Mecanica Del Cuerpo Rigido

Cuaderno de Trabajo: Física I

SEPARATA N° 5 DE FISICA I (CB-302 U)

1.- El sistema adjunto consiste de 7 partículas de
Y
masa “m” unidas por barras rígidas de igual
longitud “l” y de masa despreciable. El sistema
esta inicialmente en reposo. Se aplica un impulso
r
ˆ
I = Ii en t = 0. Halle:
r
&
a) rCM
r
b) w del sistema
c) ¿Cómo se moverá el sistema?

α α
α α

α α
X
α α
r
ˆ
Ii = I m

Y y2 = 50x

0,1m

x

0,2 m

2.- Un elipsoide se forma haciendo girar el área sombreada alrededor del eje X.
Determine el momento de inercia de este cuerpo con respecto al eje X y
exprese el resultado en términos de la masa del sólido. La densidad del
material ρ es constante.
r2
r1
3.- Una polea de doble peso tiene una masa de 100 kg y un radio
de giro de 0,25 m. de los cables que se enrollan en la periferia

145
Lic. Percy Victor Cañote Fajardo
W
W

de la polea cuelgan dos pesos iguales de w = 200 N. Suponiendo que la
fricción en el eje de apoyo y las masas de los cables se desprecian, determine
la aceleración descendente del cuerpo que baja.
Úsese r2 = 2r1 = 0,4 m.

4.- Una cuerda pasa por una polea sin
rozamiento, según se indica en la Fig. r
o
llevando una masa M1 en un extremo, y
µ M2
estando enrollado alrededor de un cilindro de M1
masa M2 que rueda sobre un plano
horizontal, ¿Cuál es la aceleración de la masa
M1?
30 kg
5.- La rueda O pesa 650 N y rueda a lo largo
de un plano horizontal (figura). El radio o
de giro de la masa de la rueda, con 50 kg
respecto a su eje geométrico es ( 2 /3) r

m. El coeficiente de fricción entra la
rueda y el plano es 0,25. Determine la µ = 0,25
aceleración del centro de la rueda y la
aceleración angular de la rueda.

6.- Un cilindro uniforme de 45 cm de radio y que
pesa 40 N, parte del reposo en el extremo de
una pista semicircular de 1,2 m de radio
excavada de un bloque que pesa 160 N. El
bloque descansa sobre una superficie
horizontal sin rozamiento y el cilindro rueda
sin deslizar.
a) ¿Qué distancia se habrá desplazado el bloque cuando el cilindro alcanza
el fondo de la pista?
b) ¿A qué velocidad se mueve el bloque en ese instante?
Q
7.- Dos varillas delgadas de 1,2 m de longitud y
pesos 50 N cada una, ver figura, se encuentran
en reposo cuando β = 60°. Para β = 25°.
a) Encuentre el centro instantáneo de rotación
para la varilla QR.
b) Encuentre una relación entre las velocidades
angulares de PQ y QR.
β
c) Encuentre la velocidad angular de PQ. R
P

8.- Un cilindro homogéneo tiene una masa m y un radio
R. Se le aplica una fuerza T mediante una cuerda
arrollada a lo largo de un “tambor ligero” de radio r

146
T
R

unido al cilindro. El coeficiente de rozamiento estático es suficiente para que
el cilindro ruede sin deslizar.
a) Halle la fuerza de rozamiento
b) Halle la aceleración a0 del centro del cilindro.
c) ¿Es posible escoger r de modo que a0 sea mayor que T/m?
d) ¿Cuál es el sentido de la fuerza de rozamiento en la parte c)?

9.- Una pequeña esfera de masa m y radio r s suelta del reposo en A y rueda sin
deslizar sobre la superficie
curva hacia el punto B, donde
deja la superficie con una A
velocidad horizontal. Si a = 1,5 a
m y b = 1,2 m determínese.
a) La velocidad de la esfera al B
caer al suelo en C y b
b) La distancia c
C
correspondiente. c

10.- El sistema mostrado consiste de 3 partículas de
igual masa m. Las partículas están unidas por medio
de barras rígidas, de igual longitud l y de masas
despreciables. El sistema esta girando inicialmente
r ˆ
con una velocidad angular constante w = w0 k . En
r
ˆ
t = 0, se aplica un momento angular L = Lk ,
a) Determinar la velocidad angular en cualquier
tiempo t > 0 Y
r
b) Determinar el tiempo para el cual la velocidad m w m
ˆ
angular del sistema es 2w0 k . 120°

