Aqui podras ver de forma general y con presicion los diferentes elementos que conforman las conicas.

1. Secciones Cónicas
MAT-101
Profesor: Antonio Rivero Alexanderson
Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra

2. Origen de las secciones cónicas
• Se generan con la intersección de un cono con un plano.
• Hay 4 cónicas:
Círculo Parábola Elipse Hipérbola

3. Elementos de la parábola
• Un punto fijo llamado FOCO (F)
• Una recta llamada DIRECTRIZ (D)
• Un VÉRTICE a la mitad de F y D, sobre el eje.
• La parábola es el conjunto de puntos P que equidistan de F y D, es decir
d(D,P) = d(P,F).
Vértice:
punto
medio
Foco F(a,0)
Directriz x = -a a a

4. Parábola que abre sobre el eje X,
con vértice V(h,k)
• Veamos el ejemplo con la parábola que abre sobre el eje X, a la derecha
V(0,0)
F(a,0)
D: x = -a
NOTA: Si X está a la potencia 1, la parábola abre
en el eje X.
Vértice
Si 4a > 0, la parábola abre a la derecha,
Si 4a < 0, la parábola abre a la izquierda
Foco:
Directriz:
Ecuación:
V(h,k)
F(a + h, k)
D: x = -a + h

5. Parábola que abre sobre el eje X,
con vértice V(h,k)
• Veamos el ejemplo con la parábola que abre sobre el eje X, a la izquierda
V(0,0)
F(-a,0)
D: x = a
X está a la potencia 1, la parábola abre en el eje X.
Vértice
Si 4a > 0, la parábola abre a la derecha,
Si 4a < 0, la parábola abre a la izquierda
Foco:
Directriz:
Ecuación:
V(h,k)
F(-a + h, k)
D: x = a + h

6. Aplicación: Halle la ecuación de esta parábola
• Identifique el tipo de parábola
• Localice Vértice, Mediatriz y Foco
Ahora construya la ecuación:
Solución

7. Ecuaciones de la parábola , resumen
vertical:
Vértice Foco DirectrizEcuación
V( 0, 0 ) F( 0, a )
F( a, 0 )
Y = -a
X = -a
x
2
=4ay
V( 0, 0 )
Si a > 0, la parábola crece hacia la derecha, o hacia arriba.
Si a < 0, la parábola crece hacia la izquierda o hacia abajo.
Eje simetría
X = 0
Y = 0y
2
=4axhorizontal:
Vértice en el origen
vertical:
Vértice Foco DirectrizEcuación
V( h, k ) F( h, k+a )
F( h+a, k )
Y = k-a
X = h-a
x−h2
=4ay−k
V( h, k )
Eje simetría
X = h
Y = ky−k2
=4ax−hhorizontal:
Vértice en V(h,k)
Agradecemos la información proporcionada por su compañero Juan Miguel Gómez, del grupo 37.

8. Elementos de la elipse
• Un CENTRO C( 0 , 0 )
• Dos FOCOS F( ±c , 0 )
• Dos VÉRTICES V( ±a , 0 ) Observe que ( a > c )
• La elipse es el conjunto de puntos P tales que d(F1,P) + d(P,F2) = 2a
Otros elementos:
Eje menor: b
Eje Mayor: a
Centro
Focos
Vértices
b2 = a2 – c2

9. Ecuaciones de la elipse
Elipse horizontal:
a > b
b2 = a2 – c2
Ecuación:
Elipse vertical:
a > b
b2 = a2 – c2
Ecuación:
NOTA: La elipse
crece sobre el eje
del término con
mayor coeficiente
a o b.
(En este caso a)

10. Ecuaciones de la elipse con centro en (h,k)
Elipse horizontal:
a > b
Elipse vertical:
b > a
Vértices FocosCentro Ecuación
C( h, k ) V( h + a, k )
V( h - a, k )
F( h + c, k )
F( h - c, k )
C( 0, 0 ) V( a, 0 )
V( -a, 0 )
F( c, 0 )
F( -c, 0 )
C( h, k ) V( h, k + a)
V( h, k - a)
F( h, k + c )
F( h, k - c )
C( 0, 0 ) V( 0, a )
V( 0, -a )
F( 0, c )
F( 0, -c )

11. Elementos de la hipérbola
• SON LOS MISMOS DE LA ELIPSE.
• Un CENTRO C( 0 , 0 )
• Dos FOCOS F( ±c , 0 )
• Dos VÉRTICES V( ±a , 0 ) Observe que ( a < c )
• La elipse es el conjunto de puntos P tales que
d(F1,P) - d(P,F2) = ±2a (la elipse es suma, y la hipérbola es resta)
Otros elementos:
Eje conjugado: b
Eje transversal: a
Centro
Focos
Vértices
b2 = c2 – a2
Asíntotas
Eje transversal
Eje conjugado

12. Ecuaciones de la hipérbola con centro en (h,k)
Hipérbola
horizontal:
a > b
Hipérbola
vertical:
b > a
Vértices FocosCentro Ecuación
C( h, k ) V( h + a, k )
V( h - a, k )
F( h + c, k )
F( h - c, k )
C( 0, 0 ) V( a, 0 )
V( -a, 0 )
F( c, 0 )
F( -c, 0 )
C( h, k ) V( h, k + a)
V( h, k - a)
F( h, k + c )
F( h, k - c )
C( 0, 0 ) V( 0, a )
V( 0, -a )
F( 0, c )
F( 0, -c )
Asíntotas
(±)
(±)
NOTA: La hipérbola crece sobre el eje cuyo término en la ecuación es positivo
(En este caso es el término que incluye el coeficiente “a” ).

13. Aplicación: Grafique la siguiente ecuación
• Reorganice la ecuación
• Reorganizamos x y y
• Se factoriza
• Se completa el cuadrado
• Se simplifica
• Se divide por 36 para dejar 1
• Identifique el tipo de cónica: EN UNA ELIPSE
• Halle sus elementos y grafique
Centro C(2,1)
Eje mayor 3, eje menor 2
Focos: c2 = a2 – b2
c2 = 9 – 4 = 3

14. Resumen de cónicas
• Parábolas:
• Elipses:
• Hipérbolas