Este documento describe una investigación matemática realizada por un grupo de estudiantes sobre la cicloide. La investigación comenzó estudiando las trayectorias de vértices de polígonos regulares al girar. Luego se generalizó al caso de un polígono de n lados, y finalmente se aproximó numéricamente la cicloide usando un polígono de 5000 lados. El grupo calculó la longitud y área de la cicloide mediante este enfoque, validando los resultados teóricos de que la longitud es 8 veces el radio y el área es 3 veces

1. Buscando a ... LA CICLOIDE Trabajo en equipo de Investigación matemática

2. Problema inicial V amos a hacer un poco de ciencia-ficción. Imagínate una rueda cuadrada y fíjate en uno de los vértices. ¿Qué trayectoria sigue al dar la rueda una vuelta? Si suponemos que el lado del cuadrado mide 1 metro, ¿qué longitud recorre un vértice en una vuelta completa? Puestos a imaginar, podemos pensar lo que pasaría si las ruedas son triángulos equiláteros. Y lo mismo con cualquier otro polígono regular. E sta investigación tiene su origen en un problema que nuestro profesor de Matemáticas nos propuso a un grupo de clase. Decía así:

3. Durante el proceso de resolución: Llegamos a estudiar las trayectorias determinadas por diversos polígonos regulares, como los siguientes:

4. ¿Y si la rueda fuese redonda? La CICLOIDE: la trayectoria que recorre un punto cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un giro completo Fue al final de aquel problema como llegamos a conocer a la protagonista de esta investigación

5. Algunas propiedades que hacen famosa a la Cicloide Es la curva braquistócrona (la de descenso más rápido entre dos puntos) La tautocronía ( si un punto se desplaza a lo largo de la curva invertida, en caída libre, llegará al punto mínimo de la curva en un tiempo que no depende de la altura de donde partió ) Diferentes caminos de A a B Camino más rápido de A a B (sobre la cicloide)

6. Medidas de la cicloide Longitud = 8.R Area = 3.  . R ² Y aquí comenzaría nuestra investigación: éstas son la medidas de la cicloide. En Internet comprobamos que no entendíamos cómo se habían calculado (siempre aparecían integrales y otras fórmulas complicadas). ¿Seríamos capaces de demostrarlas solo con nuestros conocimientos … y los ordenadores? La longitud de la cicloide es 8 veces el radio y el área que deja debajo es el triple de la del círculo que la determina

7. Nuestra idea para calcular esas medidas: Aproximarnos desde los polígonos regulares: La circunferencia viene a ser como un polígono regular de 5000 lados:

8. Proceso … para determinar la LONGITUD de la trayectoria descrita por el vértice de un polígono regular de 5000 lados girando Nuestro plan pasaba por tres fases: 1ª Fase: Estudio con polígonos regulares de 3, 4, 6 y hasta 12 lados Extracto del trabajo en un momento en el que interesaba calcular una diagonal del dodecaedro regular

9. Proceso … (LONGITUDES) 2ª Fase: Generalización del problema (polígono de n lados): La trayectoria se compone de n-1 arcos de circunferencia Todos los arcos tienen la misma amplitud (360/n grados) Los radios de los arcos son las sucesivas diagonales del polígono (además del lado) . Los resultados finales se resumían en las siguientes fórmulas:

10. Proceso … (LONGITUDES) 3ª Fase: Cálculos con Excel La Hoja de cálculo (junto con las fórmulas a las que llegamos anteriormente) nos permitió calcular rápidamente la longitud de la trayectoria correspondiente a un polígono regular de tantos lados como quisiéramos

11. Proceso para determinar el AREA de la trayectoria descrita por el vértice de un polígono regular de 5000 lados girando Para el cálculo del área repetimos las mismas tres fases para un problema distinto: 1ª Fase: Estudio con polígonos regulares de 3, 4, 6 y hasta 12 lados Extracto del trabajo en un momento en el que interesaba calcular el área barrida por el giro de un hexágono regular

12. Proceso … (AREAS) 2ª Fase: Generalización del problema (polígono de n lados): El área determinada se descompone en n-1 sectores y n-2 triángulos . El área determinada por el rodamiento de de un polígono regular de 12 lados descompuesta en 11 sectores y 10 triángulos (aplicando la Fórmula de Herón)

13. Proceso … (AREAS) 3ª Fase: Cálculos con Excel

14. Metodología de trabajo durante la Investigación Trabajo en equipo: Reparto de tareas Reuniones semanales Revisiones de lo redactado Con el ordenador: Textos con Word Fórmulas con su Editor de ecuaciones Gráficos con Cabri Excel Página web con Cabriweb

15. Autores Iranzu Ardaiz Marta Martínez Beatriz Navarro Nuria Ortega Pablo Roldán Coordinador: Manuel Sada I.E.S. de Zizur Mayor (Navarra)