El resumen trata sobre conjuntos inductivos. En la primera oración se prueba que la raíz cuadrada de 3 pertenece al conjunto de los números naturales mediante la demostración de que el conjunto A={x ∈ N: x=1 ∨ x=2} es inductivo y contiene a la raíz cuadrada de 3. En la segunda oración se prueba por reducción al absurdo que para cualquier número natural n no existe un número entero z tal que n < z < n + 1.

1. Conjuntos Inductivos
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
3
1. Probar que ∈N
/
2
2. Probar que, dado n ∈ N , no existe n´mero entero z tal que
u
n<z <n+1
Soluci´n
o
1. Definimos el conjunto
A = {x ∈ :x=1∨x 2}
El cual se deduce que es inductivo, pues N ⊆ A, como 2, 3, 4 ∈ A y por la
3 3
relaci´n de orden se cumple 2 < 3 < 4 ⇒ 1 < < 2 luego ∈ A
o /
2 2
3
⇒ ∈ N./
2
2. Dado n ∈ N supongamos existe z ∈ Z tal que n < z < n + 1 pasando a
restar n tendr´
ıamos equivalentemente 0 < z−n < 1 luego basta demostrar:
Afirmaci´n:
o n ∈ N tal que 0 < n < 1
En efecto; supongamos exista n ∈ N luego el conjunto B = (0, 1) ∩ N = ∅
y como ´ste es un subconjunto de los naturales, entonces por el principio
e
del buen orden debe cumplirse que ∃a0 = min B luego como:
a0 < 1 ⇒ a2 < a0 < 1 ⇒ a2 < 1
0 0
Tambi´n a2 ∈ N as´ a2 ∈ B y es menor que el m´
e 0 ı 0 ınimo (absurdo!!)
Luego de 0 < z −n < 1 con z −n ∈ N de la afirmaci´n conclu´
o ımos que esto
es absurdo! por lo tanto no existe n´mero entero z tal que n < z < n + 1.
u
1