11.- Se preparan tres objetos simétricos y uniformes: Un 120°
cilindro macizo, un aro delgado, una esfera maciza. X
Si desde la parte superior del plano inclinado se 120°
dejan rodar sin deslizar a partir del reposo y el los i
tres son soltados al mismo tiempo. ¿En qué orden m
llegan a la base de un plano inclinado?
a) ¿Hay fricción? ¿Entonces, cómo aplica el principio de conservación de la
energía mecánica?
b) Calcular cada una de las cantidades que necesite (L,1, τ)
c) ¿Cómo es eso de objetos del mismo radio y la misma masa?
d) ¿Alguna variación si los objetos macizos se cambia por huecos?

147


12.- Una consola de 100 kg puede moverse sobre
rodajes cuya fricción es despreciable. Calcula la
altura límite h a la cual una fuerza de magnitud
F = 400 N puede ser aplicada sin causar que la
consola se vuelque.

13.- Hallar los momentos de inercia respecto a los Y 0,4 m
ejes X e Y del cono circular recto de masa m y h
dimensiones representadas en la figura.
e
C
r
F
14.- La viga delgada uniforme indicada en la figura h 1,2 m
X
tiene una mesa de 100 kg y un momento de
Z
inercia de ls = 75 kg m2. Si los coeficientes de 0,8 m
fricción estático y cinético entre el extremo A de
la viga y la superficie son conocidos, determine
la velocidad angular de la viga en el instante en
que se aplica la fuerza horizontal de 400 N. La
viga esta originalmente en reposo. G

15.- Un cilindro pequeño de radio r y masa m es 3m 400 N
soltado sobre un semicilindro fijo mas grande 0,5 m
de radio R en la posición mostrada en la figura. A
El cilindro pequeño comienza a rodar sobre el θ
semicilindro mayor en θ = 0.
a) Dibuje el D.C.L. para el cilindro y plantear
las ecuaciones de movimiento.
b) Suponiendo que el cilindro deja la superficie sin haber deslizado.
Obtenga el ángulo θ0 para el cual ocurre esto. Utilice m = 9 kg y r = 0,3
m.

16.- Dos discos cada uno de masa m y radios r B = r y rA = 2r se
conecta por medio de una cuerda inextensible. La velocidad
angular del disco B es de 20 rad/s en el instante mostrado en
la figura ¿Cuánto subirá el disco A antes que la velocidad
angular del disco B se reduzca a 4 rad/s?

17.- Un tubo AB de 1,6 kg puede deslizar
libremente sobre la barra DE, que puede girar 0,125
w m
libremente en un plano horizontal. r 0,376
Inicialmente, el conjunto gira con una m
velocidad angular W = 5 rad/s y el tubo se B 0,5 m
mantiene en su posición mediante una cuerda.
A
El momento inicial de la barra y la ménsula B
respecto al eje de rotación vertical es de 0,30 r A E
c

C
148
Lic. Percy Victor Cañote Fajardo W

kg – m2 y el momento central de inercia del tubo respecto al eje vertical de
rotación es 0,0025 kg – m2. si súbitamente se rompe la cuerda, determine:
a) La velocidad angular del conjunto después que el tubo se mueve hasta
el extremo E y
b) La pérdida de energía durante el choque plástico en E.

18.- Una barra prismático OA, de longitud l, parte O
del reposo en la posición indicada en la Fig. y
resbala sobre la rampa lisa OAB. La posición l
AB es horizontal, recta y tangente a la curva
OA en A. Usando el principio de la
conservación de la energía, determinar la
velocidad v con la que la barra se moverá a
lo largo de la posición horizontal AB.

