Este documento presenta un esquema inicial sobre diferentes distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo el proceso de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución geométrica, la distribución binomial negativa y la distribución de Poisson. Para cada distribución, se describe su génesis, ficha técnica con su función de probabilidad y distribución, y se incluye un ejemplo ilustrativo.

1. Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli
2. Distribución Binomial
3. Distribución Geométrica
4. Distribución Binomial Negativa
5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I

2. 4. Distribución Binomial Negativa (1/4)
GÉNESIS
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca n veces A
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de veces que aparece A hasta que aparezca n veces A” RgX = {0, 1, 2,….}.
X’ ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca n veces A” Rg X’ = {n, n+1, n+2,…}
Probabilidades y Estadística I

3. 4. Distribución Binomial Negativa (2/4)
GÉNESIS
• Espacio probabilístico asociado
 
P [ X = x ] = P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ax ∩ Ax +1 ∩ Ax + 2 ∩ .. ∩ Ax + n ) ∪ .............  = PRnx+nx−11 p n q x =
 
 
,
−
 reordenaciones 
 n + x − 1 n x  n + x − 1 n x
 p q = p q
 x   n −1 
 
P [ X ' = x ] = P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An −1 ∩ An ∩ An +1 ∩ .. ∩ Ax −1 ∩ Ax ) ∪ .............  = PRxx−1n ,n −1 p n q x − n =
 
 
−
 reordenaciones 
 x − 1 n x − n
 p q
 n − 1
Probabilidades y Estadística I

4. 4. Distribución Binomial Negativa (3/4)
FICHA TÉCNICA X  β N (n, p )
 n + x − 1 n x
 p q x = 0,1, 2,
a) Función de probabilidad p ( x) =  x 
 
0
 en el resto
0 x<0
b) Función de distribución 
F ( x) =  k  n + i − 1 n i
∑  i  p q k ≤ x < k + 1 (k =0,1,...)
 i =0  
nq nq
c) Esperanza E[X ] = d) Varianza Var [ X ] =
p p2
Probabilidades y Estadística I

5. 4. Distribución Binomial Negativa (4/4)
EJEMPLO
Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el
número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada
20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan
25 llamadas de forma independiente.
d) ¿Cuántas personas se van a negar hasta recibir la primera respuesta afirmativa?
e) ¿Cuántas llamadas se deben realizar para captar cuatro socios?
Probabilidades y Estadística I

6. Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli
2. Distribución Binomial
3. Distribución Geométrica
4. Distribución Binomial Negativa
5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I

7. 5. Distribución de Poisson (1/5)
GÉNESIS
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Comportamiento asintótico de una Binomial: n→∞, p→0
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de veces que aparece A en la unidad u” RgX = {0, 1, 2,….}.
Probabilidades y Estadística I

8. 5. Distribución de Poisson (2/5)
GÉNESIS
• Espacio probabilístico asociado
 λ
n
1−
n(n − 1)....(n − x + 1)  n 
n− x
n λ  λ λ
x x
P [ X ==   p x q n − x =
x ] lim
n!   =
lim  
n →∞ x !( n − x )! n
1 −  = lim
   n  λ
x x
 
n →∞ x x ! n→∞ n
1 − 
p →0 p →0 p →0
 n
λx  λ λ
n x
e− λ
lim 1 −  =
x ! n→∞  n 
p →0
x!
Probabilidades y Estadística I

9. 5. Distribución de Poisson (3/5)
FICHA TÉCNICA X  P (λ )
 −λ λ x
e x = 0,1, 2,
a) Función de probabilidad p( x) =  x!
0
 en el resto
0 x<0

F ( x) =  k − λ λ i
∑ e i !
b) Función de distribución
k ≤ x < k + 1 (k =0,1,...)
 i =0
c) Esperanza E[X ] = λ d) Varianza Var [ X ] = λ
Probabilidades y Estadística I

10. 5. Distribución de Poisson (4/5)
TABLA
Probabilidades y Estadística I

11. 5. Distribución de Poisson (5/5)
EJEMPLO
Probabilidades y Estadística I