CORRIENTE ALTERNA: Fisica C-ESPOL

R
C L

07/08/2009 10:46 1
FLORENCIO PINELA - ESPOL

La Guerra de las Corrientes : CA vs. CC

Vs

George Westinghouse Thomas Alva Edison
(1846-1914) (1847-1931)
En 1886 En 1880 se asocia con
fundóWestinghouse J.P. Morgan para fundar
Electric la General Electric
FLORENCIO PINELA - ESPOL 2 07/08/2009 10:46

GENERACION DE
ENERGIA ELECTRICA

07/08/2009 10:46 FLORENCIO PINELA - ESPOL 4

07/08/2009 10:46

CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA

Generación de una tensión alterna
ε = NBAω sen ωt
ε = max sen ωt
ε= max cos ωt

5

Caracterización de una corriente
utilizando valores medios

T
2 T 1
Si V Vo cos t con T 1 V V dt
f f dt T
T 0
T
0 1
I I dt
T
T 0
1 2 /
V Vo cos t dt Vo sen t 0
0
2 0
2
Los valores medios
T
1 2 / no dan información
I I o cos t dt I o sen t 0
2 0
2 0
sobre las corrientes
alternas.


Valor eficaz (rms) de corrienter1y voltaje
r1
x 0.0 , ..
n
La definición de corriente en +1
1
sen2 t
CC, no tiene sentido en CA
¿Qué es valor h( x ) 0
0
eficaz?
T
2 2 -1
1
(I 0
eficaz R )T i Rdt 0 2 4 6
x
t
0

i I o sen t El valor eficaz (valor rms)
de una señal alterna, es
T
I o sen2 tdt
2
igual al de una continua
I 2eficaz
T si durante el mismo
0
intervalo de tiempo
T
sen 2 tdt 1 disipan la misma cantidad
0
T 2 de energía

T
2 I o sen2 tdt
2
I eficaz
0
T
2 2
2 I0 I0
I eficaz I eficaz I rms
2 2
Io
I eficaz I rms 0, 707 I o
2
Vo
Veficaz Vrms 0, 707Vo
2
!No es lo mismo que
el valor medio!


Circuitos de CA: LRC en serie
• Enunciado del problema:
Dado = mcos t, encontrar I(t).
• Procedimiento: iniciemos con la
ecuación de los voltajes
R
d 2Q dQ Q C
L 2 R m cos t L
dt dt C

• Esta ecuación se puede resolver con “toneladas
de algebra” involucrando cos( t) y sen( t).
Nosotros utilizaremos un método fasorial, primeramente
consideraremos circuitos simples con un elemento (R, C, o L)
junto con la fuente alterna

Fasores
• Un fasor es un “vector” cuya magnitud es el máximo valor de una cantidad (ej., V)
el cual rota en sentido antihorario en un plano 2-d con velocidad angular .

x r cos t y y
y rsen t
La proyección de r (sobre
el eje vertical y) ejecuta x
una oscilación sinusoidal.
3
Ej. Fuente V m sen( t )
2
= componente “y” del fasor V 1

4
ωt=0 ωt=45˚ ωt=90˚ ωt=270˚
m
V=εm
V=0 V
2

V=-εm


Circuito Resistivo AC
 Relación entre Voltaje y Corriente

V Vo
V Vo cos t I cos t I I o cos t
R R

 Diagrama fasorial

V Vo cos t La misma función, no hay
diferencia de fase
I I o cos t

 Potencia instantánea

Vo2
Pt V tIt cos 2 t 0 I V
R

Circuito Resistivo AC
La potencia es siempre positiva, esto significa que la fuente está siempre
suministrando energía al resistor, la que es disipada en forma de energía
térmica.
Vo2
V Vo cos t I I o cos t Pt cos 2 t
R
2,5
2
1,5
1
0,5 V
0 t I
-0,5 0 2 4 6 8 10 12 P

