1. El documento describe los conceptos de carga multiaxial y deformación elástica en elementos estructurales sometidos a fuerzas en múltiples direcciones. 2. Explica que bajo una carga multiaxial, un elemento en forma de cubo se deforma en un paralelepípedo rectangular, y las deformaciones en cada eje dependen de los esfuerzos en todos los ejes. 3. Además, introduce las ecuaciones de Hooke generalizadas que relacionan los esfuerzos y deformaciones en materiales elásticos isotrópicos y

1. 1
CAPITULO I
CARGA MULTIAXIAL
Consideremos elementos estructurales sometidos a cargas en x, y y z.
Sea un elemento de material de forma de cubo (lado=1). Al aplicar las cargas el cubo
se deforma en un paralelepípedo con lados. 1 + 𝜖 𝑥, 1 + 𝜖 𝑦 𝑦 1 + 𝜖 𝑧 . fig. A
fig. A
Las deformaciones son: 𝝐 𝒙 = +
𝝈 𝒙
𝑬
−
𝒗𝝈 𝒚
𝑬
−
𝒗𝝈 𝒛
𝑬
𝝐 𝒚 = −
𝒗𝝈 𝒙
𝑬
+
𝝈 𝒚
𝑬
−
𝒗𝝈 𝒛
𝑬
𝝐 𝒛 = −
𝒗𝝈 𝒙
𝑬
−
𝒗𝝈 𝒚
𝑬
+
𝝈 𝒁
𝑬

2. 2
Los elementos delgados sometidos a cargas axiales, es decir, a fuerzas dirigidas a lo
largo de un solo eje. Escogiendo este eje como el eje X, y llamando P a la fuerza
interna en una posición dada, los esfuerzos correspondientes resultaron ser σx=P/A,
σy=0 y σz=0.
Se considerarán ahora elementos estructurales sometidos a fuerzas que actúan en las
direcciones de los tres ejes coordenados produciendo los esfuerzos σx,σy y σz, todos
diferentes de cero. Esta condición se denomina carga multiaxial. Sea un elemento de
material en forma de cubo. Puede suponerse unitaria la arista del cubo.
Bajo la carga multiaxial el elemento se convierte en un paralelepípedo rectangular de
lados 1 + x, 1 + y y1 + z, en donde x, y, z, son las deformaciones normales en las
direcciones de los ejes coordenados.
Debe observarse que, como resultado de las deformaciones de otros elementos del
material, el elemento estudiado puede también experimentar una traslación, pero aquí
solo concierne la deformación real del elemento y no cualquier posible
desplazamiento de cuerpo rígido.
Para expresar los componentes de la deformación x, y, z en términos de los esfuerzos
x, y, z se consideran separadamente el efecto de cada componente del esfuerzo y se
combinan los resultados obtenidos. La aproximación que se utiliza en este punto se
basa en el principio de la superposición.
El efecto de una combinación de cargas en una estructura se puede obtener
determinando separadamente los efectos de las diferentes cargas y combinando los
resultados obtenidos siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
Cada efecto está linealmente relacionado con la carga que lo produce.(1)
1.1 Ley generalizada de hooke.
Donde es la fuerza recuperadora que ejerce el resorte debido a la deformación y
es la constante de elasticidad del resorte. La constante de elasticidad, es una
característica del mismo, depende sólo de la forma del resorte y del material con
que se ha construido. Debe ponerse el signo menos dado que el sentido de, como
se ve en la ilustración, será siempre el opuesto al de la deformación.
Si una vez alcanzado el equilibrio, es decir cuando, tiramos de, produciendo en el
resorte un alargamiento suplementario, con relación a la posición de equilibrio, y
dejamos el sistema en libertad, observaremos que el resorte comienza a oscilar
alrededor de la posición de equilibrio.
(1) Baker, Joanne(06de 2013).50 cosas que hay que saber sobre física (1ª edición).p. 224.ISBN 978-84-672-5575-1.

3. 3
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza F vale: 𝐸 𝑦 ( 𝑥) −
1
2
𝑘𝑥3
+ 𝑐
Porque el trabajo realizado por esta fuerza conservativa cuando la partícula se
desplaza desde la posición xA a la posición xB es:
∫ 𝐹𝑑𝑥 = ∫ −𝑘𝑥𝑑𝑥 =
1
2
𝑘𝑥 𝐴
2
−
1
2
𝑘𝑥 𝐵
2
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que
se alcanza el límite de proporcionalidad (ver figura C).
fig. c
En las curvas esfuerzo - deformación de un material hay un tramo de
comportamiento perfectamente elástico en el que la relación esfuerzo –
deformación es lineal (punto A). De ahí hasta otro punto B (de límite elástico) el
material sigue un comportamiento elástico (sigue habiendo una relación entre
esfuerzo y deformación, aunque no es lineal, y si se retira el esfuerzo se recupera
la longitud inicial). Si se sigue aumentando la carga (por encima del punto b
hasta el punto B’ ), el material se deforma rápidamente y si se retira el esfuerzo
no se recupera la longitud inicial, quedando una deformación permanente y el
cuerpo tiene un comportamiento plástico. Si se sigue aumentando la carga (por
encima del punto B’), el material llega hasta un estado en el que se rompe (punto
C).