19.- Un cilindro circular recto homogéneo de radio r
y peso W esta soportado sobre un plano
30°
inclinado por medio de una cuerda enrollada
alrededor de su periferia. La cuerda es A B r
paralela al plano, como se indica en la figura
adjunta. El coeficiente de fricción entre el cilindro
y el plano es 0,3. Determine la aceleración del
centro del cilindro que rueda hacia abajo del
plano. r
v
O
20.- Se tiene un disco circular uniforme de radio
a y masa M unido a dos masas m y m/2 45°
mediante varillas l y l/2 de masas
despreciables, como indica la figura. En el
instante inicial tanto l como l/2 son paralelos
a la mesa horizontal ranurada. Se suelta el
m 1
sistema y el disco rueda sin deslizar. M
Determinar la velocidad angular del disco 2 2
en el instante en que l y l/2 son verticales a l
m
la mesa. Considerar M ≡ 2 m, l ≡ 2a y a ≡
0,1m.
r
21.- Sobre un cilindro de 80 N de peso se aplica una fuerza F ,
como se indica en la Fig. El coeficiente de fricción estática
entre el cilindro y todas las superficies es 0,5. Encuentre el
r
valor máximo de F que se puede aplicar de tal forma que
el cilindro no gire.
r
F 149
r


22.-El tambor de un cilindro y un bloque, están
unidos por un cable inextensible que puede R
r
R = 0.45 m
r = 0,30 m
desarrollarse del tambor. La masa del cilindro
es de 90 kg. y su radio de giro k = 0,30 m; la
masa del bloque es de 45 kg. Si los
coeficientes de rozamiento estático y cinético
son 0,30 y 0,2 respectivamente para todas las 30°
superficies, determine la aceleración del
bloque, si el movimiento se inicio desde la posición mostrada.

23.- Una rueda circular de radio a, cuyo aro externo
tiene una masa m, y el centro una masa m’,
siendo despreciable la masa de los rayo, rueda
sin deslizar hacia debajo de un plano inclinado,
como se indica en la figura. Suponiendo que el
aro externo consiste de un número
infinitamente grande de partículas situadas a lo
C
largo del perímetro y que la masa del centro r
v0
esta concentrada en el punto C, determinar:
a
a) El momento angular con respecto a C, si
en el instante considerado la velocidad del
centro de la rueda es V0. A
b) Determine el momento angular con respecto al punto de contacto A.

24.- Un péndulo rígido asimétrico consiste de dos barras o
de pesos despreciables que soportan dos masas
iguales m (ver Fig.) El sistema oscila en el plano
vertical de la figura alrededor de una articulación sin
fricción O.
a) Usando el principio del torque y del momento
angular demostrar que θ +&& 2 g ( 4Senθ + Cosθ ) = 0
9L
b) Será posible resolver el problema asumiendo L
una masa 2m colocada en el cm? Explique.
θ
25.- Una máquina de Atwood posee dos masa, m1 = 500 L/2
m = 50
g y m2 = 510 g, unidas por una cuerda de masa g m
despreciable que pasa por una polea sin
rozamiento. La polea es un disco uniforme de masa 50 g m
y un radio de 4 cm. La cuerda no se desliza sobre la
4 cm
polea (a) Hallar la aceleración de las masas. (b) ¿Cuál
es la tensión de la cuerda que soporta a m1? ¿De la
cuerda que soporta a m2? ¿En cuánto difieren? (c) 510
¿Cuáles serían las respuestas dadas si se hubiese g
despreciado el movimiento de la polea? 500 g

m2 g
150
m1 g


26.- Determine el momento de inercia respecto del eje Z
Z del paralelepipedo mostrado en la figura. c
Considere al sólido de masa M uniforme.
b

Y
a

27.- Un cilindro circular de radio r y masa m se jala a X r P
lo largo de una superficie horizontal mediante
una fuerza P aplicada a una distancia h del plano o h
de apoyo, como se indica en la figura. El
coeficiente de fricción entre el cilindro y la
superficie es µ. Determine la aceleración del
centro del disco, (a) suponiendo que no hay
deslizamiento relativo y (b) suponiendo que hay deslizamiento relativo.

28.- En la figura se muestra un bloque A que A
desciende con una velocidad de 2m/s. El
cilindro B se considera que es macizo y 0.3
homogéneo moviéndose sobre cojines sin m
rozamiento. Además el resorte se encuentra C
comprimido inicialmente 0.18 m y una B
constante elástica de 72 kg/m. Determinar la µ = 0.25
velocidad de A en el instante que desciende
A
1.20 m . Datos WA = 80 kg, WB = 100 kg, WC
= 160 kg

29.- La barra de 15 lb de masa esta articulada en su
ω = 5 rad/s
extremo y tiene una velocidad angular de ω = 5
rad/s cuando esta en la posición horizontal A
indicada. Determine la aceleración angular de la
barra y las reacciones en la articulación (A) cuando 3
pasa por la posición vertical. (g = 32.2 pul/s2)
pies
F
30.- Un cilindro circular de radio r y masa m se jala a lo r h
largo de un plano inclinado por medio de una O
fuerza F aplicada a una distancia h arriba del
plano de apoyo, como se indica en la figura. El
coeficiente de fricción entre el cilindro y la θ
superficie es µ. Determinar la aceleración del
centro del disco:

a) Suponiendo que no hay deslizamiento relativo
b) Suponiendo que hay deslizamiento relativo.