-1
-1,5
-2
-2,5


Circuito Resistivo en AC Pav P
1
T
P(t )dt
(potencia promedio) T0

 Potencia promedio T
I o2 cos 2 t dt
Pav I 2R av R I2 av Pav Ro
T r1 T
x 0.0 , .. r1
cos2 t dt n
o 1 1
+1
T 2 sen2 t

I o2 R 2 2 h( x ) 0
0
Pav R I rms 2 I rms R
2 2
-1
1
Idéntico al valor I2 R del 0
0 2
t
4 6
x
circuito en CC

Circuito Capacitivo en AC
 Relación entre el voltaje y la corriente
V Vo cos t Q CV CVo cos t

dQ Vo
I C Vo sen t I cos t I o cos t
dt 1 2 2
C

 Reactancia Capacitiva
1 Vo
Xc
C
I cos t Vo Vrms
Xc 2 Io I rms
Xc Xc
 Diagrama fasorial V
V Vo cos t La corriente adelanta al
voltaje en I
I I o cos t I 0 sen t
2

 Potencia Instantánea
1
Pt V t I t CVo2 sen t cos t CVo2 sen 2 t
2
Potencia entregada Potencia entregada
Pt 0 por la fuente al Pt 0
por el capacitor a la
capacitor fuente
 Potencia promedio T

sen 2 t dt T
1 CVo2 1
Pav Pt av CVo2 0 Pav
2T 2
cos 2 t
2 T 0

CVo2 1 2 CVo2 1
Pav cos 2 T cos 0 Pav 1 1 0
Pav 0
2T 2 T 2T 2



V Vo cos t

I I o cos t
2

1
Pav CVo2 sen 2 t
2

Potencia positiva significa que hay energía suministrada por la fuente
al capacitor y almacenada en forma de campo eléctrico. Potencia
negativa significa que hay energía suministrada desde el capacitor a la
fuente de poder.

Si la frecuencia de la fuente es variable y la
amplitud de V constante. La lámpara brilla
más intensamente a:

i) altas frecuencias
ii) bajas frecuencias
iii) igual para todas


Circuito Inductivo en AC
 Relacion entre voltaje y corriente

dI
V Vo cos t V L Vo cos t
dt
dI
L dt Vo cos t dt LdI Vo cos t dt
dt

Vo Vo
LI t sen t It sen t I t I o sen t
L
 Reactancia Inductiva
Vo Vo Vrms
XL L I t sen t Io I rms
XL XL XL
 Diagrama fasorial V
V Vo cos( t ) El voltaje adelanta a la
corriente en I
I07/08/2009sen t
t I o 10:46 18

 Potencia Instantánea

Vo2 Vo2
Pt V t It sen t cos t sen 2 t
L 2L

Potencia Potencia entregada
Pt 0 entregada por la Pt 0 por el inductor a la
fuente al inductor fuente

 Potencia promedio
T
sen 2 t dt
Pav Pt av
Vo
2
0 Pav 0
2L T


Vo2
V Vo cos t I t I o sen( t ) Pav sen 2 t
2L
2,5
2
1,5
1
0,5 V
0 t I
-0,5 0 2 4 6 8 10 12 P
-1
-1,5
-2
-2,5

Potencia positiva significa que hay energía suministrada por la fuente al
inductor y almacenada en forma de campo magnético. Potencia negativa
significa que hay energía suministrada desde el inductor a la fuente de poder.

Si la frecuencia de la fuente es variable y la
amplitud de V constante. La lámpara brilla
más intensamente a:

i) altas frecuencias
ii) bajas frecuencias
iii) igual para todas


¿Qué es la
reactancia?