4. 4
Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico.
Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el límite elástico,
siguiendo un comportamiento plástico.
Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas
deformaciones.
En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es
mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada solo según su eje.
La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor
de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser
representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados
por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o
ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que
caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones
tienen la forma general:
𝜎𝑖𝑗 = ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀 𝑘𝑙
𝑘,𝑙
Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir
deformaciones pequeñas, se involucran solo en la recta del diagrama de esfuerzo
y deformación.
De tal forma que la deformación es una cantidad adimensional, el módulo se
expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (unidades pa, psi y ksi). El
máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un
material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este
caso, los materiales dúctiles que poseen un punto decencia definido; en ciertos
materiales no puede definirse la proporcionalidad decencia fácilmente, ya que es
difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo para el que la similitud
entre y deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que
el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En
resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales,
como resistencia, ductilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse
debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manufactura.
.

5. 5
Caso unidimensional
En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en
direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden
ignorar
𝜎 = 𝜎11; 𝜖 = 𝜖11, 𝑐11 = 𝐸 Y la ecuación anterior se reduce a: 𝜎 = 𝐸𝜖
Donde 𝐸 es el módulo de Young.
Caso tridimensional isótropo
Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se
requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente
de Poisson ( 𝑣). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico
lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden
escribirse en la forma:
∈ 𝑥𝑥=
1
𝐸
(𝜎𝑥𝑥 − 𝑣(𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 )) ∈ 𝑥𝑦 =
(1 + 𝑉)
𝐸
𝜎𝑥𝑦
∈ 𝑦𝑦=
1
𝐸
(𝜎𝑦𝑦 − 𝑣(𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧)) ∈ 𝑦𝑧 =
(1 + 𝑉)
𝐸
𝜎𝑦𝑧
∈ 𝑧𝑧=
1
𝐸
(𝜎𝑧𝑧 − 𝑣(𝜎𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧 )) ∈ 𝑥𝑧 =
(1 + 𝑉)
𝐸
𝜎𝑥𝑧
En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de
Poisson como:
(
𝜀 𝑥𝑥
𝜀 𝑦𝑦
𝜀 𝑧𝑧
𝜀 𝑥𝑦
𝜀 𝑥𝑧
𝜀 𝑦𝑧 )
=
(
1
𝐸
−
𝑣
𝐸
−
𝑣
𝐸
−
𝑣
𝐸
1
𝐸
−
𝑣
𝐸
−
𝑣
𝐸
−
𝑣
𝐸
−
1
𝐸
(1+𝑣)
𝐸
0
0
(1+𝑣)
𝐸
0 0
0
0
(1+𝑣)
𝐸 )