151

31.- Un bloque A de masa 12.5 lb desliza hacia
debajo de un plano inclinado, a partir del
reposo (figura). El bloque esta unido a un cable
que pasa sobre una polea lisa y se enrolla
alrededor de un tambor circular homogéneo
macizo. Suponiendo que no hay deslizamiento
relativo entre el cable y el tambor, y A µ = 0,4 1 pie
despreciando el peso del cable. 30° 2
lb

Determinar la velocidad de A, después de que la recorrido 6 pies a lo largo
del plano inclinado.

32.- Una cucaracha de masa m, corre en sentido contrario al de las manecillas de
un reloj alrededor del borde de un disco circular, montado sobre un eje
vertical, de radio R y de inercia rotacional I, con cojines sin fricción. La
rapidez de la cucaracha (en relación al peso) es v, mientras que el disco gira
en el sentido de las manecillas de un reloj con rapidez angular ω0. La
cucaracha encuentra una migaja de pan en el borde y, por supuesto, se
detiene.
a) ¿Cuál es la rapidez angular del disco después de que se ha detenido la
cucaracha
b) ¿Se conserva la energía?

33.-Una esfera maciza y homogénea de 50 kg de masa,
•
esta rígidamente unida a una varilla prismática de O l≡1m
16 kg de masa. El sistema esta articulado en O, e r ≡ 0,15
inicialmente en reposo, como se indica en la figura m
adjunta. Una bala de 80 g de masa se dispara con l
una rapidez de 1000 m/s, hacia el centro de la
esfera, incrustándose en ella. Determine la velocidad
angular del sistema inmediatamente después del r
impacto. Explique como se transforma la energía del
sistema.

34.- Un cilindro circular homogéneo de radio r = 1 m y masa
w = 16 kg, rueda sin deslizar, debido al bloque de masa
w0 = 32 kg, que esta colgado de una cuerda de masa
despreciable enrollada alrededor del cilindro, como muestra
la figura. Suponiendo que el tramo de cuerda comprendido
entre el cilindro y el bloque se conserva vertical, determine la
velocidad angular del cilindro después que ha partido del
reposo y ha rodado una distancia de 3 m. r

0 r
P
w
vP
35.- Un disco circular uniforme de radio r y masa M
rueda y desliza sobre una superficie horizontal. En
el instante considerado se muestran las r
O vO
velocidades de O y P. Determine la energía w0
r
cinética del disco en ese instante.

152


36.-Hallar el momento de inercia de un disco de radio R y masa M
alrededor de un eje situado en el plano del disco y que pasa por
su centro. R

37.-Una moneda de 15 g y 1,5 cm de diámetro está girando a 10 rev/s
respecto a un diámetro vertical en un punto fijo sobre una mesa.
(a) ¿Cuál es el momento angular de la moneda respecto a su
centro de masas? (b) ¿Cuál es el momento angular respecto a un
punto de la mesa a 10 cm de la moneda.? Si la moneda gira sobre
su eje respecto a un diámetro vertical a 10 rev/s, pero también se mueve en
línea recta a través de la mesa a 5 cm/s, (c) ¿Cuál es el momento angular de
la moneda respecto a un punto de la línea de movimiento? (d) ¿Cuál es el
momento angular de la moneda respecto a un punto situado a 10 cm de la
línea del movimiento? (Existen dos respuestas a esta pregunta. Explicar por
qué y dar ambas?

38.- Se hace pasar un eje por uno de los extremos de una barra uniforme de
longitud L y masa M de modo que la barra cuelgue de él. La barra se suelta
desde el reposo formando un ángulo θ0 con la vertical. Demostrar que
cuando el ángulo con la vertical es θ, el eje ejerce una fuerza Fr a lo largo de
la barra y una fuerza F t perpendicular que vienen dadas por
1 1
Fr = Mg ( 5 cos θ − 3 cos θ 0 ) y Ft = Mg sen θ Z
2 2 Z’

39.- a) Determine el momento de inercia del cilindro
de masa M, largo L y radio R, respecto de los X
ejes Z’ y Z.
X’ Y,
b) Son los ejes XYZ y X’Y’Z’, ejes principales Y’
de inercia. Explique.