Se puede imaginar una resistencia
dependiente de la frecuencia.
1 • Para alta ω, χC ~ 0
XC - El Capacitor luce como un alambre (“corto”)
C • Para baja ω, χC ∞
- El capacitor luce como un circuito abierto

XL L • Para baja ω, χL ~ 0
- El inductor luce como un alambre (“corto”)
• Para alta ω, χL∞
( " XR " R ) - El inductor luce como un circuito abierto
(inductores resisten cambios en la corriente)


Un circuito RL es alimentado por un
generador de de CA como se muestra
en la figura.
Si nosotros medimos el voltaje a través del
inductor como la salida del circuito (y el
generador como la entrada), este circuito es un
ejemplo de un

a) low-pass filter
b) high-pass filter
c) band-pass filter.
Aplicaciones del mundo-real:
filtro pasa baja – control del bajo de un “stereo”, estabilizadores de voltajes
Filtro pasa-alta – control del “treble” de un “stereo”
filtro pasa-banda – “tuner” de una estación de radio, teléfono celular, TV, etc.

El circuito RLC en serie
Diagrama fasorial de los tres elementos actuando individualmente


Al conectar los tres elementos en serie, la corriente instantánea en
cada uno de ellos debe ser la misma e igual a la corriente de la
fuente. Esto es equivalente a decir que los tres fasores corriente se
deben encontrar en fase.


Suma vectorial

Vo = VR + VL +VC Z = XL + XC + R

Cambio de escala
dividiendo cada
término para Io ó Im
Vm=ImZ
Vrms=IrmsZ


Impedancia, Z
• Del diagrama fasorial se encuentra que la amplitud de
corriente Im se relaciona con la amplitud del voltaje
m Im Z
aplicado m (Vm) por
• Z es conocida como la “impedancia”, es básicamente la resistencia
equivalente del circuito LRC dependiente de la frecuencia, dada por:

“ Triángulo de ImZ
Impedancia” Im X L X C
| |
Im R
m 2 2
Z R X L XC
Im o

• Note que Z experimenta su mínimo valor (R) cuando
R
= 0. Bajo
estas condiciones el circuito presenta su Z
cos( )
máxima corriente.

Ejemplo: Se determinan los valores de las tensiones (voltajes) en el
resistor (20 V), en el capacitor (60 V) y en el inductor (30 V). ¿Cuál
es la tensión de la fuente?


Ejemplo: La fuente entrega una tensión pico de 170 V a una
frecuencia de 60 Hz. Si R vale 20 ohmios, L= 100 mH y
C= 50 μF. ¿Cuál es el valor de la corriente eficaz del circuito y la
diferencia de fase entre la tensión y la corriente?


Retraso & Adelanto
La fase entre la corriente y la fem de la fuente depende de las
magnitudes relativas de las reactancias inductiva y capacitiva.
XL XC XL L
Im m tan
Z R 1
XC
C
XL
XL
XL
Z
R Z
Z R
R XC
XC Z=R
XC XL > XC XL < XC
XL = XC
>0 <0
=0
La corriente La corriente
La corriente está
RETRASA al ADELANTA al
EN FASE con el
Voltaje aplicado Voltaje aplicado
Voltaje aplicado

 Diagrama fasorial
VL
 En caso de una carga

inductiva donde.
I I o cos t VR +VL +VC
VL +VC
VR RI o cos t

VC I o X C cos t I VR
2
VL I o X L cos t
2
VC
Recuerde de las leyes de Kirchhoff
VTotal t VL t VR t Vc t Vo cos t

Note: el voltaje adelanta a la
corriente en un ángulo

Pregunta de ACTIVIDAD

 El circuito LRC mostrado es R
alimentado por un generador
con voltaje = m sen t. El
gráfico de la corriente I en C L
función del tiempo se
muestra a la derecha.

Cuál de los siguientes fasores representa la corriente I a t=0?
1A
(a) (b) I (c) I
I



Un circuito RC es alimentado por una fem ~
= m sen t. ¿Cuál de los siguientes sería
un diagrama fasorial apropiado?