6. 6
Las relaciones inversas vienen dadas por:
(
𝜎 𝑥𝑥
𝜎 𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧
𝜎 𝑥𝑦
𝜎 𝑥𝑧
𝜎 𝑦𝑧 )
=
𝐸
1 + 𝑣
(
1−𝑣
1−2𝑣
𝑣
1−2𝑣
𝑣
1−2𝑣
𝑣
1−2𝑣
1−𝑣
1−2𝑣
𝑣
1−2𝑣
𝑣
1−2𝑣
𝑣
1−2𝑣
1−𝑣
1−2𝑣
1 0 0
0 1 0
0 0 1)
(
𝜀 𝑥𝑥
𝜀 𝑦𝑦
𝜀 𝑧𝑧
𝜀 𝑥𝑦
𝜀 𝑥𝑧
𝜀 𝑦𝑧)
Caso tridimensional ortótropo
El comportamiento elástico de un material ortotrópico queda caracterizado
por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad
longitudinal,(𝐸𝑥 ; 𝐸 𝑦; 𝐸 𝑍) 3 módulos de rigidez 𝐺𝑥𝑦; 𝐺 𝑦𝑧; 𝐺𝑧𝑥 y 3 coeficientes
de Poisson 𝑉𝑥𝑦; 𝑉𝑦𝑥; 𝑉𝑧𝑥. De hecho para un material ortotrópico la relación
entre las componentes del tensor tensión y las componentes del tensor
deformación viene dada por:
(
𝜀 𝑥𝑥
𝜀 𝑦𝑦
𝜀 𝑧𝑧
𝜀 𝑥𝑦
𝜀 𝑥𝑧
𝜀 𝑦𝑧)
=
(
1
𝐸 𝑥
−
𝑉𝑦𝑥
𝐸 𝑦
−
𝑉 𝑧𝑥
𝐸 𝑧
−
𝑉𝑥𝑦
𝐸 𝑥
1
𝐸 𝑦
−
𝑉𝑧𝑦
𝐸𝑧
−
𝑉𝑥𝑦
𝐸 𝑥
−
𝑉𝑦𝑧
𝐸 𝑦
1
𝐸 𝑧
1
2𝐺 𝑥𝑦
0 0
0 1
2𝐺 𝑥𝑧
0
0 0 1
2𝐺 𝑦𝑧)
(
𝜎 𝑥𝑥
𝜎 𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧
𝜎 𝑥𝑦
𝜎 𝑥𝑧
𝜎 𝑦𝑧 )
Dónde:
𝑉𝑦𝑥
𝐸 𝑦
=
𝑉𝑥𝑦
𝐸 𝑥
𝑉𝑥𝑦
𝐸𝑧
=
𝑉𝑥𝑧
𝐸 𝑥
𝑉𝑦𝑧
𝐸 𝑦
=
𝑉𝑧𝑦
𝐸𝑧
Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que
gobiernan la distorsión están desacopladas, lo cual significa que en general es
posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones
y viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en función de
las tensiones toman una forma algo más complicada:

7. 7
(
𝜎 𝑥𝑥
𝜎 𝑦𝑦
𝜎𝑧𝑧
𝜎 𝑥𝑦
𝜎 𝑥𝑧
𝜎 𝑦𝑧)
=
(
1−𝑉𝑦𝑧 𝑉𝑦𝑧
𝐸 𝑦 𝐸𝑧∆
𝑉 𝑦𝑥+𝑉 𝑦𝑧 𝑉 𝑧𝑥
𝐸 𝑦 𝐸 𝑧∆
𝑉 𝑧𝑥+𝑉 𝑧𝑦 𝑉 𝑦𝑧
𝐸 𝑦 𝐸 𝑧∆
𝑉 𝑥𝑦+𝑉 𝑥𝑧 𝑉 𝑧𝑦
𝐸 𝑥 𝐸 𝑧∆
1−𝑉 𝑧𝑥 𝑉 𝑥𝑧
𝐸 𝑥 𝐸 𝑧∆
𝑉 𝑧𝑦+𝑉 𝑧𝑥 𝑉 𝑥𝑦
𝐸 𝑥 𝐸 𝑧∆
𝑉 𝑥𝑧+𝑉 𝑥𝑦 𝑉 𝑦𝑧
𝐸 𝑥 𝐸 𝑦∆
𝑉 𝑦𝑧+𝑉 𝑦𝑧 𝑉 𝑥𝑧
𝐸 𝑥 𝐸 𝑦∆
1−𝑉 𝑥𝑦 𝑉 𝑦𝑥
𝐸 𝑥 𝐸 𝑦∆
2𝐺𝑥𝑦 0 0
0 2𝐺𝑥𝑧 0
0 0 2𝐺 𝑌𝑍)
(
𝜀 𝑥𝑥
𝜀 𝑦𝑦
𝜀 𝑧𝑧
𝜀 𝑥𝑦
𝜀 𝑥𝑧
𝜀 𝑦𝑧)
Dónde:
∆:=
1 − 𝑣 𝑥𝑦 𝑣 𝑦𝑥 − 𝑣 𝑥𝑧 𝑣𝑧𝑥 − 𝑣 𝑦𝑧 𝑣𝑧𝑦 − 2𝑣 𝑥𝑦 𝑣 𝑦𝑧 𝑣𝑧𝑥
𝐸𝑥 𝐸 𝑦 𝐸𝑧
De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez, es
simétrica ya que de las relaciones se la simetría del anterior matriz puesto
que:
𝑣 𝑦𝑥 + 𝑣 𝑦𝑧 𝑣𝑧𝑥
𝐸 𝑦 𝐸𝑧∆
=
𝑣 𝑥𝑦 + 𝑣 𝑥𝑧 𝑣𝑧𝑦
𝐸𝑥 𝐸𝑧∆
𝑣𝑧𝑥 + 𝑣𝑧𝑦 𝑣 𝑦𝑥
𝐸 𝑦 𝐸𝑧∆
=
𝑣 𝑥𝑦 + 𝑣 𝑥𝑦 𝑣 𝑦𝑧
𝐸𝑥 𝐸 𝑦∆
𝑣𝑧𝑦 + 𝑣𝑧𝑥 𝑣 𝑥𝑦
𝐸𝑥 𝐸𝑧∆
=
𝑣 𝑦𝑧 + 𝑣 𝑦𝑥 𝑣 𝑥𝑧
𝐸𝑥 𝐸 𝑦∆
Un caso particular de materiales ortótropos son los materiales
transversalmente isótropos lineales en los que solo hace falta especificar
cinco constantes elásticas: 𝐸𝑡; 𝐸𝐿; 𝐺𝑡 ; 𝑣𝑡; 𝑣𝐿𝑡 , donde 𝑡 se refiere a las
direcciones transversales a la dirección que se llama longitudinal. (2)
1.2 Deformación De Corte
La deformación de un cuerpo por lo general implica cambios en el tamaño y en la
forma de éste. Los cambios de tamaño están asociados naturalmente con los
alargamientos del cuerpo. Los cambios en la forma resultan no sólo de
alargamientos sino también de cambios locales en los ángulos entre líneas del
cuerpo que, inicialmente, son perpendiculares.
(2) Timoshenko, Stephen; Godier J.N. (1951). McGraw-Hill, ed. Theory of elasticity.

