Este documento presenta información sobre pruebas estadísticas paramétricas y no paramétricas, incluyendo la prueba de chi cuadrado. Explica cómo usar la prueba de chi cuadrado para probar la independencia entre variables cualitativas y la homogeneidad entre muestras, y provee ejemplos numéricos de cómo calcular y aplicar esta prueba estadística.

1. UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA
Chi cuadrada
Dr. Ronald Mayhuasca Salgado
ESTADÍSTICA 2014 – II

2. Inferencia estadística Prueba de hipótesis
Pruebas estadísticas
Pruebas paramétricas
Pruebas no paramétricas
Son aquellas en las que el interés se centra en probar una
hipótesis acerca de uno o más parámetros de la población.
Requiere conocer la distribución de la población.
Son aquellos procedimientos que prueban hipótesis que
nos son afirmaciones acerca de parámetros de la población,
si no mas bien plantea determinados comportamientos
para la población o cuando no se conoce la distribución.

3. Pruebas paramétricas
Número de
grupos
Variable de interés Parámetro poblacional Prueba estadística
Uno
Cuantitativa
Media: μ Prueba Z
Prueba T
Varianza: σ2 Chi cuadrada
Cualitativa Proporción Prueba Z

4. Pruebas paramétricas
Número de
grupos
Variable de interés Parámetro poblacional Prueba estadística
Dos
Cuantitativa
Medias: μ1, μ2
Media de la diferencia:
μd
De comparación de medias:
Prueba Z o T
Prueba – datos pareados
Varianzas: σ21, σ22 De comparación de varianzas
Prueba F
Cualitativa Proporciones: P1, P2 De comparación de proporciones
Prueba Z
K
K≥3 Cuantitativa
Medias: μ1, μ2,… De comparación de medias
Análisis de varianza (prueba F)
Varianzas: σ21, σ22 ,… Prueba de Bartlet para
comparación de varianzas

5. Pruebas NO paramétricas
Número de
grupos
Variable de interés Hipótesis Prueba estadística
Uno
Cuantitativa, ordinal o
categórica
Distribución de la población
posee modelo determinado
De bondad de ajuste
Chi cuadrada
Kolgomorov- Smirnov
Ordinal o cuantitativa Medición de efecto antes y
después (observaciones
pareadas)
De signo
De Wilcoxon
Cualitativa
De Mc Nemar

6. Pruebas NO paramétricas
Número de
grupos
Variable de interés Hipótesis Prueba estadística
Dos
Cuantitativa, ordinal Comparación de
mediciones (grupos
independientes)
Prueba de Mann-Whitney
Cualitativa
Comparación de
proporciones
Exacta de Fisher

7. Pruebas NO paramétricas
Número de
grupos
Variable de interés Hipótesis Prueba estadística
K
K≥3
Cuantitativa o
cualitativa
Comparación de mediciones
(grupos independientes)
De Kruskall-Wallis
Comparación de mediciones
(grupos dependientes)
De Friedman
Cualitativa
Comparación de
proporciones: P1j, P2j…
Prueba de comparación de
proporciones o de homogeneidad
Chi cuadrada
Comparación de
tratamientos (observaciones
relacionadas)
Prueba de Cochran

8. Distribución Ji-cuadrada : X2
(n)

9. Distribución Ji-cuadrada : X2
(n)
1. La distribución X2 tiene como parámetro n grados de libertad.
2. No posee valores negativos. El valor mínimo es 0.
3. Todas las curvas son asimétricas positivas
4. Cuando aumentan los grados de libertad, las curvas son menos
elevadas y más extendidas a la derecha
5. Se usa para evaluar la asociación entre variables cualitativas
medidas a escala nominal.