VL εm εm
VC VR
VR VR VC εm
VC
(a) (b) (c)
Para este circuito ¿cuál de los siguientes es verdad?
(a) El voltaje de entrada y la corriente están en fase.
(b) El voltaje retrasa a la corriente.
(c) El voltaje adelanta a la corriente.


R
 El circuito LRC mostrado es
alimentado por un generador con
voltaje = m sen t. El gráfico C L
de la corriente I en función del
tiempo se muestra a la derecha.
Cómo debería cambiar para que la corriente y el voltaje
se encuentren en fase?

(a) incrementar (b) disminuir (c) imposible
I


Potencia en un circuito de CA

Potencia instantánea

v(t) = Vo senωt

i(t) =Io sen(ωt-φ)

P(t) = v(t) i(t)

P(t) = Vo senωt Io sen(ωt-φ)

P(t) = VoIo senωt[senωt cosφ - cosωt senφ]

Potencia promedio
T
P(t )dt
P P
0
T
T T
1 1
P Vo I o cos sen2 tdt Vo I o sen sen t cos tdt
0
T 0
T
2
1 1
sen t cos t 0 sen 2 x
r1 sen 2 xdx
x 0.0 , .. r1 2 0
2
n
+1
1.01 1 1
+1
sen t cos t sen2 t
(Producto de h( x ) 0
0 h( x ) 0
0
una función par
e impar = 0)
1.01
-1
1
-1
1
0
0 2 4 6
0
0 x
t 6.28
0 2
t
4 6
x


T T
1 1
P Vo I o cos sen2 tdt Vo I o sen sen t cos tdt
0
T 0
T

T T
sen 2
tdt 1 sen t cos tdt
0
0
T 2 0
T
Vo I o cos
P Vrms I rms cos
2
Io Vo
I rms , Vrms
2 2

El término cos φ se denomina factor de potencia.
• La potencia es máxima cuando =0 = 0

XL = XC => o =(1/LC)1/2

Circuito General R-L-C en C.A
 Instantaneous power Vo2
Pt V t It cos t cos t
Z
 In case 0, P(t) varies sinusoidally with time from positive to
negative values and vice versa.
Power delivered
Power delivered P t 0 by the circuit to
P t 0 by the supply to
the supply
the circuit
Note: only the capacitor and inductor can
deliver power to the supply because they
store energy. The resistor can’t.
 In case = 0, P(t) 0 and varies sinusoidally with time.
Thus, power is always delivered by the supply to the circuit.
Vo2
Pt cos 2 t 0
Z

Circuito General R-L-C en C.A
P(t) = VoIo senωt[senωt cosφ - cosωt senφ]

5

4

3
P(t) (Watt)

C =10 F
2 L = 1mH
R = 5 ohm
Vo = 5 Volt
1

0

-1
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
Time (sec)
w=5000 rad/sec w=10000 rad/sec w=15000 rad/sec
Caso Capacitivo, Caso Resistivo, Caso Inductivo,

Si usted quiere incrementar la potencia entregada a
este circuito RLC, qué modificación(es) trabajarían?

Vo I o cos
P Vrms I rms cos
2

a) incremente R d) disminuya R

b) incremente C e) disminuya C

c) incremente L f) disminuya L

Utilizar un grán resistor incrementará el valor
de la corriente?
a) yes b) no


Resonancia
 Para valores fijos R, C, L la corriente Im sera máxima a la
frecuencia de resonancia 0 lo que hace a la impedancia Z
puramente resistiva (Z = R).

m m
Im
Z R 2
X L XC
2

Alcanza su máximo valor cuando: XL XC
Esta condición se obtiene cuando:
1 1
oL o
oC LC
• Note que ésta frecuencia de resonancia es idéntica a la
frecuencia natural del circuito LC!
• A esta frecuencia, la corriente y el voltaje aplicado estan en
fase:
XL XC
07/08/2009 10:46 tan 0 41
R FLORENCIO PINELA - ESPOL

Aplicación o
1
LC


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