8. 8
fig. 1
Las deformaciones de corte se definen como: tan(C’A’P) y tan(B’A’R).
Por tratarse de ángulos pequeños, estas tangentes son muy similares a los
correspondientes ángulos en radianes.(fig 1)
tan (C’A’P) (≈  C’A’P) = [(u
2
/x
1
)·dx
1
]/[dx
1
+ (u
1
/x
1
)·dx
1
]
Como (u
1
/x
1
)·dx
1
<< 1; luego tan(C’A’P) ≈ u
2
/x
1
De manera similar, tan (B’A’R)≈ u
1
/x
2
Las deformaciones totales de corte son:
d
12
= u
2
/x
1
+ u
1
/x
2
d
13
= u
3
/x
1
+ u
1
/x
3
d
23
= u
3
/x
2
+ u
2
/x
3
Usando índices: d
ij
= u
i
/x
j
+ u
j
/x
i
Expresión tensorial de la deformación de corte
La forma deformada final se relaciona con la forma inicial mediante la suma de:
“deformación” + “rotación”, como se muestra en la

9. 9
Figura:
La deformación total de corte ´(12 ) es la suma de las tan(α1) + tan(α2).
Ambas tangentes pueden descomponerse en una parte simétrica, que corresponde a
un cambio de forma o deformación, y en una parte anti simétrica que corresponde a
una rotación:
tan(α1) = u2/x1 = ½· (u2/x1 + u1/x2) + ½· (u2/x1 - u1/x2)
de12 = ½· d12
Deformación + Rotación
tan(α2) = u1/x2 = ½· (u1/x2 + u2/x1) + ½· (u1/x2 - u2/x1)
de21 = ½· d21
Se debe destacar que: de12= ½·d12 ; de21= ½·d21; luego: de12= de21
Velocidades de deformaciones
En muchos cálculos de mecánica de la plasticidad se utilizarán frecuentemente las
velocidades de deformación, éstas forman un tensor. Si se divide deij por dt se
obtiene el tensor velocidades de deformaciones:
deij/dt = ½·[d(ui/xj)/dt + d(uj/xi)/dt]
Las diagonales del tensor (i=j) son velocidades de deformación de tracción o de
compresión; las otras componentes i≠j corresponden a d(ij/2)/dt, velocidad de
deformaciones angulares; Igualmente se puede derivar respecto de t el tensor
rotación:

10. 10
dwij/dt = ½·[d(uj/xi)/dt - d(ui/xj)/dt]
Las componentes de estos tensores se transforman siguiendo las reglas comunes a los
tensores cuando se giran los ejes coordenados.
Deformaciones grandes
Las deformaciones grandes o totales (eij) no son tensores, y pueden ser
obtenidos del tensor de deformaciones pequeñas por integración:
B t=t
eij = ∫deij = ∫ (deij/dt)·dt
A t=0
Deformación volumétrica y condición de incompresibilidad
• Si se considera un elemento de volumen formado por un paralelepípedo de
lados a, b, c y volumen V= a·b·c.
• Diferenciando: dV = (b·c)da + (a·c)db + (a·b)dc
• Dividiendo por V = a·b·c
• dV/V = da/a + db/b + dc/c = de11 + de22 + de33 = deii = 0
• Esta es la condición de incompresibilidad o de conservación de volumen.
• Cuando se produce deformación elástica, se produce un pequeño cambio de
volumen; pero la deformación plástica (permanente) ocurre por
desplazamiento de dislocaciones y por tanto ocurre a volumen constante.
Como las deformaciones plásticas usualmente son mucho mayores que las
elásticas, éstas pueden despreciarse y en plasticidad se usa la condición de
conservación de volumen.
1.3 Módulo de Compresibilidad
Supongamos que tenemos un estado de esfuerzos, debido a una compresión
uniforme que actúa por toda la superficie del cuerpo y perpendicular a ella,
definido por:
σx = σy = σz = −p
txy = tyz = tzx = 0

