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                   Helmuth villavicencio fern´ndez
                                             a


                  3
  1. Probar que     ∈N
                    /
                  2
  2. Probar que, dado n ∈ N , no existe n´mero entero z tal que
                                         u

                                  n<z <n+1

Soluci´n
      o
  1. Definimos el conjunto

                            A = {x ∈       :x=1∨x   2}

    El cual se deduce que es inductivo, pues N ⊆ A, como 2, 3, 4 ∈ A y por la
                                               3         3
    relaci´n de orden se cumple 2 < 3 < 4 ⇒ 1 < < 2 luego ∈ A
          o                                                /
                                               2         2
        3
    ⇒ ∈ N./
        2


  2. Dado n ∈ N supongamos existe z ∈ Z tal que n < z < n + 1 pasando a
     restar n tendr´
                   ıamos equivalentemente 0 < z−n < 1 luego basta demostrar:

    Afirmaci´n:
           o         n ∈ N tal que 0 < n < 1

    En efecto; supongamos exista n ∈ N luego el conjunto B = (0, 1) ∩ N = ∅
    y como ´ste es un subconjunto de los naturales, entonces por el principio
            e
    del buen orden debe cumplirse que ∃a0 = min B luego como:

                         a0 < 1 ⇒ a2 < a0 < 1 ⇒ a2 < 1
                                   0             0

    Tambi´n a2 ∈ N as´ a2 ∈ B y es menor que el m´
         e 0         ı 0                         ınimo (absurdo!!)

    Luego de 0 < z −n < 1 con z −n ∈ N de la afirmaci´n conclu´
                                                      o         ımos que esto
    es absurdo! por lo tanto no existe n´mero entero z tal que n < z < n + 1.
                                        u




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Conjuntinduc3

  • 1. Conjuntos Inductivos Helmuth villavicencio fern´ndez a 3 1. Probar que ∈N / 2 2. Probar que, dado n ∈ N , no existe n´mero entero z tal que u n<z <n+1 Soluci´n o 1. Definimos el conjunto A = {x ∈ :x=1∨x 2} El cual se deduce que es inductivo, pues N ⊆ A, como 2, 3, 4 ∈ A y por la 3 3 relaci´n de orden se cumple 2 < 3 < 4 ⇒ 1 < < 2 luego ∈ A o / 2 2 3 ⇒ ∈ N./ 2 2. Dado n ∈ N supongamos existe z ∈ Z tal que n < z < n + 1 pasando a restar n tendr´ ıamos equivalentemente 0 < z−n < 1 luego basta demostrar: Afirmaci´n: o n ∈ N tal que 0 < n < 1 En efecto; supongamos exista n ∈ N luego el conjunto B = (0, 1) ∩ N = ∅ y como ´ste es un subconjunto de los naturales, entonces por el principio e del buen orden debe cumplirse que ∃a0 = min B luego como: a0 < 1 ⇒ a2 < a0 < 1 ⇒ a2 < 1 0 0 Tambi´n a2 ∈ N as´ a2 ∈ B y es menor que el m´ e 0 ı 0 ınimo (absurdo!!) Luego de 0 < z −n < 1 con z −n ∈ N de la afirmaci´n conclu´ o ımos que esto es absurdo! por lo tanto no existe n´mero entero z tal que n < z < n + 1. u 1