10. Distribución Ji-cuadrada : X2
(n)

11. Aplicaciones
• INDEPENDENCIA DE CRITERIOS (variables)
• HOMOGENEIDAD DE PROPORCIONES
• PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
En investigación observacional o
descriptiva con población única
Estudios comparativos
Poco usado

12. 1. INDEPENDENCIA DE CRITERIOS
(variables)
1. De una muestra de unidades de análisis elegida al azar de
una población, estamos interesados en evaluar si dos
criterios de clasificación medidas a escala nominal son
independientes o no.
2. Los totales marginales de la tabla de contingencia no están
controlados por el investigador (son aleatorios)

13. Estudio transversal de población única
Población
Muestra
Con los datos obtenidos de las dos variables cualitativas,
elaboramos una tabla de contingencia FxC que permita
evaluar la asociación

14. Estadística de prueba Ji-cuadrada : X2
(n)
Se supone que Ho es verdadera, es decir, que las variables son independientes,
por consiguiente se tiene:
Fórmula de trabajo:
Donde:
Oi: Frecuencia observada
Ei: Frecuencia esperada
Grados de libertad = (f-1).(c-1)
퐹. 퐸푠푝푒푟푎푑푎 =
푋2 = 푂푖−퐸푖 2
퐸푖
푇표푡푎푙 푓푖푙푎푠 푥 푡표푡푎푙 푐표푙푢푚푛푎푠
푇표푡푎푙 푔푒푛푒푟푎푙
Mide el grado de concordancia entre los pares de frecuencias observadas y
esperadas en cada una de las celdas, suponiendo que Ho es verdadera.

15. Prueba de independencia
Ejemplo:
El objetivo del estudio es
Determinar si el toser por la mañana
está asociado al fumar cigarrillos en
personas de 25 años a 50 años de edad.
Para tal efecto seleccionamos una muestra de 100
personas de esta población objeto de estudio y se
obtiene la siguiente tabla:
¿Tose por la mañana? ¿Fuma cigarrillos? Total
SI NO
SI 45 24 69
NO 15 16 31
TOTAL 60 40 100

16. Prueba de independencia
1. Planteamiento de hipótesis
Ho: toser por la mañana es independiente de fumar
cigarrillos
H1: toser por la mañana está asociado a fumar cigarrillos

17. Prueba de independencia
2. Estadística de la prueba
Donde:
Oi: Frecuencia observada
Ei: Frecuencia esperada
Grados de libertad = (f-1).(c-1)
푋2 = 푂푖−퐸푖 2
퐹. 퐸푠푝푒푟푎푑푎 =
퐸푖
푇표푡푎푙 푓푖푙푎푠 푥 푡표푡푎푙 푐표푙푢푚푛푎푠
푇표푡푎푙 푔푒푛푒푟푎푙
Tiene distribución X2 con grados de libertad= (2-1) (2-1) = 1, si Ho es verdadera.

18. Prueba de independencia
3. Cálculo de las frecuencias esperadas y 푋2
Oi: Frecuencia observada Ei: Frecuencia esperada
퐸11 =
69푥60
100
= 41,4
푋2 =
45−41,4 2
41,4
+
15−18,6 2
18,6
+
24−27,6 2
27,6
+
16−12,4 2
12,4
퐸12 =
69푥40
100
= 27,6
퐸21 =
31푥60
100
= 18,6
퐸22 =
31푥40
100
= 12,4
¿Tose por la
mañana?
¿Fuma cigarrillos? Total
SI NO
SI 45 24 69
NO 15 16 31
TOTAL 60 40 100
푋2 = 2,53
푋2 = 푂푖−퐸푖 2
퐸푖

19. Prueba de independencia
4. Valor de p
95% 90% 85%
No
rechazamos
Ho
Rechazamos Ho
푋2 = 2,53 g.l:1
De la tabla de distribución de 푋2 con 1 gl: 0,10< p< 0.95
O sea p>0,10
5. Decisión y conclusión
Decisión: Siendo p mayor a 0,05 no se rechaza Ho.
Ho: toser por la mañana es independiente de fumar cigarrillos
Conclusión: Toser en la mañana es independiente de fumar cigarrillos (p>0,05)