11. 11
si aplicamos estos valores a las ecuaciones anteriores obtenemos las componentes
de la deformación:
εx = εy = εz = − (
1 − 2v
E
)p
γxy = γyz = γzx = 0
Definimos la dilatación o deformación volumétrica, ε como el cambio de volumen
unitario (cambio del volumen total ∆V dividido por el volumen original V) y lo
expresamos mediante:
ε =
−∆V
V
: ε = εx + εy + εz
Para el caso de presión hidrostática tendríamos:
ε = −
3
E
(1 − 2v) p = −
1
K
p
Donde K =
E
3(1−2v)
es el Módulo Volumétrico de Elasticidad o Módulo de
Deformación volumétrico.
El módulo de deformación volumétrica representa la razón negativa de la presión
hidrostática con la dilatación resultante.
K =
∆p
∆V/V
es de especial interés en el estudio de la plasticidad. El hecho de que la dilatación,
bajo cualquier estado de tensiones, venga definida por la ecuación es evidente, ya
que las deformaciones tangenciales no producen cambio alguno en el volumen. En
consecuencia,
ε = εx + εy + εz = −(
1 − 2v
E
) 3σm
Es decir, la relación:
ε =
1
K
σm
Cumple cualquier estado de tensiones.

12. 12
A la inversa de K se le conoce como coeficiente de compresibilidad (B= 1/K)
A la cantidad σm se le conoce como componente esférica –o hidrostática –del
esfuerzo.
Los valores de ε y de σm son invariantes con respecto a cualquier transformación de
ejes ortogonal.
Importancia
Un módulo de compresibilidad es una medida importante en los
sistemas hidráulicos industriales. Los fluidos hidráulicos pueden
experimentar presiones de 5.000 libras (2.250 kg) por pulgada cuadrada o psi
(por sus siglas en inglés) o más, si demasiada energía se gasta en exprimir las
moléculas del líquido más cerca y juntas, la potencia, el tiempo de respuesta y
la estabilidad del sistema pueden sufrir como resultado.
Tipos
Si se comprime un fluido lentamente de modo que cualquier energía de calor
generado es disipada, el módulo de compresibilidad se describe como
isotérmico. Si se comprime un fluido rápidamente, de manera que se
produzca la compresión y la expansión térmica, el módulo de compresibilidad
se describe como adiabático.
Unidades
La unidad del módulo de compresibilidad del Sistema Internacional de
Unidades es Newtons por metro cuadrado (N/m2) o Pascales (Pa). La unidad
imperial es libras por pulgada cuadrada (lb/pulg2 o psi), donde 1 psi = 6.894
Pa.
Ejemplo
Para disminuir el volumen de una bola de hierro, con un módulo de
compresibilidad de 160 GPa (gigapascales) en un 0,5%, se requiere un
aumento de la presión de 0,005×160 GPa = 0,8 GPa. Alternativamente, si la
bola es comprimida con una presión uniforme de 100 MPa, su volumen
disminuirá por un factor de 100 MPa/160 GPa = 0.000625 ó 0,0625%.

13. 13
Usos
Aunque para el tratamiento de sólidos el efecto del módulo de compresibilidad es
muchas veces ignorado en favor de otros módulos, como el módulo de Young,
para el tratamiento de fluidos, solo el módulo de compresibilidad es representativo.
En situaciones en las que un sólido se comporta como un fluido, como por ejemplo
en balística terminal, el módulo de compresibilidad no puede ser ignorado.
Estrictamente hablando, el módulo de compresibilidad es un
parámetro termodinámico, y por tanto es necesario especificar las condiciones
particulares en las que se produce el proceso de compresión, lo que da lugar a la
definición de diferentes módulos de compresibilidad. Los más importantes, aunque
no los únicos, son:
Si durante el proceso de compresión la temperatura permanece constante, tenemos
el coeficiente de compresibilidad isotérmico, (KT) que viene dado por
KT = −
1
V
(
∂V
∂p
)
T
= −
1
ρ
(
∂ρ
∂p
)
T
Si el proceso de compresión es adiabático, tenemos el coeficiente
de compresibilidad adiabático, (KS).
KS = −
1
V
(
∂V
∂p
)
S
= −
1
ρ
(
∂ρ
∂p
)
S
En la práctica, estas distinciones son solo relevantes para los gases. En
un gas ideal, los módulos de compresibilidad isotérmico y adiabático vienen
dados por
KT = p KS = γp
Dónde:
p es la presión y γ es el coeficiente adiabático.
En un fluido, el módulo de compresibilidad K y la densidad ρ determinan
la velocidad del sonido c (ondas de presión), según la fórmula
c = √
K
ρ
En la práctica un módulo de compresibilidad positivo garantiza un sistema
estable. Es decir que cuando sea sometido a presiones mayores, este

