ g
ò B dL = m i
0 c
C
Resolviendo el término izquierdo de la igualdad
r r
Ñ g Ñ Ñ Ñ
ò B dL = ò B dL cos0º = ò BdL = Bò dL = B(2pR)
C C C C
Igualando los términos, se tiene:
B(2pR) = m i Þ B = m
i
00 2 p
R

23. EJERCICIOS Y APLICACIONES DE CAMPO MAGNETICO
La figura muestra dos alambres de largo L1 y L2 respectivamente,
rectos y paralelos separados una distancia d, por los cuales circulan
corrientes i1 e i2 en sentidos contrarios. Determine la fuerza que
ejerce el conductor 1 sobre el conductor 2.
Nota: determine el campo magnético con la ley de Ampere.
r r
ò
g ò
Ñ
ò
ÑÑ
B dL = m
i
0
B dLcos0º = m
i
B dL i
B (2 d) i
1 0 1
= m
1 0 1
p = m
1 0 1
B i
0 1
1
= m
(2 p
d)
r r r
r r r
r
r
F = iL ´
B
F = i L ´
B
2 2 2 1
F = i L B sen90º( -
ˆi)
2 2 2 1
F = i L B ( -
ˆi)
2 2 2 1
r
F = -i L B ˆi
2 2 2 1
F i L i 0 1
ˆi
Þ = - m
2 2 2
(2 p
d)
r
F i i L 0 1 2 2
ˆi
2
= - m
(2 p
d)
r