40.- Una bala de 25 g de masa se dispara con una
O •
rapidez de 340 m/s, como se indica en la figura
adjunta, quedando incrustada en la varilla delgada 0,1 m
y uniforme de 25 kg de masa. Determine el mayor
ángulo que hace la varilla con la vertical, desprecie
toda fricción en la articulación O. 10°
0,1 m

41.- En el instante mostrado, el disco de masa m = 1 kg
y radio R desciende con una aceleración
r 0
a = 3 i m / s 2 . Si el disco rueda, (r/R) = 1/3, g = 10
ˆ x
m/s2 y el momento de inercia del disco de radio r
r R
es despreciable, determine la tensión en la cuerda. 0

30°

153


42.- Dos cilindros idénticos de 30 kg de masa,
están unidos por un resorte ideal de
k
constante k ≡ 16,9 N/m, como se muestra en
r
la figura. Los cilindros se ruedan en
direcciones contrarias hasta que la fuerza
recuperadora en el resorte sea de 39 N,
soltándose inmediatamente. Si en todo momento los cilindros ruedan, halle
la velocidad máxima del centro de masa de los cilindros.
0.25 m 0.75 m F
43.- Un disco uniforme de 10 kg está girando a una B
velocidad angular de 500 rpm cuando una fuerza de c A
frenado de magnitud F = 800 N se aplica a la barra 0.2 m
articulada. La fricción en O y A es despreciable, y en
B, µk = 0.5. Calcule el tiempo requerido para detener
el disco.

44.- Un disco uniforme de 50 lb y 1 ft de radio rueda hacia r y
abajo por una superficie inclinada. Calcule la aceleración c
lineal del disco y el valor mínimo de µs que es requerido µK = 0,3 x
para impedir el deslizamiento. µS = 0,3

45.- Una cuerda pasa por una polea sin
rozamiento según se indica en la figura, esta
unida a un cuerpo de masa m en un extremo y r
enrollada alrededor de un cilindro de masa M,
que rueda sin deslizar sobre el plano
horizontal. Usando las leyes de Newton,
calcular la aceleración del centro del cilindro y O
M
la tensión de la cuerda, cuando el sistema se
suelta desde el reposo. m
a
46.- La figura indica a un cuerpo que se apoya sobre la
superficie plana horizontal s. Los coeficientes de fricción r
F
estático y cinético son, respectivamente, µs y µk. Sobre el
r
cuerpo se aplica una fuerza F a una distancia h por
encima del plano, determine:

a) Los valores de h y F, para que el cuerpo no experimente
volcadura ni deslizamiento.
r
b) Los valores de h y el valor de F, para que el cuerpo no W b
vuelque y experimente deslizamiento inminente. h
c) Los valores de h y F para que el cuerpo no vuelque, pero
experimente un deslizamiento con velocidad constante.
d) El valor de h y F para que la volcadura y deslizamiento sean inminentes.

154

r
v0
47.- Un cubo de lado l y masa m se desliza sobre una
superficie sin fricción con rapidez v0, ver figura.
Impactando un pequeño obstáculo al final de la mesa,
lo que ocasiona que el cubo se ladee. Encuentre el
valor mínimo de v0 tal que el cubo caiga de la mesa. El
momento de inercia del cubo respecto de un eje que
pasa por el CM y paralelo a las aristas es ml2/6.

48.- Un cilindro de masa m y radio R enrollado con una cuerda inextensible y de
masa despreciable se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo θ y cuyo
coeficiente de fricción es µ. Del otro extremo de la cerda cuelga una masa M
¿Cuál es el valor de M para que la mesa del cilindro baje rodando sin
deslizar?

49.- Un cilindro de masa m está soportado sobre un plano
inclinado mediante una cuerda alrededor de su periferia al
plano, como se indica en la figura. El coeficiente de
fricción entre el cilindro entre el cilindro y plano es µ = 0,3.
Determine la aceleración del cilindro que rueda hacia
abajo del plano, considerando:
a) El CM
b) Un punto diferente al CM
c) Comente los resultados de a) y b)

r

45°

155

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