14. 14
disminuye su volumen. Si se da lo contrario, quiere decir que un aumento de
presión significa un aumento de volumen. Esto sólo se da en sistemas no
estables tales como las reacciones químicas o algunos cambios de fase.
Valores de la compresibilidad
Substancia Módulo de compresibilidad
Agua 2,2×109 Pa (este valor aumenta a mayores presiones)
Aire 1,42×105 Pa (módulo de compresibilidad adiabático)
Aire 1,01×105 Pa (módulo de compresibilidad isotérmico)
Acero 160×109 Pa
Aluminio 73×109 Pa
Bronce 88×109 Pa
Cobre 110×109 Pa
Cristal 35×109 a 55×109 Pa
Diamante 442×109 Pa1
Goma (caucho) 4,1×109 Pa (aproximado)
Helio sólido 5×107 Pa (aproximado)
Níquel 18×109 Pa
Plomo 50×109 Pa
1.4 Deformación Bajo Carga Axial
Se ha supuesto hasta ahora que en un elemento cargado axialmente los
esfuerzos normales están uniformemente distribuidos en cualquier sección
perpendicular al eje del elemento. Para determinar los esfuerzos reales en una
sección dada del elemento es necesario solucionar un problema estáticamente
indeterminado.
Los problemas estáticamente indeterminados que incluyen la determinación
de fuerzas pueden resolverse teniendo en cuenta las deformaciones causadas
por estas fuerzas. Es razonable concluir entonces que para calcular los
esfuerzos en un elemento es necesario analizar las deformaciones producidas
por los esfuerzos.(3)
(3) Olivella, X.; Agelet de Saracibar, C. (2000). «3». En Edicions UPC. Mecánica
de Medios Continuos para Ingenieros. Barcelona. pp. 71-75. ISBN 978-84-
8301-412-7.
(2)

15. 15
Fig h
Las deformaciones causadas por cargas en elementos de una estructura o
máquina es un área importante de análisis y peste puede ayudar al cálculo de
esfuerzos. Si nos basamos solamente en los principios de la estática, no
siempre podremos determinar las fuerzas sobre los elementos de una
estructura.(fig. h) Pero si consideramos a las estructuras como deformables, a
través del análisis de las deformaciones podremos encontrar las fuerzas que
son estáticamente indeterminadas. Por medio de este análisis también
podremos determinar la distribución de esfuerzos en un elemento. La
deformación normal (Є) o deformación unitaria normal, es la deformación del
elemento por unidad de longitud. Si graficamos esfuerzos contra deformación
obtendremos un diagrama esfuerzo-deformación, del cual podemos obtener
propiedades del material tales como su módulo de elasticidad o si el material
es frágil o dúctil y si las deformaciones al aplicar una carga desaparecerán o
serán permanentes. Deformación normal bajo carga axial Si a la barra de la
figura a se le aplica una fuerza P en C, esta se estirará. Esto significa que tuvo
una deformación δ. Si graficamos la magnitud de P contra la deformación
total δ generaremos el diagrama carga de formación (figura 2.2 cuya
información es específica para la varilla de longitud, área transversal y
material como la de la figura 2.1