20. 2. PRUEBA DE
HOMOGENEIDAD

21. 2. PRUEBA DE HOMOGENEIDAD
1. Se aplica cuando se desea conocer si dos o más muestras
provienen de poblaciones homogéneas con respecto a algún
criterio de clasificación
2. Se usan cuando se desarrollan estudios comparativos
3. La hipótesis nula establece que las muestras se extraen de
poblaciones homogéneas

22. Estadística de prueba Ji-cuadrada : X2
(n)
Se supone que Ho es verdadera, es decir, que las variables son independientes,
por consiguiente se tiene:
Fórmula de trabajo:
Donde:
Oi: Frecuencia observada
Ei: Frecuencia esperada
Grados de libertad = (f-1).(c-1)
퐹. 퐸푠푝푒푟푎푑푎 =
푋2 = 푂푖−퐸푖 2
퐸푖
푇표푡푎푙 푓푖푙푎푠 푥 푡표푡푎푙 푐표푙푢푚푛푎푠
푇표푡푎푙 푔푒푛푒푟푎푙
Mide el grado de concordancia entre los pares de frecuencias observadas y
esperadas en cada una de las celdas, suponiendo que Ho es verdadera.

23. Prueba de homogeneidad
Ejemplo:
Evaluar la efectividad de un antibiótico
en tres enfermedades de transmisión
sexual.
Cura de la ETS ETS Total
A B C
SI E11
75 E12 25 E13
70 170
NO E21 15 E22
45 E23
10 70
TOTAL 90 70 80 240

24. Prueba de homogeneidad
1. Planteamiento de hipótesis
Ho: Las muestras provienen de poblaciones homogéneas
según la cura de pacientes con ETS
H1: Las muestras no provienen de poblaciones
homogéneas según la cura de pacientes con ETS

25. Prueba de independencia
2. Estadística de la prueba
Donde:
Oi: Frecuencia observada
Ei: Frecuencia esperada
Grados de libertad = (f-1).(c-1)
푋2 = 푂푖−퐸푖 2
퐹. 퐸푠푝푒푟푎푑푎 =
퐸푖
푇표푡푎푙 푓푖푙푎푠 푥 푡표푡푎푙 푐표푙푢푚푛푎푠
푇표푡푎푙 푔푒푛푒푟푎푙
Tiene distribución X2 con grados de libertad= (2-1) (3-1) = 2, si Ho es verdadera.

26. Prueba de independencia
Cura de la ETS ETS Total
A B C
SI 75 25 70 170
NO 15 45 10 70
TOTAL 90 70 80 240
3. Cálculo de las frecuencias esperadas y 푋2
170푥70
240
Oi: Frecuencia observada Ei: Frecuencia esperada
퐸11 =
170푥90
240
= 63,75
푋2 =
75−63,75 2
63,75
퐸12 =
+
25−49,58 2
49,58
+ … +
10−23,34 2
23,34
퐸13 =
170푥80
240
= 56,67
퐸21 =
90푥70
240
= 26,25
퐸23 =
80푥70
240
= 23,34
푋2 = 59,34
= 49,58
퐸22 =
70푥70
240
= 20,42
푔. 푙 = 2

27. Prueba de independencia
4. Valor de p
Rechazamos Ho95% 90% 85%
No
푋2 = 59,34 푔. 푙. = 2
rechazamos
Ho
De la tabla de distribución de 푋2 con 2 gl: Valor de p<0,05
5. Decisión y conclusión
Decisión: Siendo p menor a 0,05 se rechaza Ho.
Ho: Las muestras provienen de poblaciones
homogéneas según la cura de pacientes con ETS
Conclusión: Las muestras no provienen de poblaciones homogéneas. Es decir, la
capacidad de cura del antibiótico difiere en al menos dos enfermedades (p<0,05)

28. PRÁCTICA DE CHI CUADRADO