Este documento presenta una familia de polinomios de eliminación que son difíciles de computar. Introduce una familia de problemas de eliminación parametrizados y un polinomio eliminante asociado. Demuestra una cota inferior de complejidad para cualquier algoritmo que compute este polinomio eliminante dentro de un modelo de circuitos aritméticos robustos. Plantea preguntas abiertas sobre aplicar este enfoque a otros problemas y su contribución a la complejidad computacional.

1. A family of computationally hard elimination polynomials
Andrés Rojas Paredes,
arojas@dc.uba.ar
Departamento de Computación,
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
Universidad de Buenos Aires
.
Joint work with
Joos Heintz (Universidad de Buenos Aires, Universidad de
Cantabria)
and Bart Kuijpers (Hasselt University)
Andrés Rojas Paredes, arojas@dc.uba.ar A family of computationally hard elimination polynomials

2. Una familia difícil de polinomios de eliminación
n∈N
G1 , . . . , Gn ∈ C[X1 , . . . , Xn ]
H ∈ C[T , U1 , . . . , Un , X1 , . . . , Xn ]
Familia de Problemas de Eliminación Polinomio Eliminante
con parámetros T, U1 , . . . , Un e inputs X1 , . . . , Xn con parámetros T, U1 , . . . , Un e input Y
Eliminación
G1 = 0, . . . , Gn = 0, H −−−−−−−−−−−→ ...F...
Gi := Xi2 − Xi
H := 1≤i≤n 2i−1 Xi + T 1≤i≤n (1 + (Ui − 1)Xi )
[j]
F := 0≤j≤2n −1 (Y − (j + T 1≤i≤n Ui i ))
[j]i es el i–ésimo dígito de la representación binaria del entero j,
0 ≤ j ≤ 2n − 1, 1 ≤ i ≤ n
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3. Una familia difícil de polinomios de eliminación
n∈N
G1 , . . . , Gn ∈ C[X1 , . . . , Xn ]
H ∈ C[T , U1 , . . . , Un , X1 , . . . , Xn ]
Familia de Problemas de Eliminación Polinomio Eliminante
con parámetros T, U1 , . . . , Un e inputs X1 , . . . , Xn con parámetros T, U1 , . . . , Un e input Y
Eliminación
G1 = 0, . . . , Gn = 0, H −−−−−−−−−−−→ ...F...
Gi := Xi2 − Xi
H := 1≤i≤n 2i−1 Xi + T 1≤i≤n (1 + (Ui − 1)Xi )
[j]
F := 0≤j≤2n −1 (Y − (j + T 1≤i≤n Ui i ))
[j]i es el i–ésimo dígito de la representación binaria del entero j,
0 ≤ j ≤ 2n − 1, 1 ≤ i ≤ n
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4. Demostrar Cota Inferior: Estructuras de Datos
Circuitos aritméticos
Familia de Problemas de Eliminación Polinomio Eliminante
con parámetros T, U1 , . . . , Un e inputs X1 , . . . , Xn con parámetros T, U1 , . . . , Un e input Y
Eliminación
G1 = 0, . . . , Gn = 0, H −−−−−−−−−−−→ ...F...
Función de 
 Función de
Abstracción
Abstracción
...β... −−−−−−−−−−→ ...γ...
Algoritmo
Circuito Aritmético Circuito Aritmético
con inputs X1 , . . . , Xn con único input Y
Modelo de cómputo mide complejidad con tamaño(γ)
Correctitud ⇒ Diagrama Conmutativo
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5. Demostrar Cota Inferior: Estructuras de Datos
Circuitos aritméticos
Familia de Problemas de Eliminación Polinomio Eliminante
con parámetros T, U1 , . . . , Un e inputs X1 , . . . , Xn con parámetros T, U1 , . . . , Un e input Y
Eliminación
G1 = 0, . . . , Gn = 0, H −−−−−−−−−−−→ ...F...
Función de 
 Función de
Abstracción
Abstracción
...β... −−−−−−−−−−→ ...γ...
Algoritmo
Circuito Aritmético Circuito Aritmético
con inputs X1 , . . . , Xn con único input Y
Modelo de cómputo mide complejidad con tamaño(γ)
Correctitud ⇒ Diagrama Conmutativo
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6. Demostrar Cota Inferior: Estructuras de Datos
Circuitos aritméticos
Familia de Problemas de Eliminación Polinomio Eliminante
con parámetros T, U1 , . . . , Un e inputs X1 , . . . , Xn con parámetros T, U1 , . . . , Un e input Y
Eliminación
G1 = 0, . . . , Gn = 0, H −−−−−−−−−−−→ ...F...
Función de 
 Función de
Abstracción
Abstracción
...β... −−−−−−−−−−→ ...γ...
Algoritmo
Circuito Aritmético Circuito Aritmético
con inputs X1 , . . . , Xn con único input Y
Modelo de cómputo mide complejidad con tamaño(γ)
Correctitud ⇒ Diagrama Conmutativo
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7. Demostrar Cota Inferior: Estructuras de datos
Circuitos Aritméticos
Ejemplo, esquema de Horner.
Polinomio representado:
+ A2 X 2 + A1 X + A0
∗ .
+
Variable input: X
∗
Parámetros: A0 , A1 , A2
A2 X A1 A0 Resultado final:
(A2 X + A1 )X + A0
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8. Demostrar Cota Inferior: Robustez Geométrica
Propiedad natural en los problemas de eliminación
Clave en la demostración de cota inferior
Teorema–Definición
Sea M dominio de parámetros,
φ : M → Cm geométricamente robusta
si φ es continua con respecto a la topología Euclidea de M y Cm
Ahora veremos cómo agregar robustez geométrica al
modelo de cómputo
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9. Demostrar Cota Inferior: Robustez Geométrica
Propiedad natural en los problemas de eliminación
Clave en la demostración de cota inferior
Teorema–Definición
Sea M dominio de parámetros,
φ : M → Cm geométricamente robusta
si φ es continua con respecto a la topología Euclidea de M y Cm
Ahora veremos cómo agregar robustez geométrica al
modelo de cómputo
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10. Demostrar Cota Inferior: Robustez Geométrica
función φ
Definición
.
β es un circuito robusto si
. representa una función
geométricamente robusta φ
circuito robusto β
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11. Demostrar Cota Inferior: Modelo de Cómputo
Operaciones Básicas
Join, unión y redución de circuitos; recursión y branchings.
...β... −−−−−−−−−−→ ...γ...
Algoritmo
Circuito Aritmético Robusto Circuito Aritmético Robusto
con inputs X1 , . . . , Xn con único input Y
Cada operación transforma un circuito robusto en otro
circuito robusto.
Join
γ2
γ1 .................
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12. Demostrar Cota Inferior: Modelo de Cómputo
Operaciones Básicas
Join, unión y redución de circuitos; recursión y branchings.
...β... −−−−−−−−−−→ ...γ...
Algoritmo
Circuito Aritmético Robusto Circuito Aritmético Robusto
con inputs X1 , . . . , Xn con único input Y
Cada operación transforma un circuito robusto en otro
circuito robusto.
Join
γ2
γ1 .................
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13. Demostrar Cota Inferior: Modelo de Cómputo
Familia de Problemas de Eliminación Polinomio Eliminante
con parámetros T, U1 , . . . , Un e inputs X1 , . . . , Xn con parámetros T, U1 , . . . , Un e input Y
Eliminación
G1 = 0, . . . , Gn = 0, H −−−−−−−−−−−→ ...F...
Función de 
 Función de
Abstracción
Abstracción
...β... −−−−−−−−−−−−
→ ...γ...
Algoritmo A
Circuito Aritmético Robusto Circuito Aritmético Robusto
con inputs X1 , . . . , Xn con único input Y
Teorema
Para todo algoritmo A capturado por el modelo
el circuito γn realiza al menos Ω(2n ) multiplicaciones con
parámetros
el circuito γn tiene tamaño al menos Ω(2n )
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14. Demostrar Cota Inferior: Modelo de Cómputo
Familia de Problemas de Eliminación Polinomio Eliminante
con parámetros T, U1 , . . . , Un e inputs X1 , . . . , Xn con parámetros T, U1 , . . . , Un e input Y
Eliminación
G1 = 0, . . . , Gn = 0, H −−−−−−−−−−−→ ...F...
Función de 
 Función de
Abstracción
Abstracción
...β... −−−−−−−−−−−−
→ ...γ...
Algoritmo A
Circuito Aritmético Robusto Circuito Aritmético Robusto
con inputs X1 , . . . , Xn con único input Y
Teorema
Para todo algoritmo A capturado por el modelo
el circuito γn realiza al menos Ω(2n ) multiplicaciones con
parámetros
el circuito γn tiene tamaño al menos Ω(2n )
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15. Demostrar Cota Inferior: Modelo de Cómputo
Demo Teorema
Ver demo Teorema 10 de:
B. Kuijpers, J. Heintz, A. Rojas Paredes. Software Engineering
and Algebraic Geometry. Aparecerá en Journal of Complexity,
(2012).
.
Puntos clave:
Demostrar que los procedimientos creados en el modelo
conservan la robustez (isoparametría)
Usar la dependencia integral (propiedad derivada de la
robustez) para concluir la cota inferior
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16. Demostrar Cota Inferior: Modelo de Cómputo
Demo Teorema
Ver demo Teorema 10 de:
B. Kuijpers, J. Heintz, A. Rojas Paredes. Software Engineering
and Algebraic Geometry. Aparecerá en Journal of Complexity,
(2012).
.
Puntos clave:
Demostrar que los procedimientos creados en el modelo
conservan la robustez (isoparametría)
Usar la dependencia integral (propiedad derivada de la
robustez) para concluir la cota inferior
Andrés Rojas Paredes, arojas@dc.uba.ar A family of computationally hard elimination polynomials

17. Conclusiones
Open Question 1: Ingeniería de Software
Replicar nuestro caso de la eliminación en otros problemas?
(por ejemplo, ver cual es complejidad intrínseca de una
operación, dada una arquitectura/estructura de datos).
Open Question 2: Teoría de la Complejidad
Cual es el aporte a la pregunta si P es igual a NP (tesis de
Cook)?
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18. Conclusiones
Open Question 1: Ingeniería de Software
Replicar nuestro caso de la eliminación en otros problemas?
(por ejemplo, ver cual es complejidad intrínseca de una
operación, dada una arquitectura/estructura de datos).
Open Question 2: Teoría de la Complejidad
Cual es el aporte a la pregunta si P es igual a NP (tesis de
Cook)?
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