16. 16
Entonces, la deformación unitaria normal en una varilla bajo carga axial es la
deformación por unidad de longitud de dicha varilla:
∈=
𝜹
𝑳
Por otro lado, si elaboramos una gráfica de esfuerzo contra deformación, a
partir de la curva generada obtendremos características del material y no
dependen de las dimensiones de la muestra. Este es el diagrama esfuerzo-
deformación. En un cuerpo con una sección transversal variable, se deberá
establecer un punto Q tomando en cuenta un pequeño tramo de longitud sin
deformar (Δx). Así, si Δδ es la deformación del segmento bajo la carga dada,
la deformación normal en Q es:
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
∆𝜹
∆𝒙
=
𝒅𝜹
𝒅𝒙
Cabe mencionar que la deformación normal (Є) es adimensional.
Diagrama Esfuerzo-Deformación Para conocer el diagrama de algún material
se realizan pruebas de tensión sobre una probeta del material. En dichas
pruebas se someten las probetas a fuerzas axiales de tensión y se registran las
deformaciones o estiramientos para cada fuerza aplicada. Los diagramas de
de los materiales pueden variar aun siendo el mismo material, por lo que se
realizan varias pruebas para establecer diagrama promedio, por así decirlo.
Dichas variaciones son causadas por factores como la temperatura, la
velocidad con que se aplicó la carga, entre otros. A partir de los diagramas de

17. 17
esfuerzo-deformación se divide a los materiales en dos tipos: dúctiles y
frágiles. Los materiales dúctiles se caracterizan porque su longitud aumenta
linealmente con la carga al principio, y de manera muy lenta. Es por eso que
el primer segmento del diagrama es una recta con una pendiente bastante
pronunciada. Pero una vez que se alcanza el valor crítico σy del esfuerzo, la
muestra se deforma bastante con incrementos relativamente pequeños de la
carga. Se dice que esta característica es la capacidad del material de fluir. Al
llegar a cierto valor de la carga, el diámetro de la muestra comenzará a
reducirse; a esto se le llama estricción y es la causa por la cual la deformación
ocurre con cargas menores hasta fracturarse. (fig. f)
fig. f
Respecto a los materiales frágiles, la taza de alargamiento no cambia mucho
antes de que llegue a fracturarse. Es por eso que para estos materiales la
resistencia última es igual que la resistencia a la fractura y la deformación
unitaria en el punto de fractura es mucho menor que en los materiales
dúctiles. Tampoco presentan estricción y la frcactura se presenta en una
superficie perpendicular a la carga aplicada. (fig. 2,11)

18. 18
Cabe mencionar que materiales dúctiles, a temperaturas muy bajas, puede
presentar características de un material frágil y un material frágil a altas
temperaturas puede comportarse como uno dúctil. (3)
1.5 RELACION ENTRE E, v y G.
El módulo de elasticidad transversal, también llamado módulo de cizalladura, es
una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un
material elástico (lineal e isótropo) cuando se aplican esfuerzos cortantes. Este
módulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los
siguientes: módulo de rigidez transversal, módulo de corte, módulo de
cortadura, módulo elástico tangencial, módulo de elasticidad transversal, y segunda
constante de Lamé. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de
elasticidad transversal es una constante con el mismo valor para todas las direcciones
del espacio. En materiales anisótropos se pueden definir varios módulos de
elasticidad transversal, y en los materiales elásticos no lineales dicho módulo no es
una constante sino que es una función dependiente del grado de deformación.
Experimentalmente el módulo elástico transversal (o módulo cortante) puede medirse
de varios modos, conceptualmente la forma más sencilla es considerar un cubo como
el de la fig. 1 y someterlo a una fuerza cortante, para pequeñas deformaciones se
puede calcular la razón entre la tensión y la distorsión angular:
G ∶=
𝑇𝑚
Ɵ
≈
F/A
∆ᵪ/𝑙
=
Fl
∆ᵪ𝐴
Experimentalmente también puede medirse a partir de experimentos de torsión, por
lo que dicha constante no sólo interviene en los procesos de cizalladura.
(3)P. Beer, Ferdinand; Russel Johnston Jr. , E.; T. de DeWolf, John; F. Mazurek,
David . (2009). Mecánica de Materiales. México, Distrito Federal: McGraw-Hill.
Deformación carga axial.

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Fig 1
∆ ͯ A
l ϴ
Esquema para la medición del esfuerzo cortante.
Materiales isótropos lineales
Para un material isótropo elástico lineal el módulo de elasticidad transversal
está relacionado con el módulo de Young y el coeficiente de
Poisson mediante la relación:
G =
E
2(1 + v)
=
Tᵢᵣ
2Ɛᵢᵣ
Dónde:
Es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young.
Es el coeficiente de Poisson.
Son respectivamente la tensión tangencial y la deformación
tangencial sobre el plano formado por los ejes Xi y Xj.
Materiales aniso trópicos lineales
Los materiales elásticos lineales anisótropos se caracterizan por presentar
diferentes valores de las constantes elásticas según la direccionalidad del
material. En general, en un material aniso trópico la ley de Hooke,
σᵢᵣ = CᵢᵣᵤᵥƐᵤᵥ

20. 20
Donde el tensor de constantes elásticas está dado por:
Cᵢᵣᵤᵥ ⇒ Cᵧᵦ =
[
C11
C12
C13
C14
C15
C16
C12
C22
C23
C24
C25
C26
C13
C23
C33
C34
C35
C36
C14
C24
C34
C44
C45
C46
C15
C25
C35
C45
C55
C56
C16
C26
C36
C46
C56
C66 ]
en notación de Voigt, que contrae un tensor de orden 4 en una matriz debido a
los requerimientos de simetría que impone la conservación del momento
angular sobre el tensor de tensiones, .
En un material isotrópo el módulo de cizalla se corresponde con el
elemento del tensor de constantes elásticas. En materiales con simetría
cúbica no simple es posible definir un módulo de cortadura equivalente
identificándolo con el el elemento de dicho tensor, pero su significado
físico cambia. Existen igualmente casos en los que, sin tratarse de un material
isótropo ni de simetría cúbica, es posible definir un módulo de cizalla: un
caso sería el de los materiales de simetría hexagonal compacta, en los cuales
el plano basal tiene simetría cúbica y, por lo tanto, presenta un
comportamiento isotrópo dentro del plano.
Materiales ortótropos
Un caso particular de material anisótropo donde sí se puede hablar de
módulos de elasticidad longitudinales y transversales son los llamados
materiales ortótropos; la madera es un ejemplo de material ortótropo,
frecuentemente usado en construcción. En los materiales ortótropos los
modos transversales y longitudinales de deformación están desacoplados. Eso
permite identificar claramente módulos de elasticidad transversal y módulos
de elasticidad longitudinal. Para un material ortótropo general pueden
definirse tres módulos de elasticidad longitudinales básicos (Ex, Ey', Ez) y

21. 21
tres módulos de elasticidad transversal (Gxy, Gxz', Gyz). Estos últimos se
definen como:
Gᵢᵣ =
σᵢᵣ
2Ɛᵢᵣ
Gᵢᵤ =
σᵢᵤ
2Ɛᵢᵤ
Gᵣᵤ =
σᵣᵤ
2Ɛᵣᵤ
Para un material como la madera las coordenadas X, Y y Z anteriores se
toman de la siguiente manera:
el eje X está alineado con la dirección longitudinal de la fibra.
el eje Y se toma perpendicular a los anillos de la sección transversal.
el eje Z se toma tangente a los anillos de la sección transversal.
Los módulos de elasticidad transversal en estas tres direcciones son diferentes
para la madera y pueden llegar a presentar grandes diferencias de valor entre
ellas.(5)

22. 22
CONCLUSIONES
1. La forma “moderna” de la Ley de Hooke Generalizada establece que cada
componente del tensor de tensiones es una combinación lineal de todos los
componentes del tensor de deformación:
2. Un módulo de compresibilidad es una medida de la incompresibilidad de un
sólido o líquido o la capacidad de la sustancia para resistir los cambios en
el volumen cuando se aplica presión en todos los lados.
3. Es una constante elástica que se caracteriza el cambio de forma que experimenta
un material elástico, La deformación de c un cuerpo por lo general implica
cambios en el tamaño
4. Los cambios en la forma resultan no solo de alargamiento sino de ángulos
locales. Los cálculos de la mecánica se pueden utilizar frecuentemente a las
velocidades de deformaciones estas forman y un tensor.
5. Las deformaciones pueden ser angulares o se pueden derivar respecto a los
tensores la cual aplicamos a diario.
6. Lo que damos a conocer en este trabajo es la aplicación en nuestras labores
como estudiante de química la cual aplicamos al ejercer nuestra profesión.
(5) P. Beer, Ferdinand; Russel Johnston Jr. , E.; T. de DeWolf, John; F.
Mazurek, David . (2009). Mecánica de Materiales. México, Distrito
Federal: McGraw-Hill. Deformación carga axial.

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BIBLIOGRAFÍA
1. Baker, Joanne (06 de 2013). 50 cosas que hay que saber sobre
física (1ª edición). p. 224. ISBN 978-84-672-5575-1.
2. Timoshenko, Stephen; Godier J.N. (1951). McGraw-Hill, ed. Theory
of elasticity.
3. Olivella, X.; Agelet de Saracibar, C. (2000). «3». En Edicions
UPC. Mecánica de Medios Continuos para Ingenieros. Barcelona.
pp. 71-75. ISBN 978-84-8301-412-7.
4. P. Beer, Ferdinand; Russel Johnston Jr. , E.; T. de DeWolf, John; F.
Mazurek, David . (2009). Mecánica de Materiales. México, Distrito
Federal: McGraw-Hill. Deformación carga axial
5. R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed.
Dover, 1980.